第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（3分）如圖所示，第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若三角形的三邊長(zhǎng)分別是4、7、a，則a的取值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）要使分式3x-3有意義，xA．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠34．（3分）如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則∠AEC的度數(shù)為（）A．105° B．120° C．75° D．45°5．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（2a2）3＝6a6 D．a(chǎn)6÷a2＝a36．（3分）如圖，為了促進(jìn)黃埔區(qū)的旅游發(fā)展，某村要在三條公路圍成的一塊三角形平地（記作△ABC）上修建一個(gè)度假村．要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，則度假村應(yīng)建在△ABC的（）A．三條中線的交點(diǎn)處 B．三條角平分線的交點(diǎn)處 C．三條高線的交點(diǎn)處 D．以上都不對(duì)7．（3分）如圖，已知AD∥BC，從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件后，仍不能證明△ABC≌△CDA的是（）A．AD＝CB B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．∠BAC＝∠DCA8．（3分）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式-aa-bA．a(chǎn)-a-b B．a(chǎn)b-a C．a(chǎn)a-b9．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗(yàn)證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b210．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+12∠C；②若OD＝a，AB+BC+CA＝b，則S△ABC＝ab；③當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝A．①② B．②③ C．①②③ D．①③二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）紅細(xì)胞是血液中數(shù)量最多的一種血細(xì)胞，主要負(fù)責(zé)運(yùn)輸氧氣和二氧化碳，人的紅細(xì)胞的直徑大約在0.000007m左右．?dāng)?shù)據(jù)0.000007用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（3分）因式分解：x2+3x＝．13．（3分）已知正多邊形的一個(gè)外角是60°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．14．（3分）如圖，把一張Rt△ABC紙片沿DE折疊，若∠1＝70°，∠C＝90°，則∠2的度數(shù)為．15．（3分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝4，連接CE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為秒時(shí)，△CDP與△DCE全等．16．（3分）如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，中線BD＝b，點(diǎn)E在BD上運(yùn)動(dòng)，連接AE，在AE的右側(cè)作等邊△AEF，連接DF，則△ADF周長(zhǎng)的最小值是．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（4分）計(jì)算：（1）（﹣24x2y）÷6xy；（2）（a+1）（a﹣1）+4a2．18．（4分）如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的高，點(diǎn)E為邊BC上的中點(diǎn)，連接AE．若AD＝4，△ABC的面積為20，求BE的長(zhǎng)．19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：(m+4m+4m)?2m2m+2，其中20．（6分）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：BD＝CD．21．（8分）如圖，點(diǎn)D在等邊△ABC的外部，連接AD，CD，AD＝CD．過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若∠ADC＝140°，求∠ADE的度數(shù)．22．（10分）已知△ABC為底角為30°的等腰三角形，（1）尺規(guī)作圖作線段AC的垂直平分線，與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若BC＝6，求DE的長(zhǎng)．23．（10分）2024年南國(guó)書香節(jié)已在廣州琶洲順利舉行．某學(xué)校在活動(dòng)期間購(gòu)買甲、乙兩種圖書．已知乙圖書比甲圖書每本價(jià)格多10元，用5000元購(gòu)買的甲圖書和用6000元購(gòu)買的乙圖書數(shù)量相同．（1）求出甲、乙兩種圖書每本的價(jià)格分別是多少；（2）若計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種圖書共50本，購(gòu)書總費(fèi)用不超過(guò)2860元，則最少購(gòu)進(jìn)甲圖書多少本？24．（12分）【閱讀材料】若x滿足（8﹣x）（x﹣3）＝4，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．解：設(shè)8﹣x＝a，x﹣3＝b．則（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝4，a+b＝8﹣x+（x﹣3）＝5．∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．【類比探究】解決下列問(wèn)題：（1）若x滿足（4﹣x）（x﹣2）＝1，則（4﹣x）2+（x﹣2）2的值為．（2）若（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，求（n﹣2022）（2025﹣n）的值．【拓展應(yīng)用】（3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是24，分別以MF，DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFDH．求陰影部分的面積．25．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A（a，0），B（0，b），且滿足（a﹣b）2＝0．（1）如圖1，∠ABO＝°；（2）如圖2，點(diǎn)D是線段OA上一點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限，連接OC、CD、BC．若CD交AB于點(diǎn)E．滿足∠CBE＝∠CEB，OC⊥BC，BC＝5，DE＝7，求點(diǎn)A到OC的距離；（3）如圖3，若∠AOC＝45°，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)P在射線OC上運(yùn)動(dòng)，連接PA，以AP為斜邊向下作等腰直角△APQ，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求BQ的最小值．

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CDDCABCBBD一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（3分）如圖所示，第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、B、D選項(xiàng)中的圖標(biāo)都不能找到這樣的一條直線，使?jié)h字沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱漢字；C選項(xiàng)中的圖標(biāo)能找到這樣的一條直線，使?jié)h字沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱漢字；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）若三角形的三邊長(zhǎng)分別是4、7、a，則a的取值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，由此得到3＜a＜11，即可得到答案．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得到：7﹣4＜a＜7+4，∴3＜a＜11，∴a的取值可以是4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．3．（3分）要使分式3x-3有意義，xA．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3【分析】根據(jù)分式的分母不為零求解即可．【解答】解：要使分式3x-3有意義，只須x﹣3≠0，即x故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式有意義的條件，熟練掌握分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵．4．（3分）如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則∠AEC的度數(shù)為（）A．105° B．120° C．75° D．45°【分析】三角形內(nèi)角和是180°，由此即可計(jì)算．【解答】解：∵∠ECA＝45°，∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和是180°．5．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（2a2）3＝6a6 D．a(chǎn)6÷a2＝a3【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、a3?a2＝a5，故此選項(xiàng)符合題意；B、（a3）2＝a6，故此選項(xiàng)不符合題意；C、（2a2）3＝8a6，故此選項(xiàng)不符合題意；D、a6÷a2＝a4，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，為了促進(jìn)黃埔區(qū)的旅游發(fā)展，某村要在三條公路圍成的一塊三角形平地（記作△ABC）上修建一個(gè)度假村．要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，則度假村應(yīng)建在△ABC的（）A．三條中線的交點(diǎn)處 B．三條角平分線的交點(diǎn)處 C．三條高線的交點(diǎn)處 D．以上都不對(duì)【分析】角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，由此即可得到答案．【解答】解：∵角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，則度假村應(yīng)建在△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)處．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．7．（3分）如圖，已知AD∥BC，從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件后，仍不能證明△ABC≌△CDA的是（）A．AD＝CB B．∠B＝∠D C．AB＝CD D．∠BAC＝∠DCA【分析】由全等三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，A、由SAS判定△ABC≌△CDA，故A不符合題意；B、由AAS判定△ABC≌△CDA，故B不符合題意；C、∠DAC和∠ACB，分別是DC和AB的對(duì)角，不能判定△ABC≌△CDA，故C符合題意；D、由ASA判定△ABC≌△CDA，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．8．（3分）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式-aa-bA．a(chǎn)-a-b B．a(chǎn)b-a C．a(chǎn)a-b【分析】利用分式的性質(zhì)即可求得答案．【解答】解：-aa-b故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗(yàn)證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后的面積＝a2﹣b2，新的圖形面積等于（a+b）（a﹣b），由于兩圖中陰影部分面積相等，即可得到結(jié)論．【解答】解：圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，即為a2﹣b2；剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∵前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用幾何方法驗(yàn)證平方差公式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)拼接前后不同的幾何圖形的面積不變得到等量關(guān)系．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+12∠C；②若OD＝a，AB+BC+CA＝b，則S△ABC＝ab；③當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【分析】由∠OAB＝∠OAC=12∠CAB，∠OBA＝∠OBC=12∠CBA，推導(dǎo)出∠OAB+∠OBA＝90°-12∠ACB，則∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝90°+12∠ACB，可判斷①正確；連接OC，作OL⊥AC于點(diǎn)L，OM⊥AB于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)得OL＝OM＝OD＝a，求得S△ABC=12a（AB+BC+CA）=12ab≠ab，可判斷②錯(cuò)誤；在AB上截取AH＝AF，連接OB，由∠C＝60°，求得∠AOB＝90°+12∠C＝120°，則∠AOF＝∠BOE＝60°，可證明△AOH≌△AOF，得∠AOH＝∠AOF＝60°，則∠BOH＝∠BOE＝60°，再證明△BOH≌△BOE，得BH＝【解答】解：∵△ABC的角平分線AE、BF交于點(diǎn)O，∴∠OAB＝∠OAC=12∠CAB，∠OBA＝∠OBC=1∴∠OAB+∠OBA=12（∠CAB+∠CBA）=12（180°﹣∠ACB）＝90°∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（90°-12∠ACB）＝90°+1故①正確；如圖1，連接OC，作OL⊥AC于點(diǎn)L，OM⊥AB于點(diǎn)M，∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，AE交BF于點(diǎn)O，且OD⊥BC于點(diǎn)D，∴OL＝OM＝OD＝a，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB?OM+12BC?OD+12CA?OL=12∵AB+BC+CA＝b，∴S△ABC=12ab≠故②錯(cuò)誤；如圖2，在AB上截取AH＝AF，連接OB，∵∠C＝60°，∴∠AOB＝90°+12∠∴∠AOF＝∠BOE＝180°﹣∠AOB＝60°，在△AOH和△AOF中，AH=AF∠OAH=∠OAF∴△AOH≌△AOF（SAS），∴∠AOH＝∠AOF＝60°，∴∠BOH＝∠AOB﹣∠AOH＝60°，∴∠BOH＝∠BOE，在△BOH和△BOE中，∠OBH=∠BOEOB=OB∴△BOH≌△BOE（ASA），∴BH＝BE，∴AF+BE＝AH+BH＝AB，故③正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）紅細(xì)胞是血液中數(shù)量最多的一種血細(xì)胞，主要負(fù)責(zé)運(yùn)輸氧氣和二氧化碳，人的紅細(xì)胞的直徑大約在0.000007m左右．?dāng)?shù)據(jù)0.000007用科學(xué)記數(shù)法表示為7×10﹣6．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：0.000007＝7×10﹣6．故答案為：7×10﹣6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）因式分解：x2+3x＝x（x+3）．【分析】根據(jù)因式分解的一般步驟計(jì)算即可．【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．故答案為：x（x+3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（3分）已知正多邊形的一個(gè)外角是60°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為6．【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°計(jì)算即可．【解答】解：360°÷60°＝6，即正多邊形的邊數(shù)是6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，掌握多邊形的外角和等于360°，正多邊形的每個(gè)外角都相等是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，把一張Rt△ABC紙片沿DE折疊，若∠1＝70°，∠C＝90°，則∠2的度數(shù)為50°．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵把一張Rt△ABC紙片沿DE折疊，∴∠CDE＝∠C′DE，∵∠1＝70°，∴∠CDE＝∠C′DE＝110°，∴∠C′DA′＝40°，∵∠C′＝∠C＝90°，∴∠2＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝4，連接CE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為43或5秒時(shí)，△CDP與△DCE【分析】根據(jù)題意分兩種情況：△CDP≌△DCE和△CDP≌△CDE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖所示，當(dāng)△CDP≌△DCE時(shí)，∴CP＝DE＝4，∵在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴BC＝AD＝5，∴BP＝BC﹣PC＝1，∴AB+BP＝3+1＝4，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為每秒3個(gè)單位，∴t=4÷3=4如圖所示，當(dāng)△CDP≌△CDE時(shí)，∴DP＝DE＝4，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴AB+BC+CD+PD＝3+5+3+4＝15，∴t＝15÷3＝5（秒），綜上所述，當(dāng)t的值為43或5秒時(shí)，△CDP與△DCE故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是矩形性質(zhì)的熟練掌握．16．（3分）如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，中線BD＝b，點(diǎn)E在BD上運(yùn)動(dòng)，連接AE，在AE的右側(cè)作等邊△AEF，連接DF，則△ADF周長(zhǎng)的最小值是12a+b【分析】作射線CF，由等邊三角形的性質(zhì)得AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝∠EAF＝60°，推導(dǎo)出∠CAF＝∠BAE，則△CAF≌△BAE，的以∠ACF＝∠ABE＝30°，可知點(diǎn)F在射線CF上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)H，連接AH、CH，DH、FH，可證明△AHC是等邊三角形，推導(dǎo)出HD＝BD＝b，而AC＝a，則AD＝CD=12a，由HF+DF≥DH，得AD+AF+DF≥12a+b，則△ADF周長(zhǎng)的最小值為1【解答】解：作射線CF，∵△ABC和△AEF都是等邊三角形，∴AC＝AB，AF＝AE，∠ABC＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠BAE＝60°﹣∠CAE，在△CAF和△BAE中，AC=AB∠CAF=∠BAE∴△CAF≌△BAE（SAS），∵BD為等邊△ABC的中線，∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝30°，BD⊥AC，AD＝∴∠ACF＝∠ABE＝30°，∴點(diǎn)F在射線CF上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)H，連接AH、CH，DH、FH，∵CF垂直平分AH，∴HC＝AC，HF＝AF，∴∠HCF＝∠ACF＝30°，∴∠ACH＝2∠ACF＝60°，∴△AHC是等邊三角形，∴AH＝AC＝AB，HD⊥AC，∴∠ADH＝∠ADB＝90°，∴∠ADH+∠ADB＝180°，∴B、D、H三點(diǎn)在同一條直線上，∵AH＝AB，AD⊥BH，∴HD＝BD＝b，∵AC＝a，∴AD＝CD=12∵HF+DF≥DH，∴AD+AF+DF≥AD+DH，∴AD+AF+DF≥12a+∴△ADF周長(zhǎng)的最小值為12a+b故答案為：12a+b【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（4分）計(jì)算：（1）（﹣24x2y）÷6xy；（2）（a+1）（a﹣1）+4a2．【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則和同底數(shù)冪相除法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)平方差公式計(jì)算乘法，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣24÷6）?（x2÷x）?（y÷y）＝﹣4x；（2）原式＝a2﹣1+4a2＝5a2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則和同底數(shù)冪相除法則．18．（4分）如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的高，點(diǎn)E為邊BC上的中點(diǎn)，連接AE．若AD＝4，△ABC的面積為20，求BE的長(zhǎng)．【分析】先利用三角形的面積求出BC＝10，然后利用線段中點(diǎn)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵AD⊥BC，△ABC的面積為20，∴12AD?BC∵AD＝4，∴BC＝10，∵點(diǎn)E為邊BC上的中點(diǎn)，∴BE=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，三角形的角平分線、中線和高，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：(m+4m+4m)?2m2m+2，其中【分析】先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，然后計(jì)算分式乘法化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．【解答】解：(m+4m+4=m=(m+2＝2m（m+2）＝2m2+4m，∵m2+2m﹣3＝0，∴m2+m＝3，原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．20．（6分）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF．求證：BD＝CD．【分析】由AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F得DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BED≌△CFD，得BD＝CD．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，BE=CF∠BED=∠CFD∴△BED≌△CFD（SAS），∴BD＝CD．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△BED≌△CFD是解題的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，點(diǎn)D在等邊△ABC的外部，連接AD，CD，AD＝CD．過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若∠ADC＝140°，求∠ADE的度數(shù)．【分析】（1）結(jié)論：△AEF是等邊三角形．證明∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°即可；（2）求出∠EDC＝100°可得結(jié)論．【解答】解：（1）結(jié)論：△AEF是等邊三角形．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵DE∥CB，∴∠AFE＝∠ACB＝60°，∴∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°，∴△AEF是等邊三角形；（2）∵DA＝DC，∠ADC＝140°，∴∠DAC＝∠DCA＝20°，∵∠ACB＝60°，∴∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝80°，∵DE∥CB，∴∠EDC＝180°﹣∠DCB＝100°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC140°﹣100°＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．22．（10分）已知△ABC為底角為30°的等腰三角形，（1）尺規(guī)作圖作線段AC的垂直平分線，與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若BC＝6，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可．（2）連接AE，由題意得∠B＝∠C＝30°．由線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠CDE＝90°，AE＝CE，則∠CAE＝∠C＝30°，∠AEB＝∠C+∠EAC＝60°，則∠BAE＝90°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BE＝2AE，進(jìn)而可得AE＝CE＝2．在Rt△CDE中，可得DE=1【解答】解：（1）如圖，直線DE即為所求．（2）連接AE，∵△ABC為底角為30°的等腰三角形，∴∠B＝∠C＝30°．∵直線DE為線段AC的垂直平分線，∴∠CDE＝90°，AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝30°．∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝2AE．∵BC＝6，∴BE+CE＝2AE+AE＝6，∴AE＝2，∴CE＝2．在Rt△CDE中，∠C＝30°，∴DE=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．23．（10分）2024年南國(guó)書香節(jié)已在廣州琶洲順利舉行．某學(xué)校在活動(dòng)期間購(gòu)買甲、乙兩種圖書．已知乙圖書比甲圖書每本價(jià)格多10元，用5000元購(gòu)買的甲圖書和用6000元購(gòu)買的乙圖書數(shù)量相同．（1）求出甲、乙兩種圖書每本的價(jià)格分別是多少；（2）若計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種圖書共50本，購(gòu)書總費(fèi)用不超過(guò)2860元，則最少購(gòu)進(jìn)甲圖書多少本？【分析】（1）設(shè)甲圖書每本的價(jià)格為x元，則乙圖書每本的價(jià)格是（x+10）元，根據(jù)用5000元購(gòu)買的甲圖書和用6000元購(gòu)買的乙圖書數(shù)量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購(gòu)買甲圖書m本，則購(gòu)買乙圖書（50﹣m）本，根據(jù)購(gòu)書總費(fèi)用不超過(guò)2860元，結(jié)合（1）的結(jié)果，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)甲圖書每本的價(jià)格為x元，則乙圖書每本的價(jià)格是（x+10）元，由題意得：5000x解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝50+10＝60，答：甲圖書每本的價(jià)格為50元，乙圖書每本的價(jià)格為60元；（2）設(shè)購(gòu)買甲圖書m本，則購(gòu)買乙圖書（50﹣m）本，由題意得：50m+60（50﹣m）≤2860，解得：m≥14，答：最少購(gòu)進(jìn)甲圖書14本．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．24．（12分）【閱讀材料】若x滿足（8﹣x）（x﹣3）＝4，求（8﹣x）2+（x﹣3）2的值．解：設(shè)8﹣x＝a，x﹣3＝b．則（8﹣x）（x﹣3）＝ab＝4，a+b＝8﹣x+（x﹣3）＝5．∴（8﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．【類比探究】解決下列問(wèn)題：（1）若x滿足（4﹣x）（x﹣2）＝1，則（4﹣x）2+（x﹣2）2的值為2．（2）若（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，求（n﹣2022）（2025﹣n）的值．【拓展應(yīng)用】（3）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是24，分別以MF，DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFDH．求陰影部分的面積．【分析】（1）利用材料中的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）利用材料中的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）根據(jù)題意易得：MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，然后設(shè)x﹣1＝a，x﹣3＝b，則a﹣b＝2，ab＝24，然后利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）設(shè)4﹣x＝a，x﹣2＝b，∴a+b＝4﹣x+x﹣2＝2，∵（4﹣x）（x﹣2）＝1，∴ab＝1，∴（4﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝4﹣2＝2，故答案為：2；（2）設(shè)n﹣2022＝a，2025﹣n＝b，∴a+b＝n﹣2022+2025﹣n＝3，∵（n﹣2022）2+（2025﹣n）2＝4，∴a2+b2＝4，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝9﹣4＝5，∴ab＝2.5，∴（n﹣2022）（2025﹣n）的值為2.5；（3）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝1，CF＝3，∴DE＝MF＝x﹣1，ME＝DF＝x﹣3，設(shè)x﹣1＝a，x﹣3＝b，∴a﹣b＝x﹣1