作課人：廉文杰數學之王——歐拉北師大版（2019）高中數學必修第一冊作課人：廉文杰焦作市外國語中學第一章

預備知識第1節(jié)

集合1.1集合的概念與表示第1課時（共1課時）學

習

目

標目

標重

點難

點1、理解集合概念2、了解元素的含義3、明確元素與集合的關系4、掌握集合的三大特征5、熟悉常用數集及其表示方法1、元素與集合的關系2、集合表示方法1、集合概念2、集合的三大特征3、集合表示方法新

知

引

入

歡迎大家來學習高中階段的數學！

對于很多同學來講，數學是一門很難的學科，高深的理論、抽象證明、繁雜的計算都使得很多人對它望而生畏；但同時，它又是一門非常有用的科學，眾多學科的發(fā)展都離不開數學的支撐，人類社會的發(fā)展也強烈的依賴數學。

同學們，珍惜數學吧！它的發(fā)展也是歷經坎坷，數學曾經面臨三次生死存亡，其中離我們最近的一次是第三次數學危機，它的發(fā)生只因一個“小”問題：在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！庇腥藛査骸澳憬o不給自己理發(fā)？”無論這個理發(fā)師怎么回答，都不能排除內在的矛盾。這個“小”問題幾乎導致了整個近代數學的基礎——集合論的崩塌！同學們：羅

素新

知

引

入集合論之父——康托

集合論的創(chuàng)始人是德國數學家康托。他生于1810年，1870年開始研究三角級數并由此導致19世紀末、20世紀初最偉大的數學成就——集合論和超窮數理論的建立。這是自古希臘時代的兩千多年以來，人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統(tǒng)和確定的運算，從根本上改造了數學的結構，沖擊了傳統(tǒng)的觀念，顛覆了許多前人的想法，很難為當時的數學家所接受，遭到了許多人的反對，其中也包括他的老師。來自權威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托，使他患了精神分裂癥，被送進精神病醫(yī)院。新

知

引

入

真金不怕火煉，康托的思想終于大放光彩。1897年舉行的第一次國際數學家會議上，他的成就得到承認，偉大的哲學家、數學家羅素稱贊康托的工作“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作。”可是這時康托仍然神志恍惚，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。

同學們，我們高中數學就從學習康托所創(chuàng)立的集合論的一些基礎知識開始。

祝愿大家學有所成！維爾斯特拉斯新

知

引

入伯努利我們在上體育課和課間操時體育老師經常會喊：“集合！”

這里的“集合”是一個動詞，而數學中的“集合”是一個名詞，是一個數學的專用詞語。數學中的“集合”是什么呢？

回顧小學和初中的數學知識，我們學習或研究了不同的研究對象(即概念)，其中大量的概念描述了某一類數學對象，如自然數，不等式、方程、分式，三角形，圓等，我們運用文字語言給出了這些概念相應的定義，例如，整數和分數統(tǒng)稱為有理數，用“＝”來表示相等關系的式子叫作等式。學

習

新

知歐幾里得（約公元前300年）《幾何原本》一般地，把指定的某些對象的全體稱為集合。集合注意：3、上述文字語言是對集合的一種描述性的說法。其實集合是一個原始概念，不能夠直接對它進行定義，就比如幾何學中的“點”。集合通常用大寫英文字母表示，如A,B,C,...全體自然數組成的集合（自然數集）記作N.全體正整數組成的集合（正整數集）記作N+或N*.全體整數組成的集合（整數集）記作Z.全體有理數組成的集合（有理數集）記作Q全體實數組成的集合（實數集）記作R.正實數集記作R+.1、2、學

習

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》集合中每個對象稱為該集合的元素。元素注意：元素通常用小寫英文字母表示，如a,b,c,???元素與集合的關系:如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a

A1、2、3、不含任何元素的集合叫作空集，記作：?含有有限個元素的集合叫作有限集；含有無限個元素的集合叫作無限集。4、集合中元素的三個特性:⑴確定性：⑵互異性：⑶無序性：5、集合中的元素必須是確定的集合的元素必須是互不相同的集合中的元素是無先后順序的學

習

新

知阿波羅尼奧斯（約公元前200年）

《圓錐曲線論》集合的表示方法：(1)字母法：(2)列舉法：A、B、C

把集合中的元素一一列舉出來，以逗號隔開，并用花括

號“{}”括起來的表示集合的方法叫做列舉法.地球上四大洋組成的集合：方程（x-1)(x-2)=0的所有根組成的集合：小于10的所有正整數組成的集合：小于1000的所有正整數組成的集合：大于1的所有正整數組成的集合：①②③④⑤{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}{-1,-2}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}{1,2,3,4,…,999,1000}{2,3,4,5,…}哪些集合適合用列舉法表示呢？元素較多，但是元素的排列呈現一定的規(guī)律的集合。含有有限個元素且元素個數較少的集合。①②學

習

新

知拉格朗日集合的表示方法：

(3)描述法：(1)字母法(2)列舉法

通過描述元素滿足的條件表示集合的方法叫作描述法。一般可將集合表示為{x及x的范圍|x滿足的條件}，即在花括號內先寫出集合中元素的一般符號及范圍，再劃一條豎線”|“，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.不等式2x+4>0的解集:所有正奇數組成的集合:曲線y=x2圖象上所有點的集合：①②③{x|x＞-2}{x|x=2n+1,n∈N}{(x,y)|y=x2,x∈R}用描述法表示集合需要注意什么問題？

①②③描述法適合表示無限集或元素較多的集合。學

習

新

知布

豐2、花括號表示的是“所有”“整體”的含義，如實數集可以寫成｛實數｝，

但不能寫成｛實數集｝｛全體實數｝｛R｝概念辨析不相同。集合{(2,5)}中含有1個元素,這個元素是(2,5)；

集合{2,5}中含有2個元素,分別是2和5.1、a與{a}的含義是否相同？不同，前者為一個字母a，后者為由字母a構成的集合.6、集合{y|y=x2,x∈R}與集合{x|y=x2,x∈R}相同嗎？不相同，{y|y=x2,x∈R}是函數y=x2的所有函數值組成的集合；{x|y=x2,x∈R}是函數y=x2的所有自變量組成的集合.7、{x|x>1}與{y|y>1}相同嗎？5、集合{x|x<1}與集合{x<1}相同嗎？4、集合{(2,5)}與集合{2,5}相同嗎？3、集合{5,2}與集合{2,5}相同嗎？相同不相同。{x|x<1}表示由所有小于1的數字組成的集合，有無數個元素；{x<1}表示由一個不等式“x<1”組成的集合，只有1個元素。相同。都表示由所有大于1的數字組成的集合。典

例

引

路數學王子——高斯例1、（多選題）下面能組成一個集合的是（

）A．高一年級聰明的學生B．較小的實數C．所有的偶數D．地球上的四大洋CD同

步

練

習無冕的數學之王——希爾伯特練1、（多選題）下列幾組對象可以組成集合的有（

）A．高中數學必修第一冊課本中所有的難題B．2023年參加杭州亞運會的全體運動員C．小于9的所有素數D．高一年級視力比較好的同學BC典

例

引

路柯

西

?∈∈??∈?∈∈??∈??∈∈∈?同

步

練

習解析幾何之父——笛卡爾

練2、用“∈”和“?”填空：?∈∈∈??典

例

引

路牛

頓例3、(1)試分別用列舉法和描述法表示下列集合.①方程x2-4=0的所有實數根組成的集合.②由大于10小于20的所有整數組成的集合.解：用描述法表示為A={x∈R|x2-4=0}.

方程x2-2=0有兩個實數根為-2和2，

因此，用列舉法表示為A={-2,2}.解：用描述法表示B={x∈Z∣10<x<20}.

大于10小于20的整數有11,12,13,14,15,16,17,18,19，

因此，用列舉法表示為B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

{（7，-3）}

同

步

練

習黎

曼練3、（1）用列舉法表示集合{x|x2-2x+1=0}為()A.{1,1} B.{1}C.{x=0} D.{x2-2x+1=0}解：集合{x|x2-2x+1=0}是方程x2-2x+1=0的解集，而方程有兩個相等的實根1，故可表示為{1}.

解：描述法：{x|x＜2,x∈N+}列舉法：{1}解：列舉法：{（0,3），（-3,0）}B典

例

引

路華羅庚例4

、已知集合A={1,2,3},則B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x-y|∈A}中所含元素的個數為（

）A．2B．4C．6D．8解：當x=1,y=1時，|x-y|=0,0?A,所以（1,1）?B

當x=1,y=2時，|x-y|=1,1∈A,所以（1,2）∈B

當x=1,y=3時，|x-y|=2,2∈A,所以（1,3）∈B

當x=2,y=1時，|x-y|=1,1∈A,所以（2,1）∈B

當x=2,y=2時，|x-y|=1,0?A,所以（2,2）?B

當x=2,y=3時，|x-y|=1,1∈A,所以（2,3）∈B

當x=3,y=1時，|x-y|=2,2∈A,所以（3,1）∈B

當x=3,y=2時，|x-y|=1,1∈A,所以（3,2）∈B

當x=3,y=3時，|x-y|=0,0?A,所以（3,3）?B綜上所述，B中共有6個元素。B同

步

練

習洛必達

典

例

引

路狄利克雷

同

步

練

習龐加萊

典

例

引

路皮

亞

諾例6、集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數k的值組成的集合.解：(1)當k＝0時，

方程kx2－8x＋16＝0變?yōu)椋?x＋16＝0，

解得x＝2，滿足題意；(2)當k≠0時，

要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個元素，

則方程kx2－8x＋16＝0只有一個實數根，

所以Δ＝64