《信號與系統(tǒng)簡明教程》第5章系統(tǒng)的頻域分析第5章系統(tǒng)的頻域分析一、連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)二、連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析三、無失真系統(tǒng)與理想低通四、*離散時間系統(tǒng)的頻域分析一、連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.虛指數(shù)信號ej

t(-

<t<

)通過系統(tǒng)的響應(yīng)2.任意非周期信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)3.系統(tǒng)頻響H(j

)的定義與物理意義4.H(j

)與h(t)的關(guān)系5.計算H(j

)

的方法1.虛指數(shù)信號ej

t(-

<t<

)通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)其中2.任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若信號f(t)的Fourier存在，則可由虛指數(shù)信號ej

t(-

<t<

)的線性組合表示，即由系統(tǒng)的線性時不變特性，可推出信號f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。由積分特性即由均勻性Yf(j

)2.任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3.連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j

)的定義與物理意義系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的相頻特性H(j

)的物理意義：系統(tǒng)把頻譜為F(j

)

的輸入改變成頻譜為H(j

)F(j

)的響應(yīng)，改變的規(guī)律完全由H(j

)決定。H(j

)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性。H(j

)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，定義為或Yf(j

)=H(j

)F(j

)4.H(j

)與h(t)的關(guān)系即H(j

)等于系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的Fourier變換由H(j

)的定義，顯然有5.計算H(j

)

的方法(1)由系統(tǒng)的動態(tài)方程式直接計算；(2)由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的Fourier變換計算；(3)由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算。[例1]已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j

)。[解]利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得(1)由系統(tǒng)的動態(tài)方程式直接計算[例2]已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j

)。[解]利用H(j

)與h(t)的關(guān)系(2)由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的Fourier變換計算[例3]圖示RC電路系統(tǒng)，激勵電壓源為f(t)，輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j

)和單位沖激響應(yīng)h(t)。[解]RC電路的頻域(相量)模型如右圖，由電路基本原理有(3)由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算由Fourier反變換，得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)為(3)由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j

)|不斷減小，說明信號的頻率越高，信號通過該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把

c=1/RC稱為該系統(tǒng)的3dB截頻。RC電路系統(tǒng)的幅度響應(yīng)（低通濾波器）(3)由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算二、連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析1.連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析2.連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析3.正弦信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)4.任意周期信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)1.連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析（1）已知描述系統(tǒng)的微分方程方程兩邊進行Fourier變換，并利用時域微分特性，有解此代數(shù)方程即可求得零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜Yf(j

)。（2）已知系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對Yf(j

)進行Fourier反變換，可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系：(1)兩種分析方法實質(zhì)相同，只不過是采用單元信號不同。(2)分析域不同，卷積積分法——時域，頻域分析法——頻域。Fourier變換的時域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。1.連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析[例1]已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f'(t)+4f(t)，系統(tǒng)的輸入激勵f(t)=e-3tu(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。[解]由于輸入激勵f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得1.連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的頻譜函數(shù)Yf(j

)為1.連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析（1）正弦信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)由Euler公式可得由虛指數(shù)信號ej

t作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點及系統(tǒng)的線性特性，可得零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為2.周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析同理結(jié)論：正、余弦信號作用于線性時不變系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)仍為同頻率的正、余弦信號。輸出信號的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度函數(shù)|H(j

0)|確定，輸出信號的相位相對于輸入信號偏移了2.周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析（2）任意周期信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)將周期為T0的周期信號f(t)用Fourier級數(shù)展開為因為故由系統(tǒng)的線性特性可得周期信號f(t)通過頻率響應(yīng)為H(j

)的系統(tǒng)的響應(yīng)為若f(t)、h(t)為實函數(shù)，則有2.周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析[例2]求圖示周期方波信號通過系統(tǒng)H(j

)=1/(a+j

)的響應(yīng)y(t)。[解]對于周期方波信號，其Fourier系數(shù)為2.周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析可得系統(tǒng)響應(yīng)y(t)為由2.周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析小結(jié):優(yōu)點：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號頻譜的改變，解釋激勵與響應(yīng)時域波形的差異，物理概念清楚。不足： （1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍按時域方法求解。（2）若激勵信號不存在傅立葉變換，則無法利用頻域分析法。（3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復(fù)雜。解決方法：采用拉普拉斯變換二、連續(xù)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析三、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器1.無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)2.理想濾波器的頻響特性3.理想低通濾波器

沖激響應(yīng) 階躍響應(yīng)1.無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)若輸入信號為f(t)，則無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號y(t)應(yīng)為K為常數(shù)，td是輸入信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。時域特性頻域特性其幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足兩個條件：(1)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(j

)|在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)K，即系統(tǒng)的帶寬為無窮大；(2)系統(tǒng)的相位響應(yīng)f(j

)在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)與

成正比。1.無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)[例1]已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為(1)求系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j

)|和相位響應(yīng)f(

)，并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)當輸入為f(t)=sint+sin3t(-

<t<

)時，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。1.無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)[解](1)因為所以系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j

)|為常數(shù)，但相位響應(yīng)f(

)不是

的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)1.無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)[例1]的輸入和輸出信號波形顯然，輸出信號相對于輸入信號產(chǎn)生了失真。輸出信號的失真是由于系統(tǒng)的非線性相位引起的。1.無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)2.理想濾波器的頻響特性濾波器是指能使信號的一部分頻率通過，而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。理想低通理想高通理想帶通理想帶阻3.理想低通濾波器截止角頻率幅頻響應(yīng)|H(j

)|在通帶0~

c

恒為1，在通帶之外為0。相頻響應(yīng)f(

)在通帶內(nèi)與

成線性關(guān)系(1)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)3.理想低通濾波器沖激響應(yīng)分析:①h(t)的波形是一個取樣函數(shù)，不同于輸入信號d(t)的波形，有失真。原因：理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng)，而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。減小失真方法：增加理想低通截頻

c。h(t)的主瓣寬度為2p/

c，

c越小，失真越大。當

c

時，理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。3.理想低通濾波器

②h(t)主峰出現(xiàn)時刻t=td比輸入信號d(t)作用時刻t=0延遲了一段時間td，td是理想低通濾波器相位特性的斜率。③h(t)在t<0的區(qū)間也存在輸出，可見理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因而它是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。3.理想低通濾波器(2)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)3.理想低通濾波器階躍響應(yīng)分析:①階躍響應(yīng)g(t)比輸入階躍信號u(t)延遲td，td是理想低通濾波器相位特性的斜率。②階躍響應(yīng)的建立需要一段時間。階躍響應(yīng)從最小值上升到最大值所需時間稱為階躍響應(yīng)的上升時間tr。tr=2p/

c，即上升時間tr與理想低通截頻

c成反比。

c越大，上升時間就越短，當

c

時，tr

0。③存在Gibbs現(xiàn)象。即在間斷點的前后出現(xiàn)了振蕩，其振蕩的最大峰值約為階躍突變值的9%左右，且不隨濾波器帶寬的增加而減小。3.理想低通濾波器結(jié)論:①輸出響應(yīng)的延遲時間取決于理想低通濾波器的相位特性的斜率。②輸入信號在通過理想低通濾波器后，輸出響應(yīng)在輸入信號不連續(xù)點處產(chǎn)生逐漸上升或下降的波形，上升或下降的時間與理想低通濾波器的通頻帶寬度成反比。③理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號的帶寬不相匹配時，輸出就會失真。系統(tǒng)的通帶寬度越大于信號的帶寬，則失真越小，反之，則失真越大。3.理想低通濾波器[例]求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t，-

<t<

，通過線性相位理想低通濾波器的響應(yīng)。[解]因為利用Fourier變換的頻移特性，可得3.理想低通濾波器1)當

c>3時，輸入信號的所有頻率分量都能通過系統(tǒng)，即3.理想低通濾波器2)當

c<1時，輸入信號的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng)，即y(t)=0，-

<t<

3.理想低通濾波器3)當1<

c

<3時，只有1

c范圍內(nèi)的頻率分量能通過系統(tǒng)，故由抽樣信號頻譜及Fourier變換的時域和頻域位移特性可得3.理想低通濾波器四、*離散信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)1.離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)2.ej

k通過LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3.任意信號通過