《信號與系統(tǒng)簡明教程》第4章信號的頻域分析第4章信號的頻域分析一、連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)展開二、Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)三、連續(xù)周期信號的頻譜分析四、連續(xù)非周期信號的頻譜五、常見連續(xù)時間信號的頻譜六、連續(xù)時間Fourier變換的性質(zhì)七、*離散Fourier級數(shù)八、*離散非周期信號的頻域分析九、信號的時域抽樣定理將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合

(1)從信號分析的角度,將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合,為不同信號之間進(jìn)行比較提供了途徑。

(2)從系統(tǒng)分析角度,已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng),利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的總響應(yīng)而且每個正弦分量通過系統(tǒng)后，是衰減還是增強一目了然。一、連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)展開周期信號fT(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)絕對可積，即滿足 (2)在一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點；(3)在一個周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。周期信號展開為Fourier級數(shù)條件一、連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)展開1.指數(shù)形式Fourier級數(shù)連續(xù)時間周期信號可以用指數(shù)形式Fourier級數(shù)表示為兩項的頻率為

0，兩項合起來稱為信號的基波分量的頻率為2

0，兩項合起來稱為信號的2次諧波分量的頻率為N

0，兩項合起來稱為信號的N次諧波分量物理含義：周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和。若f(t)為實函數(shù)，則有利用這個性質(zhì)可以將指數(shù)Fourier級數(shù)表示寫為令由于C0是實的，所以b0=0，故2.三角形式Fourier級數(shù)2.三角形式Fourier級數(shù)Ancos(n

0+

n)稱為信號的n次諧波分量。稱為信號的直流分量。3.純余弦形式Fourier級數(shù)

n稱為信號的n次諧波分量的初相（或Cn的相位角）。[例1]

試計算圖示周期矩形脈沖信號的Fourier級數(shù)展開式。[解]該周期信號f

(t)顯然滿足Dirichlet的三個條件，必然存在Fourier級數(shù)展開式。一、連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)展開可得，周期方波信號的三角形式Fourier級數(shù)展開式為由因此，周期方波信號的指數(shù)形式Fourier級數(shù)展開式為一、連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)展開1.線性特性2.時移特性二、Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)3.卷積性質(zhì)[f(t)為實信號]若f1(t)和f2(t)均是周期為T0的周期信號，且4.微分特性5.對稱特性二、Fourier級數(shù)的基本性質(zhì)三、連續(xù)周期信號的頻譜分析周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和

Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。不同的時域信號，只是Fourier級數(shù)的系數(shù)Cn不同，因此通過研究Fourier級數(shù)的系數(shù)來研究信號的特性。1.頻譜的概念其中2.頻譜的表示直接畫出信號各次諧波對應(yīng)的An、

Cn線狀分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜圖。幅頻特性相頻特性三、連續(xù)周期信號的頻譜分析周期矩形脈沖信號的頻譜圖三、連續(xù)周期信號的頻譜分析3.頻譜的特性(1)離散頻譜特性周期信號的頻譜是由間隔為

0的譜線組成信號周期T越大，

0就越小，則譜線越密。反之，T越小，

0越大，譜線則越疏。三、連續(xù)周期信號的頻譜分析(2)幅度衰減特性當(dāng)周期信號的幅度頻譜隨著諧波n

0增大時，幅度頻譜|Cn|不斷衰減，并最終趨于零。若信號時域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號時域波形變化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。三、連續(xù)周期信號的頻譜分析(3)信號的有效帶寬0~2

/

這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號的有效頻帶寬度,即信號的有效帶寬與信號時域的持續(xù)時間

成反比。即

越大，其

B越??；反之，

越小，其

B越大。三、連續(xù)周期信號的頻譜分析物理意義：若信號丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會對信號產(chǎn)生明顯影響。說明：當(dāng)信號通過系統(tǒng)時，信號與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”。三、連續(xù)周期信號的頻譜分析4.周期信號的功率譜物理意義：任意周期信號的平均功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。|Cn|2隨n

0

分布情況稱為周期信號的功率頻譜，簡稱功率譜。帕斯瓦爾(Parseval)功率守恒定理三、連續(xù)周期信號的頻譜分析[例2]試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(0~2p/t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，

=1/20。三、連續(xù)周期信號的頻譜分析[解]周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為將A=1，T=1/4，

=1/20，

0=2p/T=8p

代入上式功率譜三、連續(xù)周期信號的頻譜分析功率譜三、連續(xù)周期信號的頻譜分析信號的平均功率為包含在有效帶寬(0~2p/t)內(nèi)的各諧波平均功率為三、連續(xù)周期信號的頻譜分析周期矩形脈沖信號包含在有效帶寬內(nèi)的各諧波平均功率之和占整個信號平均功率的90%。三、連續(xù)周期信號的頻譜分析N=5N=15N=50N=500吉布斯（Gibbs)現(xiàn)象三、連續(xù)周期信號的頻譜分析吉布斯（Gibbs)現(xiàn)象用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續(xù)點出現(xiàn)過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9%。Gibbs現(xiàn)象產(chǎn)生原因時間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得在間斷點Fourier級數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。三、連續(xù)周期信號的頻譜分析四、連續(xù)非周期信號的頻譜1.從Fourier級數(shù)到Fourier變換2.頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別3.Fourier反變換4.非周期矩形脈沖信號的頻譜分析1.從Fourier級數(shù)到Fourier變換討論周期T增加對離散譜的影響：周期為T寬度為t的周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為物理意義:F(j

)是單位頻率所具有的信號頻譜，稱之為非周期信號的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。1.從Fourier級數(shù)到Fourier變換Dirichlet條件Dirichlet條件是充分不必要條件（1）非周期信號在無限區(qū)間上絕對可積（2）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號只有有限個最大值和最小值。（3）在任意有限區(qū)間內(nèi)，信號僅有有限個不連續(xù)點，且這些點必須是有限值。1.從Fourier級數(shù)到Fourier變換(1)周期信號的頻譜為離散頻譜，非周期信號的頻譜為連續(xù)頻譜。(2)周期信號的頻譜為Cn的分布，表示每個諧波分量的復(fù)振幅；非周期信號的頻譜為TCn的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。兩者關(guān)系：2.頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別物理意義：非周期信號可以分解為無數(shù)個頻率為

，復(fù)振幅為[F(

)/2p]d

的復(fù)指數(shù)信號ej

t的線性組合。T

,記n

0=

,

0=2p/T=d

,3.Fourier反變換Fourier正變換：Fourier反變換：符號表示：3.Fourier反變換[例]試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)[解]非周期矩形脈沖信號f(t)的時域表示式為由Fourier正變換定義式，可得四、連續(xù)非周期信號的頻譜4.非周期矩形脈沖信號的頻譜分析（2）周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的連續(xù)頻譜等間隔取樣求得（3）信號在時域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù)。（4）信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個過零點之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。（5）脈沖寬度

越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用的頻帶越寬。（1）非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號離散頻譜的包絡(luò)線相似。五、常見連續(xù)時間信號的頻譜1.常見非周期信號的頻譜(頻譜密度)單邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號e-|t|

單位沖激信號

(t)

直流信號符號函數(shù)信號單位階躍信號u(t)2.常見周期信號的頻譜密度虛指數(shù)信號(正弦型信號)一般周期信號單位沖激串1.常見非周期信號的頻譜(1)單邊指數(shù)信號幅度頻譜為相位頻譜為單邊指數(shù)信號及其幅度頻譜與相位頻譜1.常見非周期信號的頻譜(2)雙邊指數(shù)信號幅度頻譜為 相位頻譜為1.常見非周期信號的頻譜(3)單位沖激信號δ(t)單位沖激信號及其頻譜1.常見非周期信號的頻譜(4)直流信號直流信號不滿足絕對可積條件,可采用極限的方法求出其Fourier變換。

1.常見非周期信號的頻譜對照沖激、直流時頻曲線可看出:時域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；時域持續(xù)越窄的信號，其頻域的頻譜越寬。直流信號及其頻譜1.常見非周期信號的頻譜(4)直流信號（5）符號函數(shù)信號符號函數(shù)定義為1.常見非周期信號的頻譜符號函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜（5）符號函數(shù)信號1.常見非周期信號的頻譜(6)單位階躍信號u(t)單位階躍信號及其頻譜1.常見非周期信號的頻譜2.常見周期信號的頻譜(1)虛指數(shù)信號同理:（2）正弦型信號余弦信號及其頻譜函數(shù)2.常見周期信號的頻譜正弦信號及其頻譜函數(shù)（2）正弦型信號2.常見周期信號的頻譜（3）一般周期信號兩邊同取Fourier變換2.常見周期信號的頻譜（4）單位沖激串因為

T(t)為周期信號，先將其展開為指數(shù)形式Fourier級數(shù)：2.常見周期信號的頻譜單位沖激序列及其頻譜函數(shù)（4）單位沖激串2.常見周期信號的頻譜1.線性特性 2.共軛對稱特性3.互易對稱特性4.展縮特性 5.時移特性6.頻移特性7.時域卷積特性8.頻域卷積特性9.時域微分特性10.積分特性 11.頻域微分特性12.能量定理六、Fourier變換的基本性質(zhì)1.線性特性其中a和b均為常數(shù)。2.共軛對稱特性當(dāng)f(t)是實函數(shù)時，有|F(j

)|=|F(-j

)|，f(

)=-f(-

)F(j

)為復(fù)數(shù)，可以表示為3.時移特性式中t0為任意實數(shù)證明：令x=t-t0，則dx=dt，代入上式可得信號在時域中的時移，對應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。[例1]試求圖示延時矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。[解]無延時且寬度為

的矩形脈沖信號f(t)如右圖，因為故，由延時特性可得其對應(yīng)的頻譜函數(shù)為3.時移特性4.展縮特性證明:令x=at，則dx=adt，代入上式可得時域壓縮，則頻域展寬；時域展寬，則頻域壓縮。5.互易對稱特性5.互易對稱特性[例2]求信號的頻譜.[解]由再由互易對稱性得：所以：6.頻移特性（調(diào)制定理）若

f(t)

F(j

)式中

0為任意實數(shù)證明：由Fourier變換定義有則信號f(t)與正弦信號相乘后，其頻譜是將原來信號頻譜向左右搬移

0，幅度減半。同理6.頻移特性（調(diào)制定理）[例3]試求矩形脈沖信號f(t)與正弦信號cos

0t相乘后信號的頻譜函數(shù)。應(yīng)用頻移特性可得[解]已知寬度為

的矩形脈沖信號對應(yīng)的頻譜函數(shù)為6.頻移特性（調(diào)制定理）6.頻移特性（調(diào)制定理）7.時域微分特性則若

[例4]試?yán)梦⒎痔匦郧缶匦蚊}沖信號的頻譜函數(shù)。[解]由時域微分特性因此有7.時域微分特性8.頻域微分特性則若 將上式兩邊同乘以j得證明：[例5]試求單位斜坡信號tu(t)的Fourier變換。 [解]已知單位階躍信號Fourier變換為:利用頻域微分特性可得:8.頻域微分特性9.時域卷積特性證明：10.頻域卷積特性(調(diào)制特性)證明：11.積分特性若信號不存在直流分量，即F(0)=0則若則12.非周期實信號的能量譜密度由于信號f(t)為實數(shù)，故F(-j

)=F*(j

)，因此上式為信號的能量可以由|F(j

)|2在整個頻率范圍的積分乘以1/2

來計算。物理意義：非周期能量信號的歸一化能量在時域中與在頻域中相等，保持能量守恒。能量頻譜密度函數(shù)(能量頻)：單位角頻率的信號能量帕斯瓦爾（Parseval）能量守恒定理七、*離散Fourier級數(shù)（DFS）1.DFS的定義2.常用離散周期序列的頻譜分析 正弦型序列 周期矩形波序列DFS的物理含義周期為N的任意序列可分解為基本序列{exp(2pkm/N)

;m=0,1,

,N-1}的線性組合。1.DFS的定義IDFSDFS1.DFS的定義（1）正弦型序列周期序列的頻譜因此，按傅立葉級數(shù)展開的定義可知（2）周期矩形波序列當(dāng)時，有2.常用離散周期序列的頻譜分析八、*離散時間Fourier變換(DTFT)1.DTFT的定義2.DTFT的性質(zhì)1.DTFT的定義DTFT 1)F(ej

)是連續(xù)的IDTFT 2)F(e

j

)是周期為2

的周期函數(shù)F(ej

)特點：1.DTFT的定義[解]

1.DTFT的定義03p01234-3p-2p-pp2p|F(ej

)|

[例3]試求單位脈沖序列f[k]=d[k]的DTFT。[解]1.DTFT的定義

2.DTFT性質(zhì)(1)線性特性

(2)對稱特性F(ej

)可表示為當(dāng)f[k]是實序列時:(3)時移(4)頻移

2.DTFT性質(zhì)(5)時域卷積(6)頻域卷積(7)頻域微分(8)能量定理

2.DTFT性質(zhì)九、連續(xù)時間信號的時域抽樣抽樣定理的工程問題抽樣定理的理論分析抽樣定理的理論聯(lián)系實際抽樣定理的Matlab仿真分析信號的重建1.抽樣定理的工程問題AnalogsignalDigitalsignal思考：如何確定采樣間隔T？2.抽樣定理的理論分析初步結(jié)論：2.抽樣定理的理論分析2.抽樣定理的理論分析理想抽樣信號samplingsignalContinuoustimesignalDiscretesignal2.抽樣定理的理論分析理想抽樣信號思考：如何建立與的關(guān)系？2.抽樣定理的理論分析與的關(guān)系：2.抽樣定理的理論分析2.抽樣定理的理論分析結(jié)論1：理想抽樣信號頻譜相當(dāng)于連續(xù)信號頻譜的周期延拓。2.抽樣定理的理論分析與的關(guān)系：2.抽樣定理的理論分析結(jié)論2：理想抽樣信號與離散信號頻譜相同。2.抽樣定理的理論分析2.抽樣定理的理論分析2.抽樣定理的理論分析抽樣定理：Nyquist'ssamplingtheorem為最小抽樣頻率，稱為Nyquist

rate.(1)f(t)是帶限信號(2)抽樣頻率需滿足2.抽樣定理的理論分析HarryNyquistHarryNyquist,(bornFeb.7,1889,Nilsby,Sweden—diedApril4,1976,Harlingen,Texas,U.S.),AmericanphysicistandHis1928paper“CertainTopicsinTelegraphTransmissionTheory”refinedhisearlierresultsandestablishedtheprinciplesofsamplingcontinuoussignalstoconvertthemtodigitalsignals.electricalandcommunicationsengineer,aprolificinventorwhomadefundamentaltheoreticalandpracticalcont