1.1.1空間向量及其線性運算

【考點梳理】考點一：空間向量的概念1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．2．長度或模：向量的大?。?．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量考點二：空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.考點三：共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．考點四：共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.【題型歸納】題型一：空間向量的概念1．（2024秋·全國·高二專題練習）下列關于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同2．（2023春·高二課時練習）給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·高二課時練習）下列關于空間向量的命題中，正確的個數(shù)是（

）①在同一條直線上的單位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方體中，與是相等向量；④在空間四邊形中，與是相反向量；⑤在三棱柱中，與的模一定相等的向量一共有3個A．2 B．3 C．4 D．5題型二：空間向量的線性運算（加減法）4．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四面體OABC中，，，．點M在OA上，且滿足，N為BC的中點，則（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·高二課時練習）在三棱柱中，，若點為的中點，則（

）A． B．C． D．6．（2022秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（

）．

A． B．C． D．題型三：空間兩個向量共線的問題7．（2023·全國·高二專題練習）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對8．（2023·全國·高二專題練習）設向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2022春·四川南充·高二閬中中學?？茧A段練習）在平行六面體中，點P在上，若，則（

）A． B． C． D．題型四：空間共面向量定理10．（2023春·高二單元測試）在正四面體中，點O是的中心，若，則（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高二專題練習）下列條件能使點與點一定共面的是（

）A．B．C．D．12．（2023·全國·高二專題練習）若點平面，且對空間內任意一點滿足，則的值是（

）A． B． C． D．題型五：空間向量的綜合問題13．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學?？茧A段練習）如圖，已知空間四邊形，連接，，，，分別是，，的中點，請化簡：(1)；(2)，并在圖中標出化簡結果的向量.14．（2023·全國·高二專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．15．（2023秋·全國·高二隨堂練習）在正四面體中，點在平面內的投影為，點是線段的中點，過的平面分別與，，交于，，三點.(1)若，求的值；(2)設，，，求的值.【雙基達標】一、單選題16．（2023秋·全國·高二期中）化簡所得的結果是（

）A． B． C． D．17．（2023春·福建寧德·高二?？茧A段練習）直三棱柱中，若，，，則（

）.

A． B．C． D．18．（2023秋·全國·高二隨堂練習）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量滿足，則；④若空間向量滿足，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4 B．3C．2 D．119．（2023·全國·高二專題練習）已知，，，四點在平面內，且任意三點都不共線，點在外，且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．320．（2023·全國·高二專題練習）四面體中，，是的中點，是的中點，設，，，則（

）A． B．C． D．21．（2021秋·高二課時練習）如圖，在正方體中，化簡向量表達式：

(1)；(2)．22．（2023秋·全國·高二隨堂練習）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．【高分突破】一、單選題23．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二尚志市尚志中學?？茧A段練習）在四面體中，，點在棱上，且，為中點，則（

）A． B．C． D．24．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知是空間中不共線的三個點，若點滿足，則下列說法正確的一項是（

）A．點是唯一的，且一定與共面B．點不唯一，但一定與共面C．點是唯一的，但不一定與共面D．點不唯一，也不一定與共面25．（2024秋·全國·高二專題練習）如圖，設為平行四邊形所在平面外任意一點，為的中點，若，則的值是（

）A． B．0 C． D．26．（2023·全國·高二專題練習）設向量不共面，空間一點滿足，則四點共面的一組數(shù)對是（

）A． B． C． D．27．（2023·全國·高二專題練習）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題28．（2023·全國·高二專題練習）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．29．（2023·全國·高二專題練習）若，，，為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④30．（2023春·高二單元測試）下列判斷錯誤的是（

）A．是向量不共線的充要條件B．在空間四邊形中，＋＋0C．在棱長為的正四面體中，·D．若向量共面，則它們所在的直線也共面31．（2023·全國·高二專題練習）下列命題中是真命題的為（

）A．若與共面，則存在實數(shù)，使B．若存在實數(shù)，使向量，則與共面C．若點四點共面，則存在實數(shù)，使D．若存在實數(shù)，使，則點四點共面32．（2022秋·遼寧營口·高二?？茧A段練習）給出下列命題，其中是假命題的是（

）A．若A，B，C，D是空間中的任意四點，則有B．是，共線的充要條件C．若，共線，則D．對空間中的任意一點O與不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面三、填空題33．（2023·全國·高二專題練習）已知三點共線，為空間任意一點，，則.34．（2023·全國·高二專題練習）設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為.35．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，，，若，則．

36．（2021秋·高二課時練習）給出下列幾個命題：①方向相反