(2025年)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)期末試卷答案一、簡答題1.簡述線性定常系統(tǒng)的定義及其主要特性。線性定常系統(tǒng)是指滿足疊加原理且參數(shù)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)。其主要特性包括：①疊加性，即若輸入r?(t)和r?(t)分別引起輸出c?(t)和c?(t)，則輸入r?(t)+r?(t)將引起輸出c?(t)+c?(t)；②齊次性，即輸入kr(t)引起輸出kc(t)（k為常數(shù)）；③定常性（時(shí)不變性），系統(tǒng)參數(shù)（如質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)等）不隨時(shí)間變化，輸入延遲τ引起的輸出延遲τ，即若r(t)→c(t)，則r(t-τ)→c(t-τ)。2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的核心思想是什么？其應(yīng)用時(shí)需注意哪些特殊情況？勞斯判據(jù)的核心思想是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)構(gòu)造勞斯表，根據(jù)勞斯表第一列元素的符號(hào)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：若第一列全為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若出現(xiàn)符號(hào)變化，則不穩(wěn)定，符號(hào)變化次數(shù)等于右半s平面的特征根個(gè)數(shù)。應(yīng)用時(shí)需注意兩種特殊情況：①勞斯表某一行第一列元素為0但該行其他元素不全為0，此時(shí)用ε代替0繼續(xù)計(jì)算，若ε→0時(shí)第一列符號(hào)變化則系統(tǒng)不穩(wěn)定；②勞斯表某一行全為0，此時(shí)需用前一行構(gòu)造輔助多項(xiàng)式，求導(dǎo)后替換該行，輔助多項(xiàng)式的根為共軛虛根或?qū)ΨQ實(shí)根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.頻率特性的物理意義是什么？幅頻特性和相頻特性分別反映系統(tǒng)的哪些性能？頻率特性是系統(tǒng)對正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，物理意義為：當(dāng)輸入為正弦信號(hào)r(t)=Asin(ωt)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出c(t)=A|G(jω)|sin(ωt+∠G(jω))，即輸出仍為同頻率正弦信號(hào)，幅值放大|G(jω)|倍，相位偏移∠G(jω)。幅頻特性|G(jω)|反映系統(tǒng)對不同頻率輸入信號(hào)的幅值衰減或放大能力，高頻段幅值衰減越快，系統(tǒng)抗高頻噪聲能力越強(qiáng)；相頻特性∠G(jω)反映系統(tǒng)對不同頻率輸入信號(hào)的相位滯后或超前特性，相位滯后越小，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的快速性越好。4.根軌跡的基本定義是什么？繪制根軌跡時(shí)主要依據(jù)哪些規(guī)則？根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)（通常為開環(huán)增益K）從0→∞變化時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。繪制根軌跡的主要規(guī)則包括：①根軌跡的起點(diǎn)（K=0）為開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)（K→∞）為開環(huán)零點(diǎn)（若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于極點(diǎn)數(shù)n，則n-m條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)）；②根軌跡對稱于實(shí)軸；③實(shí)軸上根軌跡段的右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)；④根軌跡的漸近線與實(shí)軸夾角為(2k+1)π/(n-m)（k=0,1,…,n-m-1），交點(diǎn)為(Σ極點(diǎn)實(shí)部-Σ零點(diǎn)實(shí)部)/(n-m)；⑤根軌跡的分離點(diǎn)/會(huì)合點(diǎn)滿足dK/ds=0，其中K為以s為變量的開環(huán)傳遞函數(shù)幅值條件表達(dá)式；⑥根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可通過令s=jω代入特征方程，解出ω和臨界K值。5.PID控制器中比例（P）、積分（I）、微分（D）環(huán)節(jié)各自的作用是什么？實(shí)際應(yīng)用中如何選擇各參數(shù)？比例環(huán)節(jié)（P）的作用是減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，但過大的比例系數(shù)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)增大甚至不穩(wěn)定；積分環(huán)節(jié)（I）的作用是消除穩(wěn)態(tài)誤差（針對階躍、斜坡等輸入的穩(wěn)態(tài)誤差），但會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度，積分時(shí)間常數(shù)Ti越?。ǚe分作用越強(qiáng)），消除穩(wěn)態(tài)誤差的速度越快，但超調(diào)可能增大；微分環(huán)節(jié)（D）的作用是預(yù)測系統(tǒng)誤差變化趨勢，產(chǎn)生超前控制作用，抑制超調(diào)，提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的快速性和穩(wěn)定性，微分時(shí)間常數(shù)Td越大（微分作用越強(qiáng)），對誤差變化的敏感性越高，但會(huì)放大高頻噪聲。實(shí)際應(yīng)用中，通常先調(diào)整比例系數(shù)Kp，使系統(tǒng)有適度的響應(yīng)速度和超調(diào)；再加入積分環(huán)節(jié)，調(diào)整Ti以消除穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)注意Ti不能過小以免影響穩(wěn)定性；最后加入微分環(huán)節(jié)，調(diào)整Td以進(jìn)一步減小超調(diào)，改善動(dòng)態(tài)性能。二、計(jì)算題1.圖1所示為機(jī)械平移系統(tǒng)，質(zhì)量塊m=2kg，彈簧剛度k=4N/m，阻尼器阻尼系數(shù)c=2N·s/m，外力f(t)為輸入，質(zhì)量塊位移x(t)為輸出。（1）建立系統(tǒng)的微分方程；（2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=X(s)/F(s)。解：（1）對質(zhì)量塊進(jìn)行受力分析，外力f(t)與彈簧力kx(t)、阻尼力c?(t)平衡，根據(jù)牛頓第二定律：m?(t)=f(t)-kx(t)-c?(t)整理得微分方程：2?(t)+2?(t)+4x(t)=f(t)（2）對微分方程兩邊取拉普拉斯變換（初始條件為0）：2s2X(s)+2sX(s)+4X(s)=F(s)傳遞函數(shù)G(s)=X(s)/F(s)=1/(2s2+2s+4)=1/[2(s2+s+2)]2.已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G?(s)=K/[s(s+1)(s+2)]，其中K>0。（1）用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍；（2）若K=6，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，計(jì)算右半s平面的特征根個(gè)數(shù)。解：（1）閉環(huán)特征方程為1+G?(s)=0，即s(s+1)(s+2)+K=0，展開得：s3+3s2+2s+K=0構(gòu)造勞斯表：s3|12s2|3Ks1|(3×2-1×K)/3=(6-K)/3s?|K系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是勞斯表第一列全為正，因此：(6-K)/3>0→K<6K>0（已知）故穩(wěn)定的K范圍為0<K<6。（2）當(dāng)K=6時(shí)，勞斯表s1行元素為(6-6)/3=0，s?行元素為6>0。此時(shí)s1行全為0，需用s2行構(gòu)造輔助多項(xiàng)式P(s)=3s2+6=3(s2+2)，求導(dǎo)得P’(s)=6s。用P’(s)的系數(shù)替換s1行，得到新的勞斯表：s3|12s2|36s1|60s?|6第一列元素為1,3,6,6，均為正，但輔助多項(xiàng)式的根為s=±j√2，說明系統(tǒng)有一對共軛虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)（非穩(wěn)定）。右半s平面特征根個(gè)數(shù)為0（虛根不計(jì)入右半平面）。3.某二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2所示，已知超調(diào)量σ%=25%，調(diào)節(jié)時(shí)間t_s=2.4s（Δ=5%）。（1）求系統(tǒng)的阻尼比ζ和無阻尼自然頻率ω_n；（2）寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（3）計(jì)算峰值時(shí)間t_p。解：（1）二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)=ω_n2/(s2+2ζω_ns+ω_n2)。超調(diào)量σ%=e^(-πζ/√(1-ζ2))×100%=25%，取自然對數(shù)得：-πζ/√(1-ζ2)=ln(0.25)≈-1.386解得：πζ/√(1-ζ2)=1.386→ζ2/(1-ζ2)=(1.386/π)2≈(0.441)2≈0.194ζ2≈0.194(1-ζ2)→ζ2≈0.194-0.194ζ2→1.194ζ2≈0.194→ζ≈√(0.194/1.194)≈√0.162≈0.402調(diào)節(jié)時(shí)間t_s≈3/(ζω_n)=2.4s（Δ=5%），代入ζ≈0.402得：ω_n≈3/(ζt_s)=3/(0.402×2.4)≈3/0.965≈3.11rad/s（2）閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)=ω_n2/(s2+2ζω_ns+ω_n2)=(3.11)2/[s2+2×0.402×3.11s+(3.11)2]≈9.67/(s2+2.50s+9.67)（3）峰值時(shí)間t_p=π/(ω_n√(1-ζ2))=π/(3.11×√(1-0.4022))≈π/(3.11×0.916)≈3.14/(2.85)≈1.10s4.已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=10/[s(s+1)(0.1s+1)]。（1）繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性（伯德圖）的漸近線；（2）計(jì)算剪切頻率ω_c（截止頻率）和相角裕度γ。解：（1）將G(s)H(s)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：G(s)H(s)=10/[s(s+1)(0.1s+1)]=10/[s×1×(1+s)×(1+0.1s)]=10/[s(1+s)(1+0.1s)]頻率特性為G(jω)H(jω)=10/[jω(1+jω)(1+j0.1ω)]伯德圖漸近線繪制步驟：-低頻段（ω<<1）：主要項(xiàng)為10/(jω)，對數(shù)幅頻L(ω)=20lg(10/ω)=20lg10-20lgω=20-20lgω，斜率為-20dB/dec，過點(diǎn)(ω=1,L=20dB)。-第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω?=1（對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)1/(1+jω)），斜率變?yōu)?40dB/dec（原-20+(-20)）。-第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω?=10（對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)1/(1+j0.1ω)，即時(shí)間常數(shù)T=0.1，ω=1/T=10），斜率變?yōu)?60dB/dec（-40+(-20)）。（2）剪切頻率ω_c滿足|G(jω_c)H(jω_c)|=1，即20lg|G(jω_c)H(jω_c)|=0dB。近似計(jì)算（用漸近線）：在ω?=1到ω?=10之間，L(ω)=20-20lgω-20lg(ω/1)=20-40lgω（因斜率為-40dB/dec）。令L(ω_c)=0，即20-40lgω_c=0→lgω_c=0.5→ω_c=10^0.5≈3.16rad/s。相角裕度γ=180°+∠G(jω_c)H(jω_c)。計(jì)算∠G(jω_c)H(jω_c)：∠G(jω_c)H(jω_c)=-90°-arctan(ω_c/1)-arctan(0.1ω_c)代入ω_c≈3.16：arctan(3.16)≈72.5°，arctan(0.1×3.16)=arctan(0.316)≈17.6°故∠G(jω_c)H(jω_c)=-90°-72.5°-17.6°=-180.1°γ=180°+(-180.1°)=-0.1°≈0°（考慮漸近線近似誤差，實(shí)際需精確計(jì)算）精確計(jì)算|G(jω_c)H(jω_c)|=1：|G(jω)H(jω)|=10/[ω√(1+ω2)√(1+(0.1ω)2)]=1兩邊平方得：100/[ω2(1+ω2)(1+0.01ω2)]=1→ω2(1+ω2)(1+0.01ω2)=100試算ω=3：32×(1+9)×(1+0.09)=9×10×1.09=98.1≈100ω=3.1：3.12×(1+9.61)×(1+0.0961)=9.61×10.61×1.0961≈9.61×11.63≈111.8>100ω=3.05：3.052×(1+9.30)×(1+0.093)=9.30×10.30×1.093≈9.30×11.27≈104.8>100ω=2.95：2.952×(1+8.70)×(1+0.087)=8.70×9.70×1.087≈8.70×10.55≈91.8<100用線性插值：ω_c≈3-(100-98.1)/(111.8-98.1)×0.1≈3-1.9/13.7×0.1≈3-0.014≈2.986rad/s精確相角：∠G(jω_c)H(jω_c)=-90°-arctan(2.986)-arctan(0.1×2.986)=-90°-71.5°-16.6°=-178.1°γ=180°-178.1°=1.9°≈2°（考慮實(shí)際系統(tǒng)可能存在的微小誤差）三、綜合分析題1.某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G?(s)=K/[s(s+1)]，要求系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)K_v≥10s?1，超調(diào)量σ%≤20%，調(diào)節(jié)時(shí)間t_s≤2s（Δ=5%）。（1）確定滿足K_v要求的K值范圍；（2）分析現(xiàn)有系統(tǒng)是否滿足動(dòng)態(tài)性能要求，若不滿足，設(shè)計(jì)串聯(lián)超前校正裝置G_c(s)=K_c(τs+1)/(ατs+1)（α<1），并確定參數(shù)K_c、τ、α。解：（1）靜態(tài)速度誤差系數(shù)K_v=lim(s→0)sG?(s)=lim(s→0)s×K/[s(s+1)]=K≥10，故K≥10。（2）原系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)=K/[s2+s+K]，為二階系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)形式Φ(s)=ω_n2/(s2+2ζω_ns+ω_n2)，其中ω_n=√K，2ζω_n=1→ζ=1/(2√K)。當(dāng)K=10時(shí)，ω_n=√10≈3.16rad/s，ζ=1/(2×3.16)≈0.158。此時(shí)超調(diào)量σ%=e^(-πζ/√(1-ζ2))×100%≈e^(-π×0.158/√(1-0.025))×100%≈e^(-0.503/0.987)×100%≈e^(-0.509)×100%≈60%>20%，不滿足；調(diào)節(jié)時(shí)間t_s≈3/(ζω_n)=3/(0.158×3.16)≈3/0.5≈6s>2s，不滿足。設(shè)計(jì)串聯(lián)超前校正：目標(biāo)：提高系統(tǒng)的阻尼比ζ和無阻尼自然頻率ω_n，以減小超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。超前校正的作用是在剪切頻率處提供正相角，增加相角裕度，同時(shí)提高截止頻率。步驟1：確定校正后系統(tǒng)的期望參數(shù)。根據(jù)σ%≤20%，查二階系統(tǒng)超調(diào)量公式得ζ≥0.45（σ%=20%對應(yīng)ζ≈0.456）；t_s≤2s（Δ=5%），t_s≈3/(ζω_n)≤2→ζω_n≥1.5。步驟2：選擇校正后剪切頻率ω_c’，使其大于原系統(tǒng)剪切頻率（原系統(tǒng)剪切頻率ω_c=√K=√10≈3.16rad/s，校正后ω_c’應(yīng)更高以提高響應(yīng)速度）。假設(shè)ω_c’=5rad/s（需驗(yàn)證）。步驟3：計(jì)算原系統(tǒng)在ω_c’處的相角裕度γ?=180°+∠G?(jω_c’)=180°+(-90°-arctan(ω_c’/1))=90°-arctan(5)=90°-78.7°=11.3°。需要的相角裕度γ’=γ?+φ_m（φ_m為超前校正提供的最大超前角），根據(jù)σ%≤20%，γ’應(yīng)≥45°（經(jīng)驗(yàn)值），故φ_m≥45°-11.3°=33.7°，取φ_m=40°。步驟4：超前校正的最大超前角φ_m=arcsin[(1-α)/(1+α)]，解得α=(1-sinφ_m)/(1+sinφ_m)=(1-0.643)/(1+0.643)=0.357/1.643≈0.217。步驟5：超前校正的轉(zhuǎn)折頻率為ω_1=1/(τ)，ω_2=1/(ατ)=ω_1/α，最大超前角頻率ω_m=√(ω_1ω_2)=1/(τ√α)。令ω_m=ω_c’=5rad/s，則τ=1/(ω_m√α)=1/(5×√0.217)=1/(5×0.466)=0.430s，ω_1=1/0.430≈2.33rad/s，ω_2=1/(0.217×0.430)=1/0.093≈10.75rad/s。步驟6：校正后開環(huán)傳遞函數(shù)G_c(s)G?(s)=K_c(τs+1)/(ατs+1)×K/[s(s+1)]。為保持靜態(tài)速度誤差系數(shù)K_v’=K×K_c≥10，原K=10，故K_c≥1。同時(shí)，在ω_m=5rad/s處，校正裝置的幅頻增益為√[(1+α)/(2√α)]=√[(1+0.217)/(2×√0.217)]=√[1.217/(2×0.466)]=√[1.217/0.932]≈√1.306≈1