2.3:直線的交點坐標與距離公式【考點梳理】考點一：兩條直線的交點坐標1．兩直線的交點已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點A(a，b)．(1)若點A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點A是直線l1與l2的交點，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關系相交重合平行考點二：兩點間的距離公式（1）點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).考點三：兩條平行直線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【題型歸納】題型一：直線的交點坐標1．（2023秋·高二）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩直線垂直可得，聯(lián)立解方程組可得交點坐標.【詳解】易知直線的斜率為，由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；聯(lián)立，解得；即交點為故選：C.2．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立方程計算交點為，根據(jù)直線垂直得到，得到直線方程.【詳解】，解得，故直線交點為，直線的斜率，故垂直于它的直線斜率，故所求直線方程為，整理得到.故選：B3．（2023·全國·高二專題練習）過兩直線的交點，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩直線的交點坐標，求出所求直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由，解得，得直線的交點為點．因為所求直線與直線垂直，故所求直線的斜率，因此，所求直線的方程為，即．故選：C.題型二：由直線交點個數(shù)求參數(shù)4．（2023秋·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B． C．12 D．4【答案】A【分析】由直線與互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再將垂足代入兩直線方程可求出，繼而可求.【詳解】因為直線與互相垂直所以，解的，所以直線為，又垂足為，可得，解得，則垂足為，又其在上，可得，解得.所以，故選：A.5．（2023·全國·高二專題練習）若直線與直線的交點在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組求得兩直線的交點為，根據(jù)題意列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程組，解得，即兩直線的交點坐標為，因為兩直線的交點位于第四象限，可得且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.6．（2022·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立兩直線方程，求出交點坐標，由已知條件列出不等式組，求解即可．【詳解】將兩直線方程組成方程組，解得，因為直線與直線的交點在第一象限，所以解得故選：B題型三：直線交點系方程及其應用7．（2023·全國·高二專題練習）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】設過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，得，求解即可.【詳解】設過兩直線交點的直線系方程為，代入原點坐標，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.8．（2022·高二課時練習）若P(2,3)既是的中點,又是直線與直線的交點,則線段AB的中垂線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直線與直線方程相減可得：，把點代入可得：，進而得出線段的中垂線方程．【詳解】解：直線與直線方程相減可得：，把點代入可得：，線段的中垂線方程是，化為：．故選．【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．（2023秋·高二課時練習）過直線與的交點，與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用直線系方程結合直線平行的條件可得參數(shù)，進而即得.【詳解】由已知，可設所求直線的方程為：，即，又因為此直線與直線平行，所以：，解得：，所以所求直線的方程為：，即．故選：A．題型四：兩點間的距離公式應用10．（2023·全國·高二專題練習）已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，因為，由兩點間的距離公式求解即可.【詳解】因為點C在x軸上，設點，則，所以，化簡可得：，所以.故選：D.11．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求點關于直線的對稱點的坐標，由此可得，結合結論兩點之間線段最短可求的最小值.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以，當且僅當點為線段與直線的交點時等號成立，所以的最小值是4，故選：B.12．（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，已知，，從點射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出關于的對稱點和它關于y軸的對稱點,則就是所求的路程長.【詳解】易知直線AB的方程為，設點關于直線AB的對稱點為，則解得即．又點關于y軸的對稱點為，由光的反射規(guī)律以及幾何關系可知，光線所經(jīng)過的路程長．故選：.題型五：兩點間的距離公式求函數(shù)最值問題13．（2023·全國·高二專題練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標式進行轉化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.【詳解】,可以看作點到點的距離之和，作點關于軸的對稱點，顯然當三點共線時，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.14．（2023·全國·高二專題練習）代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩點之間距離公式分析出表示到、的距離之和，求出關于對稱點為，連接交于點，此時最小.【詳解】由兩點之間距離公式可以得到表示點到的距離，表示點到的距離，所以代數(shù)式表示，由圖像可知在在運動，所以易得關于對稱點為，連接交于點，此時最小，最小值為.故選：B.15．（2023秋·高二課時練習）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離.結合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記點、、，可得出，數(shù)形結合可求得的最小值.【詳解】因為，記點、、，則，當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，即的最小值為.故選：C.題型六：點到直線的距離問題16．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.【詳解】由得，所以直線l過定點，依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，由點到直線的距離公式可得．故選:B.17．（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┮阎c在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】就是到原點距離，只需求出原點到直線的距離即可.【詳解】就是到原點距離，到原點距離的最小值為則的最小值為2，故選：B.18．（2023秋·四川遂寧·高二?？计谀┮阎本€l經(jīng)過兩直線l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交點，且與直線x﹣2y﹣3＝0垂直，則坐標原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先聯(lián)立方程求得交點坐標，再利用直線垂直求得直線l的斜率，從而求得直線l的方程，進而利用點線距離公式即可得解.【詳解】聯(lián)立方程組可得，解得，故交點A的坐標為，因為直線x﹣2y﹣3＝0的斜率為，又直線l與直線x﹣2y﹣3＝0垂直，所以直線l的斜率為﹣2，故直線l的方程為，即2x+y﹣2＝0；所以原點到直線的距離為.故選：A.題型七：點、直線的對稱問題19．（2023秋·高二單元測試）已知直線，點關于直線的對稱點為，直線經(jīng)過點，且，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩點關于直線對稱可求得點的坐標，設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的方程.【詳解】設點，則，解得，即點，因為，設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程可得，解得，所以，直線的方程為.故選：A.20．（2022秋·高二?？颊n時練習）已知點與點關于直線對稱，則直線的方程是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，求出，設直線方程為，然后求出中點坐標，代入直線方程，解出即可.【詳解】因為直線的斜率為,所以直線的斜率為1,設其方程為,因為線段的中點坐標為,所以,解得，所以直線的方程是.故選：D.21．（2023·全國·高二專題練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設點為直線上的動點，題意可轉化成求與的距離和與的距離之和的最小值，求出關于直線的對稱點，故，即可求出答案【詳解】設點為直線上的動點，由可看作與的距離和與的距離之和，設點則點為點關于直線的對稱點，故，且，所以，當且僅當三點共線時，取等號，所以的最小值為.故選：C題型八：兩條平行直線間的距離22．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校﹥蓷l平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行的性質可得參數(shù)，再利用平行線間距離公式可得.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得，所以兩直線分別為和，所以.故選：B.23．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二江西省樂平中學?？茧A段練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知變形設出，，則為點分別到點，的距離之和，則，即可根據(jù)兩點間距離計算得出答案.【詳解】，，設，，，則為點分別到點，的距離之和，點關于軸的對稱點的坐標為，連接，則，當且僅當，，三點共線時取等號，故選：B.24．（2022·全國·高二專題練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩條直線平行的性質求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.【詳解】因為直線：與：，所以，又兩條平行直線：與：之間的距離是，所以解得即直線：，：，設直線關于直線對稱的直線方程為，則，解得，故所求直線方程為，故選：A題型九：直線距離和平行的綜合問題25．（2023秋·高二課時練習）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且，，AD，BE相交于點P．求證：.

【答案】證明見解析【分析】建立平面直角坐標系，由已知條件得出點A、E的坐標，求得直線AD、BE的方程，然后求交點P坐標，由得到AP和CP垂直．【詳解】以BC所在直線為x軸，BC的中點O為原點，建立平面直角坐標系，

設等邊三角形ABC的邊長為6，則，∵，∴直線AD的方程為，即，①∵，∴直線BE的方程為，即，②聯(lián)立①②解得，則，∵，∴，∴AP⊥CP．26．（2023秋·高二課時練習）入射光線問題．(1)已知一條光線從點射向x軸，經(jīng)過x軸上的點P反射后通過點，求點P的坐標；(2)已知一條光線從點射到y(tǒng)軸上的點Q，經(jīng)y軸反射后過點，求點Q的坐標及入射光線的斜率．【答案】(1)(2),【分析】（1）利用關于x軸的對稱點一定在入射光線上即可；（2）利用關于y軸的對稱點一定在反射光線上即可求出反射光線，從而求出點Q的坐標及入射光線的斜率..【詳解】（1）設關于x軸的對稱點為，所以直線的方程為:即，令，得：，所以點.（2）設關于y軸的對稱點為，所以直線的方程為:即，令，得：，所以點.入射光線的斜率即為直線AQ的斜率，所以.27．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點，，所在的直線方程為.(1)求點的坐標；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設出點的坐標，利用垂直可得答案；（2）根據(jù)，及的方程可得C的坐標，結合點斜式方程可得答案.【詳解】（1）由條件設，因為所在的直線和垂直，∴，∴.∴，.（2）設，，因為，∴，∴.∴，，因為在，∴.∴，∴，∴的方程為，即.

【雙基達標】一、單選題28．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考）兩條平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩直線平行可推出，再根據(jù)平行線間距離公式可計算.【詳解】由題意可得，再由平行線的距離公式得.故選：B29．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知三角形的三個頂點，，，則邊上中線的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點公式，求得的中點坐標，結合兩點間的距離公式，即可求解.【詳解】設的中點為，由中點坐標公式得，所以，所以．故選：A.30．（2023秋·高二課時練習）已知點A（3，4），B（6，m）到直線3x＋4y－7＝0的距離相等，則實數(shù)m＝（

）A． B．C．1 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意，由點到直線距離公式建立方程解得的值.【詳解】解析：由題意得，解得或.故選：D.31．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，由點到直線的距離公式即可得到結果.【詳解】由題意可知，OP的最小值即為原點到直線的距離，則.故選：C32．（2023·全國·高二課堂例題）已知不同的兩點與關于點對稱，則（

）A． B．14 C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)中點公式，列出方程，求得的值，進而求得的值.【詳解】因為兩點與關于點對稱，可得，即，解得，所以.故選：C.33．（2023秋·高二課時練習）（1）求經(jīng)過直線，的交點，且過點的直線的方程；（2）求經(jīng)過直線和的交點，且與直線垂直的直線的方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用兩直線的交點坐標公式以及直線的點斜式方程求解；（2）利用兩直線的交點坐標公式以及兩直線垂直與斜率的關系求解.【詳解】（1）設的交點為，聯(lián)立，解得，所以的交點為,所以,由點斜式可得，整理得.（2）設的交點為，聯(lián)立，解得，所以的交點為,設所求直線方程為，因為直線過點，所以，所以所求直線方程為.34．（2023秋·高二課時練習）已知的三個頂點分別為，，．(1)求邊上的中線的長；(2)證明：為等腰直角三角形．【答案】(1)(2)答案及解析【分析】（1）首先求出線段的中點的坐標，利用平面直角坐標系中兩點的距離公式計算可得；（2）利用距離公式求出，，，再由勾股定理逆定理證明即可.【詳解】（1）因為，，所以線段的中點的坐標為，又，則．（2）因為，，，因為，且，所以為等腰直角三角形．【高分突破】一、單選題35．（2023秋·全國·高二隨堂練習）若動點分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由題意，知點M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設該直線方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，再利用點到直線的距離公式可求得結果.【詳解】由題意，知點M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，設該直線方程為，則，即，∴點M在直線上，∴點M到原點的距離的最小值就是原點到直線的距離，即.故選：A.36．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知直線：，點，則點A到直線的距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可確定直線：，則直線過原點，且斜率為，由此可確定點到直線l的距離大于1，再確定當l與垂直時，點A到直線l的距離最大，即可求得答案.【詳解】由題意直線：，則直線過原點，且斜率為，

當直線l無限靠近于y軸時，點到直線l的距離無限接近于1，故點到直線l的距離大于1，當l與垂直時，點A到直線l的距離最大，最大值為，故點A到直線的距離的取值范圍為，故選：B37．（2023·全國·高二專題練習）已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒過的定點，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.【詳解】，由，解得，故過定點．，由，解得，故過定點，故，距離的最大值為．此時，，則，，解得，故．故選：C．38．（2023秋·全國·高二階段練習）直線，直線，給出下列命題：①，使得；

②，使得；③，與都相交；

④，使得原點到的距離為.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【分析】利用兩直線平行可得出關于的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實數(shù)的值，可判斷②；取可判斷③；利用點到直線的距離公式可判斷④.【詳解】對于①，若，則，該方程組無解，①錯；對于②，若，則，解得，②對；對于③，當時，直線的方程為，即，此時，、重合，③錯；對于④，直線的方程為，若，使得原點到的距離為，則，整理可得，，方程有解，④對.故選：C.39．（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市八中?？茧A段練習）如圖，直線與函數(shù)和的圖象分別交于點A，B，若函數(shù)的圖象上存在一點C，使得△ABC為等邊三角形，則t的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用等邊三角形的性質計算即可.【詳解】由題意可知，，，.設，因為△ABC是等邊三角形，所以點C到直線AB的距離為，則，即：.根據(jù)中點坐標公式可得，所以，所以，解得.故選：C.二、多選題40．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學考試）已知點，，且點在直線：上，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．的最小值為 D．最大值為3【答案】BCD【分析】設，利用斜率公式判斷A，利用距離公式判斷B，化折線為直線，利用兩點之間線段最短判斷C，根據(jù)幾何意義判斷D.【詳解】對于A：設，若時，此時的斜率不存在，，與不垂直，同理時與不垂直，當且時，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯誤；對于B：設，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點，使得，故B正確；對于C：如圖設關于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以，當且僅當、、三點共線時取等號（在線段之間），故C正確；

對于D：如下圖，，當且僅當在的延長線與直線的交點時取等號，故D正確.

故選：BCD41．（2023秋·江蘇南通·高二海安高級中學?？奸_學考試）下列說法中，不正確的有（

）A．已知點，，若直線的傾斜角小于，則實數(shù)a的取值范圍為B．若集合，滿足，則C．若兩條平行直線和之間的距離小于1，則實數(shù)a的取值范圍為D．若直線與連接，的線段相交，則實數(shù)a的取值范圍為【答案】CD【分析】根據(jù)直線的傾斜角、斜率、平行直線、直線相交等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，當時，直線即直線，此時直線的傾斜角為，所以A選項錯誤.B選項，由，得，所以集合表示斜率為的直線上的點（除去點）.由，得，所以集合表示過點且斜率為的直線，若，此時兩直線平行，滿足，若直線過點，則，此時，且，所以B選項錯誤.C選項，依題意，所以實數(shù)的取值范圍是，C選項正確.D選項，直線過定點，斜率為，，所以或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為，D選項正確.

故選：CD42．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流，，其方程分別為，，點，，則下列說法正確的是（

）A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是【答案】AC【分析】確定關于，的對稱點，利用兩點距離最小判斷A、B；確定關于，的對稱點，利用兩點距離最小判斷C、D；【詳解】由關于，的對稱點分別為，而，

從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，A對；從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，B錯；由關于，的對稱點分別為，

從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程，C對；從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是，D錯.故選：AC43．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，，，以下結論錯誤的是（

）A．無論a為何值，與都互相平行B．當a變化時，與分別經(jīng)過定點和C．無論a為何值，與都關于直線對稱D．若與交于點M，則的最大值是【答案】AC【分析】結合直線平行或垂直、直線過定點、直線與直線對稱、直線與直線交點、兩點間距離公式等知識分別對各選項分析，即可求解.【詳解】對于A，因為，故無論a為何值，與都相互垂直，故A錯誤；對于B，直線，當a變化，時，恒成立，所以恒過定點；，當a變化，時，恒成立，所以恒過定點，故B正確；對于C，在上任取一點，關于直線x＋y＝0對稱的點的坐標為，代入，得，不滿足無論a為何值，恒成立，故C不正確；對于D，聯(lián)立，解得，即，所以（當時取等號），所以的最大值是，故D正確．故選：AC.三、填空題44．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）平行直線與之間的距離為．【答案】/0.3【分析】根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意得即則平行直線與之間的距離為，故答案為：45．（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┙?jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線的方程是【答案】【分析】聯(lián)立方程組求得交點，根據(jù)題意求得所求直線的斜率為，結合點斜式方程，即可求解.【詳解】設兩直線和的交點為，聯(lián)立方程組，解得，即兩直線的交點為，由直線的斜率為，可得所求直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即.故答案為：.46．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中學?？奸_學考試）光線從射向軸上一點，又從反射到直線上一點，最后從點反射回到點，則BC所在的直線方程為．【答案】【分析】分別求點關于軸和直線的對稱點，再根據(jù)幾何關系求得直線的方程.【詳解】點關于軸的對稱點為，設點關于的對稱點為，則，解得：，即,由對稱性可知，點在直線上，所以，直線的方程為，即.

故答案為：47．（2023·全國·高二課堂例題）的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)兩點之間的距離公式改寫目標函數(shù)解析式，即可根據(jù)幾何意義求得結果.【詳解】，