河北省保定市六校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．2．雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．13．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．4．若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．如圖，在四面體中，，，，點M在上，且，N為的中點，則（

）A． B．C． D．6．已知點，直線與直線交于點，則的值可以為（

）．A．7 B．6 C．8 D．197．是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．已知分別為橢圓的左、右焦點，從點射出的一條光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過點，且反射后的光線與在第四象限交于點．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知曲線，下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則是橢圓 B．若，則是焦點在軸上的橢圓C．若，則是雙曲線 D．若，則是兩條平行于軸的直線10．（多選）已知圓，直線.則以下幾個命題正確的有（

）A．直線恒過定點 B．圓被軸截得的弦長為C．直線與圓恒相交 D．直線被圓截得最長弦長時，直線的方程為11．已知正方體的棱長為2，P為平面ABCD內(nèi)一點，點M，N，Q分別是棱，，的中點，則下列說法正確的有（

）A．過M，N，Q三點的平面截正方體所得的截面圖形是正六邊形B．直線PM與直線QN是異面直線C．當(dāng)P在四邊形ABCD內(nèi)部（含邊界）時，三棱錐體積的最大值為1D．若P到棱CD，的距離相等，則點P的軌跡是雙曲線三、填空題12．若向量，，，則的值為13．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為m，行車道總寬度BC為m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是．14．已知曲線.（1）若，則由曲線圍成的圖形的面積是．（2）曲線與橢圓有四個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．（1）求平行于直線，且與它的距離為的直線的方程；（2）已知圓，直線l過點，當(dāng)直線l與圓C相切時，求直線l的方程.16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面是的中點，作交于點.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的大小.17．（1）求圓心在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程；（2）M是一個動點，MA與直線垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線垂直，垂足B位于第四象限.若四邊形OAMB（O為坐標(biāo)原點）的面積為3，求動點M的軌跡方程.18．如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，E為棱的中點，為等邊三角形．(1)求證：；(2)若，求平面和平面夾角的余弦值．19．已知橢圓的右焦點為上一動點到的距離的取值范圍為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)斜率為的直線過點，交于，兩點.記線段的中點為，直線交直線于點，直線交于，兩點.①求的大??；②求四邊形面積的最小值.

1．A【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.2．B求出焦點坐標(biāo)及漸近線的方程，由點到直線的距離公式求出距離.【詳解】解：由，得，漸近線方程為，由雙曲線的對稱性，不妨取雙曲線的右焦點，一條漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為.故選：B.3．C直接利用直線方程的應(yīng)用求出直線的斜率，進一步求出傾斜角的范圍；【詳解】直線的方程為，設(shè)直線的傾斜角為，當(dāng)時，，②當(dāng)時，直線的斜率，由于或，所以,,，所以，綜上所述：；故選：C．4．C根據(jù)點與圓的位置關(guān)系以及二元二次方程表示圓的條件可得不等式，解不等式即可．【詳解】由已知圓，則，又點在圓的外部，則，即，解得，故選：C．5．B根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合向量的線性運算，即可求解.【詳解】.故選：B6．C由題意確定直線與互相垂直，得到點軌跡，即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)時，直線與互相垂直，當(dāng)時，，直線與互相垂直，且直線經(jīng)過定點，直線經(jīng)過定點，所以.設(shè)，則，即，則點在以點為圓心，5為半徑的圓（除去與、）上，所以的最大值為，最小值為.故的取值范圍是.故選：C7．B作圖，找到直線在平面上的投影在構(gòu)建多個直角三角形，找出邊與角之間的關(guān)系，繼而得到線面角；也可將三條射線截取出來放在正方體中進行分析.【詳解】解法一：如圖，設(shè)直線在平面的射影為，作于點G，于點H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的法向量，則令，則，所以，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以．故選B．8．B首先求出反射點的坐標(biāo)，再求反射光線的斜率，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合余弦定理，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，即可求解離心率.【詳解】設(shè)從點射出的一條光線射到直線的點為，反射后經(jīng)過點，

所以點，所以直線的斜率為，所以由，得，，中，根據(jù)余弦定理可知，整理為，即，，解得：所以橢圓的離心率為.故選：B9．BCD對于A，舉例判斷，對于B，將代入結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷，對于C，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析判斷，對于D，將代入化簡變形判斷.【詳解】對于A，若，則曲線表示圓，故A錯誤；對于B，若，則可化為，此時曲線表示焦點在軸上的橢圓，故B正確；對于C，若，則曲線表示雙曲線，故C正確；對于D，若，則可化為，此時曲線表示兩條平行于軸的直線，故D正確．故選：BCD10．ABC【解析】求出直線所過定點坐標(biāo)，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷．【詳解】直線方程整理得，由，解得，∴直線過定點，A正確；在圓方程中令，得，，∴軸上的弦長為，B正確；，∴在圓內(nèi)，直線與圓一定相交，C正確；直線被圓截得弦最長時，直線過圓心，則，，直線方程為，即．D錯．故選：ABC．11．ACD【詳解】如圖所示，作出各棱中點，在正方體中，根據(jù)三角形中位線的關(guān)系，可知，，，且截面各邊長都是相等的，是正六邊形，所以A正確；當(dāng)點P在AB中點T處，由選項A可知，此時PM與直線QN為相交直線，所以B錯誤；

正方體棱長為2，則線段，則正六邊形邊長均為，則，，所以，所以為直角三角形，可得，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則，，，，，設(shè)平面TRNMSQ的法向量為，則取，則，又，則點P到平面TRNMSQ的距離，故當(dāng)時，即P與點D重合時，距離最大為，故體積的最大值為，所以C正確；如圖所示，過P作于G，過P作于E，作于F，連接PF，以D為坐標(biāo)原點，以DC，AD為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由于，，，又，，平面，故平面PEF，又平面，故，設(shè)，則，，當(dāng)P到棱CD，距離相等時，即，，化簡得，即點P的軌跡是雙曲線，所以D正確.故選：ACD.12．5根據(jù)空間向量線性運算的坐標(biāo)表示，以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，因為，所以.故答案為：5.13．/通過已知數(shù)據(jù)求出圓弧的半徑，再通過由半徑算弦心距的方法求出最大高度，最后減去安全高度差即可.【詳解】如下圖，圓弧的圓心O在直線MN上，過B作，交圓弧于點G，作于點H，連接OE、OG.由題可知，，，設(shè)，則在中，有即，解得故車輛通過隧道的限制高度是.故答案為：14．2或（1）若，曲線，表示對角線長為2的正方形，可得曲線圍成的圖形的面積是2；（2）橢圓的長半軸長為2，短半軸長為1，時，曲線與橢圓有四個不同的交點；再考慮相切時的情形，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）若，曲線，易知曲線關(guān)于軸，軸對稱，作出當(dāng)，時的圖象，根據(jù)對稱性得到曲線的圖象如下圖：曲線表示對角線長為2的正方形，故曲線圍成的圖形的面積是2；（2）由（1）可知，曲線表示對角線長為的正方形，因為橢圓的長半軸長為2，短半軸長為1，所以當(dāng)時，曲線與橢圓有四個不同的交點；當(dāng)，時，聯(lián)立，可得，當(dāng)時，直線與橢圓相切，此時，，，根據(jù)曲線的對稱性知，此時曲線與橢圓有四個不同的交點，所以或.故答案為：2；或.15．（1），；（2）或.（1）根據(jù)直線平行設(shè)該直線為，根據(jù)平行線間的距離公式可得的值，從而得直線方程；（2）討論直線斜率不存在時、斜率存在時，利用圓心到直線的距離為半徑即可得直線方程.【詳解】（1）因為所求直線平行于直線，所以可設(shè)該直線為，又因為所求直線與直線的距離為，所以，可得，解得，，所以平行于直線，且與它的距離為的直線的方程為：，.（2）已知圓C的圓心是，半徑是2，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即，則圓心C到直線l的距離為，解得，故直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.16．(1)證明見解析(2)（1）由向量數(shù)量積坐標(biāo)運算證明，結(jié)合已知線面垂直可證；（2）利用垂直關(guān)系找到二面角的平面角，轉(zhuǎn)化為兩向量與的夾角運算求解可得.【詳解】（1）以為原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).依題意得，故，故，所以.由已知，且，平面EFD，平面EFD，所以平面EFD.（2）已知，由（1）平面EFD，又平面EFD，所以，且為銳角，故是平面與平面的夾角.設(shè)點的坐標(biāo)為，則，由題意在線段上，所以，所以，即，.設(shè)，則，所以，點的坐標(biāo)為，又點的坐標(biāo)為，所以，.所以，所以，即平面與平面的夾角大小為.17．（1）或；（2）.（1）方法一：根據(jù)圓心位置設(shè)圓的方程為，利用弦長公式列方程求解的值，即可得圓的方程；方法二：設(shè)所求的圓的方程是，確定圓心與半徑，利用弦長公式列方程求解的值，即可得圓的方程；（2）設(shè)，根據(jù)題意可知點M在和相交的右側(cè)區(qū)域，結(jié)合距離公式與面積公式列方程即可得軌跡方程.【詳解】（1）方法一：因為圓心在上，與x軸相切，故設(shè)所求圓的方程為，圓心到直線的距離，則，解得，或，所以所求圓的方程為或.方法二：設(shè)所求的圓的方程是，則圓心為，半徑為，令，得，由圓與x軸相切，得，即，①又圓心到直線的距離為，由已知，得，即，②又圓心在直線上，則，③聯(lián)立①②③，解得，，或，，，故所求圓的方程是或.（2）設(shè)，根據(jù)題意可知點M在和相交的右側(cè)區(qū)域，

所以點M到直線的距離，到直線的距離，，即，所以動點M的軌跡方程為.18．(1)證明見解析(2)（1）根據(jù)題意，先證平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）根據(jù)題意，設(shè)AC，AB的中點分別為O，G，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸y軸z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接，與相交于點F，連接CF，．因為四邊形為菱形，所以F為的中點，且．

因為為等邊三角形，所以，

因為，BF、CF在面A1BC內(nèi)，所以平面．

因為平面，所以．

因為，所以．（2）設(shè)AC，AB的中點分別為O，G，連接．由（1）可知，又，AB1、AC在面AB1C內(nèi)，所以平面，OB1、OC在面AB1C內(nèi)，則OB1、OC與BC垂直，因為，所以平面，因為為等邊三角形，所以．

以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸y軸z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，由，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，得．

設(shè)平面的法向量為，則令，得．

設(shè)平面與平面的夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．19．(1)；(2)①；②3.（1）設(shè)出橢圓半焦距，結(jié)合橢圓的定義求