2026屆北京市西城區(qū)市級名校高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A. B.C. D.4．下列說法中正確的是A.命題“若，則”的逆命題為真命題B.若為假命題，則均為假命題C.若為假命題，則為真命題D.命題“若兩個平面向量滿足，則不共線”的否命題是真命題.5．若等軸雙曲線C過點，則雙曲線C的頂點到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.26．過點作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或7．接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法，我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進接種工作．某地為方便居民接種，共設(shè)置了A、B、C三個新冠疫苗接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.8．已知，則下列三個數(shù)，，（）A.都不大于-4 B.至少有一個不大于-4C.都不小于-4 D.至少有一個不小于-49．直線（t為參數(shù)）被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A. B.C. D.11．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.212．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若與垂直，則___________.14．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，則對角線的長度為___.15．已知，則正整數(shù)___________.16．函數(shù)在處的切線方程為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體中，和均為等邊三角形，D是的中點，.（1）證明：；（2）若，求多面體的體積.18．（12分）已知圓：和圓外一點，過點作圓的切線，切線長為.（1）求圓的標準方程；（2）若圓：，求證：圓和圓相交，并求出兩圓的公共弦長.19．（12分）如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角.20．（12分）已知拋物線經(jīng)過點.（Ⅰ）求拋物線C的方程及其焦點坐標；（Ⅱ）過拋物線C上一動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積的最小值.21．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若動點在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，點分別為橢圓的左、右頂點，直線分別與橢圓C交于點，過作直線的平行線與橢圓交于點，問直線是否過定點，若經(jīng)過定點，求出該定點的坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由.22．（10分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且，是的中點（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因為直線：與：互相平行，所以，即，解得或，當時，直線：，：，互相平行；當時，直線：，：，重合；所以，故選：A2、D【解析】原不等式等價于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，；當時，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.3、B【解析】寫出每次循環(huán)的結(jié)果，即可得到答案.【詳解】當時，，，，；，此時，退出循環(huán)，輸出的的為.故選：B【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，此類題要注意何時循環(huán)結(jié)束，建議數(shù)據(jù)不大時采用寫出來的辦法，是一道容易題.4、D【解析】A中，利用四種命題的的真假判斷即可；B、C中，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題；D中，寫出該命題的否命題，再判斷它的真假性【詳解】對于A，命題“若，則”的逆命題是：若，則；因為也成立.所以A不正確；對于B，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題，所以B錯誤；C錯誤；對于D，“平面向量滿足”，則不共線的否命題是，若“平面向量滿足”，則共線；由知：，一定有，，所以共線，D正確.故選：D.【點睛】本題考查了命題的真假性判斷問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題5、A【解析】先求出雙曲線C的標準方程，再求頂點到其漸近線的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標準方程為，因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標準方程為，故上頂點到其一條漸近線的距離為.故選：A6、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為1，當切線的斜率不存在時，即直線的方程為，不與圓相切，當切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C7、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結(jié)果【詳解】由題知,基本事件總數(shù)為甲、乙兩人不在同一接種點接種疫苗的基本事件數(shù)為由古典概型概率計算公式可得所求概率故選:8、B【解析】利用反證法設(shè)，，都大于，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，都大于，則，由于，故，利用基本不等式可得，當且僅當時等號成立，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個數(shù)，，至少有一個不大于，故選：B.9、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標方程，利用弦長公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），故其普通方程為，又，根據(jù)，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長為.故選：C.10、C【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)可求得，由可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，解得：；又，.故選：C.11、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導(dǎo)致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.12、B【解析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運算計算即可.【詳解】因為向量是兩兩垂直的單位向量，且所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算可求出的值，結(jié)合向量坐標求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.14、2【解析】利用，兩邊平方后，利用向量數(shù)量積計算公式，計算得.【詳解】對兩邊平方并化簡得,故.【點睛】本小題主要考查空間向量的加法和減法運算，考查空間向量數(shù)量積的表示，屬于中檔題.15、6【解析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的運算即可求得答案.【詳解】由題意，，得.故答案為：6.16、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見詳解（1）.（2）16【解析】（1）證線面垂直從而證線線垂直.（2）把面體看成兩個錐體，由已知線面垂直得高，并進一步可求錐體底面邊長，從而得解.【小問1詳解】因為，所以共面，連接、,因為和均為等邊三角形，D是的中點，所以，，，所以面平，平面，【小問2詳解】因為，，四邊形是平行四邊形，和均為等邊三角形，D是的中點，所以，,平行四邊形是正方形形，，.18、（1）（2）證明見解析，公共弦長為【解析】（1）根據(jù)切線長公式計算即可得到，然后代入可得圓的方程.（2）聯(lián)立兩圓的方程作差可得直線的方程為，然后利用圓的弦長公式計算即可.【小問1詳解】圓的標準方程為，所以圓心為，半徑.由勾股定理可得，解得.所以圓的標準方程為.【小問2詳解】由題意得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為，，所以圓和圓相交.設(shè)兩圓相交于，兩點，則兩圓的方程相減得直線的方程為，圓心到直線的距離.所以，所以兩圓的公共弦長為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可證得，所以以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明，（2）求出兩個平面的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，∵平面，∴∥平面.【小問2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，令，則.∴.由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.20、（1），；（2）.【解析】（1）將點代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點坐標可知；（2）設(shè)出點坐標，根據(jù)切線長相等以及切線垂直于半徑將四邊形的面積表示為，然后根據(jù)三角形面積公式將其表示為，根據(jù)點到點的距離公式表示出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出四邊形面積的最小值.【詳解】（1）因為拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的方程為：，焦點坐標為，即；（2）設(shè)，因為為圓的切線，所以，且，所以，又因為，所以，當時，四邊形的面積有最小值且最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)圓的切線的性質(zhì)將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，再通過三角形的面積公式將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題模型，對于轉(zhuǎn)化的技巧要求較高.21、（1）（2）過定點，【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點及離心率求出a,b即可；（2）設(shè)點，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用條件化簡，結(jié)合橢圓方程，求出即可得解.【小問1詳解】由，有，又，所以，橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)點，設(shè)直線的方程為.如圖，聯(lián)立，消有：，韋達定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，