遼寧省沈陽(yáng)市二十中學(xué)019-2026屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿(mǎn)足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線(xiàn)，為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.2．已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知，，，則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為（）A.3 B.C. D.4．已知直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線(xiàn)m的斜率為（）A.-2 B.C. D.25．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.126．在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.7．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱(chēng)黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為黃金雙曲線(xiàn)．若雙曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)，則（）A. B.C. D.8．過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為（）A B.C. D.9．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，則為（）A. B.C. D.10．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則外接圓的面積是（）A. B.C. D.11．已知圓與直線(xiàn)，則圓上到直線(xiàn)的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.412．拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.14．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光邊界類(lèi)似雙曲線(xiàn)的一支.如圖，P為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位于直線(xiàn)PC上，則該雙曲線(xiàn)的焦距為_(kāi)___cm.15．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)__________.16．已知曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值18．（12分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線(xiàn)的圓柱形罐子的側(cè)面不計(jì)剪裁和拼接損耗，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫(xiě)出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?19．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離20．（12分）已知圓C的圓心在直線(xiàn)上，且圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線(xiàn)與圓C交于A(yíng)，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）設(shè)橢圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由.22．（10分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，且，E為PD的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線(xiàn)的離心率為.故選:C.2、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)由題意，得，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D3、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求在上投影長(zhǎng)及的模長(zhǎng)，再應(yīng)用勾股定理求點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離.【詳解】因?yàn)?，，所以設(shè)點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為d，則故選：D4、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線(xiàn)的斜率為：.故選：A5、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個(gè)由8個(gè)全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長(zhǎng)為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個(gè)正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B6、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長(zhǎng)弦，最短弦為過(guò)點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長(zhǎng)，可得面積.【詳解】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過(guò)與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D7、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線(xiàn)的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線(xiàn)中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線(xiàn)是黃金雙曲線(xiàn)，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A8、C【解析】設(shè)與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值，即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求雙曲線(xiàn)方程為，即故選：C.9、B【解析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B10、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正統(tǒng)定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.11、B【解析】根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線(xiàn)的距離，∵，∴在圓上到直線(xiàn)距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).故選：B.12、C【解析】由拋物線(xiàn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定焦參數(shù)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸正半軸，，，，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，不等式恒成立，只要即可，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為：.14、【解析】建立直角坐標(biāo)系，利用代入法、雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵撾p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相互垂直，所以，即，因?yàn)锳B=60cm，PC=20cm，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線(xiàn)的焦距為，故答案為：15、【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得出切線(xiàn)斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程，然后可求三角形的面積.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以切線(xiàn)方程為，即；令可得，令可得；所以切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.16、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)的斜率即得解.【詳解】解：由題得，所以切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)的方程為即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：正中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因?yàn)?，，故平面，所以，平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.18、（1），；（2）時(shí)，最大值為m3.【解析】(1)連接，在中，由，利用勾股定理可得，設(shè)圓柱底面半徑為，求出．利用(其中即可得出；(2)利用導(dǎo)數(shù)，求出V的單調(diào)性，即可得出結(jié)論【小問(wèn)1詳解】連接，在中，，，設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，，其中【小問(wèn)2詳解】由及，得，列表如下：，0↗極大值↘∴當(dāng)時(shí)，有極大值，也是最大值為m319、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積和以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點(diǎn)，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為20、（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線(xiàn)的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由條件可得，從而得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，.聯(lián)立整理的，則，，故.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以，即則，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)不滿(mǎn)足以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).所以，則，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).21、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時(shí)滿(mǎn)足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證即可；在該圓的方程存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因?yàn)橹本€(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn)，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或，而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且.因?yàn)椋?，，①?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.②當(dāng)時(shí)，.③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為或，所以此時(shí)，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、解決直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單2、設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線(xiàn)斜率)注意：利用公式計(jì)算直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零22、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出輔助線(xiàn)，證明線(xiàn)面垂直，進(jìn)而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解二面角；（3）