3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一一次函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.（2020陜西渭南高一上期中）網(wǎng)上購(gòu)鞋常?？吹较旅孢@樣一張表，第

一行可以理解為腳的長(zhǎng)度，第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號(hào)”.

中國(guó)鞋碼實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)（irm）220225230235240245250255260265

中國(guó)鞋碼習(xí)慣稱呼（號(hào)）34353637383940414243

從上述表格可以推算出，“30號(hào)”的童鞋對(duì)應(yīng)的腳的長(zhǎng)度為（）

A.150mmB.200mmC.180mmD.210mm

2.為了發(fā)展電信事業(yè),方便用戶，電信公司對(duì)移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)

方式,其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月（3（）

天）的通話時(shí)間x（分）與通話費(fèi)用y（元）的關(guān)系如圖所示.

〃元）與優(yōu)！

40仇30.35)40

30^(030＞；20

20____

10；10

02040病)()2。40”小

如克卡便民卡

⑴分別求出通話費(fèi)用與通話時(shí)間x之間的函數(shù)解析式;

（2）請(qǐng)幫助用戶計(jì)算在一個(gè)月內(nèi)使用哪種卡便宜.

題組二二次函數(shù)模型及其應(yīng)用

3.（2020遼寧大連高一上期中）加工爆米花吐爆開且不爆的粒數(shù)占加

工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加

工時(shí)間t（單位:分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a,b,c是常數(shù)），下圖記錄

了三次試驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工

時(shí)間為（）

p

...........?

7OX?.

50%---------…-…T

A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘

4.用一根長(zhǎng)為12m的鐵絲彎成一個(gè)矩形的鐵框架，能彎成的框架的最

大面積是D12.

5,生產(chǎn)某機(jī)器的總成本y（萬(wàn)元）與產(chǎn)量x（臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式是

y=xZ75x,若每臺(tái)機(jī)器售價(jià)均為25萬(wàn)元，則該廠為使所獲利潤(rùn)最大應(yīng)生

產(chǎn)機(jī)器臺(tái).

6.（2020湖南常德一中高一上月考）某水廠的蓄水池中有'400噸水，每天

零點(diǎn)開始由池中放水向居民供水,同時(shí)以每小時(shí)60噸的速度向池中注

水，當(dāng)池中有水400噸后將維持400噸水量不變，若t小時(shí)內(nèi)向居民供

水總量為100瘋噸（0WtW24）,則t為何值時(shí)蓄水池中的存水量最少？

題組三分段函數(shù)模型及其應(yīng)用

7.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為

（4居1<%<lO^WN*,

y=\2x+10,10<%<100,x￡N：其中x代表擬錄用人數(shù),y代表面試

[1.5xtx>lOO^eN*,

人數(shù),若血試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為（）

A.15B.40

C.25D.130

8.（2020四川成都高一上期末）汽車從A地出發(fā)直達(dá)B地，途中經(jīng)過(guò)C

地，假設(shè)汽車勻速行駛,5h后到達(dá)B地.汽車與C地的距離s（單位:km）

關(guān)于時(shí)間t（單位:h）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則汽車從A地到B地行駛的

路程為km,深度解析

能力提升練

題組一二次函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.（2020山東濰坊高一上期中,*）我國(guó)的煙花名目繁多，其中“菊花”

煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.

如果煙花距地面的高度h（單位:m）與時(shí)間t（單位:s）之間的關(guān)系為

h（t）=4.9t2+14.7t+17,那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面的高度

約為（）

DG

5.（2020陜西西安中學(xué)高一上期中*）十一長(zhǎng)假期間，某賓館有50個(gè)房

間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿,當(dāng)

每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)

游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用（人工費(fèi)，消耗費(fèi)用等

等）.受市場(chǎng)調(diào)控，每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340元.設(shè)每個(gè)房間每

天的房?jī)r(jià)增加x元（x2（）且x為10的整數(shù)倍）.

⑴設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x

的取值范圍；

⑵設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為W元，求W與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）一天訂住多少個(gè)房間時(shí)，賓館每天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元？

題組二分段函數(shù)模型及其應(yīng)用

6.（多選X*）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:起步價(jià)為8元，起步里程為3

km（不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi)）;超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí),超過(guò)部

分按每千米2.15元收費(fèi);超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi).

另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元.下列結(jié)論正確的是（）

A.出租車行駛2km,乘客需付費(fèi)8元

B.出租車行駛4km,乘客需付費(fèi)9.6元

C.出租車行駛1（）km,乘客需付費(fèi)25.45元

D.某人兩次乘出租車均行駛5km的費(fèi)用之和超過(guò)他乘出租車行駛10

km一次的費(fèi)用

7.（2020北京豐臺(tái)高一上期中*）某建材商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷活動(dòng)，規(guī)

定:如果顧客選購(gòu)物品的總金額不超過(guò)600元，則不享受任何折扣優(yōu)惠;

如果顧客選購(gòu)物品的總金額超過(guò)600元,則超過(guò)600元部分享受一定

的折扣優(yōu)惠,折扣優(yōu)惠按下表累計(jì)計(jì)算.

可以享受折扣優(yōu)思金額折扣優(yōu)惠率

不超過(guò)500元的部分5%

超過(guò)500元的部分10%

某人在此商場(chǎng)購(gòu)物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元,則他實(shí)際所付金額為

元.

8.(2020山東新泰一中高一上期中,站)某景點(diǎn)有5()輛自行車供游客有

償租用，管理自行車的總費(fèi)用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗(yàn),若每輛自行車的

日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出;若超過(guò)6元，則每提高1元,

租不出去的自行車就增加3輛.規(guī)定:每輛自行車的日租金不超過(guò)20元,

每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，并要求出租的所有自行車一H的

總收入必須超過(guò)一口的管理總費(fèi)用，用y表示出租的所有自行車的日

凈收入(即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理總費(fèi)用后所得

的收入).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域；

(2)試問(wèn)日凈收入最多時(shí)每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入

最多為多少元？

9.（2020山西忻州一中高一期中，毋）某市居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

用水量X/1每噸收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)/元

不超過(guò)2I部分m

超過(guò)2t不超過(guò)4t部分3

超過(guò)4I部分n

已知某用戶1月份用水量為8t,繳納的水費(fèi)為33元;2月份用水量為6

t,繳納的水費(fèi)為21元.設(shè)用戶每月繳納的水費(fèi)為y元.

⑴寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）若某用戶3月份用水量為3.5t,則該用戶需繳納的水費(fèi)為多少元？

⑶若某用戶希望4月份繳納的水費(fèi)不超過(guò)24元,求該用戶最多可以用

多少水.

10.（2019山西運(yùn)城康杰中學(xué)高一上期中,"）如圖，已知底角為45。的等

腰梯形ABCD,底邊BC長(zhǎng)為7cm,腰長(zhǎng)為2魚cm,當(dāng)一條垂直于底邊

BC（垂足為F）的直線1從左至右移動(dòng)（與梯形ABCD有公共點(diǎn)）時(shí)，直線

1把梯形分成兩部分(設(shè)直線1與梯形ABCD的另一交點(diǎn)為E),令BF=x

cm,試寫出直線1左邊陰影部分的面積y(cn?)與x(cm)的函數(shù)解析式.

11.(2020河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上期中,加)2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生

產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入

固定成本3000萬(wàn)元，生產(chǎn)x(百輛)，需另投入成本C(x)萬(wàn)元，且

(10x2+200x,0<xV50,

C(x)=]loooo、匚n由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)為6萬(wàn)

(601xH--------9Q0n0n0n,x>50.

\X

元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求出2019年的利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)2019年年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B設(shè)腳的長(zhǎng)度為ymm,對(duì)應(yīng)的鞋號(hào)為x號(hào),由題中表格可

得,y=5x+50.當(dāng)x=30時(shí),y=5x30+50=200.故選B.

2.解析(1)由題中圖象可設(shè)y尸kix+30(kiH0),y2=k2X(k2W0),把點(diǎn)

B(30,35),C(30,15)分別代入yi=kix+30,y2=k2x,^嗚電:.

yi=，x+3()(x2()),y2=：x(x》()).

⑵由(1)得,丫1-丫2=入+30-{=30-*當(dāng)yi>y2,BP30--x>0時(shí)，解得x<90;當(dāng)

6233

yi=y2,即30--x=0時(shí)，解得x=90;當(dāng)yi<y2,即30--x<0時(shí)，解得x>90.

33

綜上可知，當(dāng)通話時(shí)間小于90分鐘時(shí)?，“便民卡”便宜;當(dāng)通話時(shí)間等

于90分鐘時(shí)，使用兩種卡收費(fèi)一樣多;當(dāng)通話時(shí)間大于90分鐘時(shí)，使用

“如意卡”便宜.

(9。+3匕+c=70%,

3.B由已知得卜6a+4b+c=80%,

25a+5b+c=50%,

(a=-0.2,

解得,b=15

(c=.2,

???p=-0.2t2+1.5t-2=-i(￡_￥瑞

.??當(dāng)t=-=3.75時(shí),p取得最大值，

4

即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.

故選B.

4.答案9

解析設(shè)矩形框架一邊長(zhǎng)為xm,則其鄰邊長(zhǎng)為與J(6-x)m.

(X>0,/口

由二、「得0<x<6,

二?面積S=X(6-X)=-X2+6X=-(X-3)2+9(0<X<6),

??.當(dāng)x=3時(shí),S取得最大值9.

故框架的最大面積是9m2.

5.答案50

解析設(shè)安排生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，則獲得的利潤(rùn)為

25x-y=-x2+100X=-(X-50)2+2500.

故當(dāng)x=50時(shí)，獲利最大.

6.解析設(shè)t小時(shí)后，蓄水池中的存水量為y噸，則

y=400+60t-100倔(0<t<24).

設(shè)貝ijue[0,2A/6],y=60u2-100V6u+400=60(u-2+150,

，當(dāng)"乎，即時(shí)灌水池中的存水量最少.

7.C若4x=6(),則x=15>l(),不合題意;若2x+l()=60,則x=25,滿足題意;

若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用25人.

8.答案500

解析設(shè)汽車的速度為v(km/h),

貝I」從A地至ljC地,s=20()?vt(()〈tW2),

又t=2時(shí),s=0,

A2v=200,MWv=100.

從C地到B地,s=v(t-2)=100(t-2)(2vtW5),

At=50t,s=lOOx(5-2)=3OO.

200+300=500(km),故汽車從A地至ljB地行駛的路程為500km.

解題模板解決分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，首先要確定自變量的取值范圍,

其次要求出在每一段自變量的取值范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,最后再

利用函數(shù)解析式解決問(wèn)題.

能力提升練

1.B由h(t)=-4.9t2+14.7t+17=-4.9(t-1,5)2+1.52x4.9+17得，當(dāng)t=1.5

時(shí)5(t)max=1.52x4.9+17=28.025-28(m).故選B.

2.A如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE1BC于點(diǎn)E廁竺二"，即竺=”整理得

ECDE24-820

y=24-gx.

AD

HC

H

???截取的矩形面積S=x(24-Jx)=-^(x-15)2+180(0<x^20).

由此可知，當(dāng)x=15時(shí),S取得最大值，此時(shí)y=12,故選A.

3.答案10

解析設(shè)該桶裝水經(jīng)營(yíng)部的利潤(rùn)為f(x)元，則

2

f(x)=xy-420-5y=-30x+600x-2670=-30(x?10)2+330,所以當(dāng)x=10時(shí),f(x)

取得最大值330,即該桶裝水經(jīng)營(yíng)部要使日利潤(rùn)最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為

10元.

4.答案—

4

解析SAAEH=S^CFG=^X2,Sz\BEF=SADGH=^(a-X)(2-X),y=S矩形

fx>0,

ABCD-2s△AEH?2S^BEF=2a-x2-(a?x)(2-x)=-2x2+(a+2)x,由1°>。'得

2-x>0,

Q>2

0<x^2,y=-2x2+(a+2)x,xe(0,2].V2<a<6,A1<—<2,A當(dāng)x二空時(shí),y取

44

得最大值,最大值為源.

8

5.解析(1)y=50A(0WxW160,且x是10的整數(shù)倍).

(2)W=(50-x)(180+X-20)=--^X2+34X+8000(0〈x<160,且x是10的

整數(shù)倍).

(3)由Q)得W=-/2+34X+8000=-^(X-170)2+10890,當(dāng)x<170時(shí),W隨

x的增大而增大，

又0WxW160,

當(dāng)x=160時(shí),W最產(chǎn)1088(),則y=50-^x=34.

故一天訂住34個(gè)房間時(shí),賓館每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1()880元.

6.CD在A中，出租車行駛2km,乘客需付起步價(jià)8元和燃油附加費(fèi)1

元，共9元,A錯(cuò)誤;在B中，出租車行駛4km,乘客需付費(fèi)

8+1x2.15+1=11.15元,B錯(cuò)誤;在C中,出租車行駛10km,乘客需付費(fèi)

8+2.15x5+2.85x(10-8)+1=25.45元,C正確;在D中,乘出租車行駛5km,

乘客需付費(fèi)8+2x2.15+1=13.3元，乘坐兩次需付費(fèi)26.6元,26.6>25.45,D

正確.故選CD.

7.答案1120

解析500x5%=25,由于30>25,因此顧客選購(gòu)物品的總金額x超過(guò)1

100元，

所以折扣優(yōu)惠金額為500XO05+(X?1100)x0.1=30,解得x=l15(),

故他實(shí)際所付金額為1150-30=1120(元).

8.解析(1)當(dāng)0<x<6且x￡N*時(shí),y=50x-l15,令50x-l15>0,解得x〉2.3,

.\3WxW6且x￡N'.

當(dāng)6<xW20且xWN"時(shí),y=[50-3(x-6)]x-l15=-3x2+68x-l15>0恒成立.

故,,y=〈[50x-115(3<x<6,X￡N*),

l-3x2+68x-115(6<x<20,x￡N)

其定義域?yàn)閧xEN13WxW20}.

(2)當(dāng)3WxW6且x￡N*時(shí),y=50x-l15單調(diào)遞增，

**?當(dāng)X=6時(shí),ymax=185.

2

當(dāng)6<xW20且x￡N"時(shí),y=?3x2+68x?l15=-3卜勺+y,

**?當(dāng)X=11時(shí),ymax=270.

???185<270,???當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)才能使日凈收入最

多舊凈收入最多為270元.

9.解析(1)由題設(shè)可得

mx,0<x<2,

2m+3(x-2),2<x<4,

{2m+6+n(x-4)x>4.

,

當(dāng)x=8時(shí),y=33;當(dāng)x=6時(shí),y=21,代入得{累：雷：二獲解得

(m=1.5,

tn=6.

???y關(guān)于x的函數(shù)解析式為

p.5%,0<%<2,

y=<3x-3,2<x<4,

>4.

⑵當(dāng)x=3.5時(shí),y=3x3.5-3=7