浙江省紹興市柯橋區(qū)2025年高一數(shù)學月考試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},則A∩B=（）A.{x|x<2}B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≤2}2.“x=1”是“x2-3x+2=0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)f(x)=|x-1|的定義域是（）A.(0,2)B.[-1,3]C.RD.{0,1,2}4.函數(shù)g(x)=(?)?是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)5.函數(shù)h(x)=sin(x+π/3)的最小正周期是（）A.2πB.πC.2π/3D.π/36.若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=x2-1，則當x<0時，f(x)等于（）A.x2+1B.-x2-1C.x2-1D.-x2+17.已知點P(a,b)在直線y=-2x+4上，則|a|+|b|的最小值是（）A.2B.3C.4D.58.“m>1”是“方程x2-mx+1=0有兩個負根”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5,公差d=-2,則a?等于（）A.-3B.-1C.1D.310.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（）A.y=(?)?B.y=log?(x)C.y=sin(x)D.y=(x-1)2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.已知集合A={1,2,3},B={2,4,6},則A∪B=_______.12.若函數(shù)f(x)=ax+1在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_______.13.計算：sin(π/6)+cos(π/3)=_______.14.已知等比數(shù)列{b?}中，b?=2,b?=8,則b?=_______.15.不等式|x-1|<2的解集是_______.三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)g(x)=cos(2x-π/4).(1)求函數(shù)g(x)的最小正周期和圖像的對稱軸方程（用含k的整數(shù)表示）；(2)若x∈[0,π/2]，求函數(shù)g(x)的值域。18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且a?=1,S?=n(a?-1)。(1)求數(shù)列{a?}的通項公式；(2)設b?=a?*2??1，求證：數(shù)列{b?}是等比數(shù)列。19.(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。(1)求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若關于x的方程f(x)=k有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍。20.(本小題滿分13分)在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2,0)，點B的坐標為(0,2)。(1)求以AB為直徑的圓的方程；(2)若直線l過點P(1,1)，且與圓相切，求直線l的方程。21.(本小題滿分14分)已知函數(shù)F(x)=f(x)+f(1-x)，其中f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=ln(x+√(x2+1))。(1)求函數(shù)F(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，并給出證明；(3)若F(a)=1，求a的值。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.C8.A9.D10.A二、填空題11.{1,2,3,4,6}12.a<013.114.415.(-1,3)三、解答題16.解：(1)函數(shù)f(x)=x2-4x+3可化為f(x)=(x-2)2-1。拋物線開口向上，對稱軸為x=2。故函數(shù)f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞減。(2)由(1)知，對稱軸x=2在區(qū)間[1,4]內(nèi)。f(1)=0,f(2)=-1,f(4)=3。故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值為3，最小值為-1。17.解：(1)函數(shù)g(x)=cos(2x-π/4)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。令2x-π/4=kπ+π/2(k∈Z)，解得x=kπ/2+3π/8(k∈Z)。故圖像的對稱軸方程為x=kπ/2+3π/8(k∈Z)。(2)當x∈[0,π/2]時，2x-π/4∈[-π/4,3π/4]。此時cos(2x-π/4)的取值范圍為[-√2/2,1]。故函數(shù)g(x)的值域為[-√2/2,1]。18.解：(1)當n=1時，S?=a?=1。由S?=n(a?-1)得S?=1(a?-1)，即1=1(1-1)，等式成立。當n≥2時，a?=S?-S???=n(a?-1)-(n-1)(a???-1)。整理得(n-1)a?=na???-1，即(n-1)a?+1=na???。因為a?=1，所以a?+1=2。上式變?yōu)?n-1)a?+1=na???+1，即(n-1)a?=na???。故a?/a???=n/(n-1)(n≥2)。所以a?=a?*[1*2*...*n]/[1*2*...*(n-1)]=n。即數(shù)列{a?}的通項公式為a?=n(n∈N*)。(2)證明：由(1)得b?=a?*2??1=n*2??1。b???=(n+1)*2?。b???/b?=[(n+1)*2?]/[n*2??1]=(n+1)/n*2=2*(n+1)/n。此比值與n有關，故數(shù)列{b?}不是等比數(shù)列。（此處根據(jù)原題意，若題目要求證明b_n為等比數(shù)列，則需檢查推導過程或題意是否有誤。若按標準解析，b_n非等比數(shù)列。若必須證等比，則原題設或解答有誤。以下按標準解析給出“不是等比數(shù)列”的結論）。*修正思路說明：根據(jù)b_n=n*2^(n-1)，b_(n+1)/b_n=((n+1)*2^n)/(n*2^(n-1))=2*(n+1)/n。該比值不恒定，故{b_n}不是等比數(shù)列。若題目期望證明其為等比，則題目本身或解答過程存在問題。*19.解：(1)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的導函數(shù)f'(x)=3x2-6x。(2)令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。將R分為(-∞,0],(0,2],(2,+∞)。當x∈(-∞,0)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增。當x∈(0,2)時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減。當x∈(2,+∞)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增。故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)。(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在x=0處取得局部極大值f(0)=2，在x=2處取得局部極小值f(2)=-2。又當x→-∞時，f(x)→-∞；當x→+∞時，f(x)→+∞。要使方程f(x)=k有三個不同的實數(shù)根，直線y=k必須與函數(shù)f(x)的圖像在(-∞,0)和(2,+∞)這兩個區(qū)間各相交一次，且在(0,2)區(qū)間內(nèi)相交一次。這意味著k的值必須在局部極大值和局部極小值之間，即-2<k<2。20.解：(1)線段AB的中點坐標為((2+0)/2,(0+2)/2)=(1,1)。AB的長度為√[(2-0)2+(0-2)2]=√(4+4)=2√2。故以AB為直徑的圓的圓心為(1,1)，半徑為√2。圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=(√2)2，即(x-1)2+(y-1)2=2。(2)設直線l的方程為y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0。圓心(1,1)到直線l的距離d=|k*1-1*1+1-k|/√(k2+1)=|1-k|/√(k2+1)。由于直線l與圓相切，故d=√2。即|1-k|/√(k2+1)=√2。兩邊平方得(1-k)2/(k2+1)=2。整理得1-2k+k2=2k2+2。即k2+2k+1=0。解得(k+1)2=0，故k=-1。此時直線l的方程為y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0。另一方面，當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1。圓心(1,1)到直線x=1的距離為0，不滿足相切條件。綜上，直線l的方程為x+y-2=0。21.解：(1)當x>0時，F(xiàn)(x)=f(x)+f(1-x)=ln(x+√(x2+1))+ln((1-x)+√((1-x)2+1))。由于f(x)是奇函數(shù)，則f(1-x)=-f(x-1)。當x>0時，x-1<1，故f(x-1)=ln((x-1)+√((x-1)2+1))。所以f(1-x)=-ln((x-1)+√((x-1)2+1))。注意：√((x-1)2+1)=√(x2-2x+2)。F(x)=ln(x+√(x2+1))-ln((x-1)+√(x2-2x+2))=ln[(x+√(x2+1))/((x-1)+√(x2-2x+2))]。需要化簡分母：(x-1)+√(x2-2x+2)=x-1+√(x2-2x+1+1)=x-1+√((x-1)2+1)。分子分母同時乘以conjugate：(x+√(x2+1))*[(x-1)-√(x2-2x+2)]/[(x-1)+√(x2-2x+2)]*[(x-1)-√(x2-2x+2)]=[(x+√(x2+1))*(x2-2x+1-(x2-2x+2))]/[(x-1)2-(x2-2x+2)]=[(x+√(x2+1))*(-1)]/[x2-2x+1-x2+2x-2]=-(x+√(x2+1))/[-1]=x+√(x2+1)。故F(x)=ln(1)=0(當x>0)。當x=0時，F(xiàn)(0)=f(0)+f(1)=0+f(1)。由于f(x)是奇函數(shù)，f(1)=-f(-1)。f(x)=ln(x+√(x2+1))，故f(-1)=ln(-1+√(1+1))=ln(√2-1)。所以f(1)=-ln(√2-1)=ln(√2+1)。F(0)=ln(√2+1)。當x<0時，令t=-x>0。則1-x=1+t>1。F(x)=f(x)+f(1-x)=f(-t)+f(1+t)。由于f(x)是奇函數(shù)，f(-t)=-f(t)=-ln(t+√(t2+1))。f(1+t)=ln((1+t)+√((1+t)2+1))。F(x)=-ln(t+√(t2+1))+ln((1+t)+√(1+2t+t2+1))=-ln(t+√(t2+1))+ln((1+t)+√(t2+2t+2))。分母化簡：(1+t)+√(t2+2t+2)=1+t+√((t+1)2+1)。分子分母同乘conjugate：(t+√(t2+1))*[(1+t)-√(t2+2t+2)]/[(1+t)+√(t2+2t+2)]*[(1+t)-√(t2+2t+2)]=[(t+√(t2+1))*(1+2t+t2-(t2+2t+1)