常數(shù)輸入驅(qū)動下生態(tài)-傳染病模型的動力學特性與應用研究一、引言1.1研究背景與意義傳染病一直以來都是威脅人類健康與生態(tài)平衡的重要因素。從古至今，眾多傳染病如黑死病、西班牙流感、SARS、埃博拉病毒以及COVID-19等，都給人類社會帶來了沉重的打擊。這些傳染病不僅導致大量人員傷亡，對人類健康造成直接威脅，還在經(jīng)濟、社會等方面產(chǎn)生了深遠的負面影響。在經(jīng)濟層面，傳染病的爆發(fā)使得大量勞動力因患病無法工作，導致勞動力短缺，各行業(yè)生產(chǎn)活動受限，經(jīng)濟增長放緩。同時，為了防控疫情，政府需要投入巨額資金用于醫(yī)療救治、疫苗研發(fā)、防控物資采購等，進一步加重了經(jīng)濟負擔。在社會層面，傳染病容易引發(fā)社會恐慌情緒，民眾心理壓力增大，社會秩序受到干擾。此外，疫情還可能加劇社會貧富差距，使弱勢群體的生活更加艱難。而且，隨著全球化進程的加速，傳染病跨國傳播的風險日益增加，對全球公共衛(wèi)生安全構成嚴重威脅。在生態(tài)系統(tǒng)中，傳染病在種群間的傳播同樣會改變生態(tài)系統(tǒng)的結構和功能。例如，某些野生動物種群因傳染病的爆發(fā)而數(shù)量銳減，這會影響到食物鏈上下游其他生物的生存和繁衍，進而破壞整個生態(tài)系統(tǒng)的平衡。而且，生態(tài)環(huán)境的變化，如環(huán)境污染、生物多樣性破壞、氣候變化等，又會反過來影響傳染病的發(fā)生、傳播和防控。環(huán)境污染為病原體的滋生提供了條件，生物多樣性的破壞增加了病原體傳播的途徑，氣候變化則改變了病原體的分布范圍和傳播季節(jié)。傳統(tǒng)的傳染病動力學模型往往只關注疾病在單個種群內(nèi)的傳播，而忽略了種群之間的相互作用以及生態(tài)環(huán)境對傳染病的影響。然而，在現(xiàn)實世界中，種群并非孤立存在，它們與其他種群之間存在著競爭、捕食、共生等復雜的關系，這些關系會對傳染病的傳播產(chǎn)生重要影響。因此，將種群動力學與流行病動力學相結合，建立生態(tài)-傳染病模型，能夠更全面、準確地描述傳染病在生態(tài)系統(tǒng)中的傳播規(guī)律，為傳染病的防控提供更科學的理論依據(jù)。在生態(tài)-傳染病模型中，常數(shù)輸入是一個重要的因素。常數(shù)輸入可以表示為種群的遷入、新個體的出生或者外界物質(zhì)的輸入等?？紤]常數(shù)輸入能夠使模型更貼近實際情況，因為在自然生態(tài)系統(tǒng)中，種群數(shù)量往往會受到外界因素的影響而發(fā)生變化。例如，某些候鳥種群在遷徙過程中會不斷加入新的個體，這就相當于一種常數(shù)輸入。研究具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型，有助于我們深入了解常數(shù)輸入對傳染病傳播和生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響機制。通過分析模型中不同參數(shù)的變化對系統(tǒng)動態(tài)行為的影響，我們可以預測傳染病在不同條件下的傳播趨勢，為制定合理的防控策略提供指導。同時，這也有助于我們更好地理解生態(tài)系統(tǒng)的自我調(diào)節(jié)能力和穩(wěn)定性，為生態(tài)保護和管理提供科學依據(jù)。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀生態(tài)-傳染病模型的研究在國內(nèi)外都受到了廣泛關注，眾多學者從不同角度進行了深入研究，取得了一系列有價值的成果。國外方面，早期的研究主要集中在簡單的種群動力學模型和傳染病模型的結合。如Anderson和May在其著作《InfectiousDiseasesofHumans:DynamicsandControl》中，對傳染病在人類種群中的傳播動力學進行了系統(tǒng)研究，為后續(xù)生態(tài)-傳染病模型的發(fā)展奠定了基礎。他們通過建立數(shù)學模型，分析了傳染病的傳播機制、影響因素以及防控策略，強調(diào)了種群動力學因素在傳染病傳播中的重要性。隨著研究的深入，學者們開始考慮更復雜的生態(tài)因素和傳染病傳播機制。一些研究將捕食者-食餌模型與傳染病模型相結合，探討疾病在捕食者和食餌種群中的傳播規(guī)律。例如，研究發(fā)現(xiàn)當疾病在捕食者中傳播時，可能會改變捕食者與食餌之間的數(shù)量關系，進而影響整個生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果捕食者因感染疾病而數(shù)量減少，食餌種群可能會因缺乏天敵而過度繁殖，導致生態(tài)系統(tǒng)失衡。在具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型研究方面，國外學者取得了不少重要進展。有研究考慮了食餌具有常數(shù)輸入，疾病在捕食者中傳播的模型，分析了系統(tǒng)正平衡點的存在性、穩(wěn)定性以及Hopf分支的存在性。通過規(guī)范型定理和中心流行定理，得到了分支周期解的方向和穩(wěn)定性，并通過數(shù)值模擬結果進一步驗證了理論推導的正確性。還有學者研究了具有常數(shù)輸入的SEIR模型，討論了易感者類和潛伏者類均為常數(shù)輸入，潛伏期、染病期和恢復期均具有傳染力，且傳染率為一般傳染率的情況。利用Hurwitz判據(jù)證明了地方病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性，進一步利用復合矩陣理論得到了地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件。國內(nèi)的生態(tài)-傳染病模型研究也發(fā)展迅速。許多學者在借鑒國外研究成果的基礎上，結合我國的實際情況，開展了具有針對性的研究。在理論研究方面，對各種生態(tài)-傳染病模型進行了深入分析，包括模型的平衡點分析、穩(wěn)定性分析、分支分析等。例如，有研究針對一類捕食者帶有傳染病的捕食模型，進行了定性分析，研究了正常數(shù)平衡解的局部分析以及正平衡解的全局存在性。通過建立數(shù)學模型和運用相關數(shù)學理論，得到了一些關于模型動態(tài)行為的重要結論，為生態(tài)-傳染病模型的理論發(fā)展做出了貢獻。在應用研究方面，國內(nèi)學者將生態(tài)-傳染病模型應用于實際問題的解決，如害蟲防治、動物疫病防控等領域。在害蟲防治中，考慮捕食者具常數(shù)輸入率或脈沖輸入的生態(tài)-流行病模型，通過分析模型得到了害蟲滅絕、平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件，以及害蟲滅絕周期解的漸近穩(wěn)定性和系統(tǒng)永久共存的充分條件。這些研究成果為實際的害蟲控制提供了理論指導，具有重要的實際應用價值。盡管國內(nèi)外在生態(tài)-傳染病模型，尤其是具有常數(shù)輸入的模型研究方面取得了顯著進展，但仍存在一些不足和待解決的問題。目前大多數(shù)研究主要集中在簡單的生態(tài)系統(tǒng)和傳染病模型，對于復雜生態(tài)系統(tǒng)中多種群相互作用以及多種傳染病同時傳播的情況研究較少。實際生態(tài)系統(tǒng)中往往存在多個物種，它們之間的關系錯綜復雜，而且可能同時存在多種傳染病，這些復雜情況對生態(tài)-傳染病模型的構建和分析提出了更高的要求。此外，模型參數(shù)的確定往往依賴于有限的實驗數(shù)據(jù)和觀測資料，參數(shù)估計的準確性和可靠性有待提高。由于生態(tài)系統(tǒng)的復雜性和不確定性，獲取準確的參數(shù)值較為困難，這可能會影響模型的預測精度和可靠性。同時，如何將模型研究成果更好地應用于實際的傳染病防控和生態(tài)保護實踐，也是需要進一步探索的問題。雖然理論研究取得了很多成果，但在實際應用中還面臨著許多挑戰(zhàn)，需要加強理論與實踐的結合，提高模型的實用性和可操作性。1.3研究內(nèi)容與方法1.3.1研究內(nèi)容本研究主要聚焦于具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型，旨在深入探究其動力學性質(zhì)和行為，具體內(nèi)容如下：模型建立與平衡點分析：根據(jù)所研究的生態(tài)系統(tǒng)中種群之間的相互關系，如捕食、競爭、共生等，以及傳染病在種群中的傳播機制，建立具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型。通過對模型進行數(shù)學推導，求解模型的平衡點，包括無病平衡點和地方病平衡點。無病平衡點表示傳染病在生態(tài)系統(tǒng)中未發(fā)生傳播時種群的數(shù)量狀態(tài)，地方病平衡點則表示傳染病在生態(tài)系統(tǒng)中持續(xù)存在時種群的數(shù)量狀態(tài)。分析不同參數(shù)取值對平衡點存在性的影響，確定平衡點存在的條件。例如，在食餌-捕食者生態(tài)-傳染病模型中，研究食餌的常數(shù)輸入率、捕食系數(shù)、疾病傳播系數(shù)等參數(shù)如何影響平衡點的存在情況。穩(wěn)定性分析：運用線性化方法和Lyapunov穩(wěn)定性理論，對模型的平衡點進行穩(wěn)定性分析。通過計算平衡點處的雅可比矩陣，得到其特征值，根據(jù)特征值的性質(zhì)判斷平衡點的局部穩(wěn)定性。若所有特征值的實部均為負，則平衡點是局部漸近穩(wěn)定的，意味著在平衡點附近的微小擾動下，系統(tǒng)會逐漸恢復到該平衡點；若存在實部為正的特征值，則平衡點是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)在該平衡點附近的狀態(tài)會發(fā)生較大變化。進一步，通過構造合適的Lyapunov函數(shù)，研究平衡點的全局穩(wěn)定性，即確定系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間中是否最終會趨向于該平衡點。分支分析：探討模型在不同參數(shù)條件下的分支現(xiàn)象，如Hopf分支、鞍結分支等。Hopf分支會導致系統(tǒng)產(chǎn)生周期解，當參數(shù)變化通過Hopf分支點時，系統(tǒng)會從一個穩(wěn)定的平衡點轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€穩(wěn)定的周期軌道，這對于理解傳染病的周期性爆發(fā)具有重要意義。通過規(guī)范型定理和中心流形定理等數(shù)學工具，分析分支周期解的方向和穩(wěn)定性，確定分支周期解的存在區(qū)間和變化規(guī)律。研究分支現(xiàn)象對生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性和傳染病傳播的影響，揭示系統(tǒng)在不同參數(shù)區(qū)域的動態(tài)行為變化。常數(shù)輸入對傳染病傳播和生態(tài)系統(tǒng)的影響：深入研究常數(shù)輸入在生態(tài)-傳染病模型中的作用機制，分析不同的常數(shù)輸入形式（如種群的遷入、新個體的出生、外界物質(zhì)的輸入等）對傳染病傳播和生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。通過改變常數(shù)輸入的大小和速率，觀察模型中種群數(shù)量、傳染病傳播范圍和強度等指標的變化情況。例如，研究食餌的常數(shù)輸入增加時，對捕食者種群數(shù)量以及傳染病在捕食者種群中傳播的影響；分析易感者的常數(shù)輸入對傳染病傳播閾值和流行規(guī)模的影響。探索如何通過調(diào)節(jié)常數(shù)輸入來控制傳染病的傳播，維護生態(tài)系統(tǒng)的平衡和穩(wěn)定，為實際的傳染病防控和生態(tài)保護提供理論依據(jù)。模型的應用與驗證：將建立的具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型應用于實際的生態(tài)系統(tǒng)和傳染病案例中，如野生動物保護區(qū)中的動物疫病傳播、農(nóng)業(yè)生態(tài)系統(tǒng)中的害蟲傳染病等。收集實際數(shù)據(jù)，對模型參數(shù)進行估計和校準，使模型能夠更準確地反映實際情況。通過將模型的預測結果與實際觀測數(shù)據(jù)進行對比，驗證模型的有效性和可靠性。根據(jù)實際應用中的反饋，對模型進行改進和完善，提高模型的實用性和預測精度。利用模型對不同的防控策略和生態(tài)保護措施進行模擬和評估，為制定科學合理的決策提供支持。例如，在野生動物保護區(qū)中，通過模型模擬不同的隔離措施、疫苗接種方案以及棲息地保護策略對動物疫病傳播和種群數(shù)量的影響，從而選擇最優(yōu)的防控和保護方案。1.3.2研究方法本研究綜合運用多種方法，以實現(xiàn)對具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型的全面深入研究，具體方法如下：微分方程理論：生態(tài)-傳染病模型通常以微分方程的形式來描述種群數(shù)量和傳染病傳播的動態(tài)變化。利用微分方程的定性和定量分析方法，求解模型的平衡點，分析其穩(wěn)定性和分支現(xiàn)象。通過對微分方程的解析推導，得到關于模型動態(tài)行為的理論結果，為深入理解模型的性質(zhì)提供基礎。例如，運用常微分方程的穩(wěn)定性理論，判斷平衡點的穩(wěn)定性；利用分支理論，研究模型在參數(shù)變化時的分支行為。在分析具有常數(shù)輸入的SEIR模型時，通過建立微分方程組，運用Hurwitz判據(jù)和復合矩陣理論來證明地方病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。數(shù)值模擬：借助計算機軟件，如Matlab、Mathematica等，對模型進行數(shù)值求解和模擬。通過設定不同的參數(shù)值，模擬模型在各種情況下的動態(tài)行為，得到直觀的結果，如種群數(shù)量隨時間的變化曲線、傳染病傳播的時空分布等。數(shù)值模擬不僅可以驗證理論分析的結果，還能發(fā)現(xiàn)一些理論分析難以揭示的現(xiàn)象和規(guī)律。例如，在研究食餌具有常數(shù)輸入，疾病在捕食者中傳播的模型時，通過數(shù)值模擬繪制系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的相圖，展示平衡點的吸引域和系統(tǒng)的動態(tài)演化過程，進一步驗證理論推導得到的平衡點穩(wěn)定性和分支結果。文獻研究：廣泛查閱國內(nèi)外相關文獻，了解生態(tài)-傳染病模型以及具有常數(shù)輸入的模型的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢和研究方法。借鑒前人的研究成果，為本研究提供理論基礎和方法參考。通過對文獻的綜合分析，找出當前研究中存在的不足和有待解決的問題，明確本研究的切入點和創(chuàng)新點。例如，在研究初期，通過對大量文獻的梳理，了解到目前對于復雜生態(tài)系統(tǒng)中多種群相互作用以及多種傳染病同時傳播的具有常數(shù)輸入的模型研究較少，從而確定本研究在這方面進行深入探索。案例分析：結合實際的生態(tài)系統(tǒng)和傳染病案例，對模型進行應用和驗證。通過對具體案例的詳細分析，收集相關數(shù)據(jù)，對模型參數(shù)進行估計和調(diào)整，使模型能夠更好地貼合實際情況。同時，通過案例分析，檢驗模型在實際應用中的有效性和可行性，為實際問題的解決提供參考。例如，在研究野生動物疫病傳播時，以某一野生動物保護區(qū)的實際情況為案例，收集該區(qū)域內(nèi)動物種群數(shù)量、疾病傳播數(shù)據(jù)等，運用建立的模型進行分析和預測，評估不同防控措施的效果，為該保護區(qū)的疫病防控提供科學依據(jù)。二、生態(tài)-傳染病模型基礎理論2.1傳染病模型概述傳染病模型作為研究傳染病傳播規(guī)律的重要工具，在公共衛(wèi)生領域發(fā)揮著關鍵作用。通過建立數(shù)學模型，能夠定量地描述傳染病在人群或種群中的傳播過程，分析影響傳播的因素，預測疫情的發(fā)展趨勢，為制定有效的防控策略提供科學依據(jù)。常見的傳染病模型有SIR、SIS、SEIR等，它們基于不同的假設和原理，對傳染病傳播過程進行了不同程度的刻畫。SIR模型是最為經(jīng)典的傳染病模型之一，它將人群劃分為三個倉室：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和移除者（Recovered）。易感者是指那些尚未感染疾病，但有可能被感染的個體；感染者是已經(jīng)感染疾病且具有傳染性的個體；移除者則是指那些已經(jīng)從感染中恢復過來，獲得了免疫力，或者因病死亡的個體。在SIR模型中，假設人口總數(shù)保持不變，即不考慮出生、死亡和遷移等因素。模型的構建基于以下基本原理：易感者與感染者之間通過接觸進行傳播，傳播速率由感染者的傳染能力和易感者的數(shù)量共同決定。用數(shù)學語言表示，假設總?cè)丝跒镹，易感者人數(shù)為S，感染者人數(shù)為I，移除者人數(shù)為R，則有N=S+I+R。其動力學方程通常表示為：\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\betaSI\\\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI\\\frac{dR}{dt}=\gammaI\end{cases}其中，\beta表示感染率，即一個感染者在單位時間內(nèi)能夠感染的易感者的平均數(shù)量；\gamma表示恢復率，即感染者在單位時間內(nèi)恢復并進入移除者狀態(tài)的比例。\frac{\beta}{\gamma}被稱為基本再生數(shù)R_0，它表示在完全易感的人群中，一個感染者在整個感染期內(nèi)平均能夠感染的人數(shù)。當R_0\gt1時，疾病會在人群中傳播并引發(fā)疫情；當R_0\lt1時，疾病將逐漸消失。例如，在研究麻疹疫情時，若通過數(shù)據(jù)分析得到\beta=0.3，\gamma=0.1，則R_0=\frac{0.3}{0.1}=3，說明在沒有任何防控措施的情況下，一個麻疹感染者平均能感染3個人，疫情有擴散的趨勢。SIS模型與SIR模型類似，但它假設感染者在恢復后不會獲得免疫力，而是重新回到易感者群體中。該模型適用于描述那些不會產(chǎn)生持久免疫力的疾病，如普通感冒等。在SIS模型中，人群被劃分為易感者和感染者兩個倉室。其動力學方程為：\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\betaSI+\gammaI\\\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI\end{cases}其中參數(shù)含義與SIR模型相同。在SIS模型中，同樣存在一個關鍵參數(shù)\sigma=\frac{\beta}{\gamma}。當\sigma\gt1時，疾病會在人群中持續(xù)存在，最終感染人數(shù)會趨于一個非零的穩(wěn)定值；當\sigma\leq1時，疾病會逐漸被消除，所有人都會恢復健康。比如對于某種傳染病，若\beta=0.4，\gamma=0.5，則\sigma=\frac{0.4}{0.5}=0.8\lt1，說明該傳染病在這個人群中會逐漸自行消失。SEIR模型在SIR模型的基礎上，增加了暴露者（Exposed）這一倉室，用于描述那些已經(jīng)感染了病原體，但尚未表現(xiàn)出癥狀且不具有傳染性的個體，即處于潛伏期的個體。該模型更適用于研究具有潛伏期的傳染病，如流感、登革熱等。人群被劃分為易感者、暴露者、感染者和移除者四個倉室。其動力學方程為：\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\betaSI\\\frac{dE}{dt}=\betaSI-\sigmaE\\\frac{dI}{dt}=\sigmaE-\gammaI\\\frac{dR}{dt}=\gammaI\end{cases}其中，\sigma表示暴露者轉(zhuǎn)化為感染者的速率。在SEIR模型中，基本再生數(shù)R_0=\frac{\beta\sigma}{\gamma(\sigma+\mu)}（假設存在自然死亡率\mu，若不考慮自然死亡率，公式可簡化為R_0=\frac{\beta}{\gamma}，與SIR模型類似情況時形式一致），它綜合考慮了感染率、暴露者轉(zhuǎn)化率和恢復率等因素對疾病傳播的影響。例如在研究流感傳播時，考慮到流感有一定潛伏期，通過監(jiān)測和數(shù)據(jù)分析確定\beta=0.2，\sigma=0.3，\gamma=0.1，假設自然死亡率\mu=0.01，則可計算出R_0的值，進而判斷流感在人群中的傳播風險。這些常見傳染病模型的倉室劃分依據(jù)主要是個體在傳染病傳播過程中的不同狀態(tài)和行為。通過將人群或種群劃分為不同的倉室，可以更清晰地描述傳染病在不同狀態(tài)個體之間的傳播路徑和轉(zhuǎn)化機制。而模型構建的基本假設雖然在一定程度上簡化了實際情況，但卻抓住了傳染病傳播的關鍵因素。例如，人口總數(shù)不變的假設在短期內(nèi)或者對于相對封閉的人群來說是比較合理的，它使得模型能夠集中研究傳染病在現(xiàn)有個體之間的傳播規(guī)律。均勻混合假設雖然與現(xiàn)實中人群的實際接觸模式存在差異，但在初步分析傳染病傳播時，能夠提供一個簡單而有效的框架。這些假設在一定條件下能夠幫助我們快速理解傳染病傳播的基本原理，為進一步深入研究和改進模型奠定基礎。2.2生態(tài)-傳染病模型的構建生態(tài)-傳染病模型的構建旨在將傳染病模型與種群動力學模型有機結合，以更全面、準確地描述傳染病在生態(tài)系統(tǒng)中的傳播過程以及對生態(tài)系統(tǒng)的影響。在自然界中，種群之間存在著復雜多樣的相互關系，如捕食-被捕食、競爭、共生等，這些關系在傳染病傳播過程中起著至關重要的作用。以捕食-被捕食關系為例，當傳染病在捕食者或被捕食者種群中傳播時，不僅會改變該種群自身的數(shù)量動態(tài)，還會通過食物鏈的傳遞，對整個生態(tài)系統(tǒng)的結構和功能產(chǎn)生深遠影響。若被捕食者種群因傳染病爆發(fā)而數(shù)量減少，捕食者可能會因食物短缺而面臨生存壓力，其數(shù)量也可能隨之下降；反之，若捕食者種群受到傳染病影響，被捕食者種群可能會因天敵減少而過度繁殖，進而破壞生態(tài)系統(tǒng)的平衡。在構建具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型時，我們充分考慮了這些因素。以捕食-被捕食關系下的生態(tài)-傳染病模型為例，假設存在食餌種群x和捕食者種群y，且疾病僅在捕食者種群中傳播。食餌種群具有常數(shù)輸入，其輸入速率為a，這表示在單位時間內(nèi)，有固定數(shù)量的食餌個體進入該生態(tài)系統(tǒng)。食餌種群的增長不僅受到自身增長率的影響，還受到捕食者捕食作用的制約。假設食餌種群的固有增長率為r，捕食者對食餌的捕食率為\alpha，則食餌種群的動力學方程可以表示為：\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a其中，K表示食餌種群的環(huán)境容納量，即該生態(tài)系統(tǒng)能夠容納的食餌種群的最大數(shù)量。rx(1-\frac{x}{K})這一項描述了食餌種群在沒有捕食者存在時的邏輯斯諦增長，當食餌種群數(shù)量接近環(huán)境容納量K時，其增長速度會逐漸減緩；-\alphaxy表示捕食者對食餌的捕食作用，食餌種群數(shù)量x越多，捕食者數(shù)量y越多，被捕食的食餌數(shù)量就越多。對于捕食者種群，其數(shù)量動態(tài)不僅取決于從食餌獲取的能量，還受到疾病傳播的影響。假設捕食者種群中易感者為y_1，感染者為y_2，且y=y_1+y_2。捕食者從食餌獲取能量的轉(zhuǎn)化率為\beta，自然死亡率為d，疾病的傳播率為\lambda，恢復率為\mu。則捕食者種群中易感者和感染者的動力學方程分別為：\begin{cases}\frac{dy_1}{dt}=\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2\\\frac{dy_2}{dt}=\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2\end{cases}在上述方程中，\beta\alphaxy_1表示捕食者中易感者通過捕食食餌獲得的能量轉(zhuǎn)化為自身種群數(shù)量的增加；-dy_1表示捕食者中易感者的自然死亡；-\lambday_1y_2表示易感者因與感染者接觸而感染疾病，從而轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾?。\lambday_1y_2表示易感者感染疾病成為感染者的速率；-(\mu+d)y_2表示感染者的死亡（包括自然死亡dy_2和因病死亡\muy_2）以及恢復（恢復率為\mu）的綜合作用。這樣，我們就構建了一個具有常數(shù)輸入的捕食-被捕食生態(tài)-傳染病模型。在這個模型中，常數(shù)輸入a反映了外界因素對食餌種群數(shù)量的補充，使得模型更符合實際生態(tài)系統(tǒng)中種群數(shù)量受到多種因素影響的情況。通過對這個模型的研究，我們可以深入分析常數(shù)輸入對傳染病在捕食者種群中傳播以及整個生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。例如，當食餌的常數(shù)輸入增加時，食餌種群數(shù)量可能會增加，這可能會導致捕食者的食物資源更加豐富，從而使捕食者種群數(shù)量上升。但同時，捕食者種群數(shù)量的增加也可能會增加疾病在捕食者種群中的傳播風險，因為更多的捕食者意味著更多的接觸機會，進而可能加速疾病的傳播。因此，通過對模型的分析，我們可以揭示這些復雜的相互作用關系，為傳染病防控和生態(tài)系統(tǒng)保護提供科學依據(jù)。2.3常數(shù)輸入在模型中的作用在生態(tài)-傳染病模型中，常數(shù)輸入是一個至關重要的因素，它對種群數(shù)量和疾病傳播有著深遠的影響。常數(shù)輸入可以以多種形式存在，例如種群的遷入、新個體的出生或者外界物質(zhì)的輸入等，這些不同形式的常數(shù)輸入在模型中扮演著各自獨特的角色。從種群數(shù)量方面來看，常數(shù)輸入能夠直接改變種群的數(shù)量動態(tài)。以食餌種群具有常數(shù)輸入的捕食-被捕食生態(tài)-傳染病模型為例，當食餌的常數(shù)輸入速率a增加時，食餌種群在單位時間內(nèi)獲得的新個體數(shù)量增多。在沒有其他因素限制的情況下，食餌種群數(shù)量會隨之增加。隨著食餌種群數(shù)量的上升，捕食者的食物資源變得更加豐富，這將為捕食者種群的增長提供有利條件。捕食者種群可以從更多的食餌中獲取能量，從而增加自身的繁殖機會和生存概率，進而導致捕食者種群數(shù)量上升。然而，當食餌的常數(shù)輸入速率過小時，食餌種群可能無法滿足自身的增長需求以及捕食者的捕食需求，這可能會導致食餌種群數(shù)量下降，甚至可能使食餌種群面臨滅絕的風險。同時，捕食者由于食物短缺，其種群數(shù)量也會受到抑制，可能出現(xiàn)減少的情況。例如，在一個草原生態(tài)系統(tǒng)中，假設野兔是食餌，狼是捕食者，若野兔的常數(shù)輸入（如從其他區(qū)域遷入的野兔數(shù)量）持續(xù)減少，野兔種群數(shù)量會逐漸降低，狼因食物不足，數(shù)量也會隨之減少，甚至可能因饑餓而死亡，導致整個生態(tài)系統(tǒng)的結構和功能發(fā)生改變。從疾病傳播角度分析，常數(shù)輸入對傳染病的傳播有著復雜的影響。在疾病僅在捕食者種群中傳播的模型中，當食餌的常數(shù)輸入增加導致捕食者種群數(shù)量上升時，疾病在捕食者種群中的傳播情況會發(fā)生變化。一方面，更多的捕食者意味著更多的個體之間存在接觸的機會，這增加了疾病傳播的可能性。因為疾病通常是通過個體之間的接觸進行傳播的，接觸頻率的增加會使得病原體更容易在捕食者之間傳播，從而加速疾病的傳播速度。另一方面，捕食者種群數(shù)量的增加可能會導致資源競爭加劇。捕食者需要爭奪有限的食物、領地等資源，在這種競爭壓力下，捕食者的生存環(huán)境可能會惡化，個體的免疫力可能會下降，這也為疾病的傳播創(chuàng)造了更有利的條件。相反，如果食餌的常數(shù)輸入減少，捕食者種群數(shù)量隨之下降，疾病傳播的范圍和強度可能會受到抑制。因為較少的捕食者個體之間接觸機會減少，疾病傳播的途徑也相應減少，從而使得疾病的傳播速度減緩，傳播范圍縮小。通過具體的實例可以更直觀地說明常數(shù)輸入對模型動力學行為的改變。假設在一個森林生態(tài)系統(tǒng)中，松鼠是食餌，狐貍是捕食者，且狐貍種群中存在一種傳染病。當松鼠的常數(shù)輸入（例如新出生的松鼠數(shù)量）保持穩(wěn)定時，狐貍種群數(shù)量也相對穩(wěn)定，疾病在狐貍種群中的傳播處于一個相對平穩(wěn)的狀態(tài)，感染狐貍的數(shù)量在一定范圍內(nèi)波動。然而，當由于環(huán)境改善或其他原因，松鼠的常數(shù)輸入突然增加時，狐貍的食物資源變得豐富，狐貍種群數(shù)量開始增長。隨著狐貍數(shù)量的增多，疾病在狐貍種群中的傳播速度明顯加快，感染狐貍的數(shù)量迅速上升，疾病的傳播范圍也不斷擴大。在一段時間后，由于疾病的影響以及資源競爭的加劇，狐貍種群數(shù)量開始下降，疾病的傳播也逐漸受到抑制。當松鼠的常數(shù)輸入減少時，狐貍因食物不足，種群數(shù)量下降，疾病傳播的范圍和強度也隨之降低，感染狐貍的數(shù)量逐漸減少。再以人類社會中的傳染病為例，在一個城市中，將外來人口的遷入看作是一種常數(shù)輸入。當城市的經(jīng)濟發(fā)展迅速，吸引大量外來人口遷入時，城市中的人口密度增加，人與人之間的接觸更加頻繁。如果此時城市中存在某種傳染病，這種常數(shù)輸入（人口遷入）會加速傳染病的傳播。更多的易感者進入城市，增加了傳染病傳播的潛在對象，同時人口密度的增加使得病原體更容易在人群中傳播。相反，如果城市采取限制人口遷入的政策，減少常數(shù)輸入，傳染病的傳播速度可能會減緩，傳播范圍也會相應縮小。三、具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型分析3.1模型的建立與參數(shù)設定以食餌具有常數(shù)輸入、疾病在捕食者中傳播的生態(tài)-傳染病模型為例，該模型構建如下：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a\\\frac{dy_1}{dt}=\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2\\\frac{dy_2}{dt}=\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2\end{cases}在這個模型中，x表示食餌種群的數(shù)量，y_1表示捕食者種群中易感者的數(shù)量，y_2表示捕食者種群中感染者的數(shù)量。各參數(shù)具有明確的生物學意義：r：食餌種群的固有增長率，反映了在沒有外界限制條件下食餌種群自然增長的速度。例如，在一個適宜的環(huán)境中，兔子作為食餌，其繁殖能力較強，固有增長率r相對較大。若兔子的繁殖周期較短，每胎產(chǎn)仔數(shù)量較多，那么r的值就會較高。K：食餌種群的環(huán)境容納量，代表了該生態(tài)系統(tǒng)能夠為食餌種群提供的最大生存資源量。當食餌種群數(shù)量接近環(huán)境容納量時，由于資源的限制，種群的增長速度會逐漸減緩。比如在一片草原上，可供兔子食用的草量是有限的，當兔子數(shù)量過多時，草資源會變得緊張，兔子的生長和繁殖就會受到影響，此時食餌種群的增長就會受到環(huán)境容納量K的制約。\alpha：捕食者對食餌的捕食率，體現(xiàn)了捕食者捕食食餌的能力和強度。\alpha的值越大，說明捕食者在單位時間內(nèi)捕食的食餌數(shù)量越多。例如，狼對兔子的捕食率\alpha，如果狼的捕獵技巧高超，且在該生態(tài)系統(tǒng)中狼與兔子的相遇概率較大，那么\alpha的值就會相對較大。a：食餌的常數(shù)輸入速率，即單位時間內(nèi)進入該生態(tài)系統(tǒng)的食餌個體數(shù)量。這可以表示為食餌種群的遷入，或者新出生的食餌個體數(shù)量。例如，可能存在其他地區(qū)的兔子遷徙到這個草原生態(tài)系統(tǒng)中，或者兔子在繁殖季節(jié)有大量的幼崽出生，這些都會導致食餌的常數(shù)輸入。\beta：捕食者從食餌獲取能量的轉(zhuǎn)化率，意味著捕食者捕食食餌后，將食餌的能量轉(zhuǎn)化為自身種群數(shù)量增長的比例。如果捕食者對食餌的消化吸收能力較強，能夠有效地將食餌的能量轉(zhuǎn)化為自身的生長和繁殖，那么\beta的值就會較高。比如一些高效的捕食者，在捕食后能夠快速將食物轉(zhuǎn)化為自身的營養(yǎng)，用于增加體重、繁殖后代等，此時\beta相對較大。d：捕食者的自然死亡率，反映了在沒有疾病和其他特殊因素影響下，捕食者種群個體自然死亡的速率。這與捕食者的壽命、生存環(huán)境等因素有關。例如，一些小型捕食者由于生存環(huán)境惡劣，面臨更多的生存挑戰(zhàn)，其自然死亡率d可能較高；而一些大型捕食者，由于自身具有較強的生存能力和較少的天敵，自然死亡率相對較低。\lambda：疾病的傳播率，指的是捕食者中易感者與感染者接觸后被感染的概率。\lambda的值越大，說明疾病在捕食者種群中傳播的速度越快。例如，在一個密集的捕食者群體中，如果疾病具有較強的傳染性，且捕食者之間的接觸頻繁，那么疾病傳播率\lambda就會較高。\mu：捕食者中感染者的恢復率，即感染者在單位時間內(nèi)恢復健康的比例。如果醫(yī)療條件較好，或者捕食者自身對疾病具有較強的抵抗力，那么恢復率\mu就會相對較高。比如在一些有良好醫(yī)療干預的生態(tài)系統(tǒng)中，被捕食者感染疾病后能夠得到及時的治療，從而提高了恢復率\mu。通過這樣的模型建立和參數(shù)設定，能夠較為全面地描述食餌具有常數(shù)輸入、疾病在捕食者中傳播的生態(tài)-傳染病系統(tǒng)的動態(tài)變化，為后續(xù)的模型分析和研究提供基礎。3.2平衡點分析對于所建立的具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a\\\frac{dy_1}{dt}=\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2\\\frac{dy_2}{dt}=\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2\end{cases}我們來求解其平衡點。3.2.1無病平衡點的求解與存在條件分析無病平衡點是指傳染病在捕食者種群中未發(fā)生傳播時的平衡點，即y_2=0。此時模型簡化為：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy_1+a=0\\\frac{dy_1}{dt}=\beta\alphaxy_1-dy_1=0\end{cases}由\frac{dy_1}{dt}=0可得：(\beta\alphax-d)y_1=0因為y_1=0不符合實際生態(tài)意義（表示捕食者種群不存在），所以\beta\alphax-d=0，解得x=\fracxhdjh1r{\beta\alpha}。將將x=\frac1hfdp5n{\beta\alpha}代入\frac{dx}{dt}=0的方程中：r\fractbjtpxv{\beta\alpha}(1-\fracx1j1pv5{\beta\alphaK})-\alpha\frac1tzf5l5{\beta\alpha}y_1+a=0解這個方程可得y_1的值為：y_1=\frac{r\frac115x1bh{\beta\alpha}(1-\fraczpn5fpx{\beta\alphaK})+a}{\alpha\frac1j151t1{\beta\alpha}}=\frac{rd(1-\frac1n5pntj{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha}所以無病平衡點E_0=(\fracnzf1fd5{\beta\alpha},\frac{rd(1-\fracfjdrhfv{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha},0)。無病平衡點存在的條件為無病平衡點存在的條件為\frac1155fxx{\beta\alpha}>0，\frac{rd(1-\fracvpnd5rx{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha}>0。因為r,\alpha,\beta,d,K,a均為正數(shù)，所以\fracxbp1zpv{\beta\alpha}>0恒成立。對于\frac{rd(1-\fracj1tv55r{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha}>0，由于分子中rd(1-\frac115jh5x{\beta\alphaK})和a\beta\alpha都大于零（1-\fractltrljr{\beta\alphaK}在合理的生態(tài)參數(shù)范圍內(nèi)大于零，即\frac1nn5r5n{\beta\alpha}<K，這表示食餌在當前條件下的穩(wěn)定數(shù)量小于其環(huán)境容納量，符合生態(tài)實際情況），所以無病平衡點存在的條件為\fracnxv55l5{\beta\alpha}<K。這意味著當捕食者從食餌獲取能量的轉(zhuǎn)化率、捕食率以及捕食者自然死亡率等參數(shù)滿足一定關系時，使得食餌在無病狀態(tài)下的穩(wěn)定數(shù)量小于其環(huán)境容納量，無病平衡點才存在。3.2.2地方病平衡點的求解與存在條件分析地方病平衡點是指傳染病在捕食者種群中持續(xù)存在時的平衡點，此時\frac{dx}{dt}=0，\frac{dy_1}{dt}=0，\frac{dy_2}{dt}=0。由由\frac{dy_2}{dt}=0可得：\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2=0因為y_2\neq0（表示傳染病持續(xù)存在），所以\lambday_1-(\mu+d)=0，解得y_1=\frac{\mu+d}{\lambda}。將將y_1=\frac{\mu+d}{\lambda}代入\frac{dy_1}{dt}=0的方程\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2=0中，可得：\beta\alphax\frac{\mu+d}{\lambda}-d\frac{\mu+d}{\lambda}-\lambda\frac{\mu+d}{\lambda}y_2=0化簡可得：\beta\alphax-d-\lambday_2=0即y_2=\frac{\beta\alphax-d}{\lambda}。再將再將y_1=\frac{\mu+d}{\lambda}和y_2=\frac{\beta\alphax-d}{\lambda}代入\frac{dx}{dt}=0的方程rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy_1+a=0中：rx(1-\frac{x}{K})-\alphax\frac{\mu+d}{\lambda}+a=0這是一個關于x的二次方程：rx-\frac{rx^2}{K}-\frac{\alphax(\mu+d)}{\lambda}+a=0整理為標準形式：\frac{r}{K}x^2+(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)x-a=0根據(jù)一元二次方程Ax^2+Bx+C=0（這里A=\frac{r}{K}，B=\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r，C=-a）的求根公式x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}，可得：x=\frac{-(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)\pm\sqrt{(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}}}{\frac{2r}{K}}當(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}\geq0時，x有實數(shù)解。設設x的解為x_1和x_2（當(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}>0時，x_1\neqx_2；當(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}=0時，x_1=x_2），則對應的y_1=\frac{\mu+d}{\lambda}，y_2=\frac{\beta\alphax_i-d}{\lambda}（i=1,2）。所以地方病平衡點E_1=(x_1,\frac{\mu+d}{\lambda},\frac{\beta\alphax_1-d}{\lambda})和E_2=(x_2,\frac{\mu+d}{\lambda},\frac{\beta\alphax_2-d}{\lambda})（當x有兩個不同實數(shù)解時存在兩個地方病平衡點；當x有一個實數(shù)解時存在一個地方病平衡點）。地方病平衡點存在的條件為地方病平衡點存在的條件為(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}\geq0，且x>0，y_1>0，y_2>0。對于(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}\geq0，它反映了模型中各個參數(shù)之間的一種復雜關系，涉及捕食率、疾病傳播率、恢復率、食餌固有增長率、食餌常數(shù)輸入速率以及環(huán)境容納量等參數(shù)。只有當這些參數(shù)滿足該不等式時，才有可能存在地方病平衡點。而x>0，y_1>0，y_2>0則保證了平衡點在生態(tài)意義上的合理性，即食餌和捕食者種群數(shù)量以及感染捕食者數(shù)量都為正值。3.2.3以具體參數(shù)值計算平衡點為了更直觀地理解平衡點的情況，我們?nèi)∫唤M具體的參數(shù)值進行計算。假設r=0.5，K=100，\alpha=0.1，a=5，\beta=0.8，d=0.05，\lambda=0.2，\mu=0.1。首先計算無病平衡點：x=\fracfh51z1v{\beta\alpha}=\frac{0.05}{0.8\times0.1}=0.625y_1=\frac{rd(1-\fracz1zp1db{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha}=\frac{0.5\times0.05(1-\frac{0.05}{0.8\times0.1\times100})+5\times0.8\times0.1}{0.05\times0.1}\approx80.47所以無病平衡點E_0=(0.625,80.47,0)。接著計算地方病平衡點，先計算(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}的值：\begin{align*}&(\frac{0.1\times(0.1+0.05)}{0.2}-0.5)^2+\frac{4\times0.5\times5}{100}\\=&(0.075-0.5)^2+0.1\\=&(-0.425)^2+0.1\\=&0.180625+0.1\\=&0.280625>0\end{align*}所以x有兩個實數(shù)解，根據(jù)求根公式：\begin{align*}x&=\frac{-(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)\pm\sqrt{(\frac{\alpha(\mu+d)}{\lambda}-r)^2+\frac{4ra}{K}}}{\frac{2r}{K}}\\&=\frac{-(0.075-0.5)\pm\sqrt{0.280625}}{\frac{2\times0.5}{100}}\\&=\frac{0.425\pm0.53}{0.01}\end{align*}可得x_1=\frac{0.425+0.53}{0.01}=95.5，x_2=\frac{0.425-0.53}{0.01}=-10.5（舍去，因為x>0）。y_1=\frac{\mu+d}{\lambda}=\frac{0.1+0.05}{0.2}=0.75y_2=\frac{\beta\alphax_1-d}{\lambda}=\frac{0.8\times0.1\times95.5-0.05}{0.2}=38.05所以地方病平衡點E_1=(95.5,0.75,38.05)。通過這組具體參數(shù)值的計算，我們得到了無病平衡點和地方病平衡點的具體數(shù)值，更清晰地展示了在特定生態(tài)條件下模型的平衡狀態(tài)。3.3穩(wěn)定性分析對于前文所建立的具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a\\\frac{dy_1}{dt}=\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2\\\frac{dy_2}{dt}=\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2\end{cases}我們利用Hurwitz判據(jù)、Lyapunov函數(shù)等方法來分析平衡點的局部和全局穩(wěn)定性。3.3.1局部穩(wěn)定性分析首先，對模型在平衡點處進行線性化處理。設平衡點為E=(x^*,y_1^*,y_2^*)，將模型在該平衡點處進行泰勒展開，忽略高階無窮小項，得到線性化后的系統(tǒng)。模型的雅可比矩陣模型的雅可比矩陣J為：J=\begin{pmatrix}\frac{\partialf_1}{\partialx}&\frac{\partialf_1}{\partialy_1}&\frac{\partialf_1}{\partialy_2}\\\frac{\partialf_2}{\partialx}&\frac{\partialf_2}{\partialy_1}&\frac{\partialf_2}{\partialy_2}\\\frac{\partialf_3}{\partialx}&\frac{\partialf_3}{\partialy_1}&\frac{\partialf_3}{\partialy_2}\end{pmatrix}其中，f_1=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a，f_2=\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2，f_3=\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2。計算各偏導數(shù)：計算各偏導數(shù)：\frac{\partialf_1}{\partialx}=r(1-\frac{2x}{K})-\alphay，\frac{\partialf_1}{\partialy_1}=-\alphax，\frac{\partialf_1}{\partialy_2}=0；\frac{\partialf_2}{\partialx}=\beta\alphay_1，\frac{\partialf_2}{\partialy_1}=\beta\alphax-d-\lambday_2，\frac{\partialf_2}{\partialy_2}=-\lambday_1；\frac{\partialf_3}{\partialx}=0，\frac{\partialf_3}{\partialy_1}=\lambday_2，\frac{\partialf_3}{\partialy_2}=\lambday_1-(\mu+d)。將平衡點將平衡點E=(x^*,y_1^*,y_2^*)代入雅可比矩陣J中，得到在該平衡點處的雅可比矩陣J_E。然后，根據(jù)Hurwitz判據(jù)來判斷平衡點的局部穩(wěn)定性。對于一個三階系統(tǒng)，其特征方程為然后，根據(jù)Hurwitz判據(jù)來判斷平衡點的局部穩(wěn)定性。對于一個三階系統(tǒng)，其特征方程為\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3=0，其中a_1,a_2,a_3為特征方程的系數(shù)，由雅可比矩陣J_E的元素構成。Hurwitz判據(jù)指出，當滿足Hurwitz判據(jù)指出，當滿足a_1>0，a_3>0，a_1a_2-a_3>0時，系統(tǒng)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的；若不滿足上述條件，則平衡點是不穩(wěn)定的。對于無病平衡點對于無病平衡點E_0=(\fracnpx55tv{\beta\alpha},\frac{rd(1-\fracr1z5d1r{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha},0)，代入雅可比矩陣J并計算特征方程的系數(shù)a_1,a_2,a_3。a_1=-(r(1-\frac{2\fracnl5nzfx{\beta\alpha}}{K})-\alpha\frac{rd(1-\frac5nntrxv{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha})+(\beta\alpha\fracb1vr55t{\beta\alpha}-d)+(\lambda\times0-(\mu+d))。a_2=-(r(1-\frac{2\frachjhj15b{\beta\alpha}}{K})-\alpha\frac{rd(1-\fracrlvhnl5{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha})(\beta\alpha\fracvb1ndj5{\beta\alpha}-d-\lambda\times0)-(-\alpha\fraczhb1t1f{\beta\alpha})(\beta\alpha\times0)-0\times(-\lambda\frac{rd(1-\frac1jr115b{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha})。a_3=-(r(1-\frac{2\fracr1t5rxf{\beta\alpha}}{K})-\alpha\frac{rd(1-\fraclbt1v1h{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha})(\beta\alpha\frac1ndflt1{\beta\alpha}-d-\lambda\times0)(\lambda\times0-(\mu+d))-(-\alpha\fractl1b55f{\beta\alpha})(\beta\alpha\times0)(\lambda\times0-(\mu+d))-0\times(-\lambda\frac{rd(1-\frac1rh55x1{\beta\alphaK})+a\beta\alpha}{d\alpha})(\beta\alpha\frac1l5p5lj{\beta\alpha}-d-\lambda\times0)。通過對這些系數(shù)進行分析，判斷是否滿足Hurwitz判據(jù)的條件，從而確定無病平衡點的局部穩(wěn)定性。對于地方病平衡點通過對這些系數(shù)進行分析，判斷是否滿足Hurwitz判據(jù)的條件，從而確定無病平衡點的局部穩(wěn)定性。對于地方病平衡點對于地方病平衡點E_1=(x_1,\frac{\mu+d}{\lambda},\frac{\beta\alphax_1-d}{\lambda})（以其中一個地方病平衡點為例），同樣代入雅可比矩陣J計算特征方程的系數(shù)a_1,a_2,a_3，并根據(jù)Hurwitz判據(jù)判斷其局部穩(wěn)定性。3.3.2全局穩(wěn)定性分析為了研究平衡點的全局穩(wěn)定性，我們構造合適的Lyapunov函數(shù)。對于該生態(tài)-傳染病模型，構造Lyapunov函數(shù)V(x,y_1,y_2)。假設構造的Lyapunov函數(shù)為假設構造的Lyapunov函數(shù)為V(x,y_1,y_2)=A(x-x^*)^2+B(y_1-y_1^*)^2+C(y_2-y_2^*)^2（這里A,B,C為待定的正常數(shù)，(x^*,y_1^*,y_2^*)為平衡點）。對對V(x,y_1,y_2)求關于時間t的導數(shù)\frac{dV}{dt}：\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=2A(x-x^*)\frac{dx}{dt}+2B(y_1-y_1^*)\frac{dy_1}{dt}+2C(y_2-y_2^*)\frac{dy_2}{dt}\\\end{align*}將\frac{dx}{dt}，\frac{dy_1}{dt}，\frac{dy_2}{dt}的表達式代入上式，并進行化簡。\begin{align*}\frac{dV}{dt}&=2A(x-x^*)(rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a)+2B(y_1-y_1^*)(\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2)+2C(y_2-y_2^*)(\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2)\\\end{align*}通過分析\frac{dV}{dt}的符號來判斷平衡點的全局穩(wěn)定性。如果對于所有的(x,y_1,y_2)\neq(x^*,y_1^*,y_2^*)，都有\(zhòng)frac{dV}{dt}<0，則平衡點(x^*,y_1^*,y_2^*)是全局漸近穩(wěn)定的；如果存在某些(x,y_1,y_2)使得\frac{dV}{dt}>0，則平衡點不是全局漸近穩(wěn)定的。在分析過程中，可能需要利用一些不等式關系和參數(shù)的取值范圍來確定在分析過程中，可能需要利用一些不等式關系和參數(shù)的取值范圍來確定\frac{dV}{dt}的符號。例如，根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的實際情況，各參數(shù)都有一定的取值范圍，食餌種群的數(shù)量x不能為負數(shù)，且受到環(huán)境容納量K的限制，即0\leqx\leqK；捕食者種群數(shù)量y_1和y_2也都為非負數(shù)。利用這些條件對\frac{dV}{dt}進行放縮和分析，從而判斷平衡點的全局穩(wěn)定性。3.3.3結合實際案例說明穩(wěn)定性分析的意義以某野生動物保護區(qū)為例，假設該保護區(qū)內(nèi)存在兔子（食餌）和狐貍（捕食者）兩種生物，且狐貍種群中存在一種傳染病。通過對具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型進行穩(wěn)定性分析，我們可以深入了解該生態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)變化和傳染病的傳播情況，為保護區(qū)的管理和疾病防控提供科學依據(jù)。如果無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的，這意味著在當前的生態(tài)參數(shù)條件下，傳染病在狐貍種群中不容易傳播開來。即使由于一些偶然因素導致少量狐貍感染疾病，在沒有外界干擾的情況下，系統(tǒng)會逐漸恢復到無病平衡點的狀態(tài)，即狐貍種群中的疾病會自行消失。這對于保護區(qū)來說是一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)，管理者可以采取相對保守的管理策略，重點關注生態(tài)系統(tǒng)的其他方面，如保護兔子的棲息地，以維持食餌種群的穩(wěn)定，從而保證整個生態(tài)系統(tǒng)的平衡。相反，如果無病平衡點是不穩(wěn)定的，說明傳染病具有在狐貍種群中傳播的風險。一旦有狐貍感染疾病，疾病可能會迅速擴散，導致狐貍種群數(shù)量下降。此時，管理者就需要采取積極的防控措施，如加強對狐貍種群的監(jiān)測，及時隔離感染狐貍，甚至考慮對狐貍進行疫苗接種等，以防止疾病的大規(guī)模傳播，保護狐貍種群的健康和生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定。對于地方病平衡點的穩(wěn)定性分析也具有重要意義。如果地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，說明傳染病在狐貍種群中會持續(xù)存在，但會達到一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。在這種情況下，管理者需要在控制疾病傳播和維持生態(tài)系統(tǒng)平衡之間找到一個平衡點。例如，可以通過調(diào)整食餌（兔子）的常數(shù)輸入，來影響狐貍種群的數(shù)量和疾病傳播情況。如果適當增加兔子的常數(shù)輸入，可能會使狐貍的食物資源更加豐富，狐貍種群數(shù)量增加，但同時也可能會增加疾病在狐貍種群中的傳播風險。管理者需要綜合考慮各種因素，制定合理的管理策略。在實際應用中，穩(wěn)定性分析可以幫助我們預測生態(tài)系統(tǒng)在不同情況下的變化趨勢，提前制定應對措施，避免生態(tài)系統(tǒng)的崩潰和傳染病的大規(guī)模爆發(fā)。通過對模型參數(shù)的調(diào)整和分析，我們還可以評估不同防控策略和生態(tài)保護措施的效果，為決策者提供科學的參考依據(jù)，從而更好地保護生態(tài)系統(tǒng)的健康和穩(wěn)定。如果無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的，這意味著在當前的生態(tài)參數(shù)條件下，傳染病在狐貍種群中不容易傳播開來。即使由于一些偶然因素導致少量狐貍感染疾病，在沒有外界干擾的情況下，系統(tǒng)會逐漸恢復到無病平衡點的狀態(tài)，即狐貍種群中的疾病會自行消失。這對于保護區(qū)來說是一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)，管理者可以采取相對保守的管理策略，重點關注生態(tài)系統(tǒng)的其他方面，如保護兔子的棲息地，以維持食餌種群的穩(wěn)定，從而保證整個生態(tài)系統(tǒng)的平衡。相反，如果無病平衡點是不穩(wěn)定的，說明傳染病具有在狐貍種群中傳播的風險。一旦有狐貍感染疾病，疾病可能會迅速擴散，導致狐貍種群數(shù)量下降。此時，管理者就需要采取積極的防控措施，如加強對狐貍種群的監(jiān)測，及時隔離感染狐貍，甚至考慮對狐貍進行疫苗接種等，以防止疾病的大規(guī)模傳播，保護狐貍種群的健康和生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定。對于地方病平衡點的穩(wěn)定性分析也具有重要意義。如果地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，說明傳染病在狐貍種群中會持續(xù)存在，但會達到一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。在這種情況下，管理者需要在控制疾病傳播和維持生態(tài)系統(tǒng)平衡之間找到一個平衡點。例如，可以通過調(diào)整食餌（兔子）的常數(shù)輸入，來影響狐貍種群的數(shù)量和疾病傳播情況。如果適當增加兔子的常數(shù)輸入，可能會使狐貍的食物資源更加豐富，狐貍種群數(shù)量增加，但同時也可能會增加疾病在狐貍種群中的傳播風險。管理者需要綜合考慮各種因素，制定合理的管理策略。在實際應用中，穩(wěn)定性分析可以幫助我們預測生態(tài)系統(tǒng)在不同情況下的變化趨勢，提前制定應對措施，避免生態(tài)系統(tǒng)的崩潰和傳染病的大規(guī)模爆發(fā)。通過對模型參數(shù)的調(diào)整和分析，我們還可以評估不同防控策略和生態(tài)保護措施的效果，為決策者提供科學的參考依據(jù)，從而更好地保護生態(tài)系統(tǒng)的健康和穩(wěn)定。相反，如果無病平衡點是不穩(wěn)定的，說明傳染病具有在狐貍種群中傳播的風險。一旦有狐貍感染疾病，疾病可能會迅速擴散，導致狐貍種群數(shù)量下降。此時，管理者就需要采取積極的防控措施，如加強對狐貍種群的監(jiān)測，及時隔離感染狐貍，甚至考慮對狐貍進行疫苗接種等，以防止疾病的大規(guī)模傳播，保護狐貍種群的健康和生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定。對于地方病平衡點的穩(wěn)定性分析也具有重要意義。如果地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，說明傳染病在狐貍種群中會持續(xù)存在，但會達到一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。在這種情況下，管理者需要在控制疾病傳播和維持生態(tài)系統(tǒng)平衡之間找到一個平衡點。例如，可以通過調(diào)整食餌（兔子）的常數(shù)輸入，來影響狐貍種群的數(shù)量和疾病傳播情況。如果適當增加兔子的常數(shù)輸入，可能會使狐貍的食物資源更加豐富，狐貍種群數(shù)量增加，但同時也可能會增加疾病在狐貍種群中的傳播風險。管理者需要綜合考慮各種因素，制定合理的管理策略。在實際應用中，穩(wěn)定性分析可以幫助我們預測生態(tài)系統(tǒng)在不同情況下的變化趨勢，提前制定應對措施，避免生態(tài)系統(tǒng)的崩潰和傳染病的大規(guī)模爆發(fā)。通過對模型參數(shù)的調(diào)整和分析，我們還可以評估不同防控策略和生態(tài)保護措施的效果，為決策者提供科學的參考依據(jù)，從而更好地保護生態(tài)系統(tǒng)的健康和穩(wěn)定。對于地方病平衡點的穩(wěn)定性分析也具有重要意義。如果地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，說明傳染病在狐貍種群中會持續(xù)存在，但會達到一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。在這種情況下，管理者需要在控制疾病傳播和維持生態(tài)系統(tǒng)平衡之間找到一個平衡點。例如，可以通過調(diào)整食餌（兔子）的常數(shù)輸入，來影響狐貍種群的數(shù)量和疾病傳播情況。如果適當增加兔子的常數(shù)輸入，可能會使狐貍的食物資源更加豐富，狐貍種群數(shù)量增加，但同時也可能會增加疾病在狐貍種群中的傳播風險。管理者需要綜合考慮各種因素，制定合理的管理策略。在實際應用中，穩(wěn)定性分析可以幫助我們預測生態(tài)系統(tǒng)在不同情況下的變化趨勢，提前制定應對措施，避免生態(tài)系統(tǒng)的崩潰和傳染病的大規(guī)模爆發(fā)。通過對模型參數(shù)的調(diào)整和分析，我們還可以評估不同防控策略和生態(tài)保護措施的效果，為決策者提供科學的參考依據(jù)，從而更好地保護生態(tài)系統(tǒng)的健康和穩(wěn)定。在實際應用中，穩(wěn)定性分析可以幫助我們預測生態(tài)系統(tǒng)在不同情況下的變化趨勢，提前制定應對措施，避免生態(tài)系統(tǒng)的崩潰和傳染病的大規(guī)模爆發(fā)。通過對模型參數(shù)的調(diào)整和分析，我們還可以評估不同防控策略和生態(tài)保護措施的效果，為決策者提供科學的參考依據(jù)，從而更好地保護生態(tài)系統(tǒng)的健康和穩(wěn)定。3.4Hopf分支分析對于具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a\\\frac{dy_1}{dt}=\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2\\\frac{dy_2}{dt}=\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2\end{cases}我們來探討其Hopf分支的存在條件，并通過規(guī)范型定理和中心流形定理分析分支周期解的方向和穩(wěn)定性。首先，設模型的平衡點為E=(x^*,y_1^*,y_2^*)，在平衡點處對模型進行線性化，得到雅可比矩陣J。J=\begin{pmatrix}\frac{\partialf_1}{\partialx}&\frac{\partialf_1}{\partialy_1}&\frac{\partialf_1}{\partialy_2}\\\frac{\partialf_2}{\partialx}&\frac{\partialf_2}{\partialy_1}&\frac{\partialf_2}{\partialy_2}\\\frac{\partialf_3}{\partialx}&\frac{\partialf_3}{\partialy_1}&\frac{\partialf_3}{\partialy_2}\end{pmatrix}其中，f_1=rx(1-\frac{x}{K})-\alphaxy+a，f_2=\beta\alphaxy_1-dy_1-\lambday_1y_2，f_3=\lambday_1y_2-(\mu+d)y_2。計算各偏導數(shù)：計算各偏導數(shù)：\frac{\partialf_1}{\partialx}=r(1-\frac{2x}{K})-\alphay，\frac{\partialf_1}{\partialy_1}=-\alphax，\frac{\partialf_1}{\partialy_2}=0；\frac{\partialf_2}{\partialx}=\beta\alphay_1，\frac{\partialf_2}{\partialy_1}=\beta\alphax-d-\lambday_2，\frac{\partialf_2}{\partialy_2}=-\lambday_1；\frac{\partialf_3}{\partialx}=0，\frac{\partialf_3}{\partialy_1}=\lambday_2，\frac{\partialf_3}{\partialy_2}=\lambday_1-(\mu+d)。將平衡點將平衡點E=(x^*,y_1^*,y_2^*)代入雅可比矩陣J中，得到在該平衡點處的雅可比矩陣J_E。然后，計算然后，計算J_E的特征方程\vert\lambdaI-J_E\vert=0，其中I為單位矩陣。設特征方程為\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3=0，這里a_1,a_2,a_3是關于模型參數(shù)的函數(shù)。Hopf分支存在的條件是：存在一個參數(shù)Hopf分支存在的條件是：存在一個參數(shù)\theta（比如食餌的常數(shù)輸入速率a、疾病傳播率\lambda等），當\theta變化通過某個臨界值\theta_0時，特征方程有一對純虛根\pmi\omega（\omega\gt0），且滿足\frac{dRe(\lambda)}{d\theta}\vert_{\theta=\theta_0}\neq0。當滿足Hopf分支存在條件時，我們通過規(guī)范型定理和中心流形定理來分析分支周期解的方向和穩(wěn)定性。根據(jù)規(guī)范型定理，將原系統(tǒng)在Hopf分支點附近進行坐標變換，轉(zhuǎn)化為規(guī)范型。在規(guī)范型下，可以方便地分析分支周期解的方向。若規(guī)范型中某一特定系數(shù)當滿足Hopf分支存在條件時，我們通過規(guī)范型定理和中心流形定理來分析分支周期解的方向和穩(wěn)定性。根據(jù)規(guī)范型定理，將原系統(tǒng)在Hopf分支點附近進行坐標變換，轉(zhuǎn)化為規(guī)范型。在規(guī)范型下，可以方便地分析分支周期解的方向。若規(guī)范型中某一特定系數(shù)根據(jù)規(guī)范型定理，將原系統(tǒng)在Hopf分支點附近進行坐標變換，轉(zhuǎn)化為規(guī)范型。在規(guī)范型下，可以方便地分析分支周期解的方向。若規(guī)范型中某一特定系數(shù)a（與模型參數(shù)和平衡點相關）大于零，則分支周期解是超臨界的，此時隨著參數(shù)\theta超過臨界值\theta_0，穩(wěn)定的周期解從平衡點處產(chǎn)生；若a\lt0，則分支周期解是亞臨界的，不穩(wěn)定的周期解從平衡點處產(chǎn)生。利用中心流形定理，我們可以將高維系統(tǒng)的分析簡化到中心流形上進行。在中心流形上，通過構造合適的函數(shù)，進一步分析分支周期解的穩(wěn)定性。具體來說，考慮中心流形上的一個李雅普諾夫函數(shù)利用中心流形定理，我們可以將高維系統(tǒng)的分析簡化到中心流形上進行。在中心流形上，通過構造合適的函數(shù)，進一步分析分支周期解的穩(wěn)定性。具體來說，考慮中心流形上的一個李雅普諾夫函數(shù)V，對其求關于時間t的導數(shù)\frac{dV}{dt}。若在中心流形上，對于分支周期解附近的點，\frac{dV}{dt}\lt0，則分支周期解是穩(wěn)定的；若存在點使得\frac{dV}{dt}\gt0，則分支周期解是不穩(wěn)定的。以食餌的常數(shù)輸入速率以食餌的常數(shù)輸入速率a作為分支參數(shù)為例，當a逐漸增大時，可能會導致系統(tǒng)發(fā)生Hopf分支。假設通過計算得到在某一參數(shù)組合下，當a=a_0時滿足Hopf分支條件，此時系統(tǒng)產(chǎn)生周期解。通過規(guī)范型定理計算得到特定系數(shù)a\gt0，說明分支周期解是超臨界的，隨著a超過a_0，穩(wěn)定的周期解從平衡點處產(chǎn)生。再利用中心流形定理，構造李雅普諾夫函數(shù)V并分析\frac{dV}{dt}，發(fā)現(xiàn)對于分支周期解附近的點，\frac{dV}{dt}\lt0，進一步驗證了該分支周期解是穩(wěn)定的。這意味著當食餌的常數(shù)輸入速率達到一定值時，系統(tǒng)會出現(xiàn)穩(wěn)定的周期振蕩現(xiàn)象，比如食餌和捕食者種群數(shù)量會呈現(xiàn)周期性的波動，傳染病在捕食者種群中的傳播也會呈現(xiàn)周期性變化。這種周期振蕩現(xiàn)象在實際生態(tài)系統(tǒng)中可能表現(xiàn)為某些傳染病的周期性爆發(fā)，通過對Hopf分支的分析，我們可以深入理解這種現(xiàn)象的發(fā)生機制和條件。四、案例分析與數(shù)值模擬4.1具體案例選取與背景介紹本研究選取禽流感在鳥類種群中的傳播作為案例，深入探討具有常數(shù)輸入的生態(tài)-傳染病模型在實際中的應用。禽流感是由甲型流感病毒引起的一種人、禽類共患的急性傳染病，其對鳥類種群的影響廣泛且深遠。在自然界中，鳥類種群之間存在著復雜的生態(tài)關系，同時禽流感的傳播又受到多種因素的制約，這使得禽流感在鳥類種群中的傳播成為研究生態(tài)-傳染病模型的典型案例。禽流感在鳥類種群中的傳播具有重要的研究價值。一方面，禽流感病毒具有高度的傳染性和致病性，能夠在短時間內(nèi)導致大量鳥類死亡，對鳥類種群的數(shù)量和結構產(chǎn)生巨大影響。例如，在2022-2023年期間，全球范圍內(nèi)爆發(fā)了嚴重的野生鳥類禽流感疫情，從蘇格蘭高地到康沃爾海岸，大量海鳥因感染禽流感病毒死亡，許多鳥類物種的生存面臨威脅。另一方面，鳥類在生態(tài)系統(tǒng)中扮演著重要的角色，它們參與了物質(zhì)循環(huán)、能量流動以及生物多樣性的維持。禽流感在鳥類種群中的傳播不僅會影響鳥類自身的生存和繁衍，還可能通過食物鏈的傳遞，對其他生物種群產(chǎn)生連鎖反應，進而破壞整