2025-2026學(xué)年度第一學(xué)期贛州市十三校期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一項(xiàng)符合題目要求）1．直線的傾斜角是（）A．B．C．D.02．已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含B．外切C．相交D．外離3．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-1B.2C．-1或2D.1或-24．已知點(diǎn)，在軸上求一點(diǎn)，使最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．5．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．6．已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，且為的重心．若的最大值為10，則（）A.1B.2C.3D.47．已知正方形的邊長為2，現(xiàn)將沿對(duì)角線翻折，得到三棱錐．記AC、BC、AD的中點(diǎn)分別為O、M、N，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AC上平面BODB．三棱錐D-ABC體積的最大值為C．三棱錐D-ABC的外接球的表面積為定值D．MN與平面BOD所成角的范圍是8．在天文觀測(cè)中，天文學(xué)家利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)分析星系光線傳播．如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的模擬星系光線，經(jīng)雙曲線模型鏡面反射后形成發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．已知雙曲線的方程為，當(dāng)入射光線和反射光線（為入射點(diǎn)）互相垂直時(shí)，求的大小（）A．B．C．D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說法正確的是（）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B．拋物線關(guān)于軸對(duì)稱C．拋物線的準(zhǔn)線方程為D．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為410．已知直線與圓，則下列說法正確（）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，切線方程是C．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于D．圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離是11．已知橢圓，我們把圓稱為的蒙日?qǐng)A，為原點(diǎn)，點(diǎn)在上，延長與的蒙日?qǐng)A交于點(diǎn)，則（）A．的最大值為B．若為的中點(diǎn)，則的離心率的最小值為C．過點(diǎn)不可能作兩條互相垂直的直線都與相切D．若點(diǎn)在上，則的蒙日?qǐng)A面積最小為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．若圓錐的高為10，底面圓的半徑為2，則這個(gè)圓錐的體積為___________．13．已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大3，則點(diǎn)的軌跡方程為___________．14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過作圓的切線，切點(diǎn)為，切線交雙曲線右支于點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為__________．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上，直線．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線被圓截得的弦長為，求實(shí)數(shù)的值．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過焦點(diǎn)作斜率為2的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，求的面積．17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱BP上，且EFBP，四邊形ABCD為正方形，PD=CD=2．（1）證明：：（2）求點(diǎn)到平面的距離．18．已知橢圓分別是左、右焦點(diǎn)，是橢圓上點(diǎn)，的最大值為3，當(dāng)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，為等邊三角形．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)、，且．證明：直線過定點(diǎn)．19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求C的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；②當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

題號(hào)12345678910答案BCAACDDBACABD題號(hào)11答案ABD1.答案：B直線傾斜角與斜率的關(guān)系解析：直線方程化為斜截式：，斜率。傾斜角滿足，且。因，故傾斜角為。2.答案：C（相交）兩圓位置關(guān)系的判斷（圓心距與半徑的關(guān)系）解析：求圓心與半徑：圓圓心、半徑；圓圓心、半徑。計(jì)算圓心距：。判斷位置：因，故兩圓相交。3.答案：A（-1）兩直線平行的充要條件且解析：化簡(jiǎn)直線：直線:化為；直線。列平行條件：（斜率相等），且（截距不等）。求解驗(yàn)證：解得（代入滿足截距不等），不滿足斜率相等，故答案為-1。4.

答案：A軸對(duì)稱求最短路徑（兩點(diǎn)之間線段最短）解析：找對(duì)稱點(diǎn)：作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。求直線方程：直線的斜率，方程為。求交點(diǎn)P：令，解得，故。5.答案：C橢圓定義與直角三角形性質(zhì)解析：判斷三角形形狀：，滿足，故。用橢圓定義求a：，，兩式相加得。求a與c：因，故，；，在中，，。計(jì)算離心率：。6.答案：D拋物線定義與重心性質(zhì)解析：拋物線基本量：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由定義得，。重心性質(zhì)：設(shè)，，，重心縱坐標(biāo)，故。求最大值：，當(dāng)（拋物線最低點(diǎn)）時(shí)，最大值為。解方程：，得。7．D【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)闉檎叫?，可得，又由，且平面，所以平面，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)到平面的距離最大，即三棱錐高的最大值為，此時(shí)三棱錐的最大體積為，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以三棱錐外接球的球心為，即外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積為（定值），所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，取的中點(diǎn)，分別連接，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，可得且，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)?，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，在折疊過程中，設(shè)的長度為，則由為的中點(diǎn)，所以，在直角中，可得，所以的取值范圍為，即與平面所成的角的范圍為，所以D錯(cuò)誤.故選：D.8．B【詳解】由得：，，．設(shè)，則．所以，解得（舍去），所以，，，所以．故選：B．9．AC【詳解】因?yàn)閽佄锞€與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，所以拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程為，故A、C正確；拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．ABD【詳解】對(duì)于A，將直線轉(zhuǎn)化為，由，解得，直線恒過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，圓，可得圓心，半徑，由直線與圓相切，可得圓心C到直線l的距離，即，解得，故切線方程為，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，點(diǎn)到此直線距離為，因此圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，圓心C到直線l的距離最大，且最大值為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確.故選：ABD.11．ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，又橢圓，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，若為的中點(diǎn)，則，則，故，B正確；對(duì)于C，取，則直線，互相垂直，且都與相切，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的蒙日?qǐng)A面積最小為，D正確.故選：ABD.12．【詳解】因圓錐的底面半徑為2、高為，則其體積為.故答案為：.13.

答案：或解析：設(shè)，列條件：。分類討論：當(dāng)：平方化簡(jiǎn)得；當(dāng)：平方化簡(jiǎn)得。14.

答案：雙曲線性質(zhì)、向量運(yùn)算、圓的切線性質(zhì)解析：切線性質(zhì)：，，，得T點(diǎn)坐標(biāo)。向量運(yùn)算：，得,。代入雙曲線：化簡(jiǎn)得，解得（舍）或，故15.（12分）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的弦長公式解析：求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)設(shè)圓心（在直線上），由得。解得，圓心，半徑，圓方程為。(2)求實(shí)數(shù)k的值：弦長，圓心到直線距離。直線，，解得。16.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系解析：求拋物線方程與焦點(diǎn)：(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，方程，焦點(diǎn)。(2)求的面積（假設(shè)P為拋物線頂點(diǎn)：直線l：，代入拋物線得。弦長。點(diǎn)P到直線距離，面積17.17．(1)證明見解析(2)（1）先證平面，再證平面，即可證；（2）由可求；【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在中，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）連接交于點(diǎn)，如圖所示：則，又因?yàn)榈酌妫矫?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌嬲叫芜呴L為，所以，，所以，，所以，，所以．在中，滿足，有，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得18.(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)（）證明見解析；（）面積的最大值為【詳解】（1）根據(jù)題意作圖如下：由題意得，所以，因?yàn)?，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（）證明：法一：由（1）可知，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，即，?lián)立，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，即，則，所以直線的方程為，整理得，所以直線過定點(diǎn)，即右焦點(diǎn).法二：設(shè)，又由（1）知，所以，則有，又，則，代入上式可得.又因?yàn)?，所?設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，且所以，由，化簡(jiǎn)得且，即，解得或（舍），所以直線過定點(diǎn)，即右焦點(diǎn)；19．(1)答案見解析(2)①證明見解析；②存在；【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡(jiǎn)，得的方程為，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．（2）設(shè)點(diǎn)，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程為，因?yàn)?，所以，因此，三點(diǎn)共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1；（法二）設(shè)，則有，解得，同理由，解得，