2023-2024學年廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學高一（上）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案填涂在答題卡上.15分）已知集合A＝{x|x﹣6＜0}，B＝{﹣3，5，6，8}，則A∩B=()25分）命題“?x＞2，x2+2＞6”的否定()35分）“x2﹣x﹣6＜0”是“0＜x＜2”的(A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（多選）45分）下列四個選項能推出的有()A．b＞0＞aB．a(chǎn)＞0＞bC．0＞a＞bD．a(chǎn)＞b＞055分）下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（0，+∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝x2B．y＝C．y＝x+D．y＝x﹣65分）已知集合，則集合A的子集的個數(shù)為()75分）已知函數(shù)，則不等式f（2a+1f（3a﹣4）的解集為()85分）已知函數(shù)f（xax2﹣2x+2，若當1≤x≤4時，f（x0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．每小題有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將答案填涂在答題卡上（多選）95分）下列四個關(guān)系中正確的是()（多選）105分）下列選項正確的是()A．若x≠0，則x的最小值為2B．若正實數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為8C．的最小值為2D．函數(shù)（x＜0）的最大值是0（多選）115分）定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則下列判斷錯誤的是()A．f（2af(﹣a）B．f(π)>f(﹣3）C．D．f（a2+1f（1）（多選）125分）設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[﹣1.5]=﹣2，[0]＝0．已知函數(shù),則關(guān)于函數(shù)g（x）＝[f（x）]的敘述中不正確的是()A．g（x）是偶函數(shù)B．g（x）最小值是1C．g（x）值域是{0，1，2}D．g（x）是單調(diào)函數(shù)三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填涂在答題卡上.135分）已知函數(shù)，則f[f（2）]=.145分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一個充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是.155分）若a，b＞0，且ab＝a+b+3，則ab的最小值是.165分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足以下兩個條件：①對任意x∈R，都有f（x）＝f(﹣x）﹣2x；②對任意x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1f（x2）]＞0.則不等式f（2x+1）+x＞f（x+1）的解集為.四、解答題：共6小題，共70分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}.（2）若A∪B＝A，求實數(shù)a的取值范圍.1812分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，f（xx2+2x.（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補全完整函數(shù)f（x）的圖象；（2）根據(jù)（1）中畫出的函數(shù)圖象，直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）直接寫出函數(shù)f（xx∈R）的解析式.1912分）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x﹣b＞0（a，b∈R）的解集為{x|x＞2或x<﹣1}.（2）若c∈R，解關(guān)于x的不等式ax2﹣（ac+b﹣1）x+（b﹣1）c＜0.2012分）已知函數(shù)，且此函數(shù)圖象過點（1，5）.（1）求實數(shù)m的值；（2）判斷f（x）奇偶性；（3）討論函數(shù)f（x）在[2，+∞)上的單調(diào)性？并證明你的結(jié)論.2112分）已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品還需另外投入16元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬件產(chǎn)品的銷售收入為R（x）萬元，且已知.（1）求利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少萬件時？公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，并求出最大利潤.2212分）已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，3]，且f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最小值是4.（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[﹣2，t]上的最大值H（t）的解析式；（3）設(shè)g（xx+5﹣f（x若對任意xe(﹣∞,﹣]，g()﹣g（x﹣1）≤4[m2g（x）+g（m）]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.2023-2024學年廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學高一（上）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將答案填涂在答題卡上.15分）已知集合A＝{x|x﹣6＜0}，B＝{﹣3，5，6，8}，則A∩B=()【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解.【解答】解：集合A＝{x|x﹣6＜0}＝{x|x＜6}，B＝{﹣3，5，6，8}，則A∩B＝{﹣3，5}.故選：A.【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.25分）命題“?x＞2，x2+2＞6”的否定()【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論.【解答】解：命題為全稱命題，則命題的否定為彐x＞2，x2+2≤6，故選：D.【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ).35分）“x2﹣x﹣6＜0”是“0＜x＜2”的(A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解.【解答】解：x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3，﹣2＜x＜3不能推出0＜x＜2，充分性不成立，0＜x＜2能推出﹣2＜x＜3，必要性成立，故“x2﹣x﹣6＜0”是“0＜x＜2”的必要不充分條件.故選：A.【點評】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.（多選）45分）下列四個選項能推出的有()A．b＞0＞aB．a(chǎn)＞0＞bC．0＞a＞bD．a(chǎn)＞b＞0【分析】根據(jù)題意，可將等價變形，再分別判斷四個選項，可得結(jié)論.【解答】解對于A，當b＞0＞a時，ab＜0，a﹣b＜0，所以ab（a﹣b0，所以A正確，對于B，當a＞0＞b時，ab＜0，a﹣b＞0，所以ab（a﹣b0，所以B錯誤，對于C，當0＞a＞b時，ab＞0，a﹣b＞0，所以ab（a﹣b0，所以C正確，對于D，當a＞b＞0時，ab＞0，a﹣b＞0，所以ab（a﹣b0，所以D正確.故選：ACD.【點評】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.55分）下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（0，+∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝x2B．y＝C．y＝x+D．y＝x﹣【分析】要判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)，只要檢驗f(﹣x）=﹣f（x）是否成立即可；然后再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷即可【解答】解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，A：y＝x2為偶函數(shù)，不符合條件；B：y＝f（x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；C：y＝x+為奇函數(shù)，但在（0，1）上單調(diào)遞減1，+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；D：y＝x﹣,f(﹣x）=﹣x+=﹣f（x為奇函數(shù)，而y＝x﹣在（0，+∞)上單調(diào)遞增，故選：D.【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.65分）已知集合，則集合A的子集的個數(shù)為()【分析】由≤0，可得（x+1x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根據(jù)xeZ，可得x，A．即可得出.【解答】解：由≤0，可得（x+1x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，故選：B.【點評】本題考查了不等式的解法、集合之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.75分）已知函數(shù)，則不等式f（2a+1f（3a﹣4）的解集為()【分析】由題可得函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，進而即得.【解答】解：因為，所以函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以f（2a+1）＞f（3a﹣4）?2a+1＜3a﹣4，解得a＞5.故選：D.【點評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，得出函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.85分）已知函數(shù)f（xax2﹣2x+2，若當1≤x≤4時，f（x0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()【分析】將f（x0分離參變量轉(zhuǎn)化為最值問題，再結(jié)合配方法和二次函數(shù)的最值求法，可得所求范圍.【解答】解：當x∈[1，4]時，ax2﹣2x+2＞0恒成立，可以化為a＞﹣+=﹣2(﹣)2+恒成立，又函數(shù)y=﹣2(﹣)2+在x＝2∈[1，4]時，取得最大值為，故選：C.【點評】本題考查函數(shù)恒成立與函數(shù)的最值求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題.二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．每小題有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將答案填涂在答題卡上（多選）95分）下列四個關(guān)系中正確的是()【分析】先確定二者之間是元素與集合，還是集合與集合，再判斷所用符號即可.D：空集??{1}，正確.故選：CD.【點評】本題考查了集合與元素，集合與集合之間的關(guān)系的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.（多選）105分）下列選項正確的是()A．若x≠0，則x的最小值為2B．若正實數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則的最小值為8C．的最小值為2D．函數(shù)（x＜0）的最大值是0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可依次求解.【解答】解：對于A，當x＜0時故A錯誤，對于B，∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，則2++當且僅當=,y＝時，等號成立，故的最小值為8，故B正確，對于C，令再-t則y的最小值為y故C錯誤，對于D，當x＜0時，故y＝2+x+≤0，即函數(shù)y的最大值為0，故D正確.故選：BD.【點評】本題主要考查基本不等式的公式，屬于基礎(chǔ)題.（多選）115分）定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則下列判斷錯誤的是()A．f（2af(﹣a）B．f(π)>f(﹣3）C．D．f（a2+1f（1）【分析】取a＝0即可判斷A，D；利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可判斷B，C.【解答】解：因為定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在(﹣∞,0）內(nèi)單調(diào)遞增.對于A選項，當a＝0時，f（2af(﹣af（0A選項中的判斷錯誤；對于B選項，f(π)＜f（3f(﹣3B選項中的判斷錯誤；對于C選項C選項中的判斷正確；對于D選項，當a＝0時，f（a2+1f（1D選項中的判斷錯誤.故選：ABD.【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查函數(shù)值大小的比較，屬于基礎(chǔ)題.（多選）125分）設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[﹣1.5]=﹣2，[0]＝0．已知函數(shù),則關(guān)于函數(shù)g（x）＝[f（x）]的敘述中不正確的是()A．g（x）是偶函數(shù)B．g（x）最小值是1C．g（x）值域是{0，1，2}D．g（x）是單調(diào)函數(shù)【分析】對于A，通過計算并比較g(﹣1g（1）的值，進而判斷；對于B，舉例判斷即可；對于CD，分x＝1，1＜x≤2，x＞2，0≤x＜1，x＜0的情況討論分析求解即可.,所以g(﹣1）≠g（1故g（x）不為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，由A知，g(﹣1）＝0＜1，所以g（x）最小值不是1，故B錯誤；對于C，當x＝1時，g（1）＝2，當1＜x≤2時，，當x＞2時當0≤x＜1時當x＜0時所以g（x）值域是{0，1，2}，故C正確；對于D，由C可知，函數(shù)g（x）不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤.故選：ABD.【點評】本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的最值及值域，單調(diào)性的判斷，屬于中檔題.三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填涂在答題卡上.135分）已知函數(shù)，則f[f（2）]=﹣1.【分析】由已知先求出f（2然后代入即可求解.【解答】解：因為，所以f（2）=﹣1，則f[f（2）]＝f(﹣1）=﹣1.故答案為：﹣1.【點評】本題主要考查了分段函數(shù)中函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.145分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若xeA是xeB成立的一個充分不必要條件，【分析】由充分必要條件與集合的關(guān)系得：A?B，列不等式組運算得解.【解答】解：由xeA是xeB成立的一個充分不必要條件，得：A?B，【點評】本題考查了充分必要條件與集合的關(guān)系，屬簡單題.155分）若a，b＞0，且ab＝a+b+3，則ab的最小值是9.【分析】由基本不等式，根據(jù)條件ab＝a+b+3可得關(guān)于ab的不等式，解之即可.【解答】解：由于a，b＞0，則ab＝a+b+3≥x麗+3，故答案為：9.【點評】本題考查基本不等式求最值的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.165分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足以下兩個條件：①對任意x∈R，都有f（x）＝f(﹣x）﹣2x；②對任意x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1f（x2）]＞0.則不等式f（2x+1）+x＞f（x+1）的解集為【分析】根據(jù)f（xf(﹣x2x，變形，可構(gòu)造g（xf（x）+x，根據(jù)題意，可得函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由此解不等式，可得答案.【解答】解：由f（x）＝f(﹣x）﹣2x，可得：f（x）+x＝f(﹣x）﹣x，令g（xf（x）+x，則g(﹣xg（x即函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，因為對任意x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1f（x2）]＞0，不妨設(shè)0≤x1＜x2，則有f（x1f（x20，即f（x1f（x2所以函數(shù)f（x）在[0，+∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)g（x）在[0，+∞)上單調(diào)遞增，由f（2x+1）+x＞f（x+1得f（2x+1）+2x+1＞f（x+1）+x+1，即g（2x+1g（x+1因為函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，所以g（|2x+1|g（|x+1|則|2x+1|＞|x+1|2x+1）2x+1）2，3x2+2x＞0，解得或x＞0，則不等式f（2x+1）+x＞f（x+1）的解集為. 故答案為：.【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.四、解答題：共6小題，共70分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}.（2）若A∪B＝A，求實數(shù)a的取值范圍.【分析】（1）由a＝4時求出集合B，再根據(jù)交集、并集和補集的定義計算即可；（2）根據(jù)A∪B＝A得B?A，討論B=?時和B≠?時，求出對應(yīng)實數(shù)a的取值范圍.【解答】解1）a＝4時，集合A＝{x|﹣2＜x＜7}=(﹣2，7B＝{x|a≤x≤3a﹣2}＝{x|4≤x≤10}＝[4，10]，所以A∪B=(﹣2，10]；所以?RA∩B＝[7，10]；①當B=?時，a＞3a﹣2，解得a＜1；②B≠?時，應(yīng)滿足，解得，綜上知，實數(shù)a的取值范圍是a＜3.【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，也考查了分類討論思想，是基礎(chǔ)題.1812分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，f（xx2+2x.（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補全完整函數(shù)f（x）的圖象；（2）根據(jù)（1）中畫出的函數(shù)圖象，直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）直接寫出函數(shù)f（xx∈R）的解析式.【分析】（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，據(jù)此作圖即可；（2）由（1）中函數(shù)圖象即可得解，注意同一類單調(diào)區(qū)間之間不能用“∪”;（3）根據(jù)函數(shù)圖象，分段寫出函數(shù)f（x）的解析式.【解答】解1）函數(shù)f（x）的圖象如下所示.（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣1，1單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞,﹣1）和（1，+∞).（3）f（x）的解析式為f（x）=.【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.1912分）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x﹣b＞0（a，b∈R）的解集為{x|x＞2或x<﹣1}.（2）若c∈R，解關(guān)于x的不等式ax2﹣（ac+b﹣1）x+（b﹣1）c＜0.【分析】（1）根據(jù)不等式的解集和方程的根的關(guān)系，列方程組求a，b的值；（2）代入a，b的值，然后分c與1的大小關(guān)系討論來解不等式.【解答】解1）關(guān)于x的不等式ax2﹣x﹣b＞0（a，b∈R）的解集為{x|x＞2或x<﹣1}，即方程ax2﹣x﹣b＝0的根為2，﹣1，∴（2）由（1）得關(guān)于x的不等式x2c+1）x+c＜0，即（x﹣1x﹣c0，當c＞1時，不等式的解集為（1，c當c＝1時，不等式的解集為?;當c＜1時，不等式的解集為（c，1）.【點評】本題主要考查了二次不等式與二次方程轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，還考查了含參二次不等式的求解，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題.2012分）已知函數(shù)，且此函數(shù)圖象過點（1，5）.（1）求實數(shù)m的值；（2）判斷f（x）奇偶性；（3）討論函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性？并證明你的結(jié)論．【分析】（1）由圖象過點，將點的坐標代入函數(shù)解析式求解m即可．（2）先看定義域關(guān)于原點對稱，再看fx）與f（x）的關(guān)系判斷．（3）用導(dǎo)數(shù)法或定義判斷即可．【解答】解1）∵函數(shù)圖象過點（1，51+m＝5（2）此時函數(shù)的定義域為：{x|x≠0且xeR}∵fxx﹣x+f（x）∴奇函數(shù)；（3）f′（x）＝1﹣∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．另解：f（x）＝x+，f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．設(shè)2≤m＜n，f（mf（nm+﹣nm﹣n）?，由2≤m＜n，可得m﹣n＜0，mn＞0，mn＞4，即mn﹣4＞0，可得f（mf（n0，即f（mf（n所以f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．【點評】本題主要考查函數(shù)的解析式的求法，奇偶性和單調(diào)性的判斷，一般來說，證明奇偶性只有定義法，證明單調(diào)性有定義法和導(dǎo)數(shù)法．2112分）已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品還需另外投入16元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬件產(chǎn)品的銷售收入為R（x）萬元，且已知．（1）求利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少萬件時？公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，并求出最大利潤．【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用利潤等于收入減去成本，可得分段函數(shù)解析式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，分段求出函數(shù)的最大值，比較可得結(jié)論.【解答】解1）由題意可得，當0＜x≤40時，W＝xR（x16x+40）=﹣6x2+384x﹣40，當x＞40時綜上所述，.（2）當0＜x≤40時，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，故當x＝32時，Wmax＝W（32）＝6104，當x＞40時當且僅當，即x＝50時，Wmax＝W（50）＝5760，∵6104＞5760，∴x＝32時，W的最大值為6104萬元，即當年產(chǎn)量為32萬件時，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為6104萬元.【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握基本不等式是