不動點定理在方程求解中的應用案例分析1多項式方程求近似解巴拿赫不動點定理不但證明了方程的解的存在性和唯一性，而且給出了求其近似解的方法，即逐次逼近法，以及誤差估計，這是數(shù)學計算中的一個重要方法.在求解線性方程時，次數(shù)較低方程借助于零點定理等常見方法即可判斷其解的情況，而對于次數(shù)高的線性方程，常規(guī)方法并不能有效解決問題。例[11]求方程的近似解，．解方程可化為，作映射，迭代函數(shù)，對，恒有.根據(jù)定義２.5可知,為上的壓縮映射.根據(jù)定義2.3易知，是完備度量空間.則在上存在唯一的不動點，使得，對任一點，迭代收斂于。不妨設，可得實數(shù)解的近似值，誤差估計為.如果用Newton切線法求上述方程的近似解，需要考慮函數(shù)的單調性、凹凸性、初始近似值的選取等，頗為復雜。若利用不動點定理，在閉區(qū)間上構造一個壓縮映射，就可以解決問題，更為簡便.例計算近似值.解是方程實根，令，則對任意，有.構造函數(shù)，則有.由定理3.7可知，是上的一個壓縮映射，壓縮系數(shù).再令，由函數(shù)迭代法，得.由此可得，的近似值的誤差估計為.由此可知，計算實數(shù)的n次方根時，可以將其轉化成方程求解的問題，運用不動點定理求解，更為快捷.2代數(shù)方程問題中的應用2.1代數(shù)方程解的存在唯一性定理定理設是階方陣，是一組實數(shù)，滿足條件，當時，；時，，則可得代數(shù)方程組：，對于任意固定的一組，有且僅有一組解存在.證明任取一個向量，構造線性算子，有：則可知，算子是一個到自身的線性變換，并且：又由，可得到算子是到自身的一個壓縮映射，因為是巴拿赫空間，所以有且僅有一個不動點，有，即，即存在唯一的，滿足代數(shù)方程組成立的條件.2.2無窮代數(shù)方程組求解問題定理[10]如果滿足條件，那么無窮代數(shù)方程組，對任意的序列，有且僅有一個解.證明作空間上到自身的映射，記，并且令，.對于任意的定義其距離，所以有因此，映射是到自身的一個壓縮映射，又因為空間是完備的度量空間，所以由巴拿赫不動點定理可知，映射在空間上有且僅有一個不動點，即存在，使得，故原方程組的解是唯一的.3積分方程問題中的應用計算數(shù)學中經(jīng)常涉及到積分方程的解的相關問題，首先我們需要判斷方程解的存在情況以及唯一性，然后用逐次逼近法進行求解運算.如果運用之前所學的數(shù)學分析的知識解決問題，則難度較大，且過程十分復雜.不動點定理不僅證明了一類方程解的存在性和唯一性，并且提供了迭代法來求不動點.定理[12-14]設函數(shù)是連續(xù)的，函數(shù)在正方形區(qū)域上連續(xù)，并且存在常數(shù)，使得，則當時，必然有唯一的滿足方程.證明是連續(xù)函數(shù)空間，在