2026復變函數(shù)保角映射練習試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復變函數(shù)保角映射練習試卷考核對象：數(shù)學專業(yè)本科三年級學生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)是保角映射。2.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)（其中ad-bc≠0）可以將擴充復平面映射為擴充復平面。3.線性映射z→az+b（其中a為正實數(shù)）將圓映射為圓。4.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且導數(shù)不為零，則f(z)在D內(nèi)是保角映射。5.極點與零點的輻角在分式線性映射下保持不變。6.等角映射一定是保角映射。7.球面映射將擴充復平面映射為單位球面。8.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f'(z)≠0，則f(z)在D內(nèi)是保角映射。9.分式線性映射可以將兩個點映射為另兩個點。10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且導數(shù)不為零，則f(z)在D內(nèi)是等角映射。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個映射將上半平面映射為單位圓內(nèi)部？A.z→1/zB.z→z+1C.z→z/(1-z)D.z→z/(1+z)2.映射z→ez將哪個區(qū)域映射為上半平面？A.|z|<1B.0<arg(z)<πC.-π<arg(z)<πD.|z|>13.分式線性映射z→(z-1)/(z+1)將點z=1映射為？A.0B.1C.-1D.∞4.映射z→z2將哪個區(qū)域映射為上半平面？A.|z|<1B.0<arg(z)<π/2C.-π<arg(z)<πD.|z|>15.球面映射z→(2z)/(z+1)將北極點（z=∞）映射為？A.北極點B.南極點C.赤道上的點D.無限遠點6.映射z→1/z將哪個區(qū)域映射為上半平面？A.|z|<1B.|z|>1C.0<arg(z)<πD.-π<arg(z)<π7.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)（ad-bc>0）將圓映射為？A.圓B.直線C.擴充復平面D.無限遠點8.映射z→z2將點z=i映射為？A.-1B.1C.-iD.i9.等角映射f(z)滿足f'(z)≠0，則f(z)將哪個區(qū)域映射為？A.同一區(qū)域B.不同區(qū)域C.直線D.圓10.映射z→ez將點z=πi映射為？A.0B.1C.-1D.∞三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些映射是保角映射？A.z→z2B.z→1/zC.z→ezD.z→sin(z)2.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)可以將哪些區(qū)域映射為圓或直線？A.兩個點映射為另兩個點B.上半平面映射為圓C.單位圓映射為擴充復平面D.直線映射為圓3.映射z→z2將哪些區(qū)域映射為上半平面？A.|z|<1B.0<arg(z)<π/2C.-π<arg(z)<πD.|z|>14.球面映射有哪些性質(zhì)？A.將擴充復平面映射為單位球面B.將北極點映射為北極點C.將南極點映射為南極點D.將直線映射為圓5.等角映射有哪些特點？A.保持角度不變B.導數(shù)不為零C.將圓映射為圓D.將直線映射為直線6.下列哪些映射可以將上半平面映射為單位圓內(nèi)部？A.z→1/zB.z→z/(1-z)C.z→z/(1+z)D.z→z27.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)可以將哪些點映射為無限遠點？A.當z=-d/c時B.當z=∞時C.當z=-b/a時D.當z=∞時8.映射z→z2將哪些點映射為實數(shù)？A.z=1B.z=-1C.z=iD.z=-i9.球面映射z→(2z)/(z+1)有哪些性質(zhì)？A.將北極點映射為北極點B.將南極點映射為南極點C.將赤道上的點映射為無限遠點D.將擴充復平面映射為單位球面10.等角映射f(z)滿足f'(z)≠0，則f(z)將哪些區(qū)域映射為？A.同一區(qū)域B.不同區(qū)域C.直線D.圓四、案例分析（每題6分，共18分）1.設函數(shù)f(z)=z2在區(qū)域D:|z|<1內(nèi)解析，求f(z)將區(qū)域D映射為何種區(qū)域？并說明理由。2.分式線性映射f(z)=(2z+3)/(z-1)將點z?=1映射為z?=2，求f(z)將點z?=-1映射為何值？3.設函數(shù)f(z)=ez在區(qū)域D:0<arg(z)<π內(nèi)解析，求f(z)將區(qū)域D映射為何種區(qū)域？并說明理由。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述分式線性映射的性質(zhì)及其在保角映射中的應用。2.論述球面映射的原理及其在復變函數(shù)中的應用。---標準答案及解析一、判斷題1.錯誤。保角映射要求導數(shù)不為零且角度保持不變。2.正確。分式線性映射是保角映射，且將擴充復平面映射為擴充復平面。3.正確。線性映射將圓映射為圓或直線。4.正確。解析函數(shù)且導數(shù)不為零是保角映射的充要條件。5.錯誤。輻角在分式線性映射下不一定保持不變。6.正確。等角映射是保角映射的特殊情況。7.正確。球面映射將擴充復平面映射為單位球面。8.正確。解析函數(shù)且導數(shù)不為零是保角映射的充要條件。9.正確。分式線性映射具有保點性。10.正確。解析函數(shù)且導數(shù)不為零是等角映射的充要條件。二、單選題1.C2.B3.A4.B5.B6.B7.A8.A9.A10.B三、多選題1.ABCD2.ABCD3.AB4.ABCD5.ABCD6.ABC7.AD8.AB9.ABCD10.ABCD四、案例分析1.解析：f(z)=z2將區(qū)域D:|z|<1映射為區(qū)域D':|w|<1。理由：z2將圓|z|=1映射為|w|=1，且角度保持不變。2.解析：f(z)=(2z+3)/(z-1)將點z?=1映射為z?=2，即f(1)=2。令z?=-1，則f(-1)=(2(-1)+3)/((-1)-1)=1/(-2)=-1/2。參考答案：f(-1)=-1/2。3.解析：f(z)=ez將區(qū)域D:0<arg(z)<π映射為區(qū)域D':0<arg(w)<π。理由：指數(shù)函數(shù)保持輻角不變，且將區(qū)域映射為上半平面。五、論述題1.分式線性映射的性質(zhì)及其應用：-分式線性映射具有保圓性，可以將圓映射為圓或直線。-具有保點性，可以將兩個點映射為另