第二章《直線和圓的方程》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率概念分別判斷即可.【詳解】對(duì)于:直線的傾斜角,,所以錯(cuò)誤；對(duì)于:兩直線的傾斜角相等為,斜率不存在,所以錯(cuò)誤；對(duì)于:當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)直線斜率不存在，所以錯(cuò)誤；對(duì)于:任何一條直線都有唯一的傾斜角．所以正確.故選：.2．已知直線：和：，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C．-1或3 D．-1【答案】D【分析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗(yàn)證即可判斷作答.【詳解】因，則，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為-1.故選：D3．過點(diǎn)的直線中被圓截得的弦長(zhǎng)最大的直線方程是A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意直線經(jīng)過圓心時(shí)弦長(zhǎng)最大，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵過點(diǎn)的直線中被圓截得的弦長(zhǎng)最大為直徑,所以該直線必經(jīng)過圓心，其直線為過點(diǎn)和圓心的直線，∴其方程為：，整理，得．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．4．已知點(diǎn)，直線方程為，且直線與線段相交，求直線的斜率的取值范圍為（）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由題知直線過定點(diǎn)，進(jìn)而作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即可得答案.【詳解】解：直線方程為轉(zhuǎn)化為，所以直線過定點(diǎn)，且與線段相交，如圖所示，則直線的斜率是，直線的斜率是，則直線與線段相交時(shí)，它的斜率的取值范圍是或故選：A．5．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn),中點(diǎn)為，若直線與直線AB的中垂線交于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，可求出，利用中點(diǎn)和垂直求出直線AB的中垂線，與聯(lián)立，求出M的坐標(biāo)；應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式分別求出和，利用不等式即可求出最大時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立得：，.則，則直線AB的中垂線為，聯(lián)立解得：.==，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，此時(shí)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線與直線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.6．若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，且過點(diǎn)C（－a，a）的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用對(duì)稱求得，再根據(jù)題意給出的幾何特征建立方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)圓的圓心關(guān)于直線y＝x－1的對(duì)稱點(diǎn)是，則由題意可得，計(jì)算可得，由題知它是圓的圓心，所以a＝2.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有，化簡(jiǎn)得.故選：C7．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，若直線l：上存在點(diǎn)Q，滿足線段PQ的中點(diǎn)也始終在圓O上，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意分析可知，只要O的圓心到直線l的距離不超過3，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求得k的取值范圍.【詳解】由題意分析可知，直線l：過定點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)閳AO：的圓心，半徑為，若滿足線段PQ的中點(diǎn)點(diǎn)在圓上，則，又，則，即，所以，設(shè)圓心O到直線l的距離為，則，所以，解得或，故．故選：D..8．已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由直線方程可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，得到的軌跡方程為，即，可得，取，則，結(jié)合，可得，進(jìn)而求解.【詳解】由已知過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，故圓心為，半徑為3，則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，又，即，取，則，又，所以，所以的最小值為.故選：A.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知點(diǎn)，直線(其中)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】ABC【分析】化簡(jiǎn)直線方程為，求得直線過定點(diǎn)，利用斜率公式，分別求得，得出直線的斜率為，列出不等式，即可求解.【詳解】將直線化為，因?yàn)?，所以，解得，即直線過定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)，可得，如圖所示，由直線與線段有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與線段有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，所以或，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)，可得ABC都符合題意.故選：ABC.10．已知，是圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于B點(diǎn)），M為弦的中點(diǎn)，則（

）．A．動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是B．動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是C．的最大值是D．的最大值是【答案】AD【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，用M的坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，將用坐標(biāo)表示，求得最大值，此時(shí)最大.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，設(shè)P的坐標(biāo)為，因?yàn)镸為弦BP的中點(diǎn)，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.由題，是銳角，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，最大，等于，此時(shí)最大，由，得等于.故選：AD.11．已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．點(diǎn)到曲線C上任意點(diǎn)距離最大為7 B．的最大值是3C．的最小值是 D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可求A，由兩點(diǎn)距離公式可得B，由直線與圓的位置關(guān)系可得C、D.【詳解】易知曲線的方程，如圖所示，

設(shè)，圓心，半徑，連接AC延長(zhǎng)交圓C于B點(diǎn)，此時(shí)長(zhǎng)為點(diǎn)到曲線C上任意點(diǎn)距離最大值，易得，故A正確；，即為圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，延長(zhǎng)OC交圓C于D點(diǎn)，則，故B錯(cuò)誤；令，則的值為過圓上一點(diǎn)的直線在縱軸上的的截距，顯然該直線與圓在相切時(shí)取得最值，即到直線的距離為半徑時(shí)，，故C正確；，即為圓C上一點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，易知與圓C相切時(shí)斜率取得端點(diǎn)值，可設(shè)該切線方程為，則有或，由圖象可知，故D正確.故選：ACD.12．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為D．己知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則【答案】AC【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法依次判斷充分性和必要性可知A錯(cuò)誤；由直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得B正確；根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程無法表示的直線可知C錯(cuò)誤；求得所過定點(diǎn)后，由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象可確定D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，此時(shí)兩直線垂直，充分性成立；若兩直線垂直，則，解得：或，必要性不成立；“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由直線得：，直線的斜率，即，又，，B正確；對(duì)于C，平行于坐標(biāo)軸的直線，即或時(shí)，直線方程不能寫為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得：，直線恒過定點(diǎn)；

，，結(jié)合圖象可知：，，D正確.故選：AC.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩條直線，的交點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)到圓心的距離大于半徑列出不等式，解出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意，聯(lián)立，所以兩條直線，的交點(diǎn)，因?yàn)榻稽c(diǎn)在圓的外部，所以，解得．故答案為：．14．若直線繞著其上一點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到直線，則直線的點(diǎn)斜式方程為．【答案】【分析】先根據(jù)已知直線斜率求得傾斜角，旋轉(zhuǎn)得到直線的傾斜角，再根據(jù)其斜率和定點(diǎn)得到點(diǎn)斜式方程.【詳解】∵直線的斜率為1，∴傾斜角為45°．將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到直線，則直線的傾斜角為135°，∴直線的斜率為．又點(diǎn)在直線上，∴直線的點(diǎn)斜式方程為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題.15．唐代詩(shī)人李頎的《古從軍行》中兩句詩(shī)為：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，怎樣走才能使總路程最短？在平面角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從處出發(fā)，河岸線所在直線方程為.則“將軍飲馬”的最短總路程為.【答案】【分析】求出點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線上任一點(diǎn)N，當(dāng)且僅當(dāng)Q，N，三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，可得最短距離．【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為則解得：，所以，設(shè)，設(shè)直線上的點(diǎn)，則則當(dāng)且僅當(dāng)Q，N，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，而，所以最短總路程為，故答案為：．16．以點(diǎn)為圓心作圓，過點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)為，直線（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）交圓于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值為.【答案】【分析】首先根據(jù)切線長(zhǎng)為得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，畫出圖形可知優(yōu)弧均在直線的上方區(qū)域，得到，則，令，再根據(jù)的幾何意義結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則切線長(zhǎng)為，解得.則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的方程為，作出直線，可得優(yōu)弧均在直線的上方區(qū)域.如圖所示：則優(yōu)弧上任意一點(diǎn)滿足不等式，則.令，則.表示直線的軸截距再加.由圖知，當(dāng)直線與圓相切于第一象限時(shí)，最大.所以，解得.由圖可知：的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和線性規(guī)劃，屬于難題.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．根據(jù)下列條件求解直線的一般式方程．(1)直線的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)斜率為，且在y軸上的截距為4；(3)經(jīng)過兩點(diǎn)，；(4)在x，y軸上的截距分別為2，－4；(5)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與，兩點(diǎn)的連線垂直.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程直接整理可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線斜截式方程直接整理可得結(jié)果；（3）根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程直接整理可得結(jié)果；（4）根據(jù)直線截距式方程直接整理可得結(jié)果；（5）根據(jù)兩點(diǎn)求出斜率，由垂直關(guān)系求出直線的斜率，根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程求得結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)?，且?jīng)過點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式可得，整理可得，所以直線的一般式方程為.（2）由直線的斜率，且在y軸上的截距為4.故直線的斜截式為，整理可得直線的一般式方程為.（3）由直線的兩點(diǎn)式可得，整理得直線的一般式方程為.（4）由直線的截距式可得，整理得直線的一般式方程為.（5）因?yàn)?，兩點(diǎn)連線的斜率為，所以直線l的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式可得，整理得直線l的一般式方程為.18．等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)A都在直線上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是，直線AC的傾斜角是鈍角.(1)求直線BC，AC在x軸上的截距之和；(2)平行于AC的直線l與邊AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，若的面積等于，求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng).【答案】(1)3(2)【分析】（1）根據(jù)互相垂直的兩直線斜率間的關(guān)系，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)互相平行的兩直線斜率間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€AB的方程為，所以直線BC的斜率為，直線BC的方程為，即，令，得，所以直線BC在x軸上的截距為4.設(shè)，由知點(diǎn)A到直線BC的距離等于點(diǎn)C到直線AB的距離，即，解得或，當(dāng)時(shí)，即，，不符合題意舍去，當(dāng)時(shí)，即，，符合題意，所以直線AC的方程為，令，得，所以直線AC在x軸上的截距為，所以直線BC、AC在x軸上的截距之和為3.（2）設(shè)直線l的方程為，由可得，則.的面積為，而的面積為，所以點(diǎn)B到直線AC的距離是點(diǎn)B到直線l的距離的2倍，即，解得或.因?yàn)橹本€l與邊AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，所以，即直線l的方程為，所以所求三角形的周長(zhǎng)為.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的圓心在y軸右側(cè)，原點(diǎn)O和點(diǎn)都在圓C上，且圓C在x軸上截得的線段長(zhǎng)度為3．(1)求圓C的方程；(2)若M，N為圓C上兩點(diǎn)，若四邊形MONP的對(duì)角線MN的方程為，求四邊形MONP面積的最大值(3)過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率分別為，，且，試判斷直線AB的斜率是否為定值，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)是定值，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解圓的方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及弦長(zhǎng)求解四邊形MONP面積，借助二次函數(shù)性質(zhì)求解最值；（3）聯(lián)立直線PA與圓的方程，求A，同理求B，根據(jù)兩點(diǎn)求斜率，即可求解【詳解】（1）由題意得圓C過，，三點(diǎn)，設(shè)圓C方程為，則有解得，所以圓C方程為，即；（2）由（1）可知，半徑，則C到MN距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，解得由O，P在MN兩側(cè)，，，所以．O到MN距離，P到MN距離，所以四邊形MONP的面積，所以時(shí)，四邊形MONP面積最大為（3）由題意可設(shè)由可得，設(shè)，則，所以，，所以，同理，因?yàn)?，所以，所?為定值．20．已知圓C過點(diǎn)A(2,6),且與直線l1:x+y－10=0相切于點(diǎn)B(6,4).(1)求圓C的方程；(2)過點(diǎn)P(6,24)的直線l2與圓C交于M,N兩點(diǎn),若△CMN為直角三角形,求直線l2的斜率；(3)在直線l3:y=x－2上是否存在一點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q向圓C引兩切線,切點(diǎn)為E,F,

使△QEF為正三角形,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,說明理由.【答案】（1）；（2）直線的斜率為或者不存在；（3）存在，或.【解析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，半徑為，通過垂直關(guān)系和半徑關(guān)系求出未知數(shù)即可；（2）若△CMN為直角三角形,則圓心到直線的距離為，即可求解斜率；（3）使△QEF為正三角形，即，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，半徑為，圓C過點(diǎn)A(2,6),且與直線l1:x+y－10=0相切于點(diǎn)B(6,4)，所以即，解得，所以所以圓C的方程：；（2）過點(diǎn)P(6,24)的直線l2與圓C交于M,N兩點(diǎn),若△CMN為直角三角形,，所以△CMN為等腰直角三角形，且，所以圓心到直線l2的距離為，當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，直線方程，圓心到直線l2的距離為5，符合題意；當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，直線方程為，即圓心到直線l2的距離為，即，，解得，直線的斜率為或者不存在；（3）若直線l3:y=x－2上存在一點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q向圓C引兩切線,切點(diǎn)為E,F,

使△QEF為正三角形,即，在中，設(shè)，即解得或所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】此題考查直線和圓的位置關(guān)系，其中涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將直角三角形關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離關(guān)系求解，將正三角形關(guān)系轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到圓心距離關(guān)系求解．21．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點(diǎn)，E為直線l：