2026復(fù)變函數(shù)級數(shù)展開測試試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)級數(shù)展開測試試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若復(fù)數(shù)序列{z_n}收斂于z_0，則其任一子序列也收斂于z_0。2.所有解析函數(shù)的泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂且一致收斂。3.羅朗級數(shù)展開式的收斂域一定是環(huán)域。4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)的泰勒級數(shù)在D內(nèi)任意閉子區(qū)域上均一致收斂。5.級數(shù)∑a_nz^n在z=1處收斂，則在|z|<1內(nèi)絕對收斂。6.若f(z)在z_0處解析，則f(z)在z_0的去心鄰域內(nèi)可展開為羅朗級數(shù)。7.級數(shù)∑a_nz^n的收斂半徑R由公式R=1/limsup|a_n|^(1/n)確定。8.所有解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)也可展開為相應(yīng)的泰勒級數(shù)。9.若f(z)在|z|<1內(nèi)解析且f(0)=0，則f(z)可唯一表示為z乘以它的泰勒級數(shù)。10.羅朗級數(shù)展開式的系數(shù)a_n可通過積分公式a_n=(1/2πi)∮_γf(z)/(z-(z_0)^n+1)πdζ確定。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=1處的泰勒級數(shù)展開的收斂半徑為（）。A.1B.2C.√2D.∞2.函數(shù)f(z)=1/(1-z)在z=-1處的羅朗級數(shù)展開式中，a_3的值為（）。A.-1B.1C.-3D.33.若f(z)=∑a_n(z-2)^n在|z-2|<3內(nèi)收斂，則f(z)在z=1處的值等于（）。A.∑a_n(-1)^nB.∑a_n(1)^nC.∑a_n(-3)^nD.∑a_n(3)^n4.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級數(shù)展開式中，a_5的值為（）。A.1B.5!C.0D.1/5!5.若f(z)=∑a_nz^n在|z|<1內(nèi)收斂，則f(z)在z=-1處的值等于（）。A.∑a_n(-1)^nB.∑a_n(1)^nC.∑a_n(-2)^nD.∑a_n(2)^n6.函數(shù)f(z)=1/(z^2-1)在z=2處的羅朗級數(shù)展開式中，a_1的值為（）。A.-1/3B.1/3C.-1/5D.1/57.若f(z)=∑a_n(z+1)^n在|z+1|<2內(nèi)收斂，則f(z)在z=0處的值等于（）。A.∑a_n(-1)^nB.∑a_n(1)^nC.∑a_n(-2)^nD.∑a_n(2)^n8.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的泰勒級數(shù)展開式中，a_4的值為（）。A.0B.-1C.1D.-1/69.若f(z)=∑a_n(z-1)^n在|z-1|<1內(nèi)收斂，則f(z)在z=2處的值等于（）。A.∑a_n(1)^nB.∑a_n(-1)^nC.∑a_n(1)^nD.∑a_n(-1)^n10.函數(shù)f(z)=1/(z-1)^2在z=2處的羅朗級數(shù)展開式中，a_0的值為（）。A.1B.-1C.1/1D.-1/1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在|z|<1內(nèi)解析的有（）。A.1/(1+z^2)B.1/(1-z)C.z/(z^2+1)D.1/(z-1)2.羅朗級數(shù)展開式的收斂域可以是（）。A.環(huán)域B.單點C.球域D.無界區(qū)域3.下列關(guān)于泰勒級數(shù)的說法正確的有（）。A.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂B.泰勒級數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的奇點決定C.泰勒級數(shù)的系數(shù)a_n可通過積分公式計算D.泰勒級數(shù)的收斂半徑可以是0或∞4.下列函數(shù)中，在|z|<1內(nèi)可展開為泰勒級數(shù)的有（）。A.e^zB.sin(z)C.log(1+z)D.1/(1+z^2)5.羅朗級數(shù)展開式的系數(shù)a_n可通過以下方式計算的有（）。A.∮_γf(z)/(z-(z_0)^n+1)πdζB.a_n=(1/n!)f^(n)(z_0)C.a_n=(1/(2πi))∮_γf(ζ)/(ζ-(z_0)^n+1)πdζD.a_n=(1/(nπi))∮_γf(ζ)/(ζ-(z_0)^n+1)πdζ6.下列關(guān)于解析函數(shù)的說法正確的有（）。A.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)B.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開唯一C.解析函數(shù)的羅朗級數(shù)展開唯一D.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開不唯一7.下列函數(shù)中，在|z|<1內(nèi)可展開為羅朗級數(shù)的有（）。A.1/(1-z)^2B.1/(z-1)C.z/(z^2+1)D.1/(1+z)8.羅朗級數(shù)展開式的收斂域可以是（）。A.環(huán)域B.單點C.球域D.無界區(qū)域9.下列關(guān)于泰勒級數(shù)的說法正確的有（）。A.解析函數(shù)的泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂B.泰勒級數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的奇點決定C.泰勒級數(shù)的系數(shù)a_n可通過積分公式計算D.泰勒級數(shù)的收斂半徑可以是0或∞10.下列函數(shù)中，在|z|<1內(nèi)可展開為泰勒級數(shù)的有（）。A.e^zB.sin(z)C.log(1+z)D.1/(1+z^2)四、案例分析（每題6分，共18分）1.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在|z|<1內(nèi)展開為泰勒級數(shù)，求展開式中a_3的值。2.函數(shù)f(z)=1/(z-1)^2在|z-2|<1內(nèi)展開為羅朗級數(shù)，求展開式中a_0和a_1的值。3.函數(shù)f(z)=e^z在|z+1|<2內(nèi)展開為泰勒級數(shù)，求展開式中a_4的值。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開的唯一性及其在復(fù)變函數(shù)研究中的意義。2.論述羅朗級數(shù)展開式的收斂域及其在解析函數(shù)研究中的應(yīng)用。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.×（泰勒級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂，但不一定一致收斂）3.√4.√5.×（條件不足，需補充絕對收斂條件）6.√7.√8.√9.√10.√二、單選題1.C2.A3.A4.D5.A6.B7.A8.A9.B10.A三、多選題1.AB2.AC3.ABCD4.ABCD5.AC6.ABC7.AD8.AC9.ABCD10.ABCD四、案例分析1.解析：f(z)=1/(z^2+1)=1/(1-(z^2))=∑(z^2)^n=∑z^(2n)，a_3=0。2.解析：f(z)=1/(z-1)^2在|z-2|<1內(nèi)展開為羅朗級數(shù)，令z-1=t，則f(z)=1/t^2，展開為t的冪級數(shù)，再代回z-1=t。a_0=1，a_1=-2。3.解析：f(z)=e^z在|z+1|<2內(nèi)展開為泰勒級數(shù)，令z=-1+t，則f(z)=e^(-1+t)=e^(-1)∑e^t^(n)=e^(-1)∑(t^n/n!)，a_4=e^(-1)/4!=1/24e^(-1)。五、論述題1.解析：解析函數(shù)的泰勒級數(shù)展開唯一性源于解析函數(shù)的無限可微性。若f(z)在z_0處解析，則其泰勒級數(shù)展開式為唯一，且在收斂圓內(nèi)與f(z)完全