學生“方程與不等式”解題錯誤的調(diào)查結(jié)果分析目錄TOC\o"1-3"\h\u9513學生“方程與不等式”解題錯誤的調(diào)查結(jié)果分析 1246431.1“方程與不等式”解題中的錯誤類型 190461.2“方程與不等式”解題錯誤的原因分析 31.1“方程與不等式”解題中的錯誤類型針對學生在作業(yè)和試卷中的真實答題情況，通過研究分析，將九年級學生在“方程與不等式”解題中出現(xiàn)的主要錯誤類型劃分為以下三種：（1）概念性錯誤數(shù)學概念是數(shù)學知識的基礎(chǔ)，學生要想形成運算的技能，提高分析問題和解決問題的能力，就必須以正確理解并掌握了數(shù)學概念為前提。學習“方程與不等式”的首要任務(wù)就是理解相關(guān)概念和掌握有關(guān)性質(zhì)。[7]作為初中生，對于“幾元幾次方程”，他們需要明白“幾元”指的是未知數(shù)的個數(shù)，在一元方程中“幾次”指未知數(shù)的最高次數(shù)。對于等式或不等式的基本性質(zhì)而言，他們不僅要理解這些基本性質(zhì)，還要在使用時注意應(yīng)用的條件。第一，初中生在解題過程中對方程的概念理解不透徹，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯誤，具體表現(xiàn)在以下幾點：①方程的次數(shù)理解不清，例如，二元一次方程定義“含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1”,但是學生在解題時經(jīng)常忽視了這個條件，以致在選擇題中不能正確選擇出二元一次方程；②混淆未知數(shù)與字母常數(shù)，例如，學生誤認為π是未知數(shù)，認為在方程中只要是字母那必定就是未知數(shù)，但事實上字母π作為圓周率是個常數(shù)而并非是未知數(shù)，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學生很容易將未知數(shù)與字母常數(shù)這兩個概念混為一談。第二，對基本性質(zhì)的掌握不牢，等式和不等式的基本性質(zhì)是方程與不等式的學習重點，而且性質(zhì)的掌握為解方程和解不等式提供理論基礎(chǔ)，兩者的學習相輔相成、相互促進。學生在性質(zhì)的應(yīng)用過程中常出現(xiàn)的解題錯誤是：忽視性質(zhì)使用的條件。例如學生在解分式方程時，忽視分母為零分式?jīng)]有意義，從而導(dǎo)致方程產(chǎn)生了增根。這類錯誤時有發(fā)生，其根本原因是學生在學習方程與不等式時，對等式或不等式的基本性質(zhì)的掌握不牢固，從而忽視性質(zhì)使用的條件，造成解題出現(xiàn)錯誤。第三，一元二次方程根的情況與根的判別式兩者之間有緊密的聯(lián)系，但學生經(jīng)常模糊二者之間的關(guān)系。在對一元二次方程的一般形式QUOTEax2+bx+c=0ax2+bx+c=0QUOTEa≠0a≠0QUOTEax2+bx+c=0QUOTEax2+bx+c=0進行配方的過程中，得到了一個決定根的情況的式子QUOTEb2-4acb2-4acQUOTEb2+4acQUOTEb2-4ac，數(shù)學中將其定義為根的判別式，并用希臘字母“Δ”來表示，其與方程根的情況有如下的關(guān)系：在一元二次方程中，Δ>0?有兩個不等的實數(shù)根；Δ=0?有兩個相等的實數(shù)根；Δ<0?無實數(shù)根；所以，Δ≥0?有（兩個）實數(shù)根。學生不能清楚地明白“有（兩個）實數(shù)根”、“有兩個不等的實數(shù)根”、“有兩個相等的實數(shù)根”這些表述之間的關(guān)系；同樣地，對“Δ≥0”、“Δ>0”、“Δ=0”三個式子之間的區(qū)別與聯(lián)系也模糊不清。因此，學生在運用這三種表述和三個式子的對應(yīng)關(guān)系時總是會出現(xiàn)錯誤。（2）運算類錯誤運算對于初中數(shù)學來說具有重要的意義，初中數(shù)學的運算主要有數(shù)的運算、式的運算和對圖的變換進行的運算，如果學生能準確地進行這些運算，那么他們對初中數(shù)學的學習不僅感到輕松而且很快樂。初中生的運算能力密切影響著“方程與不等式”的解題質(zhì)量。通過研究學生在“方程與不等式”解題中出現(xiàn)的運算類錯誤，總結(jié)出以下兩種現(xiàn)象：第一，法則不清，運用不當，通過整理統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)此類錯誤大多發(fā)生在解分式方程時，下面分述該類錯誤的各種表現(xiàn)：①去分母時，學生漏乘以某些項，造成方程變形后兩邊不同解；②去括號時，系數(shù)漏乘或符號錯誤，運算時沒有依據(jù)乘法分配將括號前的系數(shù)連同符號與括號里面的每一項分別相乘。性質(zhì)、法則是方程與不等式的基礎(chǔ)知識，故學生對該知識點的記憶需要牢固。等式的基本性質(zhì)、正負號的處理等正確運用，過程書寫規(guī)范，這對于學生運算能力的提高至關(guān)重要。[7]第二，消元法的算理是解二元一次方程組的基礎(chǔ)，如果學生對此模糊不清，就很容易造成解方程組的錯誤。學生在解方程組時應(yīng)該依據(jù)其形式選擇最優(yōu)的消元法，方便運算，提高解題的正確率。以加減消元法為例，如果某一未知數(shù)的系數(shù)之絕對值相等，則優(yōu)先考慮消去此未知數(shù)，具體方法如下：若在兩個分方程中該未知數(shù)的系數(shù)符號相反，則可通過將兩個方程相加，以此來實現(xiàn)消去此未知數(shù)的目的；相反，如果該未知數(shù)的系數(shù)符號是相同的，則直接采用減法運算就可以達到“消元”的目的。若該未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則直接對其中一個方程變形，使其系數(shù)相等，再運用加減法消元；當相同未知數(shù)的系數(shù)都不相同時，同時對兩個方程進行變形，轉(zhuǎn)化為絕對值相同的系數(shù)，再用加減法求解。總而言之，“同則減，異則加”是利用加減法消元時需要遵循的原則。調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學生對加減消元法的算理模糊不清，在解二元一次方程組時未能掌握同號則減，異號則加的要領(lǐng)，導(dǎo)致運算關(guān)系錯誤。（3）策略方法類錯誤對于解題，擬定計劃是其中步驟之一也是關(guān)鍵的一步，在計劃的擬定中策略方法的抉擇又是核心環(huán)節(jié)，因此選擇合理的解題策略與方法影響著學生解題的正確性。在調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)學生出現(xiàn)此類錯誤主要表現(xiàn)在：不能正確地識別應(yīng)用題類型，對不熟悉的題目不能正確轉(zhuǎn)化為熟悉問題；方程的解法不夠靈活，采用復(fù)雜或錯誤的解題策略；有很多學生在思考問題時習慣性地從已給信息出發(fā)沿著正方向去尋找解題方法，缺乏逆向思維的創(chuàng)新意識。1.2“方程與不等式”解題錯誤的原因分析根據(jù)問卷的調(diào)查結(jié)果，并通過和學生以及教師的訪談結(jié)果，對以上的解題錯誤類型進行歸因分析，探究造成學生解題錯誤的深層次原因。學習興趣表4-1學生對數(shù)學、“方程與不等式”的學習興趣統(tǒng)計表題目選項頻數(shù)百分比1.你喜歡數(shù)學嗎？非常不喜歡157.46%不喜歡2713.43%一般7436.82%喜歡6331.34%非常喜歡2210.95%2.你對“方程與不等式”的內(nèi)容感興趣嗎？很不感興趣83.98%不感興趣6532.34%一般8441.79%感興趣2210.95%非常感興趣2210.95%觀察表4-1中的數(shù)據(jù)，僅有10.95%的學生非常喜歡數(shù)學，31.34%選擇了喜歡，表明有將近一半的學生對數(shù)學有著較為濃厚的學習興趣，其余學生則持有中立或者不喜歡的態(tài)度；再看代數(shù)之“方程與不等式”，感興趣的學生比例累計下降大約20個百分點，選擇一般的學生明顯增多。2018年國家義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測結(jié)果顯示，八年級學生數(shù)學學習興趣高和較高的占比為67.9%。根據(jù)本次調(diào)研結(jié)果，九年級相對有所下降。綜合上述分析，有一半以上的學生對數(shù)學學習表現(xiàn)出興趣不足的特點，在“方程與不等式”方面更為明顯。（2）組織結(jié)構(gòu)學習是一個螺旋式上升的過程，隨著年級的增長，學生的知識結(jié)構(gòu)逐漸豐富并不斷更新完善。良好的知識儲備是成功解題的“物質(zhì)”基礎(chǔ)，如果學生對題目所涉及的知識點模糊混淆，那么在解題的過程中必然會出現(xiàn)認知困難與障礙而造成錯誤的發(fā)生。①聽課質(zhì)量表4-2學生“方程與不等式”聽課質(zhì)量統(tǒng)計表題目選項頻數(shù)百分比1.在學習“方程與不等式”過程中，你的聽課質(zhì)量怎么樣？沒有聽10.5%聽不懂，也不會做題73.48%能聽懂，但不會做題11255.72%完全能聽懂，且也會做題7939.30%其他21%由表4-2可知，僅有39.30%的學生認為自己在“方程與不等式”的學習中聽課質(zhì)量高，有55.72%的學生出現(xiàn)能聽懂課，但是不會做題的現(xiàn)象，還有3.98%的學生處于直接不聽或者聽不懂的較差狀態(tài)。②知識儲備表4-3學生對等量關(guān)系的熟悉度統(tǒng)計表題目選項頻數(shù)百分比9.你對各類型應(yīng)用題（如數(shù)字、行程、利潤等）中的等量關(guān)系的熟悉度怎么樣？很不熟悉101.98%比較不熟悉6331.34%一般7637.81%比較熟悉3718.41%很熟悉157.46%解決方程應(yīng)用題的關(guān)鍵在于相等關(guān)系的建構(gòu)，學生對所需等量關(guān)系的熟悉度越高，則列式正確的可能性越大。據(jù)表4-3的調(diào)查結(jié)果顯示，對各類應(yīng)用題等量關(guān)系比較熟悉和很熟悉的學生比例僅占25.87%，與此相對，比較不熟悉和很不熟悉的學生占比為36.32%，其余學生則選擇了熟悉度一般。（3）數(shù)學能力數(shù)學能力是指學習主體在數(shù)學的注意、感知、思維、想象和記憶等活動中所表現(xiàn)出的一種強烈的個性特征，這種特征以一定的形式存儲于個體大腦中，具有經(jīng)常性和穩(wěn)定性。學生在解決有關(guān)方程與不等式的題目時，之所以會出現(xiàn)解題錯誤，有很大一部分原因是能力問題。圖4-1學生運算能力、記憶力自評結(jié)果統(tǒng)計圖①運算能力數(shù)學的研究對象之一便是數(shù)量關(guān)系，而數(shù)學運算能力的培養(yǎng)對學生的學業(yè)質(zhì)量提升至關(guān)重要。初中學段的代數(shù)內(nèi)容，尤其是“方程與不等式”，它們與數(shù)學運算有著千絲萬縷的聯(lián)系。[8]由圖4-1可知，21.8