清單05概率初步（9個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考熱點聚焦）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點一．隨機事件（1）確定事件事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）＝0；③如果A為不確定事件（隨機事件），那么0＜P（A）＜1．1．（耿馬縣期末）下列成語中，表示不可能事件的是（）A．水中撈月 B．守株待兔 C．水漲船高 D．水滴石穿【分析】直接利用不可能事件以及必然事件的定義分析得出答案．【解答】解：A、水中撈月，是不可能事件，符合題意；B、守株待兔，是隨機事件，不合題意；C、水漲船高，是必然事件，不合題意；D、水滴石穿，是必然事件，不合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了隨機事件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（開州區(qū)期末）下列事件中是必然事件的是（）A．經(jīng)過交通信號燈的路口，遇到紅燈 B．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后國徽面朝上 C．太陽從東方升起，西方落下 D．任意一個五邊形的外角和等于540°【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、經(jīng)過交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，不符合題意；B、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后國徽面朝上是隨機事件，不符合題意；C、太陽從東方升起，西方落下是必然事件，符合題意；D、∵任意多邊形外角和等于360°，∴任意一個五邊形的外角和等于540°是不可能事件，不符合題意，故選：C．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．解題的關(guān)鍵是熟練掌握各類事件的概念．3．（三臺縣期末）下列事件：①．在足球比賽中，中國男足戰(zhàn)勝德國男足；②．有交通信號燈的路口遇到紅燈；③．連續(xù)兩次拋擲一枚普通的正方體骰子得到的點數(shù)之和為13；④．任取一數(shù)為x，使它滿足x3＝x2．其中隨機事件有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．【解答】解：①、在足球比賽中，中國男足戰(zhàn)勝德國男足，是隨機事件；②、有交通信號燈的路口遇到紅燈，是隨機事件；③、連續(xù)兩次拋擲一枚普通的正方體骰子得到的點數(shù)之和為13，是不可能事件；④、任取一數(shù)為x，使它滿足x3＝x2，是隨機事件；故選：B．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．考點二．可能性的大小隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：（1）理論計算又分為如下兩種情況：第一種：只涉及一步實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類概率模型進行的計算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對游戲是否公平的計算．（2）實驗估算又分為如下兩種情況：第一種：利用實驗的方法進行概率估算．要知道當實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計值，即大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率．第二種：利用模擬實驗的方法進行概率估算．如，利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬實驗．4．（阜寧縣期末）一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤如圖所示，小明已經(jīng)任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后指針都落在“藍色”區(qū)域內(nèi)．那么，從概率的角度分析，小明第三次轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止時（）A．轉(zhuǎn)出的結(jié)果一定是“藍色” B．轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍色”的可能性大于“紅色” C．轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“紅色”的可能性大于“藍色” D．轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍色”和“紅色”的可能性一樣大【分析】根據(jù)陰影部分面積與轉(zhuǎn)盤總面積之比就是轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍色”的概率，空白部分面積與轉(zhuǎn)盤總面積之比就是轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“紅色”的概率，進行比較即可．【解答】解：∵轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后指針都落在“紅色”區(qū)域內(nèi)的概率是＝，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后指針都落在“藍色”區(qū)域內(nèi)的概率是＝，∴小明第三次轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止時轉(zhuǎn)出的結(jié)果為“藍色”的可能性大于“紅色”；故選：B．【點評】此考查了可能性大小，用到的知識點是概率公式，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．5．（臨海市期末）某路口紅綠燈的時間設(shè)置如下：綠燈60秒，紅燈40秒，黃燈3秒，當車隨機經(jīng)過該路口，遇到哪一種燈的可能性最大（）A．綠燈 B．紅燈 C．黃燈 D．不能確定【分析】根據(jù)在這幾種燈中，每種燈時間的長短，即可得出答案．【解答】解：因為綠燈持續(xù)的時間最長，黃燈持續(xù)的時間最短，所以人或車隨意經(jīng)過該路口時，遇到綠燈的可能性最大，遇到黃燈的可能性最?。蔬x：A．【點評】此題考查了可能性的大小，解決這類題目要注意具體情況具體對待，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點三．概率的意義（1）一般地，在大量重復(fù)實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p．（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．（3）概率取值范圍：0≤p≤1．（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）＝1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）＝0．（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通過設(shè)計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯(lián)系密切，通過理解什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實際問題，體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系，可以解決一些實際問題．6．（新鄉(xiāng)期末）下列說法正確的是（）A．若你在上一個路口遇到綠燈，則在下一路口必遇到紅燈 B．某籃球運動員2次罰球，投中一個，則可斷定他罰球命中的概率一定為50% C．“明天我市會下雨”是隨機事件 D．若某種彩票中獎的概率是1%，則買100張該種彩票一定會中獎【分析】根據(jù)概率的定義進行判斷．【解答】解：A、若你在上一個路口遇到綠燈，則在下一路口不一定遇到紅燈，故本選項錯誤；B、某籃球運動員2次罰球，投中一個，這是一個隨機事件，但不能斷定他罰球命中的概率一定為50%，故本選項錯誤；C、明天我市會下雨是隨機事件，故本選項正確；D、某種彩票中獎的概率是1%，買100張該種彩票不一定會中獎，故該選項錯誤；故選：C．【點評】考查了概率的意義．正確理解概率的含義是解決本題的關(guān)鍵．7．（清苑區(qū)期末）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯誤的是（）A．通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的 B．大量重復(fù)拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于 C．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上 D．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上【分析】根據(jù)概率的意義，結(jié)合具體的問題情境綜合進行判斷即可．【解答】解：拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，就是經(jīng)過大量重復(fù)的實驗，拋一枚均勻硬幣正面朝上的頻率越穩(wěn)定在左右，因此，A．通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的，這是公平的，因此選項A不符合題意；B．大量重復(fù)拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于，這種說法是正確的，因此選項B不符合題意；C．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此選項C不符合題意；D．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上，這是不正確的，因此選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查頻率與概率，理解概率的意義，掌握頻率與概率的關(guān)系是正確判斷的前提．考點四．概率公式（1）隨機事件A的概率P（A）＝．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．8．（巧家縣期末）我市舉辦的“喜迎黨的二十大，奮進新征程——鄉(xiāng)村振興成果展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖．小穎從A入口進E出口的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，即可得到答案．【解答】解：該展覽館有A、B兩個入口，C、D、E三個出口，且從每個入口進入和沒個出口出去的可能性是一樣的，列樹狀圖如下：小穎從A入口進E出口的概率是，故選：B．【點評】本題考查了用樹狀圖計算概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．9．（海淀區(qū)校級期末）假設(shè)甲是確診感染者，乙與甲有接觸，乙稱為密切接觸者；丙與乙有接觸，且與甲沒有接觸，丙稱為次密切接觸者．經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)A，B，C，D，E，F(xiàn)的接觸情況如圖所示．若兩人有接觸，則在代表兩人的兩個點之間連結(jié)一條線段．已知A是確診感染者，則從其余五人中隨機抽取一名，是次密切接觸者的概率為（）A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)概率公式計算即可．【解答】解：由題意可知B，D，F(xiàn)為密切接觸者，C、E為次密切接觸者，∴從其余五人中隨機抽取一名，是次密切接觸者的概率為．故選：C．【點評】本題考查了概率公式，正確理解題意和利用概率公式是關(guān)鍵．考點五．幾何概率所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G，又區(qū)域g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機地向G內(nèi)投擲一點M，假設(shè)點M必落在G中，且點M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)．具有這種性質(zhì)的隨機試驗（擲點），稱為幾何概型．關(guān)于幾何概型的隨機事件“向區(qū)域G中任意投擲一個點M，點M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即P＝g的測度G的測度簡單來說：求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計算方法是長度比，面積比，體積比等．10．（潼南區(qū)期末）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)幾何概率的求法：最終停留在黑色的方磚上的概率就是黑色區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：觀察這個圖可知：黑色區(qū)域（5塊）的面積占總面積（9塊）的，則它最終停留在黑磚上的概率是．故選：C．【點評】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．11．（杜爾伯特縣期末）如圖，點A、B分別是正方形地板磚兩鄰邊的中點，一只螞蟻在上面爬行，螞蟻停留在陰影部分的概率為．【分析】直接利用已知表示出陰影部分面積，進而得出螞蟻停留在陰影部分的概率．【解答】解：如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2x，由題意可得，陰影部分的面積為：正方形面積﹣S△BEF﹣S△ABC﹣S△ADE＝＝，故螞蟻停留在陰影部分的概率為：．故答案為：．【點評】本題考查的是幾何概率，解題關(guān)鍵是理解陰影部分在整體中的比例就是所求事件的概率．考點六．列表法與樹狀圖法（1）當試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖．（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果n．（5）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．12．（高青縣期末）為解決“在甲、乙兩個不透明口袋中隨機摸球”的問題，小明畫出如圖所示的樹狀圖，已知這些球除顏色外無其他差別，根據(jù)樹狀圖，小明從兩個口袋中各隨機取出一個球，其中取出的球是一個紅球和一個白球的結(jié)果共有（）種．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用題中的樹狀圖找出一個紅球和一個白球的結(jié)果數(shù)即可．【解答】解：樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的球是一個紅球和一個白球的結(jié)果共有2種．故選：B．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．13．（玉林期末）在一個不透明的袋子中有1個黑球，2個白球，這些球除顏色外的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，現(xiàn)隨機摸出1個球記下顏色，然后放回搖勻，又隨機摸出1個球記下顏色，有下列說法：①第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球；②第一次摸出黑球的概率是；③兩次都摸到黑球的概率是．則以上說法正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】由題意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，可判斷①的正誤；第一次摸出黑球的概率是，可判斷②的正誤；列舉法求兩次都摸到黑球的概率，可判斷③的正確．【解答】解：由題意知，第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球，正確，故①符合要求；第一次摸出黑球的概率是，正確，故②符合要求；列表如下：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（白，黑）（白，白）（白，白）白（白，黑）（白，白）（白，白）∴兩次摸球共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到黑球共有1種結(jié)果，∴兩次都摸到黑球的概率為，③錯誤，故③不符合要求；故選：C．【點評】本題考查了隨機事件，簡單的概率求解，列舉法求概率等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．14．（滎陽市校級期末）學(xué)校聯(lián)歡會設(shè)計了一個“配紫色”游戲：如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，A盤被分成面積相等的幾個扇形，B盤中藍色扇形區(qū)域所占的圓心角是120°．同學(xué)們同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色，那么可以配成紫色，贏得游戲．若小李同學(xué)同時轉(zhuǎn)動A盤和B盤，她贏得游戲的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色、另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色的有3種情況，然后由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色、另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色的有3種情況，∴小李同學(xué)同時轉(zhuǎn)動A盤和B盤，她贏得游戲的概率是＝，故選：A．【點評】本題考查了樹狀圖法求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵；用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點七．游戲公平性（1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．（2）概率＝．15．（古冶區(qū)期末）藝術(shù)節(jié)上，甲、乙兩名同學(xué)計劃用葫蘆絲合奏一首樂曲，要合奏的樂曲是用游戲的方式在《月夜》與《云之南》中確定一首．游戲規(guī)則如下：在一個不透明的口袋中裝有分別標有數(shù)字1，2，3，4的四個小球（除標號外，其余都相同），甲從口袋中任意摸出1個小球，小球上的數(shù)字記為a．在另一個不透明的口袋中裝有分別標有數(shù)字1，2的兩張卡片（除標號外，其余都相同），乙從口袋里任意摸出1張卡片，卡片上的數(shù)字記為b．然后計算這兩個數(shù)的和，即a+b，若a+b為奇數(shù)，則演奏《月夜》，否則演奏《云之南》．（1）用列表法或畫樹狀圖的方法，求（a，b）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；（2）你認為這個游戲公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，哪一首樂曲更可能被選中？【分析】（1）利用列表法解答即可；（2）利用計算概率的方法解答即可．【解答】解：（1）按游戲規(guī)則計算兩個數(shù)的和，列表如下：123411+1＝21+2＝31+3＝41+4＝522+1＝32+2＝42+3＝52+4＝6從表中可以看出共有8種等可能；（2）我認為這個游戲公平，理由：從表中可以看出共有8種等可能，其中和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的等可能性各有4種，所以P（和為奇數(shù)）＝P（和為偶數(shù)），∴這個游戲公平．【點評】本題主要考查了列表法或樹狀圖法，游戲的公平性，事件的概率，利用游戲規(guī)則正確列出表格是解題的關(guān)鍵．16．（城關(guān)區(qū)校級期末）甲乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，把轉(zhuǎn)盤A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內(nèi)標上數(shù)字，如圖所示．游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn)．（1）請用樹狀圖或列表法列出所有可能的結(jié)果；（2）小明和小紅約定做一個游戲，其規(guī)則為：若x，y滿足xy＞6，則小明勝；若x，y滿足xy＜6，則小紅勝，這個游戲公平嗎？請說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；（2）由概率公式即可求得小明獲勝與小紅獲勝的概率，繼而求得他們兩人誰獲勝的概率大．【解答】解：（1）列表如下：12342（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）不公平，理由如下：從上表中可看出，指針所指的兩個數(shù)字有12種等可能的結(jié)果，其中滿足xy＞6的結(jié)果有6個，滿足xy＜6的結(jié)果有4個，所以，P（小明勝）＝，P（小紅勝）＝．所以，此游戲小明獲勝的概率更大，故不公平．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．解題的關(guān)鍵是注意樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點八．利用頻率估計概率（1）大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．（3）當實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．17．（蒙自市期末）昆明是我國有名的花城，它四季如春，比較適合各種花卉的生長條件，成了養(yǎng)殖花卉的名城，某林業(yè)部門為了考察某種花的種子在一定條件下的發(fā)芽率，做了大量的種子發(fā)芽實驗，得到如下的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：實驗種子數(shù)量（顆）10050010001500200030004000發(fā)芽種子數(shù)量（顆）653466971051139621012808種子發(fā)芽的頻率0.650.6920.6970.7010.6980.7000.702估計該種子在此條件下發(fā)芽的概率是（）（結(jié)果精確到0.1）A．0.6 B．0.7 C．0.69 D．0.70【分析】在大量重復(fù)試驗下，利用頻率估計概率即可解答．【解答】解：∵隨著種子數(shù)量的增多，其發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.7左右，∴估計該種子在此條件下發(fā)芽的概率是0.7，故選：B．【點評】本題考查了利用頻率估計概率，掌握大量重復(fù)試驗下頻率與概率的關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．（南明區(qū)期末）圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．目前，超級計算機已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位．有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同．從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字，估計數(shù)字是9的概率為（）A． B． C． D．【分析】從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字共有10種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字9的只有1種結(jié)果，利用概率公式求解即可．【解答】解：∵隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同，∴從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字共有10種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)數(shù)字9的只有1種結(jié)果，∴P（數(shù)字是9）＝．故選：A．【點評】本題考查了利用頻率估計概率，掌握大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解題的關(guān)鍵．考點九．模擬試驗（1）在一些有關(guān)抽取實物實驗中通常用摸取卡片代替了實際的物品或人抽取，這樣的實驗稱為模擬試驗．（2）模擬試驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行實驗，或用計算機編號等進行實驗，目的在于省時、省力，但能達到同樣的效果．（3）模擬試驗只能用更簡便方法完成，驗證實驗?zāi)康?，但不能改變實驗?zāi)康?，這部分內(nèi)容根據(jù)《新課標》要求，只要設(shè)計出一個模擬試驗即可．19．（江陽區(qū)期末）在課外實踐活動中，甲、乙、丙、丁四個小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率，其實驗次數(shù)分別為10次、50次、100次，200次，其中實驗相對科學(xué)的是（）A．甲組 B．乙組 C．丙組 D．丁組【分析】大量反復(fù)試驗時，某事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)的附近，這個常數(shù)就叫做事件概率的估計值．【解答】解：根據(jù)模擬實驗的定義可知，實驗相對科學(xué)的是次數(shù)最多的丁組．故選：D．【點評】考查了模擬實驗，選擇和拋硬幣類似的條件的試驗驗證拋硬幣實驗的概率，是一種常用的模擬試驗的方法．20．（三河市校級期末）在一個不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個，某學(xué)習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，下表是試驗進行中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．（1）當n很大時，摸到黑球的頻率將會趨近（精確到0.01），該袋子中的黑球有個；（2）該學(xué)習小組成員從該袋中隨機摸出2個球，請你用列表或畫樹狀圖的方法求出隨機摸出的2個球的顏色不同的概率．摸球的次數(shù)n101002005001000摸到黑球的次數(shù)m32651126251摸到黑球的頻率0.30.260.2550.2520.251【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，再利用頻率求數(shù)量；（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）當n很大時，摸到黑球的頻率將會趨近0.25，該袋子中的黑球有4×0.25＝1，故答案為：0.25；1；（2）解：樹狀圖如圖；共有12種等可能的情況，其中摸出的2個球的顏色不同的情況有6種，∴隨機摸出的2個球的顏色不同的概率為．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法以及利用頻率估計概率，掌握用頻率的集中趨勢來估計概率是關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】數(shù)學(xué)建模-抽象概率模型，解決實際問題21．（延邊州期末）一個批發(fā)商從某服裝制造公司購進了50包型號為L的襯衫，由于包裝工人的疏忽，在包裹中混進了型號為M的襯衫，每一包中混入的M號襯衫數(shù)見下表：M號襯衫數(shù)0145791011包數(shù)7310155433一位零售商從50包中任意選取了一包，求下列事件的概率：（1）包中沒有混入的M號襯衫；（2）包中混入的M號襯衫數(shù)不超過7；（3）包中混入的M號襯衫數(shù)超過10．【分析】列舉出符合題意的各種情況的個數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：（1）沒有混入的M號襯衫的包數(shù)是7包，所以P（沒有混入的M號襯衫）＝；（2）混入的M號襯衫數(shù)不超過7的包數(shù)是40包，所以P（混入的M號襯衫數(shù)不超過7）＝；（3）混入的M號襯衫數(shù)超過10的包數(shù)是3包，所以P（混入的M號襯衫數(shù)超過10）＝．【點評】如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．根據(jù)概率公式分別計算即可．22．（豐南區(qū)校級期末）小明和小亮玩一個游戲：三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)將標有數(shù)字的一面朝下，小明從中任意抽取一張后，小亮再從剩下的卡片中抽取一張．計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)則小明勝，和為偶數(shù)則小亮勝．（1）請用列表法或樹狀圖等方法求小明獲勝的概率；（2）你認為該游戲?qū)﹄p方是否公平？請說明理由．【分析】（1）將所有可能的情況在圖中表示出來即可；（2）計算出和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的概率，即可得到游戲是否公平．【解答】解：（1）列表如下：小明小亮?1?23?12+1＝33+1＝4?21+2＝33+2＝5?31+3＝42+3＝5由上表可知，所有等可能的結(jié)果共有6種．（2）∵共有6種等可能的情況數(shù)，其中和為奇數(shù)的有4種，和為偶數(shù)的有2種，P（和為奇數(shù)）＝＝，P（和為偶數(shù)）＝＝，∵＞，∴這個游戲規(guī)則對雙方是不公平的．【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．建立方程模型、求解概率問題23．（沈河區(qū)期末）一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，在袋中放入3個除了顏色外其余均相同的白球，隨機的從袋子中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，通過大量重復(fù)這樣的試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個數(shù)為（）A．11 B．14 C．17 D．20【分析】根據(jù)口袋中有3個白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應(yīng)該相等求出即可．【解答】解：設(shè)紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意得：∴＝0.15，解得：x＝17，經(jīng)檢驗x＝17是原方程的解，則紅球的個數(shù)為17個．故選：C．【點評】此題主要考查了用樣本估計總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應(yīng)該相等是解決問題的關(guān)鍵．24．（邯鄲期末）在一個不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個，某學(xué)習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，下表是試驗進行中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n101002005001000摸到黑球的次數(shù)m32651126251摸到黑球的頻率0.30.260.2550.2520.251（1）當n很大時，摸到黑球的頻率將會趨近（精確到0.01），該袋子中的黑球有個；（2）該學(xué)習小組成員從該袋中隨機摸出2個球，請你用列表或畫樹狀圖的方法求出隨機摸出的2個球的顏色不同的概率．【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，根據(jù)概率公式可求得黑球的個數(shù)；（2）根據(jù)畫樹狀圖，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）當n很大時，摸到黑球的頻率將會趨近0.25，估計摸到黑球的概率為0.25，設(shè)黑球有a個，則，解得：a＝1，故答案為：0.25，1；（2）樹狀圖如圖；共有12種等可能的情況，其中摸出的2個球的顏色不同的情況有6種，∴隨機摸出的2個球的顏色不同的概率為．【點評】本題考查了用頻率估計概率、用樹狀圖求概率，會用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵．【中考熱點聚焦】用列舉法計算概率1．（常德）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友已于2023年6月4日回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設(shè)“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進入一個實驗艙開展科學(xué)實驗，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（）A． B． C． D．【分析】列出樹狀圖，運用概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：∴一共有6種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時被選中的情況有2種，∴甲、乙兩人同時被選中的概率為＝．故選：B．【點評】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（河南）為落實教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于《第41批向全國中小學(xué)生推薦優(yōu)秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級分別從如圖所示的三部影片中隨機選擇一部組織本年級學(xué)生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率為（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中七、八年級選擇的影片相同的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把三部影片分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中七、八年級選擇的影片相同的結(jié)果有3種，∴這兩個年級選擇的影片相同的概率為＝，故選：B．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（齊齊哈爾）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學(xué)和三名女同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上四名同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)擔任主持人，則剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的結(jié)果有6種，∴剛好抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是＝，故選：A．【點評】本題考查了樹狀圖法，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（淄博）“敬老愛老”是中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)美德．小剛、小強計劃利用暑期從A，B，C三處養(yǎng)老服務(wù)中心中，隨機選擇一處參加志愿服務(wù)活動，則兩人恰好選到同一處的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫出樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好到一處的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人恰好到一處的結(jié)果數(shù)為3，∴明明和亮亮兩人恰好到一處的概率＝＝，故選：B．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．5．（山西）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的結(jié)果有2種，即AC、CA，∴抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是＝，故答案為：．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．6．（黑龍江）一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些小球除標號外完全相同，隨機摸出兩個小球，恰好是一紅一白的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好是一紅一白的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好是一紅一白的結(jié)果有12種，∴恰好是一紅一白的概率是＝，故答案為：．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（甘孜州）一天晚上，小張幫助媽媽清洗兩個只有顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小張只好把杯蓋和茶杯隨機搭配在一起．則顏色搭配正確的概率是．【分析】根據(jù)概率的計算公式．顏色搭配總共有4種可能，分別列出搭配正確和搭配錯誤的可能，進而求出各自的概率即可．【解答】解：用A和a分別表示第一個有蓋茶杯的杯蓋和茶杯；用B和b分別表示第二個有蓋茶杯的杯蓋和茶杯、經(jīng)過搭配所能產(chǎn)生的結(jié)果如下：所以顏色搭配正確的概率是＝．故答案為：．【點評】此題主要考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．8．（揚州）揚州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚州旅游，兩人分別從A、B、C三個景點中隨機選擇一個景點游覽．（1）甲選擇A景點的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的概率．【分析】（1）由概率公式直接可得答案；（2）先畫出樹狀圖，共有9種等可能的情況，再根據(jù)概率公式，計算即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）甲選擇A景點的概率為，故答案為：；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：∵共有9種等可能的情況，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的情況有5種，∴甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的概率是．【點評】本題考查了用樹狀圖求概率，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)樹狀圖找出所有等可能的情況數(shù)．概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（陜西）從同一副撲克牌中選出四張牌，牌面數(shù)字分別為2，5，6，8．將這四張牌背面朝上，洗勻．（1）從這四張牌中隨機抽出一張牌，這張牌上的牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是；（2）小明從這四張牌中隨機抽出一張牌，記下牌面數(shù)字后，放回．背面朝上，洗勻．然后，小華從中隨機抽出一張牌，請用畫樹狀圖或列表的方法，求小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，找出小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的情況數(shù)，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵共有四張撲克牌，分別是2，5，6，8，其中偶數(shù)有3張，∴從這四張牌中隨機抽出一張牌，這張牌上的牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是．故答案為：；列表如下：一共有16種等可能的情況，其中小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的有6種，則小華抽出的牌上的牌面數(shù)字比小明抽出的牌上的牌面數(shù)字大的概率是＝．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10．（淮安）小華、小玲一起到淮安西游樂園游玩，他們決定在三個熱門項目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盤絲洞）中各自隨機選擇一個項目游玩．（1）小華選擇C項目的概率是；（2）用畫樹狀圖或列表法方法求小華、小玲選擇不同游玩項目的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小華、小玲選擇不同游玩項目的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）小華選擇C項目的概率是．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小華、小玲選擇不同游玩項目的結(jié)果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6種，∴小華、小玲選擇不同游玩項目的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．11．（江西）為了弘揚雷鋒精神，某校組織“學(xué)雷鋒，爭做新時代好少年”的宣傳活動．根據(jù)活動要求，每班需要2名宣傳員．某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機選取2名同學(xué)作為宣傳員．（1）“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是事件；（填“必然”、“不可能”或“隨機”）（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率．【分析】（1）根據(jù)題意可知：“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機事件；（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求得甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率．【解答】解：（1）由題意可得，“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機事件，故答案為：隨機；（2）樹狀圖如下所示：由上可得，一共有12種等可能事件，其中甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的可能性有2種，∴甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員的概率為：＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、隨機事件，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，求出相應(yīng)的概率．12．（青島）為了解我國的數(shù)學(xué)文化，小明和小紅從《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《海島算經(jīng)》（依次用A、B、C表示）三本書中隨機抽取一本進行閱讀，小明先隨機抽取一本，小紅再從剩下的兩本中隨機抽取一本．請用列表或畫樹狀圖的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．并求抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的概率．【分析】畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果，再找出抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【解答】解：畫樹狀圖為：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的結(jié)果數(shù)為4種，所以抽取兩本書中有《九章算術(shù)》的概率＝＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．13．（湘潭）為落實“雙減”政策要求，豐富學(xué)生課余生活，某校七年級根據(jù)學(xué)生需求，組建了四個社團供學(xué)生選擇：A（合唱社團）、B（硬筆書法社團）、C（街舞社團）、D（面點社團）．學(xué)生從中任意選擇兩個社團參加活動．（1）小明對這4個社團都很感興趣，如果他隨機選擇兩個社團，請列舉出所有的可能結(jié)果；（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團C（街舞社團），第二個社團他倆決定隨機選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團的概率．【分析】（1）列舉出所有的可能結(jié)果即可；（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小宇和小江選到相同社團的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）所有的可能結(jié)果共有6種，分別為：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小宇和小江選到相同社團的結(jié)果有3種，∴他倆選到相同社團的概率為＝．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．（鞍山）二十四節(jié)氣是中國古代一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補充歷法，在國際氣象界被譽為“中國的第五大發(fā)明”，并位列聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，小明和小亮對二十四節(jié)氣非常感興趣，在課間玩游戲時，準備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫有“A．驚蟄”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四個節(jié)氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，并講述所抽卡片上的節(jié)氣的由來與習俗．（1）小明從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是．（2）小明先從四張卡片中隨機抽取一張，小亮再從剩下的卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率．【分析】（1）共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A．驚蟄”的只有1種，由概率的定義可得答案；（2）用樹狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可．【解答】解：（1）共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中抽到“A．驚蟄”的只有1種，所以小明從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A．驚蟄”的概率是，故答案為：；（2）用樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩人都沒有抽到“B．夏至”的有6種，所以兩人都沒有抽到“B．夏至”的概率為＝．【點評】本題考查列表法或樹狀圖法，用樹狀圖表示所有等可能的出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．15．（南通）有同型號的A，B兩把鎖和同型號的a，b，c三把鑰匙，其中a鑰匙只能打開A鎖，b鑰匙只能打開B鎖，c鑰匙不能打開這兩把鎖．（1）從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于；（2）從兩把鎖中隨機取出一把鎖，從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，求取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵有同型號的a，b，c三把鑰匙，∴從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的結(jié)果有2種，即Aa、Bb，∴取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率為＝．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題是放回試驗還是不放回試驗；用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．（連云港）如圖，有4張分別印有Q版西游圖案的卡片：A唐僧、B孫悟空、C豬八戒、D沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．求下列事件發(fā)生的概率：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；故答案為：；（2）畫樹狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)為7，所以兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．概率與其他知識的綜合應(yīng)用17．（盤錦）某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時長情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表（如圖所示）．學(xué)生平均每天閱讀時長情況統(tǒng)計表平均每天閱讀時長x/min人數(shù)0＜x≤202020＜x≤40a40＜x≤602560＜x≤8015x＞8010根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生，統(tǒng)計表中a＝．（2）求扇形統(tǒng)計圖中學(xué)生平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)．（3）若全校共有1400名學(xué)生，請估計平均每天閱讀時長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)．（4）該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進行閱讀，這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標記，先隨機抽取一張卡片后不放回，再隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法，求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．【分析】（1）將40＜x≤60組的人數(shù)除以其百分比即可求出抽取的人數(shù)；將抽取的人數(shù)乘以20＜x≤40組的百分比即可求出a的值；（2）將60＜x≤80組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以360°即可求出扇形統(tǒng)計圖中學(xué)生平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）將x＞80組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以1400即可估計平均每天閱讀時長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)；（4）用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵40＜x≤60組的人數(shù)為25，占比為25%，且25÷25%＝100，∴本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生；∵20＜x≤40組占比30%，30%×100＝30，∴a＝30，故答案為：100，30；（2）∵樣本中平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”有15名，且15÷100×360°＝54°，∴扇形統(tǒng)計圖中學(xué)生平均每天閱讀時長為“60＜x≤80”所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為54°；（3）∵樣本中平均每天閱讀時長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)為10人，且10÷100×1400＝140（名），∴估計平均每天閱讀時長為“x＞80”的學(xué)生人數(shù)為140名；（4）《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標記，畫樹狀圖如下：一共有12種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游記》即D有2種可能的情況，∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的）＝．【點評】本題考查頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計圖表中獲取有用信息，掌握用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．18．（隨州）中學(xué)生心理健康受到社會的廣泛關(guān)注，某校開展心理健康教育專題講座，就學(xué)生對心理健康知識的了解程度，采用隨機抽樣調(diào)查的方式，根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息回答下列問題：（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有人，條形統(tǒng)計圖中m的值為，扇形統(tǒng)計圖中“非常了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為；（2）若該校共有學(xué)生800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計出該校學(xué)生中對心理健康知識“不了解”的總?cè)藬?shù)為人；（3）若某班要從對心理健康知識達到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機抽取2人參加心理健康知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2名女生的概率．【分析】（1）將基本了解的人數(shù)除以其所占百分比即可得到接受調(diào)查的學(xué)生總數(shù)；將接受調(diào)查的學(xué)生總數(shù)減去另外三項人數(shù)即可求出M的值；將“非常了解”占比乘以360°即可求出扇形統(tǒng)計圖中“非常了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；（2）將該校學(xué)生總數(shù)乘以樣本中該校學(xué)生中對心理健康知識“不了解”的占比即可；（3）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到2名女生的可能結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，∴接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有40÷50%＝80（人），條形統(tǒng)計圖中m的值為：80﹣20﹣40﹣4＝16，扇形統(tǒng)計圖中“非常了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：＝90°，故答案為：80，16，90°；（2）可以估計出該校學(xué)生中對心理健康知識“不了解”的總?cè)藬?shù)為：800×＝40人），故答案為：40；（3）畫樹狀圖如下：一共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到2名女生的結(jié)果有2種，∴P（恰好抽到2名女生）＝．【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計圖中獲取有用信息，掌握列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．19．（眉山）某校為落實“雙減”工作，推行“五育并舉”，計劃成立五個興趣活動小組（每個學(xué)生只能參加一個活動小組）：A．音樂，B．美術(shù)，C．體育，D．閱讀，E．人工智能．為了解學(xué)生對以上興趣活動的參與情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖：根據(jù)圖中信息，完成下列問題：（1）①補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；②扇形統(tǒng)計圖中的圓心角α的度數(shù)為．（2）若該校有3600名學(xué)生，估計該校參加E組（人工智能）的學(xué)生人數(shù)；（3）該學(xué)校從E組中挑選出了表現(xiàn)最好的兩名男生和兩名女生，計劃從這四位同學(xué)中隨機抽取兩人參加市青少年人工智能競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．【分析】（1）①先根據(jù)B小組人數(shù)及其所對應(yīng)的百分比可得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)5個興趣小組人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出D小組人數(shù)，從而補全圖形；②用360°乘以D小組人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例即可；（2）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中E小組人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例即可；（3）畫樹狀圖列舉出所有等可能結(jié)果，再從樹狀圖中確定恰好抽到一名男生一名女生的結(jié)果數(shù)，繼而利用概率公式求解即可得出答案．【解答】解：（1）由題意知，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為30÷10%＝300（人），所以D小組人數(shù)為300﹣（40+30+70+60）＝100（人），補全圖形如下：②扇形統(tǒng)計圖中的圓心角α的度數(shù)為360°×＝120°，故答案為：120°；（2）3600×＝720（名），答：估計該校參加E組（人工智能）的學(xué)生有720名；（3）畫樹狀圖為：由樹狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率為＝．【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及扇形與條形統(tǒng)計圖的知識．注意掌握扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的對應(yīng)關(guān)系．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20．（綿陽）隨著科技的進步，購物支付方式日益增多．為了解某社區(qū)居民支付的常用方式（A微信，B支付寶，C現(xiàn)金，D其他），某學(xué)習小組對紅星社區(qū)部分居民進行問卷調(diào)查，根據(jù)查結(jié)果，繪制成如圖統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：（1）a＝，b＝，在扇形統(tǒng)計圖中C種支付方式所對應(yīng)的圓心角為度；（2）本次調(diào)查中用現(xiàn)金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，現(xiàn)從該種支付方式中隨機選2名居民參加線上支付方式培訓(xùn)，求恰好都是女性的概率．【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息列式計算即可；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好抽到1個男生和1個女生的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）a＝7÷14%×40%＝20（人），b＝7÷14%﹣5﹣7﹣20＝18（人），在扇形統(tǒng)計圖中C種支付方式所對應(yīng)的圓心角為360°×＝36°，故答案為：20人，18人，36；（2）設(shè)男生為A，女生為B，畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到都是女性的有6種情況，∴恰好都是女性的概率＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．21．（內(nèi)江）某校為落實國家“雙減”政策，豐富課后服務(wù)內(nèi)容，為學(xué)生開設(shè)五類社團活動（要求每人必須參加且只參加一類活動）：A．音樂社團；B．體育社團；C．美術(shù)社團；D．文學(xué)社團；E．電腦編程社團．該校為了解學(xué)生對這五類社團活動的喜愛情況，隨機抽取部分學(xué)生進行了調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）此次調(diào)查一共隨機抽取了名學(xué)生，補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）扇形統(tǒng)計圖中圓心角α＝度；（3）現(xiàn)從“文學(xué)社團”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機選取兩名參加演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．【分析】（1）由B的人數(shù)除以所占百分比得出此次調(diào)查一共隨機抽取的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；（2）由360°乘以C的人數(shù)所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）此次調(diào)查一共隨機抽取的學(xué)生人數(shù)為：50÷25%＝200（名），∴C的人數(shù)為：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），故答案為：200，補全條形統(tǒng)計圖如下：（2）扇形統(tǒng)計圖中圓心角α＝360°×＝54°，故答案為：54；（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，∴恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率為＝．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．綜合訓(xùn)練一、選擇題1.下列事件中,是不可能事件的為()A.買一張電影票,座位號是奇數(shù)B.射擊運動員射擊一次,命中9環(huán)C.明天會下雨D.度量三角形的內(nèi)角和,結(jié)果是360°2.下列說法正確的是()A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨B.“拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的概率為12”C.“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票肯定會中獎D.“拋一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,朝上的點數(shù)是2的概率為16”表示隨著拋擲次數(shù)的增加,“拋出朝上的點數(shù)是2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在13.如圖,有一些寫有號碼的卡片,它們的背面都相同,現(xiàn)將它們背面朝上,從中任意摸出一張,摸到號碼為1的卡片的概率是()A.12 B.13 C.23 4.一只螞蟻在如圖所示的樹上尋覓食物,假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑,則它獲得食物的概率是()A.13 B.12 C.23 5.一個不透明的布袋中裝有4個只有顏色不同的球,其中2個紅色,1個白色,1個黑色,攪勻后從布袋里摸出1個球,摸到紅球的概率是()A.12 B.13 C.14 6.如圖,在平面直角坐標系中,點A1,A2在x軸上,點B1,B2在y軸上,其坐標分別為A1(1,0),A2(