2026屆四川省蓬安二中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的面積是,,,則（）A．5 B．或1 C．5或1 D．2．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或3．已知滿(mǎn)足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．24．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車(chē)，它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門(mén)的橋隧工程，橋隧全長(zhǎng)55千米．橋面為雙向六車(chē)道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車(chē)的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查．畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間[85，90）的車(chē)輛數(shù)和行駛速度超過(guò)90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，5．圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在-起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A． B． C． D．7．已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對(duì)應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．169．在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．10．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．211．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．12．已知，其中是虛數(shù)單位，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為_(kāi)_______．14．如圖所示，在直角梯形中，，、分別是、上的點(diǎn)，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接、、（如圖②）.在折起的過(guò)程中，則下列表述：①平面；②四點(diǎn)、、、可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.15．若x，y滿(mǎn)足，且y≥?1，則3x+y的最大值_____16．如圖在三棱柱中，，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點(diǎn)．（1）寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，求的值．19．（12分）某大學(xué)開(kāi)學(xué)期間，該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣(mài)騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案規(guī)定每日底薪100元，外賣(mài)業(yè)務(wù)每完成一單提成2元；方案規(guī)定每日底薪150元，外賣(mài)業(yè)務(wù)的前54單沒(méi)有提成，從第55單開(kāi)始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘，四人選擇日工資方案相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請(qǐng)你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說(shuō)明理由.（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）20．（12分）已知函數(shù)，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點(diǎn)與極值.（2）當(dāng)，時(shí)，證明：.21．（12分）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足，證明：.22．（10分）某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗(yàn)1000人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門(mén)制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)1000次.方案②：按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這個(gè)人的血只需檢驗(yàn)一次（這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次）；否則，若呈陽(yáng)性，則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這樣，該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為，且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.（1）設(shè)方案②中，某組個(gè)人的每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列；（2）設(shè)，試比較方案②中，分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】∵，,∴①若為鈍角，則，由余弦定理得，解得；②若為銳角，則，同理得.故選B.2、D【解析】

由成等差數(shù)列得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開(kāi)即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練．3、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車(chē)輛數(shù)，同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過(guò)的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的頻率為，∴在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的車(chē)輛數(shù)為：，行駛速度超過(guò)的頻率為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5、B【解析】

三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱，其體積為，故原幾何體的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來(lái)求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

利用計(jì)算即可，其中表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果，由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過(guò)線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（，﹣），∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.8、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?，則即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.11、A【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個(gè)半球體，半徑為1，按公式計(jì)算可得體積。【詳解】設(shè)半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A?！军c(diǎn)睛】本題通過(guò)三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人，根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.14、①③【解析】

連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接，證明出，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤；假設(shè)平面與平面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①，連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)、，連接、，如下圖所示：則且，四邊形是矩形，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，，即，平面，平面，平面，命題①正確；對(duì)于命題②，，平面，平面，平面，若四點(diǎn)、、、共面，則這四點(diǎn)可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.所以，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，連接、，設(shè)，則，在中，，，則為等腰直角三角形，且，，，且，由余弦定理得，，，又，，平面，平面，，，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，平面，平面，平面平面，命題③正確；對(duì)于命題④，假設(shè)平面與平面垂直，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，，，，，，又，平面，平面，.，平面，平面，.，，顯然與不垂直，命題④錯(cuò)誤.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問(wèn)題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.15、5.【解析】

由約束條件作出可行域，令z＝3x+y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值5.故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．16、【解析】

把繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個(gè)平面，展開(kāi)圖如圖所示，若，，三點(diǎn)共線時(shí)最小為，為直角三角形，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短，解直角三角形進(jìn)行求解，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）根據(jù)平面，利用線面垂直的定義可得，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以由為等腰直角三角形，所以又，故平?取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫妫云矫嫠云矫嫒鐖D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，又，所以且于是設(shè)平面的法向量為，則令得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為，則【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角，屬于中檔題.18、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為即，直線的普通方程為；（2）.【解析】

（1）利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，可得直線的普通方程，極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，直線的普通方程為.(2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡(jiǎn)、整理，得.因?yàn)橹本€與曲線交于，兩點(diǎn)．所以，解得.由根與系數(shù)的關(guān)系，得，.因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，在直線上.所以，解得，此時(shí)滿(mǎn)足.且，故.．【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類(lèi)問(wèn)題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問(wèn)題．19、（1）0.4；（2）；（3）應(yīng)選擇方案，理由見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可求得該快餐店的騎手的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率，即可估算其概率；（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法，先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率，再由對(duì)立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率；（3）設(shè)騎手每日完成外賣(mài)業(yè)務(wù)量為件，分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式，即可計(jì)算兩種計(jì)算方式下的數(shù)學(xué)期望，并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】（1）設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天，這一天該快餐店的騎手的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣(mài)業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為，∵，∴估計(jì)為0.4.（2）設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”，設(shè)事件，為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”，則，所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.（3）設(shè)騎手每日完成外賣(mài)業(yè)務(wù)量為件，方案的日工資，方案的日工資，所以隨機(jī)變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05；同理，隨機(jī)變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵，∴建議騎手應(yīng)選擇方案.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法，數(shù)學(xué)期望的求法并由期望作出方案選擇，屬于中檔題.2