專題05拋物線及其應(yīng)用（3知識&13題型&2易錯(cuò)）【清單01】拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語言表示設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.【清單02】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖象頂點(diǎn)(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤0【清單03】直線與拋物線的位置關(guān)系1.直線與拋物線的位置關(guān)系①Δ＞0直線和拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點(diǎn)．2.直線與拋物線的相交弦3.拋物線的焦點(diǎn)弦問題設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：【二級結(jié)論1】拋物線弦中點(diǎn)問題注：這里給出的都是焦點(diǎn)在x軸上的情形，焦點(diǎn)在y軸上時(shí)需要再根據(jù)點(diǎn)差法推導(dǎo)，不能直接套結(jié)論．點(diǎn)差法得到的結(jié)論在小題中可以直接用，在大題中要有推導(dǎo)過程．【二級結(jié)論2】拋物線的切線【二級結(jié)論3】拋物線的硬解定理題型1對拋物線定義的理解及應(yīng)用緊扣“到定點(diǎn)與定直線距離相等”的本質(zhì)，避免與橢圓、雙曲線定義混淆1、明確三要素：必須同時(shí)滿足“一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)F）”“一條定直線（準(zhǔn)線）”“定點(diǎn)不在定直線上”這三個(gè)條件；A．1 B．2 C．4 D．8題型2拋物線中距離和差的最值問題解決這類問題的關(guān)鍵是：距離轉(zhuǎn)化2、轉(zhuǎn)化目標(biāo)：通過上述轉(zhuǎn)化，將原本含“焦點(diǎn)距離”的復(fù)雜和差問題，轉(zhuǎn)化為僅含“點(diǎn)到直線距離”或“兩點(diǎn)間距離”的平面幾何最值問題，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“點(diǎn)到直線垂線段最短”求解．A．3 B． C．4 D．題型3與拋物線有關(guān)的軌跡問題解決這類問題的關(guān)鍵是：距離轉(zhuǎn)化2、轉(zhuǎn)化目標(biāo)：通過上述轉(zhuǎn)化，將原本含“焦點(diǎn)距離”的復(fù)雜和差問題，轉(zhuǎn)化為僅含“點(diǎn)到直線距離”或“兩點(diǎn)間距離”的平面幾何最值問題，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“點(diǎn)到直線垂線段最短”求解．A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;(1)求點(diǎn)的軌跡方程；題型4由拋物線方程研究幾何性質(zhì)由拋物線方程求焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程的基本方法（2）焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸由標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)確定，系數(shù)為正，焦點(diǎn)在正半軸；系數(shù)為負(fù)，焦點(diǎn)在負(fù)半軸．A．2 B．3 C．4 D．5A．5 B．6C． D．4A．3 B．4 C．5 D．6題型5求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)；注意：=1\*GB3①已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；=2\*GB3②已知拋物線過某點(diǎn)不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開口方向確定．題型6直線與拋物線的位置關(guān)系解題的通用流程2、聯(lián)立消元：將直線方程代入拋物線方程，消去一個(gè)變量（通常消或），得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元方程（可能是一次或二次方程）．3、判斷方程類型：（1）若得到一元一次方程：直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線為拋物線的“平行于對稱軸的直線”（非切線）；C．與x軸平行的直線與及最多有3個(gè)交點(diǎn) D．不存在直線與和都相切A．恰有一個(gè)公共點(diǎn) B．恰有兩個(gè)公共點(diǎn)C．有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn) D．沒有公共點(diǎn)A．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條題型7直線與拋物線相交弦長問題按照“設(shè)方程并分類討論——聯(lián)立消元得一元二次方程——韋達(dá)定理——代入弦長公式”這個(gè)流程求解直線與拋物線相交的弦長問題．但要注意焦點(diǎn)弦的弦長可使用焦半徑公式簡化求解．A．5 B． C． D．A． B．6 C． D．8題型8拋物線的中點(diǎn)弦問題1、優(yōu)先選擇點(diǎn)差法：點(diǎn)差法無需聯(lián)立方程求解，可直接建立中點(diǎn)與斜率的關(guān)系，計(jì)算量遠(yuǎn)小于韋達(dá)定理法，尤其適用于已知中點(diǎn)求弦所在直線方程的場景．2、分類討論斜率存在性：（1）若用點(diǎn)差法推導(dǎo)時(shí)，若得到的斜率關(guān)系式中分母為0，需單獨(dú)討論斜率不存在的情況；（2）若中點(diǎn)在拋物線對稱軸上，中點(diǎn)弦通常垂直于對稱軸，需優(yōu)先考慮斜率不存在的直線．3、必做驗(yàn)證步驟：無論用點(diǎn)差法還是韋達(dá)定理法，求出直線方程后必須驗(yàn)證判別式Δ>0，避免出現(xiàn)“所求直線與拋物線無交點(diǎn)或相切”的無效解．A． B． C． D．題型9拋物線中的定點(diǎn)問題1、特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)與變量無關(guān)．2、直接推理法：①選擇一個(gè)參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常量，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據(jù)直線過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系(即直線系方程對任意參數(shù)都成立)，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)，若定點(diǎn)具備一定的限制條件，可以特殊解決．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)若垂直于，求證：直線過定點(diǎn)；(1)求橢圓C和拋物線E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M是拋物線E準(zhǔn)線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．求證：（i）直線AB過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）以線段AB為直徑的圓與拋物線E的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．(1)求C的方程．(1)求拋物線的方程；題型10拋物線中的定值問題1、求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；2、求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離解析式，再利用題設(shè)條件化簡變形求得；3、求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡變形即可求得．(1)求拋物線C的方程；(1)求證：為定值；(1)求C的方程；(1)求拋物線的方程．題型11拋物線中的最值或范圍問題（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．A． B． C． D．A． B． C． D．題型12拋物線中的證明問題圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等．在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時(shí)也會用到反證法．(1)求拋物線C的方程；(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)直線，分別過點(diǎn)A，B，且均與相切，記直線，的斜率分別為，．(1)求拋物線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在與之間.題型13拋物線中的探究性問題“肯定順推法”解決探索性問題，即先假設(shè)結(jié)論成立，用待定系數(shù)法列出相應(yīng)參數(shù)的方程，倘若相應(yīng)方程有解，則探索的元素存在(或命題成立)，否則不存在(或不成立)．(1)求p的值；（ⅰ）求證：點(diǎn)P為定點(diǎn)；(1)證明：是常數(shù)；(2)過點(diǎn)