北京市西城區(qū)北京師范大學附中2026屆高一上數(shù)學期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，，則（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．某服裝廠2020年生產(chǎn)了15萬件服裝，若該服裝廠的產(chǎn)量每年以20%的增長率遞增，則該服裝廠的產(chǎn)量首次超過40萬件的年份是（參考數(shù)據(jù)：取，）（）A.2023年 B.2024年C.2026屆 D.2026年4．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A. B.C. D.5．已知方程的兩根分別為、，且、，則A. B.或C.或 D.6．，則（）A.64 B.125C.256 D.6257．設函數(shù)，則的奇偶性A.與有關，且與有關 B.與有關，但與無關C.與無關，且與無關 D.與無關，但與有關8．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則A.1 B.2C.3 D.49．當時，函數(shù)（，），取得最小值，則關于函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.是奇函數(shù)且圖象關于點對稱B.偶函數(shù)且圖象關于點（π，0）對稱C.是奇函數(shù)且圖象關于直線對稱D.是偶函數(shù)且圖象關于直線對稱10．函數(shù)（且）的圖像必經(jīng)過點（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，若，使得，則實數(shù)a的取值范圍是___________.12．用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．若正數(shù)滿足，則的最大值為__________13．的值為__________14．函數(shù)是偶函數(shù)，且它的值域為，則__________15．已知，，則的值為___________.16．若在內(nèi)無零點，則的取值范圍為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值18．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且；（1）判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，并給予證明；（2）已知函數(shù)（且），已知在的最大值為2，求的值19．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為萬元，并且每生產(chǎn)百臺的生產(chǎn)成本為萬元（總成本固定成本生產(chǎn)成本）．銷售收入（萬元）滿足，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：（1）寫出利潤函數(shù)的解析式（利潤銷售收入總成本）；（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？20．若函數(shù)的自變量的取值范圍為時，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱區(qū)間為的一個“和諧區(qū)間”.（1）先判斷“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是否正確，再寫出函數(shù)“和諧區(qū)間”；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，當時，.（i）求的“和諧區(qū)間”；（ii）若函數(shù)的圖象是在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實數(shù)，使集合恰含有個元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.21．已知集合，（1）當，求；（2）若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】化簡集合A，由交集定義直接計算可得結果.【詳解】化簡可得，又所以.故選：B.2、A【解析】先由在區(qū)間上單調(diào)遞增，求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】解：的對稱軸為：，若在上單調(diào)遞增，則，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，反之，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.3、D【解析】設該服裝廠的產(chǎn)量首次超過40萬件的年份為n，進而得，再結合對數(shù)運算解不等式即可得答案.【詳解】解：設該服裝廠的產(chǎn)量首次超過40萬件的年份為n，則，得，因為，所以故選：D4、B【解析】∵，，，，∴函數(shù)的零點所在區(qū)間是故選B點睛：函數(shù)零點問題，常根據(jù)零點存在性定理來判斷，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在使得

這個也就是方程的根．由此可判斷根所在區(qū)間.5、D【解析】將韋達定理的形式代入兩角和差正切公式可求得，根據(jù)韋達定理可判斷出兩角的正切值均小于零，從而可得，進而求得，結合正切值求得結果.【詳解】由韋達定理可知：，又，，本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值求角的問題，涉及到兩角和差正切公式的應用，易錯點是忽略了兩個角所處的范圍，從而造成增根出現(xiàn).6、D【解析】根據(jù)對數(shù)的運算及性質(zhì)化簡求解即可.【詳解】，，，故選：D7、D【解析】因為當時，函數(shù)，為偶函數(shù)；當時，函數(shù)，為奇函數(shù)所以的奇偶性與無關，但與有關．選D8、B【解析】由題意可設，將點代入可得，則，故選B.9、C【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為當時，函數(shù)取得最小值，所以，因為，所以令，即，所以，設，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因此選項B、D不正確；因為，，所以，因此函數(shù)關于直線對稱，因此選項A不正確，故選：C10、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點【詳解】解：∵（且），且令得，則函數(shù)圖象必過點，故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】將“對，使得，”轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得最值代入即可解得結果.【詳解】當時，，∴當時，，當時，為增函數(shù)，所以時，取得最大值，∵對，使得，∴，∴，解得.故答案為：.12、【解析】對分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和，代入，解出的范圍，即可得解.【詳解】當，即時，，，因為，所以不成立；當，即時，，，不滿足；當，即時，，，由得，得，得；當，即時，，，由得，得，得，得；當，即時，，，不滿足；當，即時，，，不滿足.綜上所述：.所以得最大值為故答案為：【點睛】關鍵點點睛：對分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和是解題關鍵.13、【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值與對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得；【詳解】解：故答案為：14、【解析】展開，由是偶函數(shù)得到或，分別討論和時的值域，確定，的值，求出結果.【詳解】解：為偶函數(shù)，所以，即或，當時，值域不符合，所以不成立；當時，，若值域為，則，所以.故答案為：.15、【解析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商數(shù)關系，將目標式化為即可求值.【詳解】.故答案為：.16、【解析】求出函數(shù)的零點，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)無零點，列出滿足條件的不等式，從而求的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在內(nèi)無零點，所以，所以；由，得，所以或，由，得；由，得；由，得，因為函數(shù)在內(nèi)無零點，所以或或，又因為，所以取值范圍為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)二倍角的正、余弦公式和輔助角公式化簡計算可得，結合公式計算即可；(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系和角的范圍求出，根據(jù)和兩角和的正弦公式直接計算即可.【小問1詳解】最小正周期【小問2詳解】，因為，，若，則，不合題意，又，所以，因為，所以，所以18、（1）函數(shù)在區(qū)間是遞增函數(shù)；證明見解析；（2）或【解析】（1）由奇函數(shù)定義建立方程組可求出，再用定義法證明單調(diào)性即可；（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的單調(diào)性，結合函數(shù)的單調(diào)性研究最值即可求解【詳解】（1）∵是奇函數(shù)，∴，又，且，所以，，經(jīng)檢驗，滿足題意得，所以函數(shù)在區(qū)間是遞增函數(shù)證明如下：且，所以有：由，得，，又，故，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間是遞增函數(shù)（2）令，由（1）可得在區(qū)間遞增函數(shù)，①當時，是減函數(shù)，故當取得最小值時，（且）取得最大值2，在區(qū)間的最小值為，故的最大值是，∴②當時，是增函數(shù)，故當取得最大值時，（且）取得最大值2，在區(qū)間的最大值為，故的最大值是，∴或19、（1）（2）當工廠生產(chǎn)百臺時，可使贏利最大為萬元【解析】(1)先求出，再根據(jù)求解；（2）先求出分段函數(shù)每一段的最大值，再比較即得解.【詳解】解：（1）由題意得，（2）當時，函數(shù)遞減，（萬元）當時，函數(shù)，當時，有最大值為（萬元）所以當工廠生產(chǎn)百臺時，可使贏利最大為萬元【點睛】本題主要考查函數(shù)的解析式的求法，考查分段函數(shù)的最值的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）正確，；（2）（i）和，（ii）存在符合題意，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)和諧區(qū)間的定義判斷兩個函數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)是奇函數(shù)求出的解析式，再利用“和諧區(qū)間”的定義求出的“和諧區(qū)間”，（ii）由（i）可得的解析式，由與都是奇函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在第一象限內(nèi)有一個交點，由單調(diào)性求出的端點坐標，代入可得臨界值即可求解.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，且為奇函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，任意的，則，所以時，沒有“和諧區(qū)間”，同理時，沒有“和諧區(qū)間”，所以“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是正確的，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以值域為，即，所以，所以，是方程的兩根,因為，解得，所以函數(shù)的“和諧區(qū)間”為.【小問2詳解】（i）因為當時，所以當時，，所以因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以當時，，可得，設，因為在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，所以，是方程的兩個不相等的正數(shù)根，即，是方程的兩個不相等的正數(shù)根，且，所以，，所以在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是，同理可得，在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.所以的“和諧區(qū)間”是和，（ii）存在，理由如下：因為函數(shù)的圖象是以在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，所以若集合恰含有個元素，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，且一個交點在第一象限，一個交點在第三象限.因為與都是奇函數(shù)，所以只需考慮與的圖象在第