2026復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)測試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分2026復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)測試卷及答案考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生、相關(guān)專業(yè)從業(yè)者題型分值分布：-單選題（10題，每題2分，共20分）-填空題（10題，每題2分，共20分）-判斷題（10題，每題2分，共20分）-簡答題（3題，每題4分，共12分）-應(yīng)用題（2題，每題9分，共18分）總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z-1}$在$z=0$處的留數(shù)是（）A.1B.-1C.0D.22.設(shè)$f(z)=\sinz+\cosz$，則$f(z)$在$z=0$處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中$\frac{1}{3!}$項(xiàng)的系數(shù)是（）A.0B.1C.$\frac{1}{6}$D.$-\frac{1}{6}$3.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}$在$z=0$處的極點(diǎn)階數(shù)是（）A.0B.1C.2D.無極點(diǎn)4.沿正向閉曲線$|z|=2$積分$\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1}$的值是（）A.$2\pii$B.$0$C.$4\pii$D.$-\pii$5.函數(shù)$f(z)=z^2$在$z=1$處的導(dǎo)數(shù)$f'(1)$等于（）A.1B.2C.4D.06.設(shè)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，且$f(z)\neq0$，則$\frac{1}{f(z)}$在$D$內(nèi)（）A.解析B.不解析C.可能解析D.無意義7.函數(shù)$f(z)=\ln(1+z)$在$z=-1$處的羅朗級(jí)數(shù)展開式中$\frac{1}{z^2}$項(xiàng)的系數(shù)是（）A.1B.-1C.$\frac{1}{2}$D.08.沿正向曲線$|z|=1$積分$\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz$的值是（）A.$2\pii$B.$0$C.$2\pie^i$D.$-2\pii$9.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}$在$z=0$處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，$z^3$項(xiàng)的系數(shù)是（）A.0B.1C.$-\frac{1}{3!}$D.$\frac{1}{2!}$10.設(shè)$f(z)$在$z_0$處解析，且$f(z_0)\neq0$，則$\frac{1}{f(z)}$在$z_0$處（）A.解析B.不解析C.可能解析D.無意義二、填空題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2+1}{z-1}$在$z=1$處的留數(shù)是________。2.函數(shù)$f(z)=\sinz$的泰勒級(jí)數(shù)展開式中$z^5$項(xiàng)的系數(shù)是________。3.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$和$z=1$處的極點(diǎn)分別是________和________。4.沿正向閉曲線$|z|=3$積分$\oint_{|z|=3}\frac{z^2+1}{z(z-2)}dz$的值是________。5.函數(shù)$f(z)=z^3$在$z=2$處的導(dǎo)數(shù)$f'(2)$等于________。6.設(shè)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，且$f(z)\neq0$，則$\frac{1}{f(z)}$在$D$內(nèi)________。7.函數(shù)$f(z)=\ln(1+z)$在$z=-1$處的羅朗級(jí)數(shù)展開式中$\frac{1}{z}$項(xiàng)的系數(shù)是________。8.沿正向曲線$|z|=1$積分$\oint_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z}dz$的值是________。9.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{(z+1)^3}$在$z=0$處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，$z^2$項(xiàng)的系數(shù)是________。10.設(shè)$f(z)$在$z_0$處解析，且$f(z_0)\neq0$，則$\frac{1}{f(z)}$在$z_0$處________。三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2}$在$z=0$處有二級(jí)極點(diǎn)。（）2.函數(shù)$f(z)=\sinz$的泰勒級(jí)數(shù)展開式在復(fù)平面上處處收斂。（）3.設(shè)$f(z)$在$z_0$處解析，則$f(z)$在$z_0$附近可以展開為泰勒級(jí)數(shù)。（）4.沿正向閉曲線$|z|=1$積分$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2}dz$的值是$2\pii$。（）5.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$和$z=1$處的留數(shù)分別是1和-1。（）6.函數(shù)$f(z)=\ln(1+z)$在$z=-1$處的羅朗級(jí)數(shù)展開式存在。（）7.設(shè)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，且$f(z)\neq0$，則$\frac{1}{f(z)}$在$D$內(nèi)解析。（）8.函數(shù)$f(z)=z^2$在$z=0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(0)$等于0。（）9.沿正向曲線$|z|=2$積分$\oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}dz$的值是$0$。（）10.設(shè)$f(z)$在$z_0$處解析，且$f(z_0)\neq0$，則$\frac{1}{f(z)}$在$z_0$處解析。（）四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述解析函數(shù)的定義及其與可微函數(shù)的關(guān)系。2.解釋什么是函數(shù)的留數(shù)，并說明留數(shù)定理的應(yīng)用。3.說明泰勒級(jí)數(shù)展開式的收斂半徑如何確定。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算沿正向閉曲線$|z|=2$積分$\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z(z-1)}dz$的值，并說明計(jì)算過程。2.設(shè)函數(shù)$f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}$，求其在$z=0$和$z=1$處的留數(shù)，并驗(yàn)證留數(shù)定理。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、單選題1.B解析：$f(z)=\frac{1}{z-1}$在$z=0$處的留數(shù)為$\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}(z-1)f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{z}=-1$。2.D解析：$\sinz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$\cosz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}$，則$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}$，$\frac{1}{3!}$項(xiàng)為$\frac{-1}{6}z^3$，系數(shù)為$-\frac{1}{6}$。3.B解析：$f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}=\frac{z+1}{z}$，$z=0$處為一級(jí)極點(diǎn)。4.A解析：$\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}$，$z=i$在$|z|=2$內(nèi)，$\text{Res}(f,i)=\lim_{z\toi}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}$，$\oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}dz=2\pii\cdot\frac{1}{2i}=2\pii$。5.C解析：$f'(z)=2z$，$f'(1)=2\cdot1=4$。6.A解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。7.B解析：$\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^n}{n}$，$\frac{1}{z^2}$項(xiàng)為$-\frac{1}{z^2}$，系數(shù)為-1。8.A解析：$\frac{e^z}{z}$在$z=0$處有奇點(diǎn)，$\text{Res}(f,0)=e^0=1$，$\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz=2\pii\cdot1=2\pii$。9.A解析：$\frac{1}{(z-1)^2}$在$z=0$處展開為$\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n$，$z^3$項(xiàng)系數(shù)為4，但原函數(shù)為$\frac{1}{(z+1)^2}$，展開為$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)z^n$，$z^3$項(xiàng)系數(shù)為-4，系數(shù)為0。10.A解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。二、填空題1.1解析：$\text{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)f(z)=\lim_{z\to1}\frac{z^2+1}{z}=\frac{2}{1}=2$。2.$\frac{5}{24}$解析：$\sinz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$z^5$項(xiàng)系數(shù)為$\frac{-1}{5!}=-\frac{1}{120}$。3.一級(jí)極點(diǎn)，一級(jí)極點(diǎn)解析：$z=0$和$z=1$處分母為0，均為一級(jí)極點(diǎn)。4.$4\pii$解析：$z=2$在$|z|=3$內(nèi)，$\text{Res}(f,2)=\lim_{z\to2}(z-2)\frac{z^2+1}{z(z-2)}=\frac{5}{2}$，$\oint_{|z|=3}\frac{z^2+1}{z(z-2)}dz=2\pii\cdot\frac{5}{2}=5\pii$。5.12解析：$f'(z)=3z^2$，$f'(2)=3\cdot2^2=12$。6.解析解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。7.-1解析：$\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^n}{n}$，$\frac{1}{z}$項(xiàng)系數(shù)為-1。8.$2\pii$解析：$\frac{z^2+1}{z}=z+\frac{1}{z}$，$\frac{1}{z}$項(xiàng)在$z=0$處留數(shù)為1，$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz=2\pii$。9.0解析：$\frac{1}{(z+1)^3}$在$z=0$處展開為$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nn(n-1)(n-2)z^n}{3!}$，$z^2$項(xiàng)系數(shù)為0。10.解析解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。三、判斷題1.正確解析：$\frac{1}{z^2}$在$z=0$處為二級(jí)極點(diǎn)。2.正確解析：$\sinz$的泰勒級(jí)數(shù)在復(fù)平面上處處收斂。3.正確解析：解析函數(shù)可以展開為泰勒級(jí)數(shù)。4.錯(cuò)誤解析：$\frac{1}{z^2}$在$z=0$處留數(shù)為0，積分值為0。5.正確解析：$\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}z\frac{1}{z(z-1)}=-1$，$\text{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{1}=1$。6.正確解析：$\ln(1+z)$在$z=-1$處可以展開為羅朗級(jí)數(shù)。7.正確解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。8.錯(cuò)誤解析：$f'(z)=2z$，$f'(0)=0$。9.錯(cuò)誤解析：$z=i$在$|z|=2$內(nèi)，$\text{Res}(f,i)=\frac{1}{2i}$，積分值為$2\pii\cdot\frac{1}{2i}=\pi$。10.正確解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。四、簡答題1.解析函數(shù)的定義：在區(qū)域$D$內(nèi)處處解析的函數(shù)$f(z)$，滿足柯西-黎曼方程且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)?？晌⒑瘮?shù)不一定解析，但解析函數(shù)一定可微。2.留數(shù)的定義：函數(shù)$f(z)$在孤立奇點(diǎn)$z_0$處的留數(shù)是$\text{Res}(f,z_0)=\lim_{z\toz_0}(z-z_0)f(z)$。留數(shù)定理：沿正向閉曲線積分$\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pii\sum\text{Res}(f,z_k)$，其中$z_k$為$\gamma$內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。3.泰勒級(jí)數(shù)展開式的收斂半徑：$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$，