2026復(fù)變函數(shù)保角映射應(yīng)用試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)保角映射應(yīng)用試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則f(z)的保角映射可以將D映射為另一個(gè)區(qū)域且保持角度不變。2.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)（其中ad-bc≠0）可以將擴(kuò)充復(fù)平面映射為擴(kuò)充復(fù)平面，且具有保圓性。3.若函數(shù)w=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則其實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)滿足柯西-黎曼方程。4.線性映射z→az+b（其中a為正實(shí)數(shù)）將圓映射為圓，但不一定保持角度。5.若函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?的鄰域內(nèi)可以展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。6.保角映射可以將角形區(qū)域映射為角形區(qū)域，但角度大小可能改變。7.極點(diǎn)與零點(diǎn)的映射關(guān)系在分式線性映射中保持不變。8.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)≠0，則其逆映射f?1(z)也在相應(yīng)區(qū)域內(nèi)解析。9.球面映射z→ez可以將上半平面映射為單位圓內(nèi)部。10.若兩個(gè)區(qū)域之間存在保角映射，則該映射是唯一的。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)函數(shù)在z=0處不是解析的？A.e^zB.sin(z)C.1/zD.z^22.分式線性映射z→(z+1)/(z-1)將點(diǎn)z=1映射為：A.∞B.-1C.1D.03.函數(shù)w=z^2將單位圓映射為：A.單位圓B.圓心在原點(diǎn)的橢圓C.雙曲線D.拋物線4.柯西積分定理的條件是：A.f(z)在閉曲線內(nèi)解析且在閉曲線上連續(xù)B.f(z)在閉曲線上解析C.f(z)在閉曲線內(nèi)連續(xù)D.f(z)在閉曲線上連續(xù)且在內(nèi)部解析5.函數(shù)w=log(z)將右半平面映射為：A.整個(gè)復(fù)平面（除去負(fù)實(shí)軸）B.上半平面C.下半平面D.虛軸6.映射z→1/z將圓心在原點(diǎn)的圓映射為：A.圓心在原點(diǎn)的圓B.直線C.圓心在原點(diǎn)的圓或直線D.橢圓7.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且滿足f(z)=f(1/z)，則f(z)可能是：A.zB.z^2C.1/zD.e^z8.保角映射可以將角形區(qū)域映射為：A.圓形區(qū)域B.橢圓區(qū)域C.角形區(qū)域D.拋物線區(qū)域9.函數(shù)w=sin(z)在z=π/2處的導(dǎo)數(shù)為：A.1B.-1C.iD.-i10.分式線性映射z→(az+b)/(cz+d)的保圓性要求：A.a=dB.ad-bc≠0C.c=0D.b=0三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些函數(shù)在z=0處解析？A.e^zB.sin(z)C.1/zD.z^2E.tan(z)2.分式線性映射的性質(zhì)包括：A.保圓性B.保角度性C.將無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為有限點(diǎn)D.將有限點(diǎn)映射為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)E.映射唯一性3.柯西積分定理的應(yīng)用條件包括：A.f(z)在閉曲線內(nèi)解析B.f(z)在閉曲線上連續(xù)C.閉曲線不經(jīng)過(guò)奇點(diǎn)D.閉曲線為簡(jiǎn)單閉曲線E.閉曲線可以自相交4.函數(shù)w=z^2將哪些區(qū)域映射為對(duì)稱區(qū)域？A.上半平面B.左半平面C.單位圓內(nèi)部D.半圓E.線段5.保角映射的應(yīng)用包括：A.流體力學(xué)中的速度場(chǎng)映射B.電學(xué)中的電位分布映射C.幾何中的圖形變換D.物理學(xué)中的波傳播映射E.復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算6.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域包括：A.環(huán)形區(qū)域B.圓盤(pán)區(qū)域C.球形區(qū)域D.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)E.奇點(diǎn)7.極點(diǎn)與零點(diǎn)的映射關(guān)系包括：A.極點(diǎn)可以映射為零點(diǎn)B.零點(diǎn)可以映射為極點(diǎn)C.極點(diǎn)的階數(shù)與零點(diǎn)的階數(shù)相同D.映射關(guān)系不依賴于路徑E.映射關(guān)系唯一8.球面映射的性質(zhì)包括：A.將上半平面映射為單位圓內(nèi)部B.將單位圓映射為上半平面C.保角性D.將無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為原點(diǎn)E.將原點(diǎn)映射為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)9.復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算方法包括：A.柯西積分公式B.柯西積分定理C.洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)D.留數(shù)定理E.代數(shù)運(yùn)算10.保角映射在工程中的應(yīng)用包括：A.水力學(xué)中的河道流量計(jì)算B.電氣工程中的傳輸線分析C.熱力學(xué)中的溫度分布計(jì)算D.結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)力分布分析E.控制理論中的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析四、案例分析（每題6分，共18分）1.題目：已知函數(shù)w=z^2將單位圓內(nèi)部映射為上半平面，求該映射將點(diǎn)z=i映射為w的值，并說(shuō)明映射的保角性。解題思路：-代入z=i計(jì)算w值；-說(shuō)明映射的保角性（角度保持不變）。參考答案：w=i^2=-1，映射為上半平面，角度保持不變。2.題目：函數(shù)w=(z-1)/(z+1)將上半平面映射為哪個(gè)區(qū)域？請(qǐng)說(shuō)明映射的性質(zhì)。解題思路：-分析映射的奇點(diǎn)（z=-1）；-說(shuō)明映射的保圓性和保角性。參考答案：映射將上半平面映射為右半平面，具有保圓性和保角性。3.題目：已知函數(shù)w=log(z)將右半平面映射為整個(gè)復(fù)平面（除去負(fù)實(shí)軸），求該映射將點(diǎn)z=2i映射為w的值，并說(shuō)明映射的保角性。解題思路：-代入z=2i計(jì)算w值；-說(shuō)明映射的保角性（角度保持不變）。參考答案：w=log(2i)=log(2)+iπ/2，映射為整個(gè)復(fù)平面（除去負(fù)實(shí)軸），角度保持不變。五、論述題（每題11分，共22分）1.題目：請(qǐng)論述保角映射在流體力學(xué)中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。解題思路：-解釋保角映射如何用于簡(jiǎn)化流體力學(xué)問(wèn)題；-舉例說(shuō)明具體應(yīng)用（如河道流量計(jì)算）。參考答案：保角映射可以將復(fù)雜邊界條件的流體力學(xué)問(wèn)題映射為簡(jiǎn)單邊界條件的問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。例如，將河道流量問(wèn)題映射為平行流問(wèn)題，便于求解速度場(chǎng)。2.題目：請(qǐng)論述復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算方法及其在電氣工程中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。解題思路：-解釋復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算方法（如柯西積分公式、留數(shù)定理）；-舉例說(shuō)明具體應(yīng)用（如傳輸線分析）。參考答案：復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算方法可以簡(jiǎn)化電路分析中的積分計(jì)算。例如，利用留數(shù)定理計(jì)算傳輸線上的電壓分布，可以避免復(fù)雜的積分計(jì)算。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.×（線性映射保持角度）5.×（洛朗級(jí)數(shù)需在去心鄰域內(nèi)展開(kāi)）6.×（角度大小不變）7.×（映射關(guān)系可能改變極點(diǎn)階數(shù)）8.√9.×（應(yīng)將上半平面映射為單位圓外部）10.×（存在多個(gè)保角映射）二、單選題1.C2.A3.A4.A5.A6.C7.C8.C9.A10.B三、多選題1.A,B,D2.A,B,C3.A,B,D4.A,B,C5.A,B,C,D6.A,B,E7.A,B,C8.A,B,C,D9.A,B,C,D10.A,B,C,D,E四、案例分析1.參考答案：w=-1，映射為上半平面，角度保持不變。解析：-代入z=i，w=i^2=-1；-映射為上半平面，角度保持不變。2.參考答案：映射為右半平面，具有保圓性和保角性。解析：-奇點(diǎn)z=-1，映射將上半平面映射為右半平面；-映射具有保圓性和保角性。3.參考答案：w=log(2)+iπ/2，映射為整個(gè)復(fù)平面（除去負(fù)實(shí)軸），角度保持不變。解析：-代入z=2i，w=log(2i)=log(2)+iπ/2；-映射為整個(gè)復(fù)平面（除去負(fù)實(shí)軸），角度保持不變。五、論述題1.參考答案：保角映射在流體力學(xué)中用于簡(jiǎn)化復(fù)雜邊界條件的流體問(wèn)題。例如，將河道流量問(wèn)題映射為平行流問(wèn)題，便于求解速度場(chǎng)。具體步驟包括：-選擇合適的保角映射函數(shù)；-將復(fù)雜邊界條件映射為簡(jiǎn)單邊界條件；-求解簡(jiǎn)化后的流體力學(xué)問(wèn)題。解析：-保角映