第1頁（共1頁）2024-2025學年廣東省廣州市荔灣區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列方程為一元二次方程的是（）A．x+2y＝0 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3+3 D．3x＝13．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．某校300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天 B．圓內(nèi)接四邊形的對角互余 C．直徑是圓中最長的弦 D．打開電視，正在播放《新聞聯(lián)播》4．（3分）如圖，已知點A，B，C在⊙O上，∠COA＝100°，則∠CBA＝（）A．40° B．80° C．50° D．200°5．（3分）對于二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+4，下列說法正確的是（）A．當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1 C．函數(shù)有最大值1 D．函數(shù)圖象與x軸有2個交點6．（3分）某社區(qū)為改善環(huán)境，決定加大綠化投入．四月份綠化投入25萬元，六月份綠化投入49萬元，設五月份和六月份該社區(qū)綠化投入的月平均增長率為x，根據(jù)題意所列方程為（）A．25（1+x）+25（1+2x）＝49 B．25（1+x）2＝49 C．25（1﹣x）2＝49 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝497．（3分）如圖，AD是半圓O的直徑，B，C兩點在半圓上，且AB=BC=CD，點P在CD上，若∠A．20° B．25° C．30° D．40°8．（3分）游樂園里的大擺錘如圖1所示，它的簡化模型如圖2，當擺錘第一次到達左側(cè)最高點A點時開始計時，擺錘相對地面的高度y隨時間t變化的圖象如圖3所示．擺錘從A點出發(fā)再次回到A點需要（）秒．A．2 B．4 C．6 D．89．（3分）已知△ABC的邊BC=22，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠AA．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°10．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點是（﹣1，m），則以下結論：①abc＜0；②a+b+c＝0；③若y≤c，則﹣2≤x≤0；④a+c=12其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）11．（3分）若點（a，4）與點（2，﹣4）關于原點對稱，則a＝．12．（3分）將拋物線y＝x2向上平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度．所得到的拋物線解析式為．13．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則代數(shù)式m2﹣2m+mn的值為．14．（3分）如圖，這是某電路的示意圖，隨機閉合開關S1，S2，S3，中的任意2個，能同時使2盞小燈泡發(fā)光的概率是．15．（3分）如圖是一個殘缺圓的一段圓弧，在圓弧上任取兩點A，B，連接AB，作AB的垂直平分線交AB于點D，交AB于點C．已知AB＝43cm，CD＝2cm，則陰影部分的面積為cm2．16．（3分）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝123，點D為BC上一動點，BE⊥OD于點E，當點D由點B沿BC運動到點C時，線段AE的最大值是．三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．18．（4分）若x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣10x+4m＝0的兩個實數(shù)根，且x1+x2+x1x2＝26，求m的值．19．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（4，0），B（3，3），C（0，﹣1）．（1）以點C為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C；（2）在（1）的條件下，①點A′的坐標為；②點B經(jīng)過的路徑BB′的長為（結果保留π）．20．（6分）在一個不透明的口袋里裝有分別標有數(shù)字﹣2，﹣1，1的三個小球，除數(shù)字不同外，小球沒有任何區(qū)別，每次試驗先攪拌均勻．（1）從中任取一球，將球上的數(shù)字記為a，則二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+3的圖象開口朝下的概率為；（2）從中任取一球，將球上的數(shù)字作為點的橫坐標，記為x（不放回），再任取一球，將球上的數(shù)字作為點的縱坐標，記為y，用樹狀圖或列表法表示出點（x，y）所有可能出現(xiàn)的結果，并求點（x，y）在以原點為圓心，5為半徑的圓內(nèi)的概率．21．（8分）如圖，以點O為圓心，AB為直徑作圓，在⊙O上取一點C，延長AB至點D，連接DC，使得∠DCB＝∠DAC，過點A作AE垂直于AD交DC的延長線于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝4，AD＝8，求AE的長．22．（10分）某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為40元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系式為：w＝﹣2x+240．設這種綠茶在這段時間內(nèi)的銷售利潤為y（元），解答下列問題：（1）請直接寫出y與x的關系式；（2）當銷售單價x為何值時，銷售利潤的值最大，最大值為多少？（3）如果物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內(nèi)獲得2400元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝a（x+1）2+94（a≠0）與x軸交于點A（﹣4，0）和點B，連結（1）求拋物線的解析式；（2）求線段AB的長度；（3）點P是拋物線上的一個動點，滿足∠PBA＝∠CAB，求點P的坐標．24．（12分）已知拋物線G：y＝ax2+bx+c（a＞0）過點A（x1，2），點B（x2，2），點C（1，﹣3a+c）．直線l：y＝kx+n過點D（2，0），交線段AB于點E，記△ADE的面積為S1，△BDE的面積為S2，且S1＝S2+4．（1）用含a的式子表示b；（2）求直線l：y＝kx+n的解析式；（3）當x1＜x2，c＝3a時，已知點F（5，m）在直線l上，若拋物線G與線段DF有且只有一個交點，求a的取值范圍．25．（12分）如圖，以點P（﹣1，0）為圓心的圓，分別與x軸相交于B，C兩點，與y軸相交于A，D兩點，PB＝2，點M與點A關于點P成中心對稱．（1）請直接寫出點B，點M的坐標；（2）動直線l從與BA重合時開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜60°）后，與直線CM相交于點E，過點E作EG⊥x軸，垂足為G，Q為BE的中點，連接MQ，QG．請問在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小是否變化？若不變，請求出∠MQG的度數(shù)；若變化，請說明理由．（3）將（2）中的0°＜α＜60°改為0°＜α＜180°，其余條件不變，當△MQB為等邊三角形時，求點G的坐標．

2024-2025學年廣東省廣州市荔灣區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ABCCDBADCD一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：A既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則A符合題意；B是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，則B不符合題意；C是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，則C不符合題意；D不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形，則D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查中心對稱圖形，軸對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關鍵．2．（3分）下列方程為一元二次方程的是（）A．x+2y＝0 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3+3 D．3x＝1【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此求解即可．【解答】解：A、x+2y＝0含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合題意；B、x2﹣2＝0，是一元二次方程，符合題意；C、x＝2x3+3未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合題意；D、3x＝1未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合題意；故選：B．【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，掌握其定義即可求解．3．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．某校300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天 B．圓內(nèi)接四邊形的對角互余 C．直徑是圓中最長的弦 D．打開電視，正在播放《新聞聯(lián)播》【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．【解答】解：A、某校300名學生中，至少有2名學生的生日是同一天，是隨機事件，不符合題意；B、圓內(nèi)接四邊形的對角互補，故本選項事件是不可能事件，不符合題意；C、直徑是圓中最長的弦，是必然事件，符合題意；D、打開電視，正在播放《新聞聯(lián)播》，是隨機事件，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是隨機事件，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．（3分）如圖，已知點A，B，C在⊙O上，∠COA＝100°，則∠CBA＝（）A．40° B．80° C．50° D．200°【分析】根據(jù)圓周角定理計算即可．【解答】解：∵∠COA＝100°，∴∠CBA=12∠COA故選：C．【點評】本題考查圓周角定理，熟練掌握并靈活運用圓周角定理是解題的關鍵．5．（3分）對于二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+4，下列說法正確的是（）A．當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1 C．函數(shù)有最大值1 D．函數(shù)圖象與x軸有2個交點【分析】由二次函數(shù)的解析式可知，對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，4），則當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小，函數(shù)有最大值4．令﹣（x+1）2+4＝0，可得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，即函數(shù)圖象與x軸有2個交點．【解答】解：由二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+4可知，對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，4），∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小，函數(shù)有最大值4，故A，B，C選項不正確，不符合題意；令﹣（x+1）2+4＝0，整理得，﹣x2﹣2x+3＝0，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，∴函數(shù)圖象與x軸有2個交點．故D選項正確，符合題意．故選：D．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．6．（3分）某社區(qū)為改善環(huán)境，決定加大綠化投入．四月份綠化投入25萬元，六月份綠化投入49萬元，設五月份和六月份該社區(qū)綠化投入的月平均增長率為x，根據(jù)題意所列方程為（）A．25（1+x）+25（1+2x）＝49 B．25（1+x）2＝49 C．25（1﹣x）2＝49 D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝49【分析】根據(jù)增長率公式列出方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得：25（1+x）2＝49．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7．（3分）如圖，AD是半圓O的直徑，B，C兩點在半圓上，且AB=BC=CD，點P在CD上，若∠A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】連接OB、OC，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系求出∠BOC的度數(shù)，由圓周角定理求出∠BPC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠PBC的度數(shù)即可．【解答】解：如圖，連接OB、OC．∵AB=∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD=180°∴∠BPC=12∠∵∠PCB＝130°，∴∠PBC＝180°﹣∠PCB﹣∠BPC＝180°﹣130°﹣30°＝20°．故選：A．【點評】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系，掌握圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系及三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．8．（3分）游樂園里的大擺錘如圖1所示，它的簡化模型如圖2，當擺錘第一次到達左側(cè)最高點A點時開始計時，擺錘相對地面的高度y隨時間t變化的圖象如圖3所示．擺錘從A點出發(fā)再次回到A點需要（）秒．A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象的橫坐標表示時間，縱坐標表示擺錘相對地面的高度，可得答案．【解答】解：由題意可知，從最高點A運動到另一側(cè)的最高點需要4秒，所以從另一側(cè)的最高點返回點A也需要4秒，所以錘從A點出發(fā)再次回到A點需要8秒．故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象的橫坐標得出時間；觀察函數(shù)圖象的縱坐標得出擺錘相對地面的高度，利用數(shù)形結合的思想方法是解答本題的關鍵．9．（3分）已知△ABC的邊BC=22，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠AA．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°【分析】連接OB、OC，則OB＝OC＝2，由OB2+OC2＝BC2＝8，證明∠BOC＝90°，再分兩種情況討論，一是頂點A與圓心O在直線BC的同側(cè)，則∠A=12∠BOC＝45°；二是頂點A與圓心O在直線BC的異側(cè)，在⊙O上取一點D，使點D與圓心O在直線BC的同側(cè)，連接BD、CD，則∠D=12∠BOC＝45°，所以∠【解答】解：連接OB、OC，∵BC＝22，⊙O的半徑長為2，∴OB＝OC＝2，∵OB2+OC2＝22+22＝8，BC2=(22∴OB2+OC2＝BC2，∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，如圖1，頂點A與圓心O在直線BC的同側(cè)，則∠A=12∠如圖2，頂點A與圓心O在直線BC的異側(cè)，在⊙O上取一點D，使點D與圓心O在直線BC的同側(cè)，連接BD、CD，∵∠A+∠D＝180°，且∠D=12∠∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣45°＝135°，綜上所述，∠A的度數(shù)為45°或135°，故選：C．【點評】此題重點考查勾股定理的逆定理、圓周角定理、分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，正確地作出輔助線是解題的關鍵．10．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點是（﹣1，m），則以下結論：①abc＜0；②a+b+c＝0；③若y≤c，則﹣2≤x≤0；④a+c=12其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由拋物線的開口方向得到a＞0，由拋物線的性質(zhì)得到對稱軸，則利用對稱軸方程得到b＝2a＞0，由拋物線與y軸的交點位置得c＜0，則可對①進行判斷；再利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點為（1，0），即x＝1時，y＝0，則可對②進行判斷；由于拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），利用拋物線的對稱性得到點（0，c）關于直線x＝﹣1的對稱點為（﹣2，c），則利用函數(shù)圖象，當y≤c時，﹣2≤x≤0，于是可對③進行判斷；由于當x＝﹣1，m＝a﹣b+c，加上b＝2a，a+b+c＝0，所以c＝﹣3a，然后用a表示m，用a表示a+c，從而可對④進行判斷．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的頂點坐標為（﹣1，m），∴拋物線的對稱軸為直線x=-b∴b＝2a＞0，∵拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正確；∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣3，0），拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線與x軸的一個交點為（1，0），即x＝1時，y＝0，∴a+b+c＝0，所以②正確；∵拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），而點（0，c）關于直線x＝﹣1的對稱點為（﹣2，c），∴當y≤c時，所以③正確；當x＝﹣1時，m＝a﹣b+c，∵b＝2a，a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴m＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，而a+c＝a﹣3a＝﹣2a，∴a+c=12m，所以故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大??；當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；當a與b同號時，對稱軸在y軸左側(cè)；當a與b異號時，對稱軸在y軸右側(cè)；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．也考查了數(shù)形結合的思想．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）11．（3分）若點（a，4）與點（2，﹣4）關于原點對稱，則a＝﹣2．【分析】關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)，由此可得答案．【解答】解：∵點（a，4）與點（2，﹣4）關于原點對稱，∴a＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查關于原點對稱的點的坐標，熟練掌握關于原點對稱的點的坐標特征是解答本題的關鍵．12．（3分）將拋物線y＝x2向上平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度．所得到的拋物線解析式為y＝（x+1）2+2．【分析】根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”進行求解即可．【解答】解：將拋物線y＝x2向上平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度．所得到的拋物線解析式為：y＝（x+1）2+2，故答案為：y＝（x+1）2+2．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律是解本題的關鍵．13．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則代數(shù)式m2﹣2m+mn的值為0．【分析】利用根與系數(shù)關系，余角整體代入的思想求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，∴mn＝﹣3，m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴m2﹣2m+mn＝3﹣3＝0．故答案為：0．【點評】本題考查根與系數(shù)關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x214．（3分）如圖，這是某電路的示意圖，隨機閉合開關S1，S2，S3，中的任意2個，能同時使2盞小燈泡發(fā)光的概率是23【分析】畫樹狀圖可得出所有等可能的結果數(shù)以及能同時使2盞小燈泡發(fā)光的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：由圖可知，閉合開關S1和S2可以使小燈泡L1和L2發(fā)光，閉合開關S1和S3可以使小燈泡L1和L3發(fā)光．畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中能同時使2盞小燈泡發(fā)光的結果有：（S1，S2），（S1，S3），（S2，S1），（S3，S1），共4種，∴能同時使2盞小燈泡發(fā)光的概率是46故答案為：23【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．15．（3分）如圖是一個殘缺圓的一段圓弧，在圓弧上任取兩點A，B，連接AB，作AB的垂直平分線交AB于點D，交AB于點C．已知AB＝43cm，CD＝2cm，則陰影部分的面積為83πcm2【分析】如圖，設圓心為O，連接OA，OB，CB．四邊形AOBC是菱形，推出OA∥BC，推出S△ABC＝S△OBC，推出S陰＝S扇形BOC可得結論．【解答】解：如圖，設圓心為O，連接OA，OB，CB．設OA＝OC＝rcm．∵OC垂直平分線段AB，∴AD＝DB=12AB＝23（在Rt△ADO中，r2＝（23）2+（r﹣2）2，解得r＝4，∴OA＝OC＝OB＝CO＝4（cm），∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∵AC=AD2∴AC＝BC＝OA＝OB，∴四邊形AOBC是菱形，∴OA∥BC，∴S△ABC＝S△OBC，∴S陰＝S扇形BOC=60π×42360=故答案為：83π【點評】本題考查扇形的面積，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．16．（3分）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝123，點D為BC上一動點，BE⊥OD于點E，當點D由點B沿BC運動到點C時，線段AE的最大值是67+6【分析】連接OB，OC，延長BO交AC于點H，設OB的中點為T，以點T為圓心，TB為半徑作⊙T，連接AT交⊙T于點F，根據(jù)等邊三角形及其外接圓的性質(zhì)得CH＝AH=63，∠CBH＝∠OCH＝30°，再根據(jù)勾股定理得BH＝18，OH＝6，則OB＝OC＝12，TB＝TO＝6，根據(jù)BE⊥OD得∠OEB＝90°，則當點D由點B沿B弧C運動到點C時，點E在⊙T上運動，根據(jù)點與圓的位置關系得：當點E于點F重合時，AE為最大，最大值是線段AF的長，然后在Rt△AEF中，由勾股定理求出AT=67，進而得【解答】解：連接OB，OC，延長BO交AC于點H，設OB的中點為T，以點T為圓心，TB為半徑作⊙T，連接AT交⊙T于點F，如圖所示：∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，且BC=123∴AC＝BC＝AB=123，∠CBA＝∠BCA∴BH⊥AC，CH＝AH=12AC=63，∠CBH在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=B在Rt△OCH中，∠OCH＝30°，∴OC＝OB＝2OH，∴BH＝OB+OH＝3OH＝18，∴OH＝6，∴OB＝OC＝2OH＝12，∴TB＝TO＝6，∴⊙T的半徑為6，即TF＝TB＝6，∵BE⊥OD于點E，∴∠OEB＝90°，∴點E在⊙T上，即當點D由點B沿B弧C運動到點C時，點E在⊙T上運動，根據(jù)點與圓的位置關系得：當點E于點F重合時，AE為最大，最大值是線段AF的長，在Rt△AEF中，TH＝TO+OE＝6+6＝12，AH=63由勾股定理得：AT=T∴AF＝AT+TF=67∴線段AE的最大值是67【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）解方程：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．【分析】利用因式分解法運算求解即可．【解答】解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2=5【點評】本題考查了一元二次方程的解法，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵．18．（4分）若x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣10x+4m＝0的兩個實數(shù)根，且x1+x2+x1x2＝26，求m的值．【分析】利用根與系數(shù)關系構建方程求解．【解答】解：∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣10x+4m＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝10，x1x2＝4m，∵x1+x2+x1x2＝26，∴10+4m＝26，∴m＝4．【點評】本題考查根與系數(shù)關系，解題的關鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x219．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（4，0），B（3，3），C（0，﹣1）．（1）以點C為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C；（2）在（1）的條件下，①點A′的坐標為（﹣1，3）；②點B經(jīng)過的路徑BB′的長為52π（結果保留【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）①由圖可得答案．②利用勾股定理求出BC的長，再利用弧長公式計算即可．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C即為所求．（2）①由圖可得，點A′的坐標為（﹣1，3）．故答案為：（﹣1，3）．②由勾股定理得，BC=4∴點B經(jīng)過的路徑BB′的長為90π×5180故答案為：52【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、弧長的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、弧長公式是解答本題的關鍵．20．（6分）在一個不透明的口袋里裝有分別標有數(shù)字﹣2，﹣1，1的三個小球，除數(shù)字不同外，小球沒有任何區(qū)別，每次試驗先攪拌均勻．（1）從中任取一球，將球上的數(shù)字記為a，則二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+3的圖象開口朝下的概率為23（2）從中任取一球，將球上的數(shù)字作為點的橫坐標，記為x（不放回），再任取一球，將球上的數(shù)字作為點的縱坐標，記為y，用樹狀圖或列表法表示出點（x，y）所有可能出現(xiàn)的結果，并求點（x，y）在以原點為圓心，5為半徑的圓內(nèi)的概率．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和概率公式求解；（2）畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果，再根據(jù)點與圓的位置關系得到有2個點在⊙O內(nèi)，然后根據(jù)概率公式計算．【解答】解：（1）三個數(shù)值有2個負數(shù)，所以從中任取一球，將球上的數(shù)字記為a，則二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+3的圖象開口朝下的概率=2故答案為：23（2）畫樹狀圖為：共有6種等可能的結果，它們是（﹣2，﹣1），（﹣2，1），（﹣1，﹣2），（﹣1，1），（1，﹣2），（1，﹣1），其中有2個點在⊙O內(nèi)，它們是（﹣1，1），（1，﹣1），所以點（x，y）在以原點為圓心，5為半徑的圓內(nèi)的概率=2【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和點與圓的關系．21．（8分）如圖，以點O為圓心，AB為直徑作圓，在⊙O上取一點C，延長AB至點D，連接DC，使得∠DCB＝∠DAC，過點A作AE垂直于AD交DC的延長線于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若CD＝4，AD＝8，求AE的長．【分析】（1）連接OC，則OC＝OA，所以∠OCA＝∠DAC，因為∠DCB＝∠DAC，所以∠DCB＝∠OCA，由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，可推導出∠OCD＝∠ACB＝90°，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由AE⊥OA，證明AE與⊙O相切于點A，而CE于⊙O相切于點C，則AE＝CE，因為CD＝4，AD＝8，且AD2+AE2＝DE2，所以82+AE2＝（4+AE）2，求得AE＝6．【解答】（1）證明：連接OC，則OC＝OA，∴∠OCA＝∠DAC，∵∠DCB＝∠DAC，∴∠DCB＝∠OCA，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∵OC是⊙O的半徑，且CD⊥OC，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AE⊥AD，即AE⊥OA，∴AE與⊙O相切于點A，∠DAE＝90°，∵CE于⊙O相切于點C，∴AE＝CE，∵CD＝4，AD＝8，∴DE＝4+CE＝4+AE，∵AD2+AE2＝DE2，∴82+AE2＝（4+AE）2，解得AE＝6，∴AE的長為6．【點評】此題重點考查直角所對的圓周角是直角、切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等知識，推導出∠DCB＝∠OCA是解題的關鍵．22．（10分）某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為40元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系式為：w＝﹣2x+240．設這種綠茶在這段時間內(nèi)的銷售利潤為y（元），解答下列問題：（1）請直接寫出y與x的關系式y(tǒng)＝﹣2x2+320x﹣9600；（2）當銷售單價x為何值時，銷售利潤的值最大，最大值為多少？（3）如果物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內(nèi)獲得2400元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？【分析】（1）根據(jù)銷售利潤＝每千克的利潤×銷售量列出函數(shù)解析式即可；（2）用配方法化簡函數(shù)式求出y的最大值即可．（3）令y＝2400時，求出x的解，再根據(jù)題意?解答即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣40）?w＝（x﹣40）?（﹣2x+240）＝﹣2x2+320x﹣9600，∴y與x的關系式為：y＝﹣2x2+320x﹣9600，故答案為：y＝﹣2x2+320x﹣9600；（2）y＝﹣2x2+320x﹣9600＝﹣2（x﹣80）2+3200，∵﹣2＜0，∴當x＝80時，y的值最大，最大值為3200，∴當銷售單價x為80元時，銷售利潤的值最大，最大值為3200元；（3）當y＝2400時，可得方程﹣2（x﹣80）2+3200＝2400，解得x1＝60，x2＝100，∵物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，∴x＝60，∴當銷售單價為60元時，可獲得銷售利潤2400元．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的實際應用、一元二次方程的應用等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝a（x+1）2+94（a≠0）與x軸交于點A（﹣4，0）和點B，連結（1）求拋物線的解析式；（2）求線段AB的長度；（3）點P是拋物線上的一個動點，滿足∠PBA＝∠CAB，求點P的坐標．【分析】（1）將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝9a+9（2）令y=-14（x+1）2+94=（3）當點P在x軸下方時，∠PBA＝∠CAB，則PB∥AC，由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y=12x+2，則直線PB的表達式為：y=12（x﹣2），當點P在x軸上方時，則PB的表達式為：y【解答】解：（1）將點A的坐標代入拋物線表達式得：0＝9a+94，則a則拋物線的表達式為：y=-14（x+1）2（2）令y=-14（x+1）2+94=則AB＝2﹣（﹣4）＝6；（3）當點P在x軸下方時，∵∠PBA＝∠CAB，則PB∥AC，由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y=12則直線PB的表達式為：y=12（當點P在x軸上方時，則PB的表達式為：y=-12（聯(lián)立PB和拋物線的表達式得：12（x﹣2）=-14（x+1）2+94或-12（x﹣2）解得：x＝2（舍去）或﹣6或﹣3，則點P（﹣6，﹣4）或（﹣3，-5【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．24．（12分）已知拋物線G：y＝ax2+bx+c（a＞0）過點A（x1，2），點B（x2，2），點C（1，﹣3a+c）．直線l：y＝kx+n過點D（2，0），交線段AB于點E，記△ADE的面積為S1，△BDE的面積為S2，且S1＝S2+4．（1）用含a的式子表示b；（2）求直線l：y＝kx+n的解析式；（3）當x1＜x2，c＝3a時，已知點F（5，m）在直線l上，若拋物線G與線段DF有且只有一個交點，求a的取值范圍．【分析】（1）將C點坐標代入拋物線解析式即可求解；（2）將D點坐標代入直線解析式，求k和n的關系，將y＝2代入直線解析式，求解E點坐標，根據(jù)D到直線AB的距離，可以求出AE和BE的數(shù)量關系，代入計算取出k值即可；（3）根據(jù)c＝3a，求出C點坐標和拋物線解析式，根據(jù)F在直線l上，求出F的坐標，在根據(jù)拋物線G與線段DF有且只有一個交點判斷F與拋物線的位置關系，代入求解a的取值范圍即可．【解答】解：（1）令x＝1，則y＝a+b+c＝﹣3a+c，∴b＝﹣4a；（2）∵直線l：y＝kx+n過點D（2，0），∴0＝2k+n，∴n＝