第四章因式分解專項(xiàng)培優(yōu)8因式分解的應(yīng)用類型【解】原式＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22500.1．利用因式分解計(jì)算：(1)1012＋492＋101×98；(2)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12.返回返回【解】∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0.∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0.∴m＋n＝0，n－3＝0.∴m＝－3，n＝3.2．若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．B返回3．若k為任意整數(shù)，則(2k＋3)2－4k2的值總能(

)A．被2整除

B．被3整除C．被5整除

D．被7整除4．一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)為a，個(gè)位上的數(shù)為b，這個(gè)兩位數(shù)記作ab；也可以表示成10a＋b，一個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個(gè)位上的數(shù)為z，這個(gè)三位數(shù)記作xyz.(1)ab－ba能被9整除嗎？請(qǐng)說明理由；【解】能被9整除．理由如下：ab－ba＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9(a－b)，易知a－b為整數(shù)，∴ab－ba能被9整除．(2)小明發(fā)現(xiàn)：如果x＋y＋z能被3整除，那么xyz就能被3整除．請(qǐng)補(bǔ)全小明的證明思路．100x＋10y＋z小明的證明思路xyz＝____________①＝________②＋(x＋y＋z)＝3(________)③＋(x＋y＋z).∵代數(shù)式③，(x＋y＋z)都能被3整除，∴xyz能被3整除.(99x＋9y)33x＋3y【點(diǎn)方法】解決整除問題，首先要對(duì)所給的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，然后確定因式分解結(jié)果中的因數(shù)能否被某個(gè)數(shù)整除，若能，則能被整除，否則不能被整除．返回5．返回【證明】(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2]·[(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．∵a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.∴(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定為負(fù)．已知a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)．求證：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定為負(fù)．6．返回【解】P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)＝x2－6x＋y2＋4y＋14＝x2－6x＋9＋y2＋4y＋4＋1＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.∵(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1>0.∴P＞Q.已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比較P，Q的大小．7．返回【解】△ABC為等腰三角形．理由如下：∵a2＋b2－2a－6b＋10＝0，∴a2－2a＋1＋b2－6b＋9＝0.∴(a－1)2＋(b－3)2＝0.∴a－1＝0，b－3＝0，解得a＝1，b＝3.∵a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，∴3－1<c<3＋1，即2<c<4.∵c是正整數(shù)，∴c＝3.∴b＝c＝3.∴△ABC為等腰三角形．已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2＋b2－2a－6b＋10＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由．8．【解】∵b2＋2ab＝c2＋2ac，∴(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0.∴(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0.∴(b－c)(b＋c＋2a)＝0.∵a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，∴b＋c＋2a＞0.∴b－c＝0，即b＝c.∴△ABC是等腰三角形．已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且b2＋2ab＝c2＋2aC．(1)試判斷△ABC的形狀；(2)若a＝4，b＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．由(1)可知c＝b＝3，∴△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.返回9．4(1)【感知】為了求代數(shù)式a2＋2a＋5的值，我們必須要知道a的值．若a＝－1，則這個(gè)代數(shù)式的值為________；若a＝0，則這個(gè)代數(shù)式的值為________；若a＝1，則這個(gè)代數(shù)式的值為________；…可見，這個(gè)代數(shù)式的值因a的取值不同而變化，盡管如此，我們還是有辦法來找到這個(gè)代數(shù)式值的范圍．58(2)【探索】把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以解決求代數(shù)式的最大(或最小)值問題．例如：a2＋2a＋5＝a2＋2a＋1＋4＝(a＋1)2＋4，∵(a＋1)2是非負(fù)數(shù)，∴這個(gè)代數(shù)式的最小值是________，此時(shí)相應(yīng)的a的值是________．4－1(3)【應(yīng)用】試說明代數(shù)式－a2＋6a＋2025有最大值，并求出這個(gè)最大值及相應(yīng)的a的值．【解】－a2＋6a＋2025＝－(a2－6a)＋2025＝－(a2－6a＋9)＋9＋2025＝－(a－3)2＋2034.∵(a－3)2≥0，∴－(a－3)2≤0.∴－(a－3)2＋2034≤2034.∴當(dāng)a＝3時(shí)，－a2＋6a＋2025有最大值，最大值是2034.返回10．x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1請(qǐng)你仔細(xì)觀察以下等式，并運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下列問題：①x2－1＝(x－1)(x＋1)；②x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)；③x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)；④x5－1＝(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)；…(1)x6－1＝(x－1)(______________________)；(2)____________＝(x－1)(x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)；x