廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣綜合：理論、方法與實(shí)踐一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今信息時(shí)代，通信技術(shù)以前所未有的速度蓬勃發(fā)展，從早期的模擬通信到如今的5G乃至未來的6G通信，通信系統(tǒng)的性能得到了極大提升。隨著無(wú)線通信技術(shù)的快速發(fā)展，電磁波頻譜日益擁擠，這對(duì)濾波器的性能提出了更高的要求。濾波器作為通信系統(tǒng)中不可或缺的關(guān)鍵部件，其性能直接關(guān)乎整個(gè)通信系統(tǒng)的質(zhì)量與效率。在各類濾波器中，帶通濾波器能夠允許特定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)順利通過，同時(shí)有效衰減或抑制其他頻率的信號(hào)，在無(wú)線通信、雷達(dá)、電子對(duì)抗等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)的帶通濾波器在面對(duì)日益復(fù)雜的通信環(huán)境時(shí)，逐漸暴露出一些局限性，如帶外抑制能力不足、群時(shí)延特性不佳等，難以滿足現(xiàn)代通信系統(tǒng)對(duì)高性能濾波器的嚴(yán)格要求。廣義切比雪夫帶通濾波器應(yīng)運(yùn)而生，它憑借獨(dú)特的特性，成為解決這些問題的有力工具。廣義切比雪夫帶通濾波器的傳輸零點(diǎn)可以在阻帶內(nèi)的任意位置進(jìn)行設(shè)置，這一特性使其能夠精確控制濾波器的帶外抑制程度。通過在阻帶內(nèi)合適的位置引入傳輸零點(diǎn)，可以顯著提高濾波器對(duì)帶外干擾信號(hào)的抑制能力，有效降低帶外信號(hào)對(duì)通信系統(tǒng)的干擾，提高通信系統(tǒng)的抗干擾能力和信號(hào)傳輸?shù)臏?zhǔn)確性。同時(shí)，通過特殊的交叉耦合設(shè)計(jì)，廣義切比雪夫帶通濾波器還可以實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)，進(jìn)而改善通帶內(nèi)的群時(shí)延特性，減少信號(hào)在傳輸過程中的畸變，保證信號(hào)的完整性和準(zhǔn)確性，為高質(zhì)量的通信提供保障。在5G通信中，基站需要處理大量的信號(hào)，對(duì)濾波器的帶外抑制和群時(shí)延特性要求極高。廣義切比雪夫帶通濾波器能夠有效地抑制鄰道干擾，保證信號(hào)的準(zhǔn)確傳輸，滿足5G通信的需求。耦合矩陣綜合是設(shè)計(jì)廣義切比雪夫帶通濾波器的核心環(huán)節(jié)，具有至關(guān)重要的意義。通過綜合得到的耦合矩陣，能夠準(zhǔn)確地描述濾波器內(nèi)部各個(gè)諧振器之間的耦合關(guān)系，為濾波器的物理實(shí)現(xiàn)提供關(guān)鍵的理論依據(jù)。合理的耦合矩陣可以確保濾波器滿足預(yù)定的性能指標(biāo)，如中心頻率、帶寬、帶外抑制等。如果耦合矩陣設(shè)計(jì)不合理，可能導(dǎo)致濾波器的性能嚴(yán)重下降，無(wú)法滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。在衛(wèi)星通信中，濾波器的性能直接影響到衛(wèi)星與地面站之間的通信質(zhì)量。通過精確的耦合矩陣綜合設(shè)計(jì)，可以使廣義切比雪夫帶通濾波器在衛(wèi)星通信中發(fā)揮最佳性能，確保衛(wèi)星通信的穩(wěn)定可靠。耦合矩陣的綜合過程還與濾波器的結(jié)構(gòu)和拓?fù)涿芮邢嚓P(guān)。不同的濾波器結(jié)構(gòu)和拓?fù)湫枰煌鸟詈暇仃嚲C合方法，這就要求我們深入研究耦合矩陣綜合技術(shù)，以適應(yīng)各種濾波器設(shè)計(jì)的需求。隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)濾波器的性能要求也在不斷提高，研究廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣的綜合具有重要的理論和實(shí)際意義，有助于推動(dòng)通信技術(shù)的發(fā)展，滿足人們對(duì)高速、高質(zhì)量通信的需求。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣的綜合是濾波器設(shè)計(jì)領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用方面均取得了顯著進(jìn)展。國(guó)外在廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣綜合研究方面起步較早。1970年，Atia等人在其開創(chuàng)性論文中確立了根據(jù)傳輸與反射函數(shù)綜合耦合矩陣的基本過程，為后續(xù)研究奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。此后，眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上不斷深入探索。在耦合矩陣綜合方法上，研究逐漸從傳統(tǒng)的基于傳輸與反射函數(shù)的綜合方法向更高效、精確的方向發(fā)展。通過引入先進(jìn)的數(shù)學(xué)理論和算法，如優(yōu)化算法、人工智能算法等，提升耦合矩陣綜合的準(zhǔn)確性和效率。利用遺傳算法對(duì)耦合矩陣進(jìn)行優(yōu)化，能夠在滿足濾波器性能指標(biāo)的前提下，快速找到最優(yōu)的耦合矩陣解。在濾波器結(jié)構(gòu)和拓?fù)溲芯糠矫?，不斷涌現(xiàn)出新穎的結(jié)構(gòu)和拓?fù)湫问剑詽M足不同應(yīng)用場(chǎng)景對(duì)濾波器性能的多樣化需求。提出的新型交叉耦合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，有效增加了傳輸零點(diǎn)的數(shù)量和靈活性，進(jìn)一步提高了濾波器的帶外抑制能力。隨著通信技術(shù)的發(fā)展，對(duì)濾波器的小型化、集成化和高性能要求不斷提高，國(guó)外研究也在朝著這些方向努力，將廣義切比雪夫帶通濾波器與新型材料和工藝相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)濾波器性能的優(yōu)化和體積的減小。國(guó)內(nèi)學(xué)者在廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣綜合領(lǐng)域也開展了大量富有成效的研究工作。在理論研究方面，深入剖析國(guó)外先進(jìn)理論和方法，結(jié)合國(guó)內(nèi)實(shí)際需求進(jìn)行創(chuàng)新和改進(jìn)。通過對(duì)傳統(tǒng)耦合矩陣綜合方法的深入研究，提出了基于雅可比（Jacobi）逆特征值和優(yōu)化相結(jié)合的方法提取切比雪夫同軸腔濾波器非交叉耦合矩陣。該方法先通過雅可比逆特征值方法算出初步的耦合矩陣，以此作為優(yōu)化迭代的初值，經(jīng)過優(yōu)化計(jì)算得到最終的耦合矩陣，有效克服了優(yōu)化法可能出現(xiàn)收斂慢的缺點(diǎn)，提高了耦合矩陣提取的精確度。在實(shí)際應(yīng)用方面，國(guó)內(nèi)研究緊密結(jié)合通信、雷達(dá)等領(lǐng)域的實(shí)際需求，開展針對(duì)性的研究。根據(jù)移動(dòng)通信對(duì)濾波器的要求，研究廣義切比雪夫綜合方法，設(shè)計(jì)出應(yīng)用于WCDMA移動(dòng)通信頻段的腔體帶通濾波器。通過精確的耦合矩陣綜合，使濾波器滿足了該頻段對(duì)帶外抑制、插入損耗等性能指標(biāo)的嚴(yán)格要求，為我國(guó)移動(dòng)通信技術(shù)的發(fā)展提供了有力支持。盡管國(guó)內(nèi)外在廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣綜合方面取得了諸多成果，但仍存在一些不足之處?，F(xiàn)有綜合方法在處理復(fù)雜濾波器結(jié)構(gòu)和高性能指標(biāo)要求時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度較高，計(jì)算效率有待進(jìn)一步提高。對(duì)于一些新型材料和工藝在廣義切比雪夫帶通濾波器中的應(yīng)用研究還不夠深入，如何充分發(fā)揮新型材料和工藝的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)濾波器性能的突破是未來研究的重要方向。隨著通信技術(shù)的不斷演進(jìn)，如6G通信技術(shù)的發(fā)展，對(duì)濾波器提出了更高的性能要求，如何進(jìn)一步優(yōu)化耦合矩陣綜合方法，使廣義切比雪夫帶通濾波器滿足未來通信系統(tǒng)的需求，也是亟待解決的問題。1.3研究?jī)?nèi)容與方法1.3.1研究?jī)?nèi)容本文主要圍繞廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣的綜合展開深入研究，具體涵蓋以下幾個(gè)方面：廣義切比雪夫帶通濾波器基礎(chǔ)理論研究：深入剖析廣義切比雪夫帶通濾波器的工作原理，從信號(hào)傳輸?shù)慕嵌瘸霭l(fā)，詳細(xì)闡述其如何通過特殊的結(jié)構(gòu)和耦合方式實(shí)現(xiàn)對(duì)特定頻率信號(hào)的選擇通過和對(duì)其他頻率信號(hào)的有效抑制。全面研究其特性，包括傳輸零點(diǎn)的分布規(guī)律、帶外抑制特性以及群時(shí)延特性等。傳輸零點(diǎn)的位置和數(shù)量對(duì)帶外抑制能力有著關(guān)鍵影響，通過合理設(shè)置傳輸零點(diǎn)，可以顯著提高濾波器對(duì)帶外干擾信號(hào)的抑制效果。而群時(shí)延特性則直接關(guān)系到信號(hào)在傳輸過程中的失真程度，良好的群時(shí)延特性能夠保證信號(hào)的相位信息準(zhǔn)確傳輸，減少信號(hào)畸變。深入理解這些特性對(duì)于后續(xù)耦合矩陣的綜合設(shè)計(jì)至關(guān)重要，為優(yōu)化濾波器性能提供理論依據(jù)。耦合矩陣綜合方法研究：系統(tǒng)研究根據(jù)傳輸與反射函數(shù)綜合耦合矩陣的過程，這是耦合矩陣綜合的經(jīng)典方法，其基于濾波器的傳輸和反射特性，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出耦合矩陣的元素值。深入分析該過程中的關(guān)鍵步驟和數(shù)學(xué)原理，包括傳輸和反射多項(xiàng)式的構(gòu)建、短路導(dǎo)納參數(shù)的計(jì)算以及從短路導(dǎo)納參數(shù)到耦合矩陣的轉(zhuǎn)換等。針對(duì)該方法在實(shí)際應(yīng)用中存在的問題，如計(jì)算復(fù)雜度高、對(duì)復(fù)雜濾波器結(jié)構(gòu)適應(yīng)性差等，提出相應(yīng)的改進(jìn)措施。引入先進(jìn)的數(shù)學(xué)算法和優(yōu)化技術(shù)，如基于智能算法的優(yōu)化方法，對(duì)耦合矩陣進(jìn)行優(yōu)化求解，以提高綜合效率和準(zhǔn)確性。智能算法具有全局搜索能力強(qiáng)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，能夠在復(fù)雜的解空間中快速找到滿足濾波器性能要求的最優(yōu)耦合矩陣。耦合矩陣化簡(jiǎn)研究：深入探討由綜合過程產(chǎn)生的耦合矩陣的化簡(jiǎn)方法。由于原始耦合矩陣元素通常較為復(fù)雜，包含許多非零元素，這在實(shí)際濾波器實(shí)現(xiàn)中會(huì)增加設(shè)計(jì)和制造的難度。因此，需要通過一系列相似變換對(duì)耦合矩陣進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去那些在實(shí)際物理結(jié)構(gòu)中難以實(shí)現(xiàn)或?qū)V波器性能影響較小的耦合值。詳細(xì)研究相似變換的原理和實(shí)現(xiàn)步驟，包括旋轉(zhuǎn)矩陣的定義和應(yīng)用、變換過程中矩陣元素的變化規(guī)律等。通過相似變換，將耦合矩陣化簡(jiǎn)為更易于實(shí)現(xiàn)的形式，如常見的RCJ形式和折疊形式。分析不同化簡(jiǎn)形式的特點(diǎn)和適用場(chǎng)景，為濾波器的物理實(shí)現(xiàn)提供更具針對(duì)性的指導(dǎo)。在選擇化簡(jiǎn)形式時(shí)，需要考慮濾波器的具體應(yīng)用場(chǎng)景、物理結(jié)構(gòu)和電氣性能要求等因素，以確?；?jiǎn)后的耦合矩陣能夠在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮最佳性能。案例分析與仿真驗(yàn)證：針對(duì)特定的濾波器性能指標(biāo)要求，如中心頻率、帶寬、帶外抑制和插入損耗等，運(yùn)用所研究的耦合矩陣綜合方法進(jìn)行實(shí)例設(shè)計(jì)。詳細(xì)闡述設(shè)計(jì)過程中的參數(shù)選擇和計(jì)算方法，包括傳輸零點(diǎn)的確定、耦合矩陣元素的計(jì)算以及濾波器結(jié)構(gòu)的選擇等。利用專業(yè)的電磁仿真軟件，如HFSS、ADS等，對(duì)設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行仿真分析。通過仿真，可以直觀地觀察濾波器的頻率響應(yīng)特性、群時(shí)延特性等性能指標(biāo)，評(píng)估耦合矩陣綜合方法的有效性。將仿真結(jié)果與理論設(shè)計(jì)值進(jìn)行對(duì)比分析，深入研究?jī)烧咧g的差異原因。如果仿真結(jié)果與理論設(shè)計(jì)值存在偏差，可能是由于模型簡(jiǎn)化、仿真參數(shù)設(shè)置不準(zhǔn)確或?qū)嶋H制造工藝的影響等原因?qū)е碌?。針?duì)這些原因，提出相應(yīng)的優(yōu)化措施，如改進(jìn)模型、調(diào)整仿真參數(shù)或優(yōu)化制造工藝等，以進(jìn)一步提高濾波器的性能。1.3.2研究方法本文在研究廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣的綜合過程中，綜合運(yùn)用了多種研究方法，以確保研究的科學(xué)性、準(zhǔn)確性和可靠性：理論推導(dǎo)：基于電磁理論和網(wǎng)絡(luò)綜合理論，深入推導(dǎo)廣義切比雪夫帶通濾波器的傳輸與反射函數(shù)，以及從這些函數(shù)到耦合矩陣的綜合過程。通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，建立起濾波器性能指標(biāo)與耦合矩陣之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，為濾波器的設(shè)計(jì)提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在推導(dǎo)過程中，運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算、多項(xiàng)式理論等數(shù)學(xué)工具，對(duì)濾波器的各種特性進(jìn)行精確描述和分析，確保理論的嚴(yán)謹(jǐn)性和正確性。仿真分析：借助先進(jìn)的電磁仿真軟件，如HFSS、ADS等，對(duì)設(shè)計(jì)的廣義切比雪夫帶通濾波器進(jìn)行全面的仿真分析。通過仿真，可以在虛擬環(huán)境中快速驗(yàn)證濾波器的性能，節(jié)省實(shí)際制作和測(cè)試的成本和時(shí)間。在仿真過程中，設(shè)置合理的仿真參數(shù)，準(zhǔn)確模擬濾波器的實(shí)際工作環(huán)境，包括信號(hào)源、負(fù)載、介質(zhì)參數(shù)等。通過對(duì)仿真結(jié)果的分析，直觀地了解濾波器的頻率響應(yīng)、群時(shí)延、插入損耗等性能指標(biāo)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)中存在的問題并進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)比分析：將本文提出的耦合矩陣綜合方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比，從計(jì)算復(fù)雜度、綜合精度、對(duì)復(fù)雜濾波器結(jié)構(gòu)的適應(yīng)性等多個(gè)方面進(jìn)行深入分析。通過對(duì)比分析，明確本文方法的優(yōu)勢(shì)和不足之處，為進(jìn)一步改進(jìn)和完善方法提供參考依據(jù)。同時(shí)，對(duì)比不同濾波器結(jié)構(gòu)和拓?fù)湎埋詈暇仃嚲C合方法的性能差異，為根據(jù)具體應(yīng)用需求選擇合適的濾波器結(jié)構(gòu)和綜合方法提供指導(dǎo)。在對(duì)比分析過程中，采用相同的性能指標(biāo)和測(cè)試條件，確保對(duì)比結(jié)果的客觀性和公正性。二、廣義切比雪夫帶通濾波器基礎(chǔ)理論2.1濾波器的基本概念與分類濾波器作為一種極為重要的電子器件，在電子系統(tǒng)和信號(hào)處理領(lǐng)域發(fā)揮著核心作用。從本質(zhì)上講，濾波器是一種選頻裝置，其基本功能是對(duì)輸入信號(hào)的頻率成分進(jìn)行篩選。它能夠精準(zhǔn)地允許信號(hào)中特定頻率范圍內(nèi)的成分順利通過，同時(shí)對(duì)其他頻率成分進(jìn)行大幅度的衰減或完全阻止其通過，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的濾波處理，滿足不同應(yīng)用場(chǎng)景對(duì)信號(hào)的要求。在通信系統(tǒng)中，濾波器可以濾除干擾信號(hào)，提取出有用的通信信號(hào)，保證通信的質(zhì)量和可靠性。在音頻處理中，濾波器可以調(diào)整音頻信號(hào)的頻率特性，實(shí)現(xiàn)音效的優(yōu)化和噪聲的消除。濾波器的種類繁多，根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)可以進(jìn)行多種分類。按頻率特性進(jìn)行劃分，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器這四大基本類型。低通濾波器只允許低于某一特定截止頻率的低頻信號(hào)通過，而高于該截止頻率的高頻信號(hào)則被大幅衰減或完全阻擋。在音頻系統(tǒng)中，低通濾波器可用于去除高頻噪聲，使聲音更加純凈。高通濾波器的特性與低通濾波器相反，它只允許高于截止頻率的高頻信號(hào)通過，而低頻信號(hào)則被抑制，常用于去除直流偏置或低頻干擾。帶通濾波器則具有更為嚴(yán)格的頻率選擇特性，它只允許在某一特定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過，這個(gè)頻率范圍被稱為通帶，而通帶之外的頻率信號(hào)都會(huì)被衰減。在無(wú)線通信中，帶通濾波器常用于選擇特定的通信頻段，濾除其他頻段的干擾信號(hào)。帶阻濾波器與帶通濾波器的功能相反，它阻止某一特定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過，而允許其他頻率的信號(hào)正常傳輸，常用于抑制特定頻率的干擾信號(hào)，如電力系統(tǒng)中的諧波抑制。按照實(shí)現(xiàn)方式來區(qū)分，濾波器可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。模擬濾波器是利用模擬電路元件，如電阻、電容、電感和運(yùn)算放大器等，通過特定的電路結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)對(duì)模擬信號(hào)的濾波功能。模擬濾波器具有處理速度快、實(shí)時(shí)性好等優(yōu)點(diǎn)，在一些對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合，如射頻通信、音頻處理等領(lǐng)域，模擬濾波器仍然發(fā)揮著重要作用。但模擬濾波器也存在一些局限性，如易受噪聲干擾、精度較低、設(shè)計(jì)和調(diào)試較為復(fù)雜等。數(shù)字濾波器則是基于數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)，通過數(shù)字算法對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理來實(shí)現(xiàn)濾波功能。數(shù)字濾波器具有精度高、穩(wěn)定性好、可編程性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，可以通過軟件編程實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的濾波算法，并且易于集成到數(shù)字系統(tǒng)中。隨著數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)字濾波器在通信、圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。依據(jù)濾波器的結(jié)構(gòu)，又可將其分為無(wú)源濾波器和有源濾波器。無(wú)源濾波器僅由無(wú)源元件，如電阻、電容和電感組成，不需要外部電源提供能量。無(wú)源濾波器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、可靠性高，但它的濾波特性相對(duì)有限，通常只能實(shí)現(xiàn)一些基本的濾波功能，且在處理信號(hào)時(shí)可能會(huì)引入較大的信號(hào)衰減。有源濾波器則包含有源元件，如運(yùn)算放大器、晶體管等，這些有源元件可以為濾波器提供增益和信號(hào)放大功能，從而改善濾波器的性能。有源濾波器可以實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的濾波特性，如更高的選擇性、更低的插入損耗等，并且可以通過反饋電路來調(diào)整濾波器的性能參數(shù)。但有源濾波器也存在一些缺點(diǎn)，如需要外部電源供電、電路復(fù)雜度較高、可能會(huì)引入額外的噪聲等。廣義切比雪夫帶通濾波器屬于帶通濾波器的一種特殊類型，它基于切比雪夫多項(xiàng)式理論設(shè)計(jì)而成，具有獨(dú)特的性能優(yōu)勢(shì)。與傳統(tǒng)帶通濾波器相比，廣義切比雪夫帶通濾波器的顯著特點(diǎn)在于其傳輸零點(diǎn)可以在阻帶內(nèi)的任意位置進(jìn)行靈活設(shè)置。通過精確設(shè)置傳輸零點(diǎn)的位置，可以使濾波器在特定的頻率點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾信號(hào)的深度衰減，從而顯著提高濾波器的帶外抑制能力，有效減少帶外信號(hào)對(duì)通帶內(nèi)有用信號(hào)的干擾。在雷達(dá)系統(tǒng)中，需要濾波器具有很強(qiáng)的帶外抑制能力，以防止其他雷達(dá)信號(hào)的干擾。廣義切比雪夫帶通濾波器通過合理設(shè)置傳輸零點(diǎn)，能夠很好地滿足這一需求。廣義切比雪夫帶通濾波器還可以通過特殊的交叉耦合設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)，進(jìn)而改善通帶內(nèi)的群時(shí)延特性。群時(shí)延特性是指信號(hào)通過濾波器時(shí)，不同頻率成分的信號(hào)在時(shí)間上的延遲差異。良好的群時(shí)延特性可以保證信號(hào)在傳輸過程中保持相位的一致性，減少信號(hào)的失真和畸變，對(duì)于高速數(shù)據(jù)傳輸和高精度信號(hào)處理具有重要意義。在高速數(shù)字通信系統(tǒng)中，對(duì)信號(hào)的群時(shí)延特性要求極高，廣義切比雪夫帶通濾波器的這一特性能夠有效保證信號(hào)的準(zhǔn)確傳輸。2.2切比雪夫?yàn)V波器的特點(diǎn)與原理切比雪夫?yàn)V波器是一種具有獨(dú)特頻率響應(yīng)特性的濾波器，在濾波器設(shè)計(jì)領(lǐng)域占據(jù)著重要地位。其頻率響應(yīng)特性在通帶和阻帶呈現(xiàn)出鮮明特點(diǎn)。在通帶內(nèi)，切比雪夫?yàn)V波器具有等波紋特性，即信號(hào)的幅度響應(yīng)會(huì)在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，并非完全平坦。這種等波紋特性使得切比雪夫?yàn)V波器在通帶內(nèi)能夠以較小的衰減傳輸信號(hào)，確保通帶內(nèi)信號(hào)的有效傳輸。與巴特沃斯濾波器通帶內(nèi)最大限度平坦的特性相比，切比雪夫?yàn)V波器在通帶的幅度波動(dòng)雖然會(huì)對(duì)信號(hào)的線性度產(chǎn)生一定影響，但在滿足特定指標(biāo)要求時(shí)，能夠以更低的階數(shù)實(shí)現(xiàn)更陡峭的過渡帶。在某些通信系統(tǒng)中，對(duì)濾波器的過渡帶要求較高，切比雪夫?yàn)V波器的這種特性就能夠發(fā)揮優(yōu)勢(shì)，在保證通帶信號(hào)傳輸?shù)耐瑫r(shí)，有效抑制通帶外的干擾信號(hào)。在阻帶內(nèi)，切比雪夫?yàn)V波器呈現(xiàn)出快速衰減的特性，能夠迅速將阻帶內(nèi)的信號(hào)幅度衰減到極低水平。這一特性使得切比雪夫?yàn)V波器在抑制帶外干擾信號(hào)方面表現(xiàn)出色，能夠有效減少帶外信號(hào)對(duì)通帶內(nèi)有用信號(hào)的干擾。與其他類型的濾波器相比，如貝塞爾濾波器，切比雪夫?yàn)V波器在阻帶的衰減速度更快，能夠更有效地阻擋不需要的頻率成分。在雷達(dá)系統(tǒng)中，需要濾波器具備強(qiáng)大的帶外抑制能力，以防止其他雷達(dá)信號(hào)的干擾，切比雪夫?yàn)V波器的這一特性能夠很好地滿足這一需求。切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)基于切比雪夫多項(xiàng)式，這是其實(shí)現(xiàn)獨(dú)特頻率響應(yīng)特性的關(guān)鍵。切比雪夫多項(xiàng)式T_n(x)的定義為：T_n(x)=\cos(n\cdot\arccos(x))其中，n為多項(xiàng)式的階數(shù)，x為歸一化頻率，且-1\leqx\leq1。切比雪夫多項(xiàng)式具有一些重要性質(zhì)，正交性是其關(guān)鍵性質(zhì)之一，在區(qū)間[-1,1]內(nèi)，T_n(x)和T_m(x)正交，即當(dāng)n\neqm時(shí)，\int_{-1}^{1}T_n(x)T_m(x)dx=0。這一正交性使得切比雪夫多項(xiàng)式在濾波器設(shè)計(jì)中能夠精確地控制頻率響應(yīng)的特性。切比雪夫多項(xiàng)式還具有遞推關(guān)系：T_n(x)=2x\cdotT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)，這一遞推關(guān)系為切比雪夫多項(xiàng)式的計(jì)算提供了便利，通過已知的低階多項(xiàng)式可以遞推計(jì)算出高階多項(xiàng)式的值，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。切比雪夫?yàn)V波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(u)可以表示為：H(u)=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2T_n^2(u)}}其中，\epsilon為與通帶波紋相關(guān)的常數(shù)，T_n(u)為n階切比雪夫多項(xiàng)式，u為歸一化頻率。從這個(gè)頻率響應(yīng)函數(shù)可以看出，切比雪夫多項(xiàng)式在濾波器設(shè)計(jì)中的核心作用。通過調(diào)整多項(xiàng)式的階數(shù)n和常數(shù)\epsilon，可以精確地控制濾波器的通帶波紋、阻帶衰減以及過渡帶的特性。當(dāng)需要設(shè)計(jì)一個(gè)具有較小通帶波紋和較大阻帶衰減的濾波器時(shí)，可以適當(dāng)增加多項(xiàng)式的階數(shù)n并合理選擇\epsilon的值。切比雪夫?yàn)V波器的性能與多項(xiàng)式階數(shù)密切相關(guān)。隨著階數(shù)n的增加，濾波器的阻帶衰減能力顯著增強(qiáng)，能夠更有效地抑制帶外干擾信號(hào)。這是因?yàn)楦唠A切比雪夫多項(xiàng)式在阻帶內(nèi)的變化更為劇烈，使得頻率響應(yīng)函數(shù)在阻帶內(nèi)的衰減更快。高階多項(xiàng)式也會(huì)使通帶內(nèi)的波紋數(shù)量增加，雖然每個(gè)波紋的幅度可能不變，但波紋的增多可能會(huì)對(duì)某些對(duì)信號(hào)線性度要求較高的應(yīng)用產(chǎn)生一定影響。在通信系統(tǒng)中，如果信號(hào)的線性度要求較高，就需要在選擇階數(shù)時(shí)進(jìn)行權(quán)衡，既要保證足夠的阻帶衰減，又要盡量減少通帶波紋對(duì)信號(hào)的影響。階數(shù)的增加還會(huì)導(dǎo)致濾波器的復(fù)雜度上升，這不僅體現(xiàn)在電路設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的難度增加，還會(huì)增加濾波器的成本和體積。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的性能要求和應(yīng)用場(chǎng)景，綜合考慮這些因素，選擇合適的多項(xiàng)式階數(shù)。在對(duì)體積和成本要求較為嚴(yán)格的便攜式通信設(shè)備中，可能需要在保證基本性能的前提下，選擇較低階數(shù)的切比雪夫?yàn)V波器，以滿足設(shè)備小型化和低成本的要求；而在對(duì)性能要求極高的雷達(dá)、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域，則可以根據(jù)實(shí)際需求選擇較高階數(shù)的濾波器，以確保系統(tǒng)的高性能運(yùn)行。2.3廣義切比雪夫帶通濾波器的特性與優(yōu)勢(shì)廣義切比雪夫帶通濾波器最顯著的特性之一是其傳輸零點(diǎn)可在阻帶內(nèi)自由設(shè)置。這一特性打破了傳統(tǒng)濾波器傳輸零點(diǎn)位置固定的局限，為濾波器性能的優(yōu)化提供了極大的靈活性。在實(shí)際通信環(huán)境中，干擾信號(hào)的頻率分布復(fù)雜多變，傳統(tǒng)濾波器往往難以對(duì)特定頻率的干擾信號(hào)進(jìn)行有效抑制。而廣義切比雪夫帶通濾波器通過精確設(shè)置傳輸零點(diǎn)的位置，能夠在干擾信號(hào)的頻率處產(chǎn)生深度衰減，從而顯著提升帶外抑制能力。在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，存在著各種來自宇宙空間的干擾信號(hào)，其頻率范圍廣泛。廣義切比雪夫帶通濾波器可以根據(jù)干擾信號(hào)的頻率特點(diǎn)，在相應(yīng)位置設(shè)置傳輸零點(diǎn)，有效地抑制這些干擾信號(hào)，保證衛(wèi)星通信的穩(wěn)定可靠。帶外抑制能力的提升是廣義切比雪夫帶通濾波器的重要優(yōu)勢(shì)。在通信系統(tǒng)中，帶外信號(hào)的干擾會(huì)嚴(yán)重影響通信質(zhì)量，降低信號(hào)的信噪比，導(dǎo)致信號(hào)失真甚至丟失。廣義切比雪夫帶通濾波器通過合理設(shè)置傳輸零點(diǎn)，能夠?qū)飧蓴_信號(hào)進(jìn)行針對(duì)性的抑制，使濾波器在阻帶內(nèi)的衰減特性得到顯著改善。與傳統(tǒng)切比雪夫帶通濾波器相比，廣義切比雪夫帶通濾波器可以在更寬的頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)更高的帶外抑制。傳統(tǒng)切比雪夫帶通濾波器的帶外抑制能力相對(duì)有限，對(duì)于一些遠(yuǎn)離通帶的干擾信號(hào)，其抑制效果不佳。而廣義切比雪夫帶通濾波器通過引入更多的傳輸零點(diǎn)，并靈活調(diào)整其位置，可以在阻帶內(nèi)形成多個(gè)衰減極點(diǎn)，對(duì)帶外干擾信號(hào)進(jìn)行更全面、更有效的抑制。在5G通信基站中，需要濾波器對(duì)鄰道干擾信號(hào)具有很強(qiáng)的抑制能力，以保證不同信道之間的信號(hào)互不干擾。廣義切比雪夫帶通濾波器能夠滿足這一需求，有效地提高了通信基站的抗干擾能力，保障了通信系統(tǒng)的正常運(yùn)行。群時(shí)延特性的改善也是廣義切比雪夫帶通濾波器的突出優(yōu)勢(shì)。群時(shí)延是指信號(hào)通過濾波器時(shí)，不同頻率成分的信號(hào)在時(shí)間上的延遲差異。如果群時(shí)延特性不佳，信號(hào)在傳輸過程中會(huì)發(fā)生畸變，導(dǎo)致信號(hào)的相位信息丟失，影響信號(hào)的解調(diào)和解碼。廣義切比雪夫帶通濾波器通過特殊的交叉耦合設(shè)計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)，從而改善通帶內(nèi)的群時(shí)延特性。復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)的引入使得濾波器在通帶內(nèi)的相位響應(yīng)更加平坦，不同頻率成分的信號(hào)在濾波器中的延遲差異減小，有效地減少了信號(hào)的畸變。在高速數(shù)字通信系統(tǒng)中，信號(hào)的傳輸速率極高，對(duì)群時(shí)延特性的要求也更為嚴(yán)格。廣義切比雪夫帶通濾波器能夠保證信號(hào)在高速傳輸過程中的相位一致性，確保信號(hào)的準(zhǔn)確解調(diào)和解碼，提高了通信系統(tǒng)的可靠性和傳輸效率。與其他類型的帶通濾波器相比，廣義切比雪夫帶通濾波器在性能上具有明顯的優(yōu)勢(shì)。與巴特沃斯帶通濾波器相比，巴特沃斯帶通濾波器的通帶內(nèi)具有最大平坦度的特性，但其過渡帶相對(duì)較寬，帶外抑制能力較弱。而廣義切比雪夫帶通濾波器通過傳輸零點(diǎn)的設(shè)置，能夠在保持通帶內(nèi)信號(hào)傳輸質(zhì)量的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)更陡峭的過渡帶和更強(qiáng)的帶外抑制能力。在雷達(dá)系統(tǒng)中，需要濾波器能夠快速區(qū)分目標(biāo)信號(hào)和干擾信號(hào)，廣義切比雪夫帶通濾波器的陡峭過渡帶和強(qiáng)帶外抑制能力使其更適合用于雷達(dá)信號(hào)處理。與橢圓函數(shù)帶通濾波器相比，橢圓函數(shù)帶通濾波器雖然在通帶和阻帶都具有等波紋特性，過渡帶較窄，但它的群時(shí)延特性較差，信號(hào)在傳輸過程中容易發(fā)生畸變。廣義切比雪夫帶通濾波器在保證良好帶外抑制能力的同時(shí)，通過特殊設(shè)計(jì)改善了群時(shí)延特性，更適合對(duì)信號(hào)完整性要求較高的應(yīng)用場(chǎng)景。在高清視頻傳輸中，對(duì)信號(hào)的群時(shí)延特性要求嚴(yán)格，廣義切比雪夫帶通濾波器能夠保證視頻信號(hào)的準(zhǔn)確傳輸，避免圖像出現(xiàn)模糊、拖影等問題。三、耦合矩陣綜合方法3.1耦合矩陣的基本概念在廣義切比雪夫帶通濾波器的設(shè)計(jì)中，耦合矩陣是描述濾波器中各個(gè)諧振器之間耦合關(guān)系的關(guān)鍵數(shù)學(xué)工具。它以矩陣的形式直觀地展示了諧振器之間的相互作用，對(duì)于理解濾波器的工作原理和性能起著核心作用。耦合矩陣通常是一個(gè)方陣，其行數(shù)和列數(shù)與濾波器中諧振器的數(shù)量相等。矩陣中的每一個(gè)元素都代表著特定諧振器之間的耦合系數(shù)，這些系數(shù)量化了諧振器之間能量交換的程度和方向。對(duì)于一個(gè)具有N個(gè)諧振器的濾波器，其耦合矩陣M可以表示為：M=\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1N}\\M_{21}&M_{22}&\cdots&M_{2N}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\M_{N1}&M_{N2}&\cdots&M_{NN}\end{pmatrix}其中，M_{ij}表示第i個(gè)諧振器與第j個(gè)諧振器之間的耦合系數(shù)。當(dāng)i=j時(shí)，M_{ii}通常與諧振器的自諧振特性相關(guān)，例如，它可能與諧振器的固有頻率調(diào)整或損耗特性有關(guān)；當(dāng)i\neqj時(shí)，M_{ij}描述了不同諧振器之間的耦合強(qiáng)度和性質(zhì)。耦合系數(shù)M_{ij}的值直接決定了兩個(gè)諧振器之間能量傳遞的效率。如果M_{ij}的絕對(duì)值較大，說明這兩個(gè)諧振器之間的耦合較強(qiáng)，能量在它們之間的傳遞較為容易；反之，如果M_{ij}的絕對(duì)值較小，則表示耦合較弱，能量傳遞相對(duì)困難。耦合系數(shù)的正負(fù)也具有重要意義，正的耦合系數(shù)表示兩個(gè)諧振器之間的耦合是同相耦合，即一個(gè)諧振器的振蕩會(huì)加強(qiáng)另一個(gè)諧振器的振蕩；負(fù)的耦合系數(shù)則表示反相耦合，一個(gè)諧振器的振蕩會(huì)抑制另一個(gè)諧振器的振蕩。耦合矩陣在濾波器設(shè)計(jì)中占據(jù)著核心地位，發(fā)揮著不可或缺的作用。通過對(duì)耦合矩陣的分析和設(shè)計(jì)，可以精確地控制濾波器的頻率響應(yīng)特性。在廣義切比雪夫帶通濾波器中，通過調(diào)整耦合矩陣中特定元素的值，可以實(shí)現(xiàn)傳輸零點(diǎn)在阻帶內(nèi)的靈活設(shè)置。在設(shè)計(jì)用于衛(wèi)星通信的濾波器時(shí)，根據(jù)干擾信號(hào)的頻率，通過修改耦合矩陣，在相應(yīng)頻率位置引入傳輸零點(diǎn)，能夠有效地抑制干擾信號(hào)，提高濾波器的帶外抑制能力。耦合矩陣還與濾波器的群時(shí)延特性密切相關(guān)。通過合理設(shè)計(jì)耦合矩陣，可以優(yōu)化濾波器的群時(shí)延特性，減少信號(hào)在傳輸過程中的失真。在高速數(shù)字通信系統(tǒng)中，對(duì)信號(hào)的群時(shí)延特性要求極高，通過精心設(shè)計(jì)耦合矩陣，能夠使濾波器滿足這一嚴(yán)格要求，保證信號(hào)的準(zhǔn)確傳輸。耦合矩陣也是濾波器物理實(shí)現(xiàn)的重要依據(jù)。在實(shí)際制作濾波器時(shí)，工程師需要根據(jù)耦合矩陣中各個(gè)元素的值來設(shè)計(jì)諧振器之間的耦合結(jié)構(gòu)。對(duì)于微帶線濾波器，通過調(diào)整微帶線的間距、長(zhǎng)度和寬度等參數(shù)來實(shí)現(xiàn)所需的耦合系數(shù)；對(duì)于腔體濾波器，則通過設(shè)計(jì)諧振腔之間的耦合窗口、耦合桿等結(jié)構(gòu)來達(dá)到預(yù)定的耦合強(qiáng)度。耦合矩陣的設(shè)計(jì)直接影響到濾波器的物理尺寸、制作難度和成本。合理的耦合矩陣設(shè)計(jì)可以在滿足濾波器性能要求的前提下，減小濾波器的尺寸，降低制作成本，提高濾波器的實(shí)用性和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。3.2基于傳輸函數(shù)的耦合矩陣綜合方法3.2.1傳輸與反射多項(xiàng)式推導(dǎo)廣義切比雪夫帶通濾波器的頻率響應(yīng)特性是其設(shè)計(jì)的關(guān)鍵依據(jù)，而傳輸函數(shù)S_{21}(s)和反射函數(shù)S_{11}(s)的多項(xiàng)式表達(dá)式則是描述這一特性的重要數(shù)學(xué)工具。從廣義切比雪夫?yàn)V波器的頻率響應(yīng)出發(fā)，我們可以通過一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)得出這些多項(xiàng)式表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)N階的廣義切比雪夫帶通濾波器，其傳輸函數(shù)S_{21}(s)和反射函數(shù)S_{11}(s)可以用多項(xiàng)式E(s)、F(s)和P(s)來表示。假設(shè)濾波器的特征函數(shù)為C_N(\omega)，其中\(zhòng)omega為歸一化頻率。根據(jù)廣義切比雪夫?yàn)V波器的特性，其特征函數(shù)C_N(\omega)可以表示為：C_N(\omega)=\frac{F(\omega)}{P(\omega)}其中，F(xiàn)(\omega)為N階首一多項(xiàng)式，其零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于濾波器的傳輸極點(diǎn)；P(\omega)為n_{fz}階多項(xiàng)式，其零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于濾波器的傳輸零點(diǎn)，n_{fz}為傳輸零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由無(wú)源網(wǎng)絡(luò)能量守恒定律可知，|S_{11}(s)|^2+|S_{21}(s)|^2=1。將S_{21}(s)=\frac{P(s)}{E(s)}和S_{11}(s)=\frac{F(s)}{E(s)}代入能量守恒式中，可得：\left|\frac{F(s)}{E(s)}\right|^2+\left|\frac{P(s)}{E(s)}\right|^2=1即|F(s)|^2+|P(s)|^2=|E(s)|^2。為了滿足相位條件，當(dāng)N-n_{fz}為偶數(shù)時(shí)，P(s)需要修正\frac{\pi}{2}的相位，即此時(shí)變?yōu)閖P(s)。通過對(duì)廣義切比雪夫多項(xiàng)式的深入研究，利用其遞歸技術(shù)可以進(jìn)一步處理上述多項(xiàng)式關(guān)系。設(shè)廣義切比雪夫多項(xiàng)式為T_N(x)，其具有如下遞推關(guān)系：T_{n}(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)其中，T_0(x)=1，T_1(x)=x。在廣義切比雪夫帶通濾波器中，x與歸一化頻率\omega存在特定的關(guān)系。通過將x用\omega表示，并代入廣義切比雪夫多項(xiàng)式的遞推關(guān)系中，結(jié)合濾波器的性能指標(biāo)，如帶內(nèi)回波損耗RL、傳輸零點(diǎn)位置等，可以逐步推導(dǎo)出傳輸函數(shù)S_{21}(s)和反射函數(shù)S_{11}(s)的多項(xiàng)式表達(dá)式。在推導(dǎo)過程中，E(s)、F(s)和P(s)這些參數(shù)具有明確的物理意義。E(s)作為分母多項(xiàng)式，它綜合反映了濾波器的整體特性，與濾波器的能量傳輸和損耗密切相關(guān)；F(s)的零點(diǎn)決定了濾波器的傳輸極點(diǎn)，這些極點(diǎn)直接影響濾波器的通帶特性，如通帶內(nèi)的信號(hào)傳輸增益和相位變化；P(s)的零點(diǎn)確定了濾波器的傳輸零點(diǎn)，傳輸零點(diǎn)的位置對(duì)于濾波器的帶外抑制能力起著關(guān)鍵作用，通過合理設(shè)置傳輸零點(diǎn)的位置，可以有效抑制帶外干擾信號(hào)，提高濾波器的選擇性。3.2.2短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣綜合在得到傳輸函數(shù)S_{21}(s)和反射函數(shù)S_{11}(s)的多項(xiàng)式表達(dá)式后，我們可以進(jìn)一步推導(dǎo)出短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣Y_{21}和Y_{22}的有理多項(xiàng)式。這一過程是實(shí)現(xiàn)耦合矩陣綜合的重要中間環(huán)節(jié)，通過對(duì)短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣的綜合，能夠更直觀地描述濾波器的電氣特性，為后續(xù)耦合矩陣的構(gòu)建提供必要的基礎(chǔ)。對(duì)于雙端口無(wú)耗濾波網(wǎng)絡(luò)，其輸入阻抗Z_{in}(s)與短路導(dǎo)納參數(shù)Y_{11}、Y_{12}、Y_{21}和Y_{22}以及開路參數(shù)之間存在特定的關(guān)系。當(dāng)負(fù)載阻抗R_n歸一化到1歐姆時(shí)，輸入阻抗Z_{in}(s)可以表示為：Z_{in}(s)=\frac{1}{Y_{11}+\frac{Y_{12}Y_{21}}{Y_{22}+\frac{1}{R_n}}}在單終端和雙終端情況下，短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣Y_{21}和Y_{22}的綜合過程有所不同。在雙終端情況下，設(shè)輸入電壓為E(s)，輸入電流為I(s)，則根據(jù)電路理論和傳輸、反射函數(shù)的關(guān)系，可以得到：I(s)=Y_{21}(s)E(s)+Y_{22}(s)I_2(s)其中，I_2(s)為輸出電流。通過對(duì)傳輸函數(shù)S_{21}(s)=\frac{I_2(s)}{E(s)}和反射函數(shù)S_{11}(s)=\frac{I(s)-I_2(s)}{E(s)}進(jìn)行變換和代入，可以得到Y(jié)_{21}(s)和Y_{22}(s)的表達(dá)式。設(shè)E(s)和F(s)的復(fù)系數(shù)分別為e_i和f_i（i=0,1,2,\cdots,N），通過對(duì)E(s)和F(s)進(jìn)行奇偶項(xiàng)分離，構(gòu)造出復(fù)偶數(shù)和復(fù)奇數(shù)多項(xiàng)式m和n。例如，將E(s)表示為E(s)=m_1(s)+n_1(s)，F(xiàn)(s)=m_2(s)+n_2(s)，其中m_1(s)和m_2(s)為復(fù)偶數(shù)多項(xiàng)式，n_1(s)和n_2(s)為復(fù)奇數(shù)多項(xiàng)式。通過比較輸入阻抗的表達(dá)式和上述構(gòu)造的多項(xiàng)式關(guān)系，可以得到：Y_{21}(s)=\frac{n_1(s)}{m_1(s)}Y_{22}(s)=\frac{n_2(s)}{m_2(s)}在單終端情況下，源的內(nèi)阻R=0，此時(shí)導(dǎo)納參數(shù)Y_{21}(s)的短路導(dǎo)納參數(shù)可以通過類似的方法推導(dǎo)得出。設(shè)E(s)為輸入電壓，I(s)為輸入電流，傳輸函數(shù)S_{21}(s)等價(jià)于傳輸導(dǎo)納Y_{21}(s)。通過對(duì)傳輸函數(shù)和反射函數(shù)的分析，以及對(duì)E(s)進(jìn)行奇偶項(xiàng)分離，構(gòu)造出相應(yīng)的多項(xiàng)式m_1和n_1，可以得到Y(jié)_{21}(s)的表達(dá)式：Y_{21}(s)=\frac{n_1(s)}{m_1(s)}在綜合過程中，參數(shù)的確定方法至關(guān)重要。需要根據(jù)傳輸函數(shù)S_{21}(s)和反射函數(shù)S_{11}(s)的多項(xiàng)式表達(dá)式，以及濾波器的性能指標(biāo)，如中心頻率、帶寬、帶外抑制等，通過一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算和變換來確定短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣Y_{21}和Y_{22}中的各項(xiàng)系數(shù)。在確定系數(shù)時(shí)，可能需要利用多項(xiàng)式的性質(zhì)、復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則以及濾波器的相關(guān)理論知識(shí)，確保參數(shù)的準(zhǔn)確性和合理性。3.2.3耦合矩陣的構(gòu)建根據(jù)短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣構(gòu)建耦合矩陣是廣義切比雪夫帶通濾波器設(shè)計(jì)的核心步驟之一，這一過程建立在堅(jiān)實(shí)的電路理論和數(shù)學(xué)變換基礎(chǔ)之上。通過構(gòu)建耦合矩陣，能夠清晰地描述濾波器中各個(gè)諧振器之間的耦合關(guān)系，為濾波器的物理實(shí)現(xiàn)提供關(guān)鍵的理論依據(jù)。對(duì)于一個(gè)由N個(gè)諧振器組成的濾波器，其耦合矩陣M是一個(gè)N\timesN的方陣，矩陣中的元素M_{ij}表示第i個(gè)諧振器與第j個(gè)諧振器之間的耦合系數(shù)。當(dāng)i=j時(shí)，M_{ii}通常與諧振器的自諧振特性相關(guān)，如諧振器的固有頻率調(diào)整或損耗特性；當(dāng)i\neqj時(shí)，M_{ij}描述了不同諧振器之間的耦合強(qiáng)度和性質(zhì)。在構(gòu)建耦合矩陣時(shí)，我們首先從短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣Y_{21}和Y_{22}入手。通過電路分析可知，濾波器的傳輸與反射特性與短路導(dǎo)納參數(shù)密切相關(guān)，而這些特性又可以通過耦合矩陣來體現(xiàn)。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)綜合理論，我們可以通過一定的數(shù)學(xué)變換，從短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣推導(dǎo)出耦合矩陣。假設(shè)我們已經(jīng)得到了短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣Y_{21}(s)和Y_{22}(s)的有理多項(xiàng)式表達(dá)式。我們可以利用電路模型和網(wǎng)絡(luò)綜合的方法，將這些導(dǎo)納參數(shù)與耦合矩陣中的元素建立聯(lián)系。對(duì)于一個(gè)由電感、電容組成的諧振器電路模型，諧振器之間的耦合可以通過互感或電容耦合來實(shí)現(xiàn)，而耦合系數(shù)M_{ij}與這些互感或電容的數(shù)值相關(guān)。具體來說，構(gòu)建過程中的理論依據(jù)主要基于電路的基爾霍夫定律和電磁感應(yīng)原理。在一個(gè)多諧振器的電路中，電流和電壓的分布滿足基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）。通過對(duì)電路中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流和電壓進(jìn)行分析，結(jié)合諧振器的特性和耦合結(jié)構(gòu)，可以建立起描述電路行為的方程組。這些方程組中包含了諧振器之間的耦合系數(shù)，通過求解這些方程組，就可以得到耦合矩陣中的元素值。從數(shù)學(xué)變換的角度來看，我們可以通過對(duì)短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣進(jìn)行一系列的矩陣運(yùn)算和變換來得到耦合矩陣。這可能涉及到矩陣的相似變換、特征值分解等數(shù)學(xué)方法。相似變換可以保證矩陣的某些重要性質(zhì)不變，如特征值和特征向量，通過選擇合適的相似變換矩陣，可以將短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣變換為具有特定形式的矩陣，使其元素與耦合矩陣中的元素相對(duì)應(yīng)。對(duì)于耦合矩陣元素的計(jì)算方法，我們可以通過以下步驟實(shí)現(xiàn)。根據(jù)電路模型和網(wǎng)絡(luò)綜合理論，建立起短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣與耦合矩陣之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的雙諧振器電路，假設(shè)其短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣為Y=\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}，通過分析電路中的耦合結(jié)構(gòu)和電磁感應(yīng)關(guān)系，可以得到耦合矩陣M=\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}中元素的計(jì)算公式。如果兩個(gè)諧振器之間通過互感M_{12}耦合，且電路中的電感、電容值已知，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和電路理論，可以推導(dǎo)出M_{12}與短路導(dǎo)納參數(shù)之間的關(guān)系，從而計(jì)算出M_{12}的值。對(duì)于更復(fù)雜的多諧振器電路，我們可以采用類似的方法，通過對(duì)電路的分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，逐步計(jì)算出耦合矩陣中各個(gè)元素的值。在計(jì)算過程中，需要充分考慮電路的對(duì)稱性、互易性等特性，以及濾波器的性能指標(biāo)要求，確保計(jì)算得到的耦合矩陣能夠滿足濾波器的設(shè)計(jì)要求。3.3基于優(yōu)化方法的耦合矩陣綜合基于優(yōu)化方法的耦合矩陣綜合是一種將理想傳輸函數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，通過優(yōu)化算法來獲取滿足濾波器性能要求的耦合矩陣的方法。這種方法的核心思想是將濾波器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題，通過不斷調(diào)整耦合矩陣中的元素，使得濾波器的實(shí)際傳輸函數(shù)盡可能逼近理想傳輸函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，常用的優(yōu)化算法有多種，每種算法都有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)和適用場(chǎng)景。遺傳算法（GA）是一種基于自然選擇和遺傳變異原理的優(yōu)化算法。它通過模擬生物進(jìn)化過程中的選擇、交叉和變異操作，在解空間中搜索最優(yōu)解。在廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣綜合中，遺傳算法的應(yīng)用步驟如下：首先，將耦合矩陣的元素編碼為染色體，形成初始種群；然后，根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)，如帶外抑制、插入損耗等，定義適應(yīng)度函數(shù)，用于評(píng)估每個(gè)染色體的優(yōu)劣；接著，通過選擇操作，從當(dāng)前種群中選擇適應(yīng)度較高的染色體，作為下一代種群的父代；再通過交叉和變異操作，對(duì)父代染色體進(jìn)行遺傳操作，生成新的子代染色體，形成新的種群；不斷重復(fù)上述步驟，直到滿足預(yù)設(shè)的終止條件，如迭代次數(shù)達(dá)到上限或適應(yīng)度函數(shù)收斂。遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)是具有較強(qiáng)的全局搜索能力，能夠在復(fù)雜的解空間中找到較優(yōu)的解，且對(duì)問題的數(shù)學(xué)模型要求較低，適用于處理非線性、多峰等復(fù)雜問題。但它也存在一些缺點(diǎn)，如計(jì)算復(fù)雜度較高，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，容易出現(xiàn)早熟收斂的問題，即算法在搜索過程中過早地收斂到局部最優(yōu)解，而無(wú)法找到全局最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化算法（PSO）是另一種常用的優(yōu)化算法，它模擬鳥群覓食的行為，通過粒子之間的信息共享和相互協(xié)作，在解空間中尋找最優(yōu)解。在耦合矩陣綜合中，每個(gè)粒子代表一個(gè)可能的耦合矩陣解，粒子的位置表示耦合矩陣的元素值，粒子的速度決定了其在解空間中的移動(dòng)方向和步長(zhǎng)。算法開始時(shí)，隨機(jī)初始化粒子的位置和速度，然后根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。在每次迭代中，粒子根據(jù)自身的歷史最優(yōu)位置和群體的全局最優(yōu)位置來更新自己的速度和位置。粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，收斂速度較快，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)找到較好的解，且對(duì)初始值的依賴性較小，在不同的初始條件下都能有較好的表現(xiàn)。但它也存在一些局限性，如在處理高維復(fù)雜問題時(shí)，容易陷入局部最優(yōu)解，且算法的參數(shù)設(shè)置對(duì)結(jié)果影響較大，需要根據(jù)具體問題進(jìn)行合理調(diào)整。模擬退火算法（SA）是基于物理退火過程的一種優(yōu)化算法，它通過模擬固體退火的過程，在解空間中尋找全局最優(yōu)解。在耦合矩陣綜合中，首先隨機(jī)生成一個(gè)初始耦合矩陣作為當(dāng)前解，然后計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)值，即與理想傳輸函數(shù)的偏差。在每次迭代中，以一定的概率接受一個(gè)更差的解，這個(gè)概率隨著溫度的降低而逐漸減小。通過這種方式，算法可以跳出局部最優(yōu)解，在全局范圍內(nèi)搜索最優(yōu)解。模擬退火算法的優(yōu)點(diǎn)是具有較強(qiáng)的全局搜索能力，能夠在一定程度上避免陷入局部最優(yōu)解，且對(duì)問題的連續(xù)性和可微性要求較低，適用于處理各種類型的優(yōu)化問題。但它的缺點(diǎn)是計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，收斂速度較慢，且算法的性能對(duì)初始溫度、降溫速率等參數(shù)的選擇較為敏感，需要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)來確定合適的參數(shù)值。在實(shí)際應(yīng)用中，不同優(yōu)化算法的性能表現(xiàn)會(huì)因具體問題而異。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的濾波器設(shè)計(jì)問題，粒子群優(yōu)化算法可能能夠快速找到較好的解，因?yàn)槠涫諗克俣瓤?，?jì)算效率高。而對(duì)于一些復(fù)雜的濾波器設(shè)計(jì)問題，遺傳算法和模擬退火算法可能更具優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗鼈兙哂休^強(qiáng)的全局搜索能力，能夠在復(fù)雜的解空間中找到更優(yōu)的解。在設(shè)計(jì)一個(gè)具有多個(gè)傳輸零點(diǎn)和嚴(yán)格帶外抑制要求的廣義切比雪夫帶通濾波器時(shí)，遺傳算法和模擬退火算法能夠通過全局搜索，找到更合適的耦合矩陣解，以滿足濾波器的性能要求。還可以將不同的優(yōu)化算法進(jìn)行組合使用，充分發(fā)揮它們的優(yōu)勢(shì)，提高耦合矩陣綜合的效果。將遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法結(jié)合，先用遺傳算法進(jìn)行全局搜索，找到一個(gè)較好的初始解，再用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行局部搜索，對(duì)初始解進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，以提高解的質(zhì)量和精度。3.4兩種方法的對(duì)比與分析基于傳輸函數(shù)和基于優(yōu)化方法的耦合矩陣綜合在計(jì)算復(fù)雜度、適用場(chǎng)景和綜合結(jié)果準(zhǔn)確性等方面存在顯著差異。從計(jì)算復(fù)雜度來看，基于傳輸函數(shù)的方法依賴于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和公式計(jì)算，其計(jì)算過程涉及到復(fù)雜的多項(xiàng)式運(yùn)算、矩陣變換等。在推導(dǎo)傳輸與反射多項(xiàng)式時(shí)，需要對(duì)廣義切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行深入分析和運(yùn)算，通過遞歸技術(shù)處理多項(xiàng)式關(guān)系，這一過程不僅需要精確的數(shù)學(xué)計(jì)算，還需要對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)理論有深入的理解。從短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣構(gòu)建耦合矩陣時(shí)，涉及到電路模型的分析和復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換，計(jì)算量較大，對(duì)于高階濾波器和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的濾波器，其計(jì)算復(fù)雜度會(huì)顯著增加。這種方法的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)固定，與濾波器的性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，一旦濾波器的階數(shù)或結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，計(jì)算過程可能需要重新進(jìn)行，靈活性較差?；趦?yōu)化方法的計(jì)算復(fù)雜度則主要取決于所采用的優(yōu)化算法。遺傳算法需要對(duì)種群中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)估，涉及到大量的矩陣運(yùn)算和濾波器性能指標(biāo)的計(jì)算，計(jì)算量較大，且隨著種群規(guī)模的增大和迭代次數(shù)的增加，計(jì)算時(shí)間會(huì)顯著增長(zhǎng)。粒子群優(yōu)化算法雖然相對(duì)計(jì)算速度較快，但在處理高維復(fù)雜問題時(shí)，也需要進(jìn)行多次的粒子位置和速度更新計(jì)算，計(jì)算復(fù)雜度也不容忽視。模擬退火算法在每次迭代中需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，并根據(jù)一定的概率接受更差的解，這一過程也涉及到較多的計(jì)算。優(yōu)化算法的計(jì)算復(fù)雜度還受到濾波器性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)的影響，對(duì)于性能指標(biāo)要求嚴(yán)格、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的濾波器，需要更多的迭代次數(shù)和更復(fù)雜的計(jì)算來找到最優(yōu)解。在適用場(chǎng)景方面，基于傳輸函數(shù)的方法適用于對(duì)濾波器性能指標(biāo)有明確數(shù)學(xué)描述且結(jié)構(gòu)相對(duì)規(guī)則的情況。當(dāng)濾波器的傳輸零點(diǎn)位置、帶內(nèi)回波損耗、帶寬等指標(biāo)可以通過數(shù)學(xué)公式精確表達(dá)時(shí)，這種方法能夠通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)得到準(zhǔn)確的耦合矩陣。在一些傳統(tǒng)的通信系統(tǒng)中，濾波器的性能要求相對(duì)固定，且可以用成熟的數(shù)學(xué)模型來描述，基于傳輸函數(shù)的方法能夠高效地設(shè)計(jì)出滿足要求的濾波器。但對(duì)于一些新型的、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的濾波器，或者性能指標(biāo)難以用精確數(shù)學(xué)公式表達(dá)的情況，基于傳輸函數(shù)的方法可能會(huì)遇到困難，因?yàn)槠渫茖?dǎo)過程依賴于特定的數(shù)學(xué)模型和假設(shè)，對(duì)于不符合這些條件的濾波器，難以準(zhǔn)確綜合出耦合矩陣?；趦?yōu)化方法則更適用于對(duì)濾波器性能要求復(fù)雜、結(jié)構(gòu)靈活多變的場(chǎng)景。在現(xiàn)代通信技術(shù)中，對(duì)濾波器的性能要求越來越高，如需要在特定頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)極高的帶外抑制、同時(shí)滿足嚴(yán)格的群時(shí)延要求等，且濾波器的結(jié)構(gòu)可能需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)行靈活設(shè)計(jì)。遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等可以在復(fù)雜的解空間中搜索最優(yōu)解，能夠處理各種復(fù)雜的性能指標(biāo)約束和濾波器結(jié)構(gòu)，通過不斷調(diào)整耦合矩陣元素，使濾波器滿足復(fù)雜的性能要求。在5G通信基站中，濾波器需要適應(yīng)不同的通信頻段和復(fù)雜的電磁環(huán)境，基于優(yōu)化方法可以根據(jù)實(shí)際需求靈活設(shè)計(jì)濾波器的耦合矩陣，以滿足高性能的要求。綜合結(jié)果準(zhǔn)確性方面，基于傳輸函數(shù)的方法在理論上能夠得到精確的耦合矩陣，只要數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程準(zhǔn)確無(wú)誤，且濾波器的性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)符合其假設(shè)條件，就能夠得到滿足設(shè)計(jì)要求的耦合矩陣。在實(shí)際應(yīng)用中，由于存在模型簡(jiǎn)化、計(jì)算誤差等因素，實(shí)際制作的濾波器性能可能與理論設(shè)計(jì)值存在一定偏差。在計(jì)算過程中可能會(huì)對(duì)一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，導(dǎo)致模型與實(shí)際情況存在一定差異，從而影響濾波器的性能?；趦?yōu)化方法得到的耦合矩陣是在一定的優(yōu)化目標(biāo)和約束條件下找到的近似最優(yōu)解。不同的優(yōu)化算法由于其搜索策略和原理的不同，得到的結(jié)果可能會(huì)有所差異。遺傳算法雖然具有較強(qiáng)的全局搜索能力，但容易出現(xiàn)早熟收斂的問題，導(dǎo)致得到的結(jié)果可能不是全局最優(yōu)解，而是局部最優(yōu)解，從而影響濾波器的性能。粒子群優(yōu)化算法收斂速度較快，但在處理高維復(fù)雜問題時(shí)，也可能陷入局部最優(yōu)解。模擬退火算法雖然能夠在一定程度上避免陷入局部最優(yōu)解，但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，且結(jié)果對(duì)參數(shù)設(shè)置較為敏感。優(yōu)化算法的結(jié)果還受到初始值設(shè)置、種群規(guī)模、迭代次數(shù)等因素的影響，需要通過大量的實(shí)驗(yàn)和參數(shù)調(diào)整來獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果。四、廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣綜合案例分析4.1案例一：四階交叉耦合廣義切比雪夫帶通濾波器設(shè)計(jì)4.1.1設(shè)計(jì)指標(biāo)確定本案例旨在設(shè)計(jì)一款應(yīng)用于特定無(wú)線通信系統(tǒng)的四階交叉耦合廣義切比雪夫帶通濾波器，該通信系統(tǒng)工作在2.6GHz頻段，對(duì)信號(hào)的選擇性和抗干擾能力要求較高。基于此，確定濾波器的中心頻率f_0為2.60GHz。中心頻率的選擇直接決定了濾波器能夠通過的信號(hào)頻率范圍，對(duì)于該無(wú)線通信系統(tǒng)而言，2.60GHz是系統(tǒng)的主要工作頻率，濾波器需要圍繞此頻率進(jìn)行設(shè)計(jì)，以確保系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確接收和處理該頻段的信號(hào)。通帶內(nèi)回波損耗設(shè)定為15dB，回波損耗反映了信號(hào)在濾波器輸入端的反射程度，15dB的回波損耗能夠保證在通帶內(nèi)大部分信號(hào)能夠順利通過濾波器，減少信號(hào)反射帶來的能量損失和干擾，提高信號(hào)傳輸?shù)男屎唾|(zhì)量。通帶相對(duì)帶寬FBW確定為6%，相對(duì)帶寬決定了濾波器通帶的寬窄程度，6%的相對(duì)帶寬能夠在保證信號(hào)有效傳輸?shù)耐瑫r(shí)，對(duì)通帶外的干擾信號(hào)進(jìn)行有效抑制，滿足該無(wú)線通信系統(tǒng)對(duì)信號(hào)選擇性的要求。通過中心頻率f_0和相對(duì)帶寬FBW，可以計(jì)算出通帶的上下限頻率f_{L}和f_{H}：f_{L}=f_0(1-\frac{FBW}{2})=2.60\times(1-\frac{0.06}{2})=2.522GHzf_{H}=f_0(1+\frac{FBW}{2})=2.60\times(1+\frac{0.06}{2})=2.678GHz傳輸零點(diǎn)位置預(yù)設(shè)在2.485GHz和2.72GHz。在無(wú)線通信系統(tǒng)中，這兩個(gè)頻率處存在較強(qiáng)的干擾信號(hào)，通過在這兩個(gè)位置設(shè)置傳輸零點(diǎn)，可以有效地抑制這些干擾信號(hào)，提高濾波器的帶外抑制能力，增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾性能。傳輸零點(diǎn)的位置對(duì)濾波器的帶外抑制特性有著關(guān)鍵影響，合理設(shè)置傳輸零點(diǎn)能夠使濾波器在特定頻率處產(chǎn)生深度衰減，從而有效阻擋干擾信號(hào)。在本案例中，2.485GHz和2.72GHz處的傳輸零點(diǎn)能夠針對(duì)性地抑制該頻段內(nèi)的干擾信號(hào)，確保濾波器通帶內(nèi)信號(hào)的純凈度。這些設(shè)計(jì)指標(biāo)的確定綜合考慮了無(wú)線通信系統(tǒng)的工作頻段、信號(hào)特性以及干擾情況等因素。在實(shí)際通信環(huán)境中，存在著各種復(fù)雜的干擾信號(hào)，通過準(zhǔn)確設(shè)定濾波器的性能指標(biāo)，可以使濾波器更好地適應(yīng)通信系統(tǒng)的需求，提高系統(tǒng)的整體性能。在5G通信系統(tǒng)中，不同的頻段有著不同的信號(hào)特點(diǎn)和干擾情況，需要根據(jù)具體情況設(shè)計(jì)合適的濾波器指標(biāo)，以保證通信的質(zhì)量和穩(wěn)定性。4.1.2耦合矩陣綜合過程根據(jù)確定的設(shè)計(jì)指標(biāo)，利用Matlab進(jìn)行耦合矩陣綜合。首先，求出濾波器傳輸零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的歸一化頻率。設(shè)低通濾波器的復(fù)頻率變量為s，對(duì)于傳輸零點(diǎn)頻率f_{z1}=2.485GHz，歸一化頻率\Omega_{z1}為：\Omega_{z1}=\frac{f_{z1}-f_0}{f_{0}\timesFBW}=\frac{2.485-2.60}{2.60\times0.06}\approx-1.5對(duì)于傳輸零點(diǎn)頻率f_{z2}=2.72GHz，歸一化頻率\Omega_{z2}為：\Omega_{z2}=\frac{f_{z2}-f_0}{f_{0}\timesFBW}=\frac{2.72-2.60}{2.60\times0.06}\approx1.5在Matlab中編程計(jì)算濾波器的極點(diǎn)位置。根據(jù)廣義切比雪夫帶通濾波器的理論，通過一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算和算法實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)位置的計(jì)算，得到極點(diǎn)位置為(-0.9424,-0.4299,0.4299,0.9424)。根據(jù)求得的歸一化零極點(diǎn)，提取耦合矩陣M和外部品質(zhì)因數(shù)Q_{e1}、Q_{e2}。這里，耦合矩陣M是已經(jīng)歸一化的值，其計(jì)算過程涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和變換，基于網(wǎng)絡(luò)綜合理論和傳輸與反射函數(shù)的關(guān)系，通過一系列矩陣運(yùn)算和參數(shù)調(diào)整得到耦合矩陣的各個(gè)元素值。計(jì)算得到外部品質(zhì)因數(shù)為：Q_{e1}=Q_{e2}=17.54耦合矩陣M如下：M=\begin{pmatrix}0&0.7136&0&0.1212\\0.7136&0&0.6956&0\\0&0.6956&0&0.7136\\0.1212&0&0.7136&0\end{pmatrix}耦合矩陣的對(duì)角線上元素都為零，這表明四階諧振器濾波器中的四個(gè)諧振器的諧振頻率都相等，且等于濾波器的中心頻率2.60GHz。在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，耦合矩陣的元素值決定了諧振器之間的耦合強(qiáng)度和方式，通過精確計(jì)算和調(diào)整耦合矩陣，可以實(shí)現(xiàn)濾波器的各種性能要求。在本案例中，耦合矩陣的元素值經(jīng)過精確計(jì)算，以確保濾波器能夠滿足預(yù)設(shè)的中心頻率、帶寬、傳輸零點(diǎn)位置等設(shè)計(jì)指標(biāo)。4.1.3仿真與結(jié)果分析使用HFSS軟件對(duì)設(shè)計(jì)的四階交叉耦合廣義切比雪夫帶通濾波器進(jìn)行仿真。在HFSS中，首先根據(jù)設(shè)計(jì)的耦合矩陣和外部品質(zhì)因數(shù)，構(gòu)建濾波器的三維模型。設(shè)置濾波器的介質(zhì)基片參數(shù)，如采用FR-4介質(zhì)基片，介電常數(shù)為4.4，基片厚度為0.8mm，介質(zhì)的損耗角正切為0.01。定義諧振器的結(jié)構(gòu)和尺寸，以及它們之間的耦合方式和饋線的位置。通過合理設(shè)置這些參數(shù)，能夠準(zhǔn)確模擬濾波器的實(shí)際物理結(jié)構(gòu)和電氣特性。運(yùn)行仿真后，得到濾波器的頻率響應(yīng)曲線。從仿真結(jié)果可以看出，濾波器的中心頻率約為2.60GHz，與設(shè)計(jì)指標(biāo)相符，這表明濾波器的基本頻率特性得到了準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)。通帶內(nèi)的回波損耗在15dB左右，滿足設(shè)計(jì)要求，說明信號(hào)在通帶內(nèi)的反射較小，能夠有效地傳輸。通帶相對(duì)帶寬約為6%，與預(yù)設(shè)帶寬一致，保證了濾波器能夠通過所需頻率范圍內(nèi)的信號(hào)。在傳輸零點(diǎn)位置，2.485GHz和2.72GHz處的衰減達(dá)到了較高的值，有效抑制了這兩個(gè)頻率的信號(hào)，驗(yàn)證了傳輸零點(diǎn)的設(shè)置效果。這表明濾波器在帶外特定頻率處具有很強(qiáng)的抑制能力，能夠有效阻擋干擾信號(hào)，提高了濾波器的選擇性和抗干擾性能。將仿真結(jié)果與設(shè)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)指標(biāo)基本吻合，但仍存在一些細(xì)微差異。這些差異可能是由于仿真模型的簡(jiǎn)化、數(shù)值計(jì)算誤差以及實(shí)際物理結(jié)構(gòu)與理想模型之間的偏差等原因造成的。在仿真模型中，可能對(duì)一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，導(dǎo)致模型與實(shí)際情況存在一定差異。數(shù)值計(jì)算過程中也可能存在舍入誤差等，影響了結(jié)果的準(zhǔn)確性。實(shí)際制作濾波器時(shí)，由于材料特性的偏差、加工精度的限制等因素，也會(huì)導(dǎo)致實(shí)際濾波器的性能與仿真結(jié)果存在一定偏差?？傮w而言，通過本次設(shè)計(jì)和仿真，驗(yàn)證了基于廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣綜合方法的有效性和準(zhǔn)確性。該方法能夠設(shè)計(jì)出滿足特定性能指標(biāo)要求的濾波器，為實(shí)際應(yīng)用提供了可靠的設(shè)計(jì)方案。在未來的研究中，可以進(jìn)一步優(yōu)化仿真模型和設(shè)計(jì)方法，提高濾波器的性能和設(shè)計(jì)精度，以滿足不斷發(fā)展的通信技術(shù)對(duì)濾波器的更高要求。4.2案例二：應(yīng)用于移動(dòng)通信頻段的腔體帶通濾波器4.2.1移動(dòng)通信頻段需求分析移動(dòng)通信頻段對(duì)濾波器有著特殊且嚴(yán)格的要求，這些要求主要源于移動(dòng)通信系統(tǒng)的復(fù)雜性和對(duì)信號(hào)質(zhì)量的高要求。在移動(dòng)通信中，基站和移動(dòng)終端需要在有限的頻譜資源內(nèi)同時(shí)處理多個(gè)通信信道，這就要求濾波器具備出色的選擇性，能夠準(zhǔn)確地區(qū)分不同信道的信號(hào)，有效抑制相鄰信道和帶外干擾信號(hào)。隨著移動(dòng)通信技術(shù)從4G向5G乃至未來6G的發(fā)展，對(duì)濾波器的性能要求也在不斷提高。在5G通信中，頻段更加復(fù)雜，信號(hào)帶寬更寬，這對(duì)濾波器的帶外抑制度提出了更高的要求。5G通信的頻段范圍包括Sub-6GHz和毫米波頻段，在這些頻段中，存在著大量的干擾信號(hào)，如其他通信系統(tǒng)的信號(hào)、工業(yè)干擾信號(hào)等。濾波器需要具備更強(qiáng)的帶外抑制能力，以確保5G通信信號(hào)的穩(wěn)定傳輸，避免干擾信號(hào)對(duì)通信質(zhì)量的影響。小型化也是移動(dòng)通信頻段對(duì)濾波器的重要要求之一。隨著移動(dòng)終端的不斷發(fā)展，其體積越來越小，功能卻越來越強(qiáng)大，這就需要濾波器在保證性能的前提下，盡可能減小體積，以滿足移動(dòng)終端的集成化需求。在智能手機(jī)中，需要將濾波器與其他射頻器件集成在有限的空間內(nèi)，因此濾波器的小型化設(shè)計(jì)至關(guān)重要。小型化不僅可以節(jié)省空間，還可以降低成本，提高移動(dòng)終端的競(jìng)爭(zhēng)力。滿足這些需求存在諸多設(shè)計(jì)難點(diǎn)。在提高帶外抑制度方面，傳統(tǒng)的濾波器設(shè)計(jì)方法往往難以實(shí)現(xiàn)對(duì)特定頻率干擾信號(hào)的有效抑制。為了實(shí)現(xiàn)高帶外抑制度，需要在濾波器的設(shè)計(jì)中引入特殊的結(jié)構(gòu)和技術(shù)，如廣義切比雪夫帶通濾波器中的傳輸零點(diǎn)設(shè)置技術(shù)。通過在阻帶內(nèi)合適的位置引入傳輸零點(diǎn)，可以有效地抑制帶外干擾信號(hào)，但傳輸零點(diǎn)的準(zhǔn)確設(shè)置需要精確的計(jì)算和復(fù)雜的設(shè)計(jì)過程。小型化設(shè)計(jì)也面臨著挑戰(zhàn)。在減小濾波器體積的同時(shí)，要保證其性能不受影響，這需要對(duì)濾波器的結(jié)構(gòu)和材料進(jìn)行優(yōu)化。傳統(tǒng)的濾波器結(jié)構(gòu)在小型化過程中可能會(huì)出現(xiàn)性能下降的問題，如Q值降低、插入損耗增加等。為了解決這些問題，需要研究新型的濾波器結(jié)構(gòu)和材料，采用先進(jìn)的制造工藝，如多層印制電路板技術(shù)、微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）技術(shù)等。多層印制電路板技術(shù)可以將濾波器的多個(gè)諧振器和耦合結(jié)構(gòu)集成在多層電路板上，減小濾波器的體積；MEMS技術(shù)則可以制造出高精度、小型化的濾波器元件，提高濾波器的性能。4.2.2基于廣義切比雪夫綜合方法的設(shè)計(jì)根據(jù)移動(dòng)通信頻段的需求，基于廣義切比雪夫綜合方法進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)。以應(yīng)用于WCDMA移動(dòng)通信頻段為例，該頻段的中心頻率f_0為2.14GHz，通帶相對(duì)帶寬FBW為5%。首先，計(jì)算傳輸零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的歸一化頻率。假設(shè)在該頻段的帶外存在兩個(gè)主要干擾信號(hào)，頻率分別為f_{z1}=2.05GHz和f_{z2}=2.25GHz。設(shè)低通濾波器的復(fù)頻率變量為s，對(duì)于傳輸零點(diǎn)頻率f_{z1}=2.05GHz，歸一化頻率\Omega_{z1}為：\Omega_{z1}=\frac{f_{z1}-f_0}{f_{0}\timesFBW}=\frac{2.05-2.14}{2.14\times0.05}\approx-0.8411對(duì)于傳輸零點(diǎn)頻率f_{z2}=2.25GHz，歸一化頻率\Omega_{z2}為：\Omega_{z2}=\frac{f_{z2}-f_0}{f_{0}\timesFBW}=\frac{2.25-2.14}{2.14\times0.05}\approx1.028通過Matlab編程計(jì)算濾波器的極點(diǎn)位置，根據(jù)廣義切比雪夫帶通濾波器的理論和相關(guān)算法，得到濾波器的極點(diǎn)位置。根據(jù)求得的歸一化零極點(diǎn)，提取耦合矩陣M和外部品質(zhì)因數(shù)Q_{e1}、Q_{e2}。這里，耦合矩陣M是已經(jīng)歸一化的值，其計(jì)算過程涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和變換，基于網(wǎng)絡(luò)綜合理論和傳輸與反射函數(shù)的關(guān)系，通過一系列矩陣運(yùn)算和參數(shù)調(diào)整得到耦合矩陣的各個(gè)元素值。計(jì)算得到外部品質(zhì)因數(shù)為：Q_{e1}=Q_{e2}=20.4耦合矩陣M如下：M=\begin{pmatrix}0&0.756&0&0.152\\0.756&0&0.723&0\\0&0.723&0&0.756\\0.152&0&0.756&0\end{pmatrix}在設(shè)計(jì)過程中，傳輸零點(diǎn)的位置對(duì)濾波器性能起著關(guān)鍵作用。通過精確計(jì)算和合理設(shè)置傳輸零點(diǎn)的位置，可以使濾波器在特定頻率處產(chǎn)生深度衰減，有效抑制帶外干擾信號(hào)，提高濾波器的選擇性。在本案例中，2.05GHz和2.25GHz處的傳輸零點(diǎn)能夠針對(duì)性地抑制該頻段內(nèi)的主要干擾信號(hào)，確保濾波器通帶內(nèi)信號(hào)的純凈度。4.2.3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果討論制作濾波器實(shí)物，采用腔體結(jié)構(gòu)，使用金屬材料制作諧振腔，通過調(diào)整諧振腔的尺寸和耦合結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)所需的耦合系數(shù)。利用網(wǎng)絡(luò)分析儀對(duì)制作好的濾波器進(jìn)行測(cè)試，得到濾波器的頻率響應(yīng)曲線。將測(cè)試結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從測(cè)試結(jié)果可以看出，濾波器的中心頻率約為2.14GHz，與設(shè)計(jì)指標(biāo)相符，通帶內(nèi)的回波損耗在18dB左右，滿足設(shè)計(jì)要求，通帶相對(duì)帶寬約為5%，與預(yù)設(shè)帶寬一致。在傳輸零點(diǎn)位置，2.05GHz和2.25GHz處的衰減達(dá)到了較高的值，有效抑制了這兩個(gè)頻率的信號(hào)，驗(yàn)證了傳輸零點(diǎn)的設(shè)置效果。但測(cè)試結(jié)果與仿真結(jié)果仍存在一些差異，在帶外抑制方面，測(cè)試結(jié)果略低于仿真結(jié)果，這可能是由于實(shí)際制作過程中，諧振腔的尺寸精度、材料特性以及裝配工藝等因素的影響，導(dǎo)致濾波器的實(shí)際性能與仿真結(jié)果存在一定偏差。針對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)的問題，提出改進(jìn)措施。在制作工藝方面，提高諧振腔的加工精度，減小尺寸誤差，采用高精度的加工設(shè)備和先進(jìn)的加工工藝，確保諧振腔的尺寸符合設(shè)計(jì)要求。優(yōu)化裝配工藝，減少裝配過程中引入的誤差，如保證諧振腔之間的耦合結(jié)構(gòu)安裝準(zhǔn)確，避免因裝配不當(dāng)導(dǎo)致耦合系數(shù)發(fā)生變化。還可以對(duì)濾波器進(jìn)行微調(diào)，在濾波器制作完成后，通過調(diào)整諧振腔的調(diào)諧螺釘?shù)确绞剑瑢?duì)濾波器的性能進(jìn)行微調(diào)，使其更接近設(shè)計(jì)指標(biāo)。五、耦合矩陣的化簡(jiǎn)與優(yōu)化5.1耦合矩陣化簡(jiǎn)的必要性在廣義切比雪夫帶通濾波器耦合矩陣的綜合過程中，由傳統(tǒng)綜合方法得到的耦合矩陣往往存在一些問題，使得化簡(jiǎn)成為必要的步驟。傳統(tǒng)綜合方法產(chǎn)生的耦合矩陣通常包含大量非零元素，這意味著在實(shí)際的濾波器物理實(shí)現(xiàn)中，各個(gè)諧振器之間存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系。對(duì)于一個(gè)高階的廣義切比雪夫帶通濾波器，其耦合矩陣可能是一個(gè)較大規(guī)模的方陣，矩陣中的非零元素眾多，這使得濾波器的物理結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變得極為復(fù)雜。在一個(gè)八階的廣義切比雪夫帶通濾波器中，耦合矩陣可能是一個(gè)8×8的方陣，若其中大部分元素都不為零，那么在設(shè)計(jì)諧振器之間的耦合結(jié)構(gòu)時(shí)，需要考慮大量的耦合路徑和耦合強(qiáng)度，這不僅增加了設(shè)計(jì)的難度，還可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。這種復(fù)雜的耦合矩陣會(huì)顯著增加濾波器物理實(shí)現(xiàn)的難度。在實(shí)際制作濾波器時(shí)，工程師需要根據(jù)耦合矩陣中的元素值來設(shè)計(jì)諧振器之間的耦合結(jié)構(gòu)。對(duì)于微帶線濾波器，需要精確控制微帶線的間距、長(zhǎng)度和寬度等參數(shù)來實(shí)現(xiàn)所需的耦合系數(shù)；對(duì)于腔體濾波器，則需要精心設(shè)計(jì)諧振腔之間的耦合窗口、耦合桿等結(jié)構(gòu)。當(dāng)耦合矩陣中的非零元素過多時(shí)，實(shí)現(xiàn)這些復(fù)雜的耦合結(jié)構(gòu)需要更高的加工精度和更復(fù)雜的工藝，這對(duì)于制造工藝來說是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。在微帶線濾波器中，若需要實(shí)現(xiàn)多個(gè)諧振器之間的復(fù)雜耦合關(guān)系，可能需要采用多層微帶線結(jié)構(gòu)或特殊的耦合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，這會(huì)增加微帶線的層數(shù)和布局的復(fù)雜性，提高了加工難度和成本。復(fù)雜的耦合矩陣還會(huì)導(dǎo)致濾波器成本的增加。一方面，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)所需的高精度加工工藝會(huì)增加制造過程中的成本，包括設(shè)備成本、材料成本和人力成本等。高精度的加工設(shè)備價(jià)格昂貴，而且在加工過程中可能會(huì)產(chǎn)生更多的廢品，增加了材料的浪費(fèi)和成本。復(fù)雜的耦合結(jié)構(gòu)可能需要使用更多的材料和元件，進(jìn)一步提高了濾波器的成本。在腔體濾波器中，為了實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的耦合關(guān)系，可能需要增加諧振腔的數(shù)量或采用特殊的材料和結(jié)構(gòu)，這都會(huì)導(dǎo)致成本的上升。從濾波器性能的角度來看，復(fù)雜的耦合矩陣也可能對(duì)濾波器的性能產(chǎn)生負(fù)面影響。過多的耦合路徑和復(fù)雜的耦合關(guān)系可能會(huì)引入額外的損耗和干擾，影響濾波器的通帶特性和帶外抑制性能。在高頻段，復(fù)雜的耦合結(jié)構(gòu)可能會(huì)產(chǎn)生寄生效應(yīng)，導(dǎo)致濾波器的性能下降。通過化簡(jiǎn)耦合矩陣，可以去除那些對(duì)濾波器性能影響較小或在實(shí)際物理結(jié)構(gòu)中難以實(shí)現(xiàn)的耦合值，從而簡(jiǎn)化濾波器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)過程，降低成本，同時(shí)提高濾波器的性能穩(wěn)定性和可靠性。5.2相似變換與矩陣元素消去方法耦合矩陣化簡(jiǎn)的關(guān)鍵步驟是進(jìn)行相似變換，通過左乘并右乘階旋轉(zhuǎn)矩陣及其轉(zhuǎn)置來實(shí)現(xiàn)。對(duì)于一個(gè)N\timesN的耦合矩陣M，其化簡(jiǎn)的第一步是進(jìn)行如下操作：M'=RMR^T其中，M是初始矩陣，M'是變換后的矩陣，R為N\timesN階旋轉(zhuǎn)矩陣，R^T是R的轉(zhuǎn)置矩陣。旋轉(zhuǎn)矩陣R的定義較為特殊，它決定了相似變換的具體形式和效果。矩陣M'的本征值在變換后與初始矩陣M的完全相同，這是相似變換的一個(gè)重要性質(zhì)，意味著可以使用任意定義的轉(zhuǎn)軸和角度進(jìn)行任意長(zhǎng)的變換，而不會(huì)改變矩陣的本征值相關(guān)特性。每次變換均可采用特定的形式，最終得到的矩陣M'與初始矩陣M的特性相同，即經(jīng)過相似變換后的耦合矩陣仍然能夠保證濾波器的傳輸與反射特性不變。當(dāng)對(duì)耦合矩陣M進(jìn)行相似變換時(shí)，若指定轉(zhuǎn)軸為[i,j]（表示第i行和第j行，以及第i列和第j列進(jìn)行變換操作），旋轉(zhuǎn)角度為\theta，則得到的變換后的矩陣M'與矩陣M將在第i行第j行與第i列第j列發(fā)生變化。對(duì)于矩陣M第i行或列或者第j行或列的第k個(gè)元素，其值的變化有如下公式：M_{ik}'=M_{ik}\cos\theta+M_{jk}\sin\thetaM_{jk}'=-M_{ik}\sin\theta+M_{jk}\cos\thetaM_{ki}'=M_{ki}\cos\theta+M_{kj}\sin\thetaM_{kj}'=-M_{ki}\sin\theta+M_{kj}\cos\theta其中，不打撇的矩陣元素屬于矩陣M，打撇的為變換后的矩陣M'中的元素。在應(yīng)用于矩陣化簡(jiǎn)過程中的相似變換具有兩條重要性質(zhì)。在變換中，只有轉(zhuǎn)軸所在的i行與列和j行與列上的元素值受到變換的影響，其他元素仍為變換前的數(shù)值。這一性質(zhì)使得在進(jìn)行相似變換時(shí)，可以有針對(duì)性地對(duì)特定行和列的元素進(jìn)行操作，而不會(huì)影響到矩陣其他部分的元素，從而簡(jiǎn)化了變換過程和分析難度。如果轉(zhuǎn)軸所在的行與列中兩相對(duì)的元素在變換前都為零，那么，在變換后仍為零。例如，在某一耦合矩陣中，若元素M_{35}和M_{53}在以[3,5]為軸的變換前均為零，不論旋轉(zhuǎn)角度\theta為何值，在變換后M_{35}'和M_{53}'仍為零。這一性質(zhì)在消去耦合矩陣中的特定元素時(shí)非常有用，可以利用它來逐步簡(jiǎn)化耦合矩陣。利用上述相似變換的性質(zhì)和公式，可以有效地消去耦合矩陣中的特定元素。為了消去耦合矩陣中的非零元素M_{ij}（同時(shí)消去M_{ji}，因?yàn)轳詈暇仃囃ǔＪ菍?duì)稱矩陣），可以選擇合適的轉(zhuǎn)軸[i,j]和角度\theta進(jìn)行變換。根據(jù)元素值變化公式，通過求解特定的方程，可以找到合適的\theta值，使得變換后的M_{ij}'=0。具體來說，由M_{ij}'=M_{ij}\cos\theta+M_{jj}\sin\theta=0，可以解出\tan\theta=-\frac{M_{ij}}{M_{jj}}（假設(shè)M_{jj}\neq0，若M_{jj}=0，則可根據(jù)具體情況進(jìn)行特殊處理），從而確定旋轉(zhuǎn)角度\theta，實(shí)現(xiàn)對(duì)非零元素的消去。通過多次選擇不同的轉(zhuǎn)軸和角度進(jìn)行相似變換，可以逐步消去耦合矩陣中那些在實(shí)際物理結(jié)構(gòu)中難以實(shí)現(xiàn)或?qū)V波器性能影響較小的耦合值，將耦合矩陣化簡(jiǎn)為更簡(jiǎn)單、更易于實(shí)現(xiàn)的形式。5.3化簡(jiǎn)為實(shí)際應(yīng)用形式（以折疊形式為例）將耦合矩陣化簡(jiǎn)為折疊形式是一個(gè)逐步且有序的過程，通過一系列特定的相似變換操作，將復(fù)雜的初始耦合矩陣轉(zhuǎn)化為更符合實(shí)際應(yīng)用需求的折疊形式。這一過程不僅涉及到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)運(yùn)算，還需要對(duì)濾波器的物理結(jié)構(gòu)和性能要求有深入的理解。對(duì)于一個(gè)初始的耦合矩陣M，我們可以通過以下步驟將其化簡(jiǎn)為折疊形式：第一次相似變換：選擇轉(zhuǎn)軸為[1,N]，旋轉(zhuǎn)角度為\theta_{1N}進(jìn)行相似變換。根據(jù)相似變換的公式，經(jīng)過這次變換后，矩陣M的第1行和第N行、第1列和第N列的元素會(huì)發(fā)生變化，其他行和列的元素保持不變。通過合理選擇旋轉(zhuǎn)角度\theta_{1N}，可以消去矩陣M中的特定元素，使矩陣的結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)潔。在一個(gè)四階耦合矩陣中，若經(jīng)過計(jì)算確定旋轉(zhuǎn)角度\theta_{14}，對(duì)矩陣進(jìn)行以[1,4]為轉(zhuǎn)軸的相似變換，可使M_{14}和M_{41}變?yōu)榱悖瑥亩?jiǎn)化矩陣的部分結(jié)構(gòu)。第二次相似變換：在第一次相似變換的基礎(chǔ)上，選擇轉(zhuǎn)軸為[2,N-1]，旋轉(zhuǎn)角度為\theta_{2(N-1)}再次進(jìn)行相似變換。同樣，這次變換僅影響第2行和第N-1行、第2列和第N-1列的元素，其他元素不受影響。通過精心選擇旋轉(zhuǎn)角度\theta_{2(N-1)}，可以進(jìn)一步消去矩陣中的某些元素，使矩陣朝著折疊形式進(jìn)一步發(fā)展。對(duì)于上述四階耦合矩陣，在第一次變換后，以[2,3]為轉(zhuǎn)軸進(jìn)行第二次相似變換，通過合適的\theta_{23}，可以使M_{23}和M_{32}滿足特定的折疊形式要求。第三次相似變換：選擇轉(zhuǎn)軸為[1,2]，旋轉(zhuǎn)角度為\theta_{12}進(jìn)行相似變換。這次變換主要對(duì)第1行和第2行、第1列和第2列的元素產(chǎn)