第五章轉(zhuǎn)子動力學分析方法第一節(jié)前言旋轉(zhuǎn)機械：航空渦輪發(fā)動機、燃氣輪機、蒸汽輪機、水輪機、風機、離心分離機、泵等。早期，研究核心部件——轉(zhuǎn)子的振動目前，整機振動、非線性振動、故障診斷、振動控制技術(shù)（主動、被動）模型：以Jeffect轉(zhuǎn)子模型為主本節(jié)主要內(nèi)容：臨界轉(zhuǎn)速、渦動分析重力影響彈性支承影響非軸對稱轉(zhuǎn)子影響、穩(wěn)定性問題初始彎曲影響等加速過臨界的特點2026/1/1812026/1/182第二節(jié)坐標系及轉(zhuǎn)子渦動運動分析自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)、渦動坐標系：定坐標系、動坐標系模型：以Jeffect轉(zhuǎn)子模型為主§5.2.1定坐標系運動分析定坐標系：oxyz，軸向——oz軸剛性盤以ω角速度旋轉(zhuǎn)（渦動）盤中心運動方程為：

x=Xcos(ωt+φx)y=Ysin(ωt+φy)式中：X、Y——盤中心運動幅值

φx、φy——x、y方向運動的相位角2026/1/183令：Xc=Xcosφx

則

Xs=XsinφxYc=YcosφyYs=-Ysinφy將運動方程作三角函數(shù)展開，則有x=Xccosωt-Xssinωty=Yccosωt-Yssinωt消去時間t，可得運動軌跡方程。軌跡為一橢圓，半軸分別為a、b，半軸a與x軸夾角為α如圖1－2，半軸及夾角計算公式為2026/1/184利用歐拉：e±iωt=cosωt±isinωt運動方程可寫成復數(shù)形式，則有：x=Re{(Xc+iXs)eiωt即將簡諧運動看成旋轉(zhuǎn)矢量的投影y=Re{(Yc+iYs)eiωt一般可將沿橢圓軌跡運動分解為沿兩個圓軌跡運動的合成，分運動的角速度相等而轉(zhuǎn)向相反，如圖1－3，則有x=Xpcos(ωt+φp)+Xrcos(ωt+φr)y=Xpsin(ωt+φp)-Xrcos(ωt+φr)式中：Xp、φp為＋ω方向運動分量幅值和相位

Xr、φr為－ω方向運動分量幅值和相位2026/1/185同樣，可以定義Xpc、Xps、Yrc、Yrs，則可得x=Xpccosωt-Xpssinωt+Xrccosωt-Xrssinωty=Xpcsinωt+Xpscosωt-Xrcsinωt-Xrscosωt令x=Xpc+iXpsy=Xrc+iXrs則有x=Re{[(Xpc+iXps)+(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{(xp+xs)eiωt}y=Re{[-i(Xpc+iXps)+i(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{i(-xp+xs)eiωt}一般將xp對應(yīng)的運動稱為正進動分量；xr對應(yīng)的運動成為反進動分量。比較兩種表達式，可得Xc+iXs=xp+xrYc+iYs=i(-xp+xr)2026/1/186解得于是有比較前述推導，可得a=Xp+Xrb=Xp-Xr

φa=φp2α=φp-φr2026/1/187當xp>xr時，合成運動沿xp方向，稱為正進動；當xp<xr時，合成運動沿xr方向，稱為反進動；當（1－5b）式中計算的b值為負，則表示圓盤中心運動（進動）為反進動。自轉(zhuǎn)：圓盤繞圓盤中心的旋轉(zhuǎn)進動（公轉(zhuǎn)）：弓形軸繞支點連線旋轉(zhuǎn)渦動：自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)（進動）的合成運動設(shè)圓盤受到幅值為F，相位角為φF，并以進動角速度ω旋轉(zhuǎn)的力（如不平衡質(zhì)量）作用，則一周進動所作的功為：2026/1/188可見：當φF－φp≠0時，旋轉(zhuǎn)力對橢圓進動要作功，且僅僅在正進動分量作功，與反進動大小無關(guān)。進動獲取的能量用于補充阻尼消耗的能量，以維持橢圓進動。§5.2.2旋轉(zhuǎn)（動）坐標系運動分析定坐標系：軸承、軸承座、機架、基座等動力特性，以靜坐標系為參考，轉(zhuǎn)子振動測量，也大多采用絕對式傳感器。故靜坐標系采用較多。結(jié)構(gòu)非對稱動力特性分析，采用旋轉(zhuǎn)坐標系較方便。旋轉(zhuǎn)坐標系：1）oξηz2）oz軸與固定坐標系相同3）oξ、oη軸相對ox、oy軸以恒定角速度Ω反時針旋轉(zhuǎn)。2026/1/189兩種座標關(guān)系為：ξ=xcosΩt+ysinΩt

η=-xsinΩt+ycosΩt對上式求一、二階導數(shù)，可得式中：、表示離心加速度、表示哥氏加速度代入上式得ξ=xpei(ω-Ω)t+xrei(ω+Ω)t

η=-ixpei(ω-Ω)t+ixrei(ω+Ω)t式中省略取實部符號。2026/1/1810上式也可看成是沿兩個圓軌跡的正、反進動分量的合成，分量幅值與固定坐標系相等；正進動分量角速度ω－Ω；反進動分量角速度ω＋Ω?！?.2.3其它坐標系運動分析極坐標系：orφz（圖1－5）特點：形象表示運動特性與直角坐標系的關(guān)系速度、加速度變換式2026/1/18111）若合成運動在直角坐標系中是線性的，變換到極坐標系中為非線性；2）當r或φ為常數(shù)時，使用極坐標可使運動方程簡化。固定在運動圓盤中心的坐標系坐標原點：圓盤中心坐標軸方向：沿圓盤主慣性軸方向相對與固定坐標系oxyz的方位由三個歐拉角確定。2026/1/1812第三節(jié)剛體繞定點的轉(zhuǎn)動力學模型：連續(xù)質(zhì)量模型——彈性體集中質(zhì)量模型——盤軸系統(tǒng)本章以盤軸系統(tǒng)為分析模型剛體在空間有六個自由度：沿三個垂直軸方向的平移和繞這三個軸的轉(zhuǎn)動。理論力學：剛體運動可分解成隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動。平動運動規(guī)律與基點選擇有關(guān)；轉(zhuǎn)動運動規(guī)律與基點選擇無關(guān)。§5.3.1描述定點剛體位置的歐拉角剛體球鉸定點約束：約束三個平動自由度；只有三個轉(zhuǎn)動自由度。2026/1/1813定坐標系oxyz與動坐標系的關(guān)系見表1－1和圖1－6關(guān)系式為：2026/1/1814各方向余弦存在關(guān)系：因此，九個方向余弦中只有三個是獨立的（自由度數(shù)）。方向余弦求解復雜，采用夾角——歐拉角表示，多種定義。1、第一種定義（圖1－7）：1)動坐標與靜坐標重合，先繞oz軸轉(zhuǎn)動ψ角——進動角；到達oNN1z，oN稱為節(jié)線，右手法則2)繞oN軸轉(zhuǎn)θ角——方位或撓曲角；到達3)繞轉(zhuǎn)φ角——自轉(zhuǎn)角；到達引入坐標軸矢量、2026/1/1815再引入oN、oN1及的單位矢量，則有由于得到2026/1/18162、第二種定義（圖1－8）1)動坐標與靜坐標重合，先繞oy軸轉(zhuǎn)動α角,到達ox1yz1；右手法則2)繞ox1軸轉(zhuǎn)β角,到達3)繞轉(zhuǎn)φ角——自轉(zhuǎn)角，到達α、β結(jié)合體現(xiàn)進動與方位角。令ox1、oy1、oz1單位矢量為則有由此可導出歐拉角的三角函數(shù)表示的方向余弦2026/1/18172026/1/1818歐拉角表示的剛體繞定點轉(zhuǎn)動的運動為或§5.3.2剛體繞定點運動的角速度及速度分布剛體的角速度為或所在的位置稱為剛體繞定點轉(zhuǎn)動的瞬時轉(zhuǎn)動軸，瞬時轉(zhuǎn)動軸時刻不同，但總通過定點。第一種定義法得到矢量向定坐標系投影得2026/1/1819利用方向余弦關(guān)系得向動坐標系投影得類似，由第二種定義可得向定坐標系和動坐標系的投影剛體上任一點瞬時速度矢量為2026/1/1820將速度向定坐標系和動坐標系投影得剛體上各點角加速度和加速度為§5.3.3剛體作定點轉(zhuǎn)動時的動量矩定理動量矩定理：剛體對定點o的動量矩對時間t的導數(shù)，等于外力系對該點的主矩則有對有集中質(zhì)量的剛體，動量矩為剛體在絕對運動中對的動量矩，等于剛體隨質(zhì)心平移動坐標系中運動的相對于質(zhì)心的動量矩。2026/1/1821因為由速度合成定理：則剛體相對質(zhì)心的絕對運動動量矩為由于剛體對質(zhì)心的質(zhì)量矩等于零，即因此若將固定點取在質(zhì)心o上，則有在相對隨質(zhì)心平移的動坐標系中，剛體對質(zhì)心動量矩對時間的導數(shù)等于外力系對質(zhì)心的主矩——剛體相對質(zhì)心的動量矩定理。因此，對質(zhì)心動量矩的計算只需考慮相對轉(zhuǎn)動。因此，剛體作定點轉(zhuǎn)動時，有剛體動量矩為2026/1/18222026/1/1823如果為剛體對o點的主慣性軸，則各慣性積為零，即于是有一般情況下的矢量關(guān)系如圖1－9。若剛體對動坐標系的慣性矩為常數(shù)則有式中：

——歐拉動力學方程2026/1/1824§5.3.4剛體運動的動能能量定理、拉個朗日方程——運動微分方程設(shè)剛體質(zhì)量為m，基點運動方程為x(t)、y(t)、z(t)，以基點為原點的動坐標系是剛體的慣性主軸，慣性矩分別是，則剛體的動能為通常轉(zhuǎn)子沿oz軸方向的運動為二階小量，可忽略不計，即有z(t)=0故轉(zhuǎn)子的動能計算公式為2026/1/1825第四節(jié)Jeffcott轉(zhuǎn)子渦動分析Jeffcott轉(zhuǎn)子：垂直安裝等截面對稱轉(zhuǎn)子、不計重力影響。§5.4.1Jeffcott轉(zhuǎn)子運動微分方程Jeffcott轉(zhuǎn)子示意圖（圖1－10）薄盤：h/D<0.1；偏心矩：e定坐標系：oxyz；基點：設(shè)自轉(zhuǎn)ω為常數(shù)，確定的運動：x(t)、y(t)或r(t)、θ(t)假設(shè)：扭轉(zhuǎn)剛度無限大(不計扭振)

忽略軸向位移、剛性支承軸的彎曲剛度為EJE：彈性模量J：截面慣性矩運動狀態(tài)及受力如圖1－112026/1/1826軸的彈性恢復力在坐標軸上投影為式中：k——軸的剛度系數(shù)對稱簡支梁中點剛度為：粘性外阻尼力在坐標軸上投影為：式中：c—粘性阻尼系數(shù)

由牛頓定律可得：由圖1－11幾何關(guān)系得到2026/1/1827兩邊對時間求兩次導數(shù)得：代入牛頓方程得點的運動微分方程化為標準形式為式中：彈性軸無阻尼橫向振動固有頻率相對阻尼系數(shù)§5.4.2Jeffcott轉(zhuǎn)子渦動分析及臨界轉(zhuǎn)速運動微分方程與線性阻尼系統(tǒng)強迫振動相同，可設(shè)解為2026/1/1828代入運動微分方程解得因此，點作圓周運動，參照極坐標幾何關(guān)系故運動半徑為軸的動撓度r，φ為動撓度r與偏心矩e間的相位差，且有由此可見：ω?p時，φ→0，圓盤重邊飛出

ω?p時，φ→π，圓盤輕邊飛出，自動定心或質(zhì)心轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)子的幅（值）—頻（轉(zhuǎn)速）曲線（特性）見圖1－12轉(zhuǎn)子的相（位）—頻（轉(zhuǎn)速）曲線（特性）見圖1－132026/1/18292026/1/1830臨界轉(zhuǎn)速定義(ISO)：系統(tǒng)(位移)共振時主響應(yīng)的特征轉(zhuǎn)速。主響應(yīng)：軸頸運動或轉(zhuǎn)子撓曲對于Jeffcott轉(zhuǎn)子，臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)常以ωcr或ωc表示，若以轉(zhuǎn)/分或轉(zhuǎn)/秒為單位，則有或?qū)⑥D(zhuǎn)子撓度表達式代入臨界轉(zhuǎn)速條件得解得可見，阻尼總使臨界轉(zhuǎn)速大于橫向振動固有頻率，與機械振動中的阻尼使固有頻率降低作用相反。當轉(zhuǎn)子系統(tǒng)阻尼很小時，可近似認為：此時有2026/1/1831ω＝p時，φ≡0，與阻尼系數(shù)ξ大小無關(guān)，利用這一特點可測取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的p，在小阻尼情況下可近似為臨界轉(zhuǎn)速。當ξ＝0時，ω?p時，φ＝0，三點在一條直線上

ω?p時，φ＝π，三點在一條直線上

ω＝p時，φ＝π/2，r→∞,不同轉(zhuǎn)速下圓盤偏心位置見圖1－142026/1/1832ω=Ω，同步正渦動，或正協(xié)調(diào)進動；ω=－Ω，同步反渦動，或反協(xié)調(diào)進動；ω≠Ω，同方向，正渦動，或非協(xié)調(diào)正進動；ω≠Ω，反方向，反渦動，或非協(xié)調(diào)反進動。當轉(zhuǎn)子圓盤不在中間時，即使是無阻尼系統(tǒng)，其臨界轉(zhuǎn)速ω≠p，主要是陀螺力矩影響。例：已知：軸長l=57cm，直徑d=1.5cm，軸材料彈性模量，圓盤厚度h=2cm，直徑D=16cm,材料密度，不計阻尼。求：1）臨界轉(zhuǎn)速ωcr2）e=0.1cm，ω＝0.6ωcr；ω＝0.8ωcr時的動撓度r及支反力幅值F。解：彈性軸質(zhì)量：圓盤質(zhì)量：2026/1/1833彈性軸中點剛度：不計軸質(zhì)量時臨界轉(zhuǎn)速計入彈性軸等效質(zhì)量，按照振動理論，梁在中點的等效質(zhì)量為原質(zhì)量的17/35，則臨界轉(zhuǎn)速為：ω＝0.6ωcr時撓度為：支反力幅為：F=kr=74.562N軸承力與重力之比為：2026/1/1834ω＝0.8ωcr時撓度為：支反力幅為：F=kr=235.68N軸承力與重力之比為：2026/1/1835第五節(jié)剛支單盤偏置轉(zhuǎn)子的渦動、回轉(zhuǎn)效應(yīng)回轉(zhuǎn)效應(yīng)：由于高速旋轉(zhuǎn)圓盤的偏擺運動而使臨界轉(zhuǎn)速變化的現(xiàn)象（見圖1－15）?！?.5.1單盤偏置轉(zhuǎn)子運動微分方程假設(shè)：無阻尼、無偏心不計軸質(zhì)量如圖1－15，圓盤的軸線在空間畫出的軌跡是個錐面。為分析方便，建立如下坐標系：(圖1－16、圖1－17）1）定坐標系：oxyz2）隨點平移坐標系：3）固聯(lián)于動坐標系：2026/1/1836

其中：是軸撓度曲線的切線、為兩正交直徑2026/1/1837薄盤運動可以用xoz、yoz平面投影x(t)、y(t)表示。采用第二種歐拉角定義有故可以用x(t)、y(t)、φ(t)、α(t)、β(t)確定圓盤空間位置，描述運動狀態(tài)。如圖1－18，點的撓度x和轉(zhuǎn)角α為解出盤對軸的作用力Fx和力矩Mx為：2026/1/1838

式中：式中α和Mx的轉(zhuǎn)向如圖1－18所示。在yoz平面也有類似公式；為了力矩矢量都沿坐標軸正方向，My與

Mx的轉(zhuǎn)向規(guī)定相反于是有根據(jù)質(zhì)心運動定理：代入力關(guān)系式得點橫向運動微分方程為：2026/1/1839化成標準形式：式中：由動量矩定理可建立圓盤繞點轉(zhuǎn)動的運動微分方程。由于α、β都是小量，故有：根據(jù)圖1－17，三個軸的角速度為：顯然，、、為圓盤的三個中心主慣性軸。令圓盤對軸轉(zhuǎn)動慣量為Ip，對、軸轉(zhuǎn)動慣量為Id則有：2026/1/1840對軸的角速度就是自轉(zhuǎn)角速度，即：故對三個軸的動量矩為：分別向、、軸投影得：根據(jù)對質(zhì)心的動量矩定理，對圓盤有由于是質(zhì)心，所以重力對、的矩為零。假設(shè)作用圓盤上的所有外力對的矩為零，則由上式得：ω＝常數(shù)2026/1/1841在此條件下，可得盤的偏擺運動微分方程：與方程聯(lián)立求解§5.5.2單盤轉(zhuǎn)子渦動分析設(shè)聯(lián)立方程的解為：代入聯(lián)立方程，得到A、B、C、D的一次齊次方程組，根據(jù)非零解的條件，方程系數(shù)行列式的值應(yīng)等于零，由此得到關(guān)于自然頻率Ω的高次方程，講解得的Ω代回聯(lián)立方程，2026/1/1842可得相應(yīng)的一組A、B、C、D之間的比值。轉(zhuǎn)子運動穩(wěn)定時，動撓度曲線在動坐標系中是不變的；只是繞著oz軸進動，進動角Ψ(t)一般從ox軸量起。令總的動撓度為r，撓曲角為θ，由圖1－19幾何關(guān)系得顯然，r、θ＝常數(shù)，且＝常數(shù)將以上關(guān)系式代入聯(lián)立方程得2026/1/1843由此可見：彈性軸發(fā)生彎曲不僅有離心力()，還有回轉(zhuǎn)力矩的影響；回轉(zhuǎn)力矩改變了軸的彎曲剛度。上式是關(guān)于r、θ的齊次方程，由非零解條件得：展開后得：即上式可求得Ω得四個根，且隨ω而變，令：為同步正進動，則方程為2026/1/1844

存在一個正根（負根舍去）：討論：1）令頻率方程為：解得：式中：為彈性軸點的橫向剛度此時得到的頻率數(shù)值上等于轉(zhuǎn)子不旋轉(zhuǎn)時的橫向固有頻率，即不計回轉(zhuǎn)效應(yīng)時轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速。頻率為：2）令為同步反渦動，頻率方程為2026/1/1845

有兩個正根(仍然假設(shè)為薄盤，即Ip=2Id)為3）如果出現(xiàn)Ip<Id的情況(如地面串聯(lián)式離心壓氣機)，可能使得在正同步渦動情況下為負值，此時陀螺力矩將降低臨界轉(zhuǎn)速。例：已知：軸長l=57cm，直徑d=1.5cm，軸材料彈性模量，圓盤厚度h=2cm，直徑D=16cm,材料密度，a=l/4，b=l(3/4)，不計阻尼。求：臨界轉(zhuǎn)速ωcr解：Id=50.192a=l/4=14.25cmb=l-a=42.75cm3lEJ=k11=5498.589N/cmk12=k21=-67161.07Nk22=1)考慮輪盤回轉(zhuǎn)效應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速為2026/1/1846＝1420208.1則ωcr=30Ω/π=2663.02轉(zhuǎn)/分不考慮輪盤回轉(zhuǎn)效應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速為：回轉(zhuǎn)效應(yīng)提高臨界轉(zhuǎn)速百分比為對懸臂轉(zhuǎn)子有類似結(jié)論，頻率特性曲線如圖1－21所示2026/1/1847第六節(jié)重力對臨界轉(zhuǎn)速影響、副臨界對水平安裝的Jeffcott轉(zhuǎn)子，重力影響：1）重力產(chǎn)生靜撓曲；航空發(fā)動機－忽略、汽輪機—揚度2）質(zhì)量偏心：交變力矩mgesinωt，如圖1－22薄盤極轉(zhuǎn)動慣量為：Ip=式中：ρ為回轉(zhuǎn)半徑輪盤角加速度為：ge/()產(chǎn)生一個切向慣性力：垂直分量為：式中的常值部分產(chǎn)生靜撓度；交變部分在垂直方向投影作簡諧變化；當ω＝ωcr/2時，此時，動撓度達到極大值——副臨界。2026/1/1848§5.6.1水平Jeffcott轉(zhuǎn)子運動微分方程水平安裝的Jeffcott轉(zhuǎn)子如圖1－23無阻尼、盤在中間、無回轉(zhuǎn)效應(yīng)三點總在一條直線上，如圖1－24，彈性恢復力投影為根據(jù)質(zhì)心運動定理得繞質(zhì)心軸線的動量矩為圓盤質(zhì)量m對oz周的動量矩為：2026/1/1849根據(jù)動據(jù)矩方程有：即為了化簡方程，作坐標變換，令變換后聯(lián)立運動微分方程為:§5.6.2水平Jeffcott轉(zhuǎn)子渦動分析假設(shè)：Mz=0，，則令φ的初值為零，則φ＝ωcr/2t，代入運動微分方程第三式：聯(lián)立方程的解為：2026/1/1850式中：δs=mg/k為圓盤重力作用下彈性軸跨中靜撓度。根據(jù)圖1－24的幾何關(guān)系，圓盤質(zhì)心運動方程為：進動由個分量組成：基頻分量與偏心矩e有關(guān)；倍頻分量與靜撓度δs有關(guān)。例1.6：求第四節(jié)例子轉(zhuǎn)子，重力作用下，副臨界時兩個運動分量幅值。解：基頻分量為：e=3=0.1/3=0.0333cm

倍頻分量為：δs=mg/k=0.0232cm可見各幅值較小，只有δs較大情況下，才能觀察到明顯副臨界現(xiàn)象，軸橫截面非對稱是一個更為主要原因，下節(jié)討論。2026/1/1851第七節(jié)彈性支承單盤轉(zhuǎn)子渦動分析§5.7.1彈性支承單盤轉(zhuǎn)子的運動微分方程典型鼠籠式彈性支承結(jié)構(gòu)見圖1－25彈性支承單盤轉(zhuǎn)子計算模型見圖1－262026/1/1852如圖1－26，假設(shè)支承的質(zhì)量、剛度、阻尼參數(shù)分別為：mb、kx、ky、cx、cy，支承轉(zhuǎn)子的作用力為：由于阻尼存在，應(yīng)用非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程：式中：L=T-V——拉格朗日函數(shù)

T——系統(tǒng)的動能函數(shù)

V——系統(tǒng)的勢能函數(shù)

φ——系統(tǒng)阻尼的耗散函數(shù)

Qj——作用在系統(tǒng)上的廣義力

qj——系統(tǒng)廣義坐標

n——系統(tǒng)自由度數(shù)2026/1/1853假設(shè)支承對稱，自由度減為二個：xb(t)、yb(t)；圓盤位于中間，自由度減為三個：xc(t)、yc(t)、φ(t)，系統(tǒng)共五自由度設(shè)圓盤角速度為常數(shù)：則系統(tǒng)縮減為四個自由度數(shù)。圓盤動能：支承動能：圓盤勢能：支承勢能：圓盤外阻尼耗散函數(shù)：支承粘性阻尼耗散函數(shù)：因假設(shè)ω＝常數(shù)，合力矩為零，若忽略重力影響，則系統(tǒng)廣義力為零。2026/1/1854將以上各式代入拉格朗日方程得§5.7.2彈性支承單盤轉(zhuǎn)子渦動分析為簡化分析，不計阻尼，可設(shè)將其代入運動微分方程得2026/1/1855由第三式解得代入第一式得于是分母為零，則X達到無限大，即x方向的臨界轉(zhuǎn)速ωcr，令即或由求根公式可得討論：1）kx?k，支承幾乎不動，支承質(zhì)量可視為零，mb=0,頻率方程簡化為：2026/1/18562）k?kx，頻率方程簡化為：支承動剛度定義：作用在支承上的簡諧激振力與力方向上的振動位移之比。與支承剛度、阻尼、參振質(zhì)量有關(guān)，一般為復數(shù)，是隨ω而變化的曲線（特性）。也稱為位移阻抗，用iω除后，得到速度阻抗，也就是常用的機械阻抗(參見六章)3）同樣，若x、y方向互不耦合，則有頻率方程化簡為：y方向臨界轉(zhuǎn)速為:2026/1/1857一般kx≠ky，所以通常X≠Y，因而盤心軌跡是一個橢圓。4）設(shè)kx≠ky，且k?kx，k?ky，則有：表明轉(zhuǎn)子首先發(fā)生支承運動，即轉(zhuǎn)子剛體渦動運動軌跡為一橢圓柱面（圖1－27）；考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量，還會出現(xiàn)一橢圓錐面（圖1－28）為研究渦動隨自轉(zhuǎn)速度變化的性質(zhì)，盤心運動采用復數(shù)表示2026/1/1858令：此時：Xc=X，Xs=0；Yc=0，Ys=-Y由復數(shù)關(guān)系式得：正、反進動兩個分量相位角為：由前面公式可得橢圓長半軸a、短半軸b及長半軸與ox軸夾角α如果Xp>Xr，則為正渦動；如果Xp<Xr，則為反渦動。討論：假設(shè)設(shè)：kx>ky，則：ωcx>ωcy。a）當ω>ωcy時，Xc>0，Ys<0，且|Ys|>Xc則：Xp>Xr，為正渦動，a=|Ys|，b=Xc，。2026/1/1859b）當ω＝ωcy時，Xc>0，Ys＝∞則：a=∞，b=±Xc，。c）當時，Xc>0，Ys>0則：Xp<Xr，為反渦動，a=Ys，b=－Xc，d）當時，Xc＝Y(jié)s>0則：Xp<Xr，為反渦動，a=Xc＝Y(jié)s，b=－a，e）當時，Xc>0，Ys>0，且Xc>Ys則：Xp<Xr，為反渦動，a=Xc

，b=－Ys，f）當ω＝ωcx時，Xc=∞，Ys>0則：a=∞，b=±Xc，g）當ω>ωcx時，Xc<0，Ys>0，且|Xc|>Ys則：Xp>Xr，為正渦動，

a=|Xc|，b=Ys，h）當ω＝∞時，Xc=-e，Yc=e則：Xp>Xr，為正渦動，

a＝b=e，2026/1/1860盤心運動軌跡和方向如圖1－29。通常軸的兩個方向剛度差異不大，兩個臨界轉(zhuǎn)速靠得很近，一般不允許在臨界轉(zhuǎn)速附近停留，故一般只能看到正進動。2026/1/1861第八節(jié)非軸對稱單盤轉(zhuǎn)子的渦動分析實際轉(zhuǎn)子非對稱典型結(jié)構(gòu)見圖1－30假設(shè)支承剛度遠大于軸的彎曲剛度，由于軸剛度不對稱，重力激勵頻率為轉(zhuǎn)速二倍。當轉(zhuǎn)速到達臨界轉(zhuǎn)速一半時，會使動撓度達到極值——副臨界。是引起副臨界的重要原因（圖1－31）。2026/1/1862§5.8.1非對稱軸的單盤轉(zhuǎn)子運動微分方程如圖1－31，建立與定坐標系平行的坐標系，再建一動坐標系，令、為軸截面兩個主慣性軸，轉(zhuǎn)子以ω繞軸轉(zhuǎn)動，設(shè)截面兩個主慣性矩為Jξ、Jη，相應(yīng)彎曲剛度為：圓盤偏心為，相對動坐標系的相位角為φe則有：動坐標系中牽連慣性力為，在ξ、η軸上的分量為：哥氏慣性力的分量為：軸的彈性反力分量為：2026/1/1863圓盤粘性外阻尼力分量為：式中：c——圓盤粘性外阻尼系數(shù)。彈性軸內(nèi)阻尼力分量為：式中：ci——彈性軸內(nèi)阻尼系數(shù)(分析見后面章節(jié))。轉(zhuǎn)子受到的重力分量為：根據(jù)質(zhì)心運動定理，參考圖1－32，得令：2026/1/1864質(zhì)心運動方程為：為線性非齊次方程利用線性疊加原理可分別討論重力和偏心的作用?！?.8.2重力作用下非對稱單盤轉(zhuǎn)子的渦動重力單獨作用時運動微分方程為：運動方程右端采用復數(shù)表示，并規(guī)定取其實部，有2026/1/1865設(shè)運動方程解為：、代入運動微分方程得：求解上式，得若忽略阻尼，即令c=ci=0，則2026/1/1866上式中都以實部為運動方程無阻尼情況下，取極值條件，即分母為零，則有令：代入上式得：通常Δk/k?1，k/m≈，則有表明會出現(xiàn)副臨界現(xiàn)象。根據(jù)坐標變換關(guān)系：2026/1/1867可得固定坐標系下進動方程：由此可見：重力使雙剛度轉(zhuǎn)子以兩倍自轉(zhuǎn)角速度作正進動；軌跡是以靜平衡位置為中心的圓，半徑與Δk成正比。副臨界峰值比臨界峰值小；利用副臨界測臨界轉(zhuǎn)速(安全)?！?.8.3偏心作用下非軸對稱單盤轉(zhuǎn)子的渦動僅偏心作用下運動方程為：2026/1/1868可見偏心引起的離心慣性力在動坐標系中如同一個靜力，只能產(chǎn)生相對靜撓度ξe、ηe，且有：代入運動方程得：解得動坐標系中的動撓度re和相位角φe為：2026/1/1869可見：re隨動坐標系一起以自轉(zhuǎn)角速度ω旋轉(zhuǎn)。在固定坐標系中，圓盤作同步正渦動，盤心軌跡是以re為半徑的圓。討論：1）響應(yīng)與內(nèi)阻尼ci無關(guān)；

2）對無阻尼（c=0），根據(jù)動撓度極值定義臨界轉(zhuǎn)速，有：a)支承不對稱，兩臨界轉(zhuǎn)速之間，轉(zhuǎn)子作穩(wěn)態(tài)反進動渦動；b)軸不對稱，兩臨界轉(zhuǎn)速之間，轉(zhuǎn)子可能出現(xiàn)不穩(wěn)定。2026/1/1870第九節(jié)彈性軸有初始彎曲時的轉(zhuǎn)子渦動設(shè)：一Jeffcott轉(zhuǎn)子，不計重力，無質(zhì)量偏心，軸有初始彎曲圓盤處初始彎曲為rs，轉(zhuǎn)子以角速度ω旋轉(zhuǎn)，進一步彎曲rd，動撓度為r。見圖1－33s：初始盤心位置c:瞬時盤心位置定坐標系：oxy動坐標系：oξη建立動坐標系運動微分方程1）盤心絕對加速度為：2）彈性軸恢復力：2026/1/18713）輪盤粘性外阻尼力：4）根據(jù)質(zhì)心運動定律得：化為標準形式微分方程：代入坐標變換，得定坐標系方程：由于旋轉(zhuǎn)，xs、ys隨時間變化，可表示為：代入定坐標系運動方程得：與質(zhì)量偏心運動方程形式相似，但特點不同。2026/1/1872令：式中：式中：代入運動方程得：由強迫振動可知方程穩(wěn)態(tài)解為：與偏心盤的比較：1）動撓度：偏心盤分子上因子為軸彎曲分子上因子為2）動撓度極值頻率：軸彎曲為：偏心盤為：無阻尼時兩者相等。3）同時存在軸初彎曲rs和盤偏心e，并假設(shè)相位差位θ，由線性疊加原理得：2026/1/1873第十節(jié)轉(zhuǎn)子在越過臨界轉(zhuǎn)速時的行為臨界轉(zhuǎn)速附近撓度最大，主要討論越過臨界轉(zhuǎn)速時的行為。假設(shè)：轉(zhuǎn)子等加速（或等減速）越過臨界轉(zhuǎn)速§5.10.1變轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子運動微分方程如圖1－34，以水平Jeffcott轉(zhuǎn)子為例考慮重力影響(x、y坐標軸對調(diào))。質(zhì)心c與盤心坐標關(guān)系有：求一、二階導數(shù)得2026/1/1874軸的彈性反力為：圓盤粘性阻尼力：式中：c1——圓盤橫向運動阻尼系數(shù)粘性阻尼力矩：式中：c2——圓盤旋轉(zhuǎn)運動阻尼系數(shù)重力和重力矩為：設(shè)外力矩為Mz，由質(zhì)心運動定理得代入質(zhì)心運動微分方程得：2026/1/1875由質(zhì)心動量矩定理得：將個有關(guān)量代入解得：作坐標變換，令以上兩方程組變換為：由幾何關(guān)系：求一、二階導數(shù)得2026/1/1876令：代入上式，整理得2026/1/1877令：作無量綱化變換：代入運動微分方程得——無量綱化得運動微分方程：2026/1/1878§5.10.2等變速轉(zhuǎn)子運動微分方程的解不計重力，轉(zhuǎn)子總作同步正渦動。初始條件為：式中：K——大于或小于1的正常數(shù)，以表示轉(zhuǎn)速高于或低于臨界轉(zhuǎn)速。對無量綱時間τ有：下標“0”表示開始變轉(zhuǎn)速時刻。假定轉(zhuǎn)子作穩(wěn)態(tài)渦動，即，代入無量綱化方程得：解得：，及無量綱方程和作為轉(zhuǎn)子作變速運動得初始條件。設(shè)：取τ＝0時，2026/1/1879設(shè)外扭矩使變速運動規(guī)律為：即：式中：λ>0，為等加速；

λ<0，為等減速；將運動微分方程整理為：與方程：聯(lián)立，采用數(shù)值積分求解，如采用四階龍格－庫塔積分法。2026/1/1880§5.10.3試驗及算例試驗設(shè)備見圖1－35參數(shù)：直徑1.7cm，跨長52cm

輪盤直徑12cm，厚5cm

盤質(zhì)量4.7kg轉(zhuǎn)速：0—90轉(zhuǎn)/秒轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速：41.9轉(zhuǎn)/秒等加速度：K=0.867等加速度曲線見圖1－36(a)

圖1－36(a)2026/1/1881圖1－36(b)2026/1/1882轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速：41.2轉(zhuǎn)/秒K=1.16等加速度：-等加速度曲線見圖1－372026/1/18832026/1/1884等加速度：K=0.867,λ=0.00026,Δτ=0.05,總步數(shù)20000，D1=0.08等減速度：K=1.16,λ=-0.000213,Δτ=0.01,總步數(shù)100000,D1=0.007計算與試驗結(jié)果見圖1－38

圖1－382026/1/18852026/1/1886§5.10.4等變速越過臨界轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子渦動2026/1/1887第十一節(jié)臨界轉(zhuǎn)速計算§5.11.1概述臨界轉(zhuǎn)速特點：轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增加到某些特定轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子撓度明顯增加；轉(zhuǎn)速超過該轉(zhuǎn)速時，撓度有明顯減小。ISO定義：2026/1/1888一、臨界轉(zhuǎn)速基本特性模型：Jeffcott轉(zhuǎn)子，質(zhì)心O2，盤心O1，偏心距e(圖5-2)。輪盤離心力為軸的彈性恢復力為由力的平衡關(guān)系得解出軸的撓度為特點：1.當時，撓度趨于無限，對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速與偏心距無關(guān)；且臨界轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎曲固有頻率一致,即不同點：彎曲振動，軸承受交變應(yīng)力；臨界轉(zhuǎn)速，非交變應(yīng)力，(5-1)可寫成2026/1/18892.ω<ωcr稱為亞臨界狀態(tài)，y/e>0，質(zhì)心位于撓曲線外側(cè)，隨轉(zhuǎn)速增加其比值增加。3.ω>ωcr稱為超臨界狀態(tài)，y/e<0，質(zhì)心位于撓曲線內(nèi)側(cè)，隨轉(zhuǎn)速增加其比值絕對值減小，且ω→∞時，y/e→1，超臨界“自位”作用，即質(zhì)心回到旋轉(zhuǎn)中心，在工程上具有重要意義。且為穩(wěn)定平衡，平衡力由哥氏力提供。3.ω=ωcr稱為臨界狀態(tài)，y/e→∞，轉(zhuǎn)子不穩(wěn)定(無阻尼假設(shè))。2026/1/1890例5-1為了避開過大振動，常規(guī)定機器不得在臨界轉(zhuǎn)速附近停留。試根據(jù)(5-3)式計算，在y/e不超過10、5、2的條件下，不準停留的轉(zhuǎn)速范圍是多少？2026/1/1891二、軸質(zhì)量的影響

對于光軸(圖5-6)，由材料力學可得平衡(運動微分)方程式對于等截面均質(zhì)軸有式中：m1=ρA為軸單位長度的質(zhì)量對于簡支軸，頻率方程為其解為：即則固有頻率為：2026/1/1892對于剛材料，

有則振動頻率為：光軸的第一階臨界轉(zhuǎn)速為：2026/1/1893簡支軸中間剛度為：將軸質(zhì)量折合到軸中點，假定臨界轉(zhuǎn)速不變，有則可得折合質(zhì)量為：將折合質(zhì)量與盤質(zhì)量合并在一起，得到系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速為：經(jīng)變換得：簡寫為：2026/1/1894三、陀螺力矩的影響渦動：轉(zhuǎn)子弓形回轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)：角速度ω公轉(zhuǎn)(進動)：角速度Ω正進動(正渦動)：ω≠Ω，ω與Ω同向旋轉(zhuǎn)協(xié)調(diào)正進動(同步正渦動):ω=Ω，且同向旋轉(zhuǎn)反進動(反渦動)：ω≠-Ω，ω與Ω反向旋轉(zhuǎn)協(xié)調(diào)反進動(同步反渦動):ω=-

Ω，且反向旋轉(zhuǎn)陀螺力矩：輪盤旋轉(zhuǎn)軸線與支點連線不平行，輪盤不僅作自轉(zhuǎn)與橫向平面運動，還要產(chǎn)生擺動，產(chǎn)生一個使輪盤發(fā)生偏轉(zhuǎn)的力矩——陀螺力矩。陀螺效應(yīng)：陀螺力矩的影響，使轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速與不考慮陀螺力矩的臨界轉(zhuǎn)速不同。一般情況下，對于薄盤轉(zhuǎn)子：

正進動、協(xié)調(diào)正進動使臨界轉(zhuǎn)速提高；

反進動、協(xié)調(diào)反進動使臨界轉(zhuǎn)速降低。2026/1/1895以懸臂式單盤轉(zhuǎn)子為例(圖5-11)，輪盤離心力為輪盤兩種運動：相對運動，角速度為ωp；

牽連運動，角速度為Ω。如圖5-11所示：將Ω矢量分解為00方向及其垂直方向兩個矢量，并于ωp合成，將兩個方向的總矢量與相應(yīng)的輪盤在兩個軸上的轉(zhuǎn)動慣量相乘，得到兩個方向的動量矩Φ00與Φ⊥00式中：I0—輪盤極轉(zhuǎn)動慣量；

Id—輪盤直徑轉(zhuǎn)動慣量。將兩個矢量在支點連線AB方向及其垂直方向分解，可知：ΦA(chǔ)B方向、大小不變；Φ⊥AB大小不變，但以角速度Ω旋轉(zhuǎn)。Φ⊥AB大小為：2026/1/1896Φ⊥AB以Ω旋轉(zhuǎn)變化的速率為根據(jù)理論力學動量矩定理，陀螺力矩為式中負號表示慣性力與加速度方向相反，將Φ⊥AB代入得：式中：等號右邊第一項含有ωpΩ，代表哥氏慣性力矩；等號右邊第二項含有項，代表離心慣性力矩；因此：陀螺慣性力矩是哥氏慣性力矩與離心慣性力矩之和。由于輪盤偏轉(zhuǎn)角很小，可以近似認為：則得2026/1/1897令：則得：陀螺力矩方向可由矢量-dΦ⊥AB的方向看出，也可有陀螺力矩正負號判斷。1)同步正渦動時，陀螺力矩為負值，使撓角θ減小，相當于增加了軸的剛性，臨界轉(zhuǎn)速提高；2)同步反渦動時，陀螺力矩為正值，使撓角θ增大，相當于削弱了軸的剛性，臨界轉(zhuǎn)速降低。3)陀螺力矩的影響還與輪盤及轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)形式有關(guān)，可根據(jù)陀螺力矩實際計算結(jié)果加以分析。2026/1/1898陀螺力矩的影響，使得臨界轉(zhuǎn)速復雜化，利用力和力矩的平衡關(guān)系可得：2026/1/1899由齊次方程組非零解條件得：方程為Ω四次方程，并以ω為參數(shù)，即方程的解隨ω而變,四個根中有兩個整根，兩個負根，其物理意義相同(圖5-12)。方程解的結(jié)果由兩條曲線表示，曲線有兩條漸近線，其中一條與水平坐標軸重合，還有一條斜漸近線。對于水平漸近線，可令ω→∞，得其漸近線方程為：2026/1/18100對于斜漸近線，可令Ω→∞，可得斜漸近線斜率為：上式表明：漸近線斜率隨輪盤轉(zhuǎn)動慣量之比而變化。對于薄盤，轉(zhuǎn)動慣量之比為2。由圖5-12可以看出，以斜漸近線作為分界線：其左側(cè)區(qū)域為Ω>(I0/Id)ω，陀螺力矩為正，使臨界轉(zhuǎn)速減??；其右側(cè)區(qū)域為Ω<(I0/Id)ω，陀螺力矩為負，臨界轉(zhuǎn)速增加。所以曲線變化呈坐低右高。曲線一、三象限代表正進動；二、四象限代表反進動。以圖2-14為例：a點是曲線與斜率為45度直線的交點，處于ω=Ω，表示同步正渦動——通常意義下的臨界轉(zhuǎn)速；b點是曲線與斜率為I0/Id的直線交點，陀螺力矩為零，即不計陀螺力矩的臨界轉(zhuǎn)速，計算較為方便；C點是曲線與縱坐標軸的交點，共有兩個，對應(yīng)兩個不同的撓曲線(圖5-13)，盤的轉(zhuǎn)動慣量最為慣性與質(zhì)量一起參與振動，其值可以通過振動測量獲得。2026/1/18101b點是曲線與斜率為-45度的直線交點，也有兩個交點，分別對應(yīng)兩個撓曲線。它對應(yīng)于ω=-Ω，即同步反渦動狀態(tài)。同步正渦動、同步反渦動時，軸的受力是不同的，見圖5-15。引起同步渦動的激勵力主要為不平衡離心力；引起非同步渦動(包括反渦動等)的機理理由內(nèi)摩擦、油膜力、封嚴結(jié)構(gòu)、徑向間隙不均勻、支承非線性等，相關(guān)內(nèi)容可參考有關(guān)轉(zhuǎn)子動力學的教材和文獻。在發(fā)動機上，通常以不平衡力引起的同步正渦動為基本形式，對應(yīng)的臨界狀態(tài)的進動角速度稱為臨界轉(zhuǎn)速；其它渦動狀態(tài)，必須提供一個與其對應(yīng)頻率的周期外力，才能維持其運動狀態(tài)，有時將這種臨界進動角速度稱為共振轉(zhuǎn)速。考慮陀螺力矩影響的臨界轉(zhuǎn)速的計算，常采用效應(yīng)系數(shù)法。通過效應(yīng)系數(shù)，建立盤的撓度與轉(zhuǎn)角的的方程為：2026/1/18102式中：2026/1/181032026/1/181042026/1/181052026/1/181062026/1/18107四、彈性支承的影響如圖5-19，設(shè)支承剛度系數(shù)為C1，則設(shè)軸在盤處的剛性系數(shù)為C，軸在盤處的撓度為y-δ1,則由以上兩式聯(lián)立求解得由方程非零解條件得由此得到臨界轉(zhuǎn)速為2026/1/18108由此可見：支承彈性總使臨界轉(zhuǎn)速降低；當支承剛度趨于無限時，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速就等于剛性支承時的臨界轉(zhuǎn)速。2026/1/181092026/1/181102026/1/181112026/1/181122026/1/18113動剛度概念如果某一彈性元件受到一個簡諧力P激勵，即P=Asinωt將會產(chǎn)生一個同頻率的振動響應(yīng)y，即

y=Ysinωt則該元件的動剛度定義kd為：振動常用元件的動剛度有：1)自由質(zhì)量的動剛度(圖5-23)由力的平衡原理得故有則自由質(zhì)量的動剛度為2)帶彈簧支承質(zhì)量動剛度(圖5-24)同理，由力的平衡原理得2026/1/18114可見帶彈簧支承質(zhì)量的動剛度等于彈簧靜剛度c與質(zhì)量動剛度之和。當kd=0時，即為其固有頻率。則有3)簡諧力通過彈簧作用的質(zhì)量元件的功剛度(圖5-25)力作用下彈簧兩端位移分別為：2026/1/181152026/1/18116由上式可知：1)當ω=0時，kd=0，零頻共振，即剛體運動；2)當時，動剛度為負，激勵與響應(yīng)反相位；3)當時，動剛度為正，激勵與響應(yīng)同相位；4)當時，動剛度為無限，反共振，相應(yīng)的頻率稱為反共振頻率，其值為：此時，激勵力與質(zhì)量慣性力平衡。4)元件間連接處動剛度如圖5-26所示，兩個元件A、B連接處位移相等，即由力的平衡條件得：fAB=fA+fB式中：2026/1/18117則連接點處的阻抗為：即也就是并聯(lián)耦合剛度。故在連接處，并聯(lián)耦合剛度等于各元件的動剛度之和。1)原點動剛度：激勵力與響應(yīng)點重合；2)跨點動剛度：激勵點與響應(yīng)點不重合；3)對于圖5-25所示通過彈簧作用的質(zhì)量元件，激勵力在彈簧處1點，響應(yīng)在質(zhì)量點2處，則跨點的動剛度為：5)考慮支承彈性的臨界轉(zhuǎn)速如圖5-27所示，將轉(zhuǎn)子支承系統(tǒng)分為兩個子系統(tǒng)：轉(zhuǎn)子子系統(tǒng)與支承子系統(tǒng)。對于轉(zhuǎn)子子系統(tǒng)，軸在中點的剛度為：2026/1/18118轉(zhuǎn)子在連接點的動剛度為：彈性支承子系統(tǒng)在連接點的動剛度為：根據(jù)并聯(lián)系統(tǒng)耦合動剛度為：令耦合動剛度等于零，可得系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。即有：如果支承剛性很大，即cb>>c，則上式簡化為：此時，軸已發(fā)生彎曲，成為撓型轉(zhuǎn)子，相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速稱為撓性轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速；當考慮支承彈性影響時，轉(zhuǎn)子將出現(xiàn)以撓性轉(zhuǎn)子渦動為主的臨界轉(zhuǎn)速，且彈性支承的撓軸臨界轉(zhuǎn)速恒大于剛性支承的臨界轉(zhuǎn)速。2026/1/18119如果轉(zhuǎn)子剛性遠大于支承剛性，即c>>cb，則由(5-55)式化簡得：此時轉(zhuǎn)軸不發(fā)生變形，僅有支承振動，故這種轉(zhuǎn)子稱為“剛性轉(zhuǎn)子”，對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速就是剛性轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速?？梢宰C明：它恒小于剛性支承的臨界轉(zhuǎn)速。實際發(fā)動機中，前兩階為剛體振型，隨后才是轉(zhuǎn)軸撓曲為主的撓軸臨界轉(zhuǎn)速，如圖5-28、圖5-29所示。利用動剛度耦合法，也可以確定轉(zhuǎn)子—支承系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，如圖5-30所示，ωcr1、ωcr2分別代表剛軸臨界轉(zhuǎn)速與撓軸臨界轉(zhuǎn)速，ωcrc代表反共振頻率(相當于剛性支點的臨界轉(zhuǎn)速)。利用動剛度法可以建立整機振動模型，見圖5-31，不同的連接固定形式，模型將有所差異。2026/1/18120五、阻尼的影響（一）旋轉(zhuǎn)輪盤上的力如圖5-33所示：平面旋轉(zhuǎn)輪盤軸線中心為O；O1為盤的幾何中心，r為軸在盤處的撓度，O2為盤的重心，O1O2就是盤的偏心距e。盤上的作用力有：1)離心力，沿OO2方向；2)軸的彈性恢復力Pr=cr，由O1指向O；3)阻尼力Pb=brω，垂直于OO1連線。（二）運動方程各力在Y軸上的投影得平衡方程整理后得2026/1/18121令則有2026/1/18122以撓度與偏心比表示，則有相位角式中：相應(yīng)的幅頻特性與相頻特性見圖5-34。特點：1)臨界轉(zhuǎn)速提高，由(dr/dω)=0，得

2)相位λ角變化：ω<p，λ<900；ω>p，λ>900;

ω=p，λ=900。

3)阻尼：內(nèi)阻尼與外阻尼，內(nèi)阻尼—材料阻尼，轉(zhuǎn)子作協(xié)調(diào)正進動時不起作用；外阻尼—流體阻尼。2026/1/18123一般情況下，阻尼力在一個周期內(nèi)做的負功為：

W=brω×2πr=航空發(fā)動機常采用擠壓油膜阻尼器，抑制發(fā)動機轉(zhuǎn)子振動,效果明顯。油膜間隙一般為直徑的千分之一到三。特殊情況下，阻尼做正功，激起轉(zhuǎn)子振動，引發(fā)轉(zhuǎn)子失穩(wěn),如滑動軸承的油膜振蕩、轉(zhuǎn)子碰摩、徑向氣流不均勻等，相關(guān)問題可參考有關(guān)轉(zhuǎn)子動力學的教材與文獻。2026/1/18124六、其它影響臨界轉(zhuǎn)速的因素

（一）軸向力的影響（二）扭矩的影響2026/1/18125（三）非圓截面軸的影響由于截面非對稱，可以找到兩個相互垂直的主慣性軸η和ξ，分別對應(yīng)于最大和最小截面慣性矩Jmax和Jmin，因此在兩個方向上有兩個剛度，分別為：因而在兩個方向分別具有相應(yīng)的彎曲頻率(臨界轉(zhuǎn)速)：2026/1/18126取主慣性軸分別與y、z軸平行，可得運動方程：可寫成：代入方程中可得：由A1、A2非零解條件可得：展開得解得2026/1/18127如果特征根為正，則運動是不穩(wěn)定的，由此推得運動不穩(wěn)定條件為：整理后可得：即在p1與p2之間，轉(zhuǎn)軸的運動是不穩(wěn)定的，可能產(chǎn)生大的撓度。應(yīng)予以注意。如果考慮重力影響，其運動方程為：設(shè)特解為：代入運動方程得：2026/1/18128解得：當式中分母為零時，A1、A2為無限大，即出現(xiàn)副臨界轉(zhuǎn)速,其值為：如果p1≈p2，則副臨界轉(zhuǎn)速為：2026/1/18129（四）盤及葉片的柔性影響由于盤及葉片的柔性，陀螺力矩影響減小，臨界轉(zhuǎn)速介于考慮與不考慮離心慣性力矩之間。2026/1/18130（五）連接結(jié)構(gòu)的影響1)轉(zhuǎn)子連接(短螺栓、長螺栓、套齒、圓弧端齒、中心拉桿、徑向銷釘?shù)龋﹦傂裕?)葉片與榫頭連接剛性；3)葉片之間的減振凸臺、葉冠等；4)盤軸之間的花鍵、套齒、螺釘?shù)冗B接方式；5)壓氣機與渦輪轉(zhuǎn)子聯(lián)軸器連接剛性等。2026/1/18131七、多盤轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速近似計算（一）分解法將考慮軸質(zhì)量的臨界轉(zhuǎn)速公式進一步推廣有：轉(zhuǎn)子剛度可用盤處的靜撓度表示：因此多盤無重軸的臨界轉(zhuǎn)速為：故有或者2026/1/18132（二）能量法(瑞利法)假設(shè)不考慮陀螺力矩的影響。將轉(zhuǎn)子離散為有限個節(jié)點，轉(zhuǎn)子的勢能可用各節(jié)點上外力做功之和表示：轉(zhuǎn)子動能為根據(jù)能量原理有：T=U從而可得瑞利商——臨界轉(zhuǎn)速的平方為：由此可知：利用能量法計算臨界轉(zhuǎn)速，須先知道節(jié)點Pi與Yi,但力Pi與Yi撓度是對應(yīng)的，通常先假設(shè)重力Gi引起的靜撓度為撓曲線，作為第一次近似計算的值，并因此可計算慣性力。如果精度要求更高，可進行第二次、第三次近似計算,一次類推。由瑞利商變換后可得：2026/1/18133（三）傳遞矩陣法（簡介）首先將轉(zhuǎn)子離散成n個單元，即軸段，每軸段為無質(zhì)量等截面軸，軸段質(zhì)量均分給軸段兩頭的端點，軸段截面上有四個狀態(tài)參數(shù)：撓度yi、撓角θi、彎矩Mi、切力Qi。1)軸段傳遞矩陣由材料力學可得下列關(guān)系：2026/1/18134用矩陣表示為：2.站的傳遞矩陣“站”是一種計算節(jié)點，幾何尺寸被看作“零”。站點上有負荷作用，因此，站點兩側(cè)的狀態(tài)參數(shù)并不完全相同。典型的站點見圖5-24。2026/1/18135各種站點的傳遞矩陣如下：1)質(zhì)量站點2)輪盤站點3)彈性鉸鏈站點2026/1/181364)具有彈性轉(zhuǎn)動約束的嘆息支承站點5)具有質(zhì)量的彈性支承站點2026/1/181374.邊界條件與臨界轉(zhuǎn)速的確定邊界條件由軸的始、終端確定，它們根據(jù)約束條件與軸的載荷分析來確定，以獲得頻率函數(shù)，并求得相應(yīng)的解。2026/1/18138典型的邊界(初始)條件見表5-2。利用邊界條件，經(jīng)過適當變換，總存在下列關(guān)系：根據(jù)齊次方程非零解的條件，可得：式中：a11,a12,a21,a22都是Ω的函數(shù)，因此計算同步正渦動的臨界狀態(tài)值，即(5-89)式的解，就是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。計算采用迭代法，由計算程序求解。2026/1/181392026/1/181402026/1/181412026/1/181422026/1/18143八、整機振動（一）振源與靜子振動特性振源：1)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速有關(guān)：不平衡力、齒輪傳動等；

2)氣流分離失速、壓氣機喘振、燃燒等；

3)噪聲。靜子振動特性：1)前后支承力不同，不再作單純平動；2)安裝節(jié)剛性不一致，靜子運動軌跡不再是圓；3)靜子振動復雜，局部振動與總體振動；跟蹤濾波尋找轉(zhuǎn)子振動的響應(yīng)。設(shè)發(fā)動機轉(zhuǎn)速為ω，定義過載系數(shù)為振動加速度與重力加速度之比，即令a=2y0為全振幅，則2026/1/18144（二）頻譜分析1）四個轉(zhuǎn)速（譜線：Ω=4300、8350、10400、11150r/min）下，渦輪轉(zhuǎn)子（Ω）振動明顯；2）可能機匣剛性不均，出現(xiàn)2Ω、3Ω等倍頻；3）可能支承非線性等，出現(xiàn)（1/2）Ω分頻；4）可能附件傳動轉(zhuǎn)子，出現(xiàn)0.8Ω頻率振動；5）s=50Hz，故s、3s、5s等諧波為市電干擾信號。2026/1/18145九、處理臨界轉(zhuǎn)速問題的方法1.轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速調(diào)到發(fā)動機最大工作轉(zhuǎn)速以上。剛性轉(zhuǎn)子設(shè)計2.將轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速調(diào)到發(fā)動機工作轉(zhuǎn)速以下。1)降低轉(zhuǎn)軸抗彎剛性，降低臨界轉(zhuǎn)速；2)加裝彈性支承；3.增加阻尼器或撓度限制器。4.利用非線性作用磁軸承、磁流阻尼器、變液阻尼器、變支承剛度等。5.改善轉(zhuǎn)子的平衡1)剛性轉(zhuǎn)子動平衡；2)柔性轉(zhuǎn)子動平衡。2026/1/18146十、發(fā)動機轉(zhuǎn)子平衡（一）不平衡表現(xiàn)形式1.靜不平衡2.動不平衡如圖5-51，動平衡時有如圖5-52，不平衡力與不平衡力矩在支點上的合力為：需加兩個配重，使其滿足：令：分別代表兩個支承面內(nèi)平衡質(zhì)量的動不平衡度，單位:g.cm剩余不平衡力及力矩合力要求為：2026/1/18147（二）保證發(fā)動機平衡性方法1.結(jié)構(gòu)設(shè)計方面可靠定心設(shè)計，良好的平衡工藝2.裝配工藝方面葉片質(zhì)量對稱安裝；長葉片(如風扇葉片)按質(zhì)量矩(mr)對稱安裝。3.平衡工藝方面1)一步平衡2)多部平衡（三）剛性轉(zhuǎn)子與柔性轉(zhuǎn)子的平衡1)剛性轉(zhuǎn)子平衡2)柔性轉(zhuǎn)子平衡3)“本機平衡”2026/1/18148（四）不平衡度的選擇ISO標準規(guī)定料12個等級供選擇參考。1.按照作用在軸承上的不平衡力與轉(zhuǎn)子重量G之比作為依據(jù)有：2.按總不平衡度的總和Δ(壓氣機和渦輪轉(zhuǎn)子)與發(fā)動機質(zhì)量m之比進行統(tǒng)計，有式中：2026/1/18149十一、臨界轉(zhuǎn)速計算方法1、矩陣疊代法1）假定一階振型撓曲彈性曲線和一個試算轉(zhuǎn)速，計算撓曲彈性曲線；高階須滿足正交條件。2）利用計算撓曲彈性曲線和調(diào)整轉(zhuǎn)速，直到誤差滿足要求。2、逐段推算法（傳遞矩陣法）1）軸對稱：臨界轉(zhuǎn)速—4×4矩陣；響應(yīng)—5×5矩陣。2）非對稱：臨界轉(zhuǎn)速—8×8矩陣；響應(yīng)—9×9矩陣。3、能量法1）假設(shè)彈性線，計算應(yīng)變能（勢能）和動能。2）由能量守恒，計算臨界轉(zhuǎn)速。計算值偏高。4、特征方程法將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)離散，列出微分方程，求解特征值（臨界轉(zhuǎn)速）和特征向量（振型）2026/1/181505、數(shù)值積分法1）選取積分步長、時間（步長總數(shù)）和不同轉(zhuǎn)速，計算轉(zhuǎn)子—支承系統(tǒng)響應(yīng)。2）獲取系統(tǒng)響應(yīng)特性曲線，確定臨界轉(zhuǎn)速。3）特點：可用于非線性系統(tǒng)計算分析和穩(wěn)定性分析，耗時時間長。本章以傳遞矩陣法、Riccati傳遞矩陣法、傳遞矩陣—直接積分法為主。2026/1/18151十二、傳遞矩陣法1）將轉(zhuǎn)子分成等截面軸段、集中質(zhì)量、聯(lián)軸器、軸承（支承）等站點；2）變截面或有站點的位置應(yīng)設(shè)為軸段截面；3）取不同轉(zhuǎn)速值，對各截面狀態(tài)參數(shù)逐段推算，直至滿足另一端邊界條件；計算方法屬于精確計算方法。4）軸段傳遞矩陣等截面軸段振動彈性線方程為：2026/1/18152p—系統(tǒng)的固有頻率S（kξ）、T（kξ）、U（kξ）和V（kξ）—克雷洛夫函數(shù)；C1、C2、C3、C4—待定系數(shù)。截面轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力分別為假設(shè)軸段起始端的狀態(tài)參數(shù)已知，則待定系數(shù)為2026/1/18153將以上各式代入軸段的傳遞關(guān)系得式中：α=k/l2026/1/18154軸段右端（ξ=1）的狀態(tài)參數(shù)方程用矩陣形式表示為下標：ki和oi表示第i段的終端和起始端。不計軸段分布質(zhì)量，軸段兩端狀態(tài)參數(shù)關(guān)系為式中：α11、α12、α21、α11—為軸段影響（效應(yīng)）系數(shù)；2026/1/18155寫成矩陣形式為：由材料力學知，式中影響系數(shù)為：2026/1/181565）軸段間傳遞矩陣軸段通過站點連接各種結(jié)構(gòu)單元（站點）傳遞矩陣如下：（1）點質(zhì)量矩陣（2）盤站矩陣式中：mi—盤質(zhì)量Ip—盤極轉(zhuǎn)動慣量Id—盤直徑轉(zhuǎn)動慣量ω—盤自轉(zhuǎn)角速度

2026/1/18157（3）彈性鉸鏈站傳遞矩陣式中：ch—彈性鉸力矩剛性系數(shù)（4）彈性約束支承站傳遞矩陣式中：cQ—彈性支座剛性系數(shù)ch—彈性支座力矩剛性系數(shù)6）各跨度間傳遞矩陣（1）通過剛性支座傳遞由位移等于零條件得2026/1/18158式中：a1、a2、a3、a4—由先前各段傳遞矩陣得到的數(shù)值系數(shù)經(jīng)過剛性支座后第i+1跨與第i跨的狀態(tài)參數(shù)關(guān)系有式中：Ri—剛性支座未知反作用力未知參數(shù)的個數(shù)不變（2）通過球頭聯(lián)軸器傳遞為一跨度的結(jié)束，由彎矩為零得式中：b1、b2、b3、b4—由先前各段傳遞矩陣得到的數(shù)值系數(shù)2026/1/18159經(jīng)過球頭聯(lián)軸器后第i+1跨與第i跨的狀態(tài)參數(shù)關(guān)系有式中：Δθ—球頭聯(lián)軸器兩軸間未知轉(zhuǎn)角。上述處理不便，可將剛性支座處理為剛性較大的彈性支座，將球鉸處理為力矩剛性系數(shù)較小的彈性鉸。7）初始（邊界）條件各種初始條件見表2-1所示四個狀態(tài)參數(shù)中，只有兩個是未知的。2026/1/181608）臨界轉(zhuǎn)速的確定通常計算正協(xié)調(diào)進動（ω=p）情況下的臨界轉(zhuǎn)速。根據(jù)邊界條件，總存在如下關(guān)系式：由齊次方程非零解條件，可得頻率方程：f(p)=Δ(p)=a11a22-a12a21=0采用掃頻方法，進行迭代搜索。9）振型圖（1）判斷臨界轉(zhuǎn)速階次；（2）了解最大應(yīng)力及振幅。例2.1：如圖2-10：已知：m1=3.5kg，m3=3kg，m2=7kg，Ip=0.05，Id=0.025J1=1.7，J2=3.2，J3=0.9E=2.1E112026/1/1816110）雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速計算雙轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速計算較為復雜，設(shè)轉(zhuǎn)速比為式中：ω-外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度

-內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度還須設(shè)定模態(tài)的形式。（1）設(shè)p=，則計算出的臨界轉(zhuǎn)速是內(nèi)轉(zhuǎn)子為主模態(tài)（正協(xié)調(diào)進動）時的內(nèi)、外轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速值；（2）設(shè)p=ω，則計算出的臨界轉(zhuǎn)速是外轉(zhuǎn)子為主模態(tài)（正協(xié)調(diào)進動）時的內(nèi)、外轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速值。設(shè)計算模型如圖2-11所示內(nèi)轉(zhuǎn)子初始狀態(tài)參數(shù)為式中：“′”代表內(nèi)轉(zhuǎn)子不帶“′”代表外轉(zhuǎn)子2026/1/18162令內(nèi)轉(zhuǎn)子初始狀態(tài)參數(shù)為：內(nèi)轉(zhuǎn)子第（1）段傳遞矩陣為外轉(zhuǎn)子第<1>段傳遞矩陣為2026/1/18163內(nèi)轉(zhuǎn)子第（1）段和外轉(zhuǎn)子終端狀態(tài)參數(shù)為式中：——內(nèi)轉(zhuǎn)子第（1）段傳遞矩陣。式中：——外轉(zhuǎn)子第<1>段傳遞矩陣。寫成展開式為2026/1/18164截面2處為鉸支形式，彎矩為零，則有鄰接條件同樣，借外轉(zhuǎn)子軸段<2>的傳遞矩陣可得終端狀態(tài)參數(shù)列陣由于1為鉸支型，則有X02=Xk1,θ02=θk1,M02=Mk1,Q02≠Q(mào)k12026/1/18165因此有寫成展開形式截面3處連續(xù)條件為由鄰接條件得利用右中介支承鄰接條件最后可得外、內(nèi)轉(zhuǎn)子終端狀態(tài)參數(shù)列陣2026/1/18166式中：——轉(zhuǎn)動盤II的傳遞矩陣。式中：——轉(zhuǎn)動盤IV的傳遞矩陣。展開以上兩式得2026/1/18167由第一組方程后兩式可解得R