2026復(fù)變函數(shù)計(jì)算能力檢驗(yàn)試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)計(jì)算能力檢驗(yàn)試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生、相關(guān)專業(yè)研究生題型分值分布：-判斷題（20分）-單選題（20分）-多選題（20分）-案例分析（18分）-論述題（22分）總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請(qǐng)判斷下列命題的正誤。1.若函數(shù)\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)處處可導(dǎo)。2.洛朗級(jí)數(shù)展開式中的負(fù)冪項(xiàng)越多，函數(shù)的可去奇點(diǎn)越多。3.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+1}\,dz=0\)。4.若\(f(z)\)在\(z_0\)處解析，則\(f(z)\)在\(z_0\)附近可展開為泰勒級(jí)數(shù)。5.\(\sin(z)\)是整函數(shù)。6.\(\frac{1}{z}\)在\(z=0\)處是極點(diǎn)。7.若\(f(z)\)在簡(jiǎn)單閉曲線\(C\)上連續(xù)且在\(C\)內(nèi)解析，則\(\int_Cf(z)\,dz=0\)。8.\(\cos(z)\)的泰勒級(jí)數(shù)在復(fù)平面上處處收斂。9.若\(f(z)\)在\(z_0\)處有本性奇點(diǎn)，則\(f(z)\)在\(z_0\)附近不能展開為洛朗級(jí)數(shù)。10.\(\int_{|z|=2}\frac{e^z}{z(z-1)}\,dz=2\pii\)。二、單選題（每題2分，共20分）每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)。1.函數(shù)\(f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)處的奇點(diǎn)類型是（）。A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.解析點(diǎn)2.\(\int_{|z|=1}\frac{z+1}{z^2}\,dz\)的值為（）。A.\(2\pii\)B.\(0\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)3.函數(shù)\(f(z)=\sin\left(\frac{1}{z}\right)\)在\(z=0\)處的奇點(diǎn)類型是（）。A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.解析點(diǎn)4.若\(f(z)\)在\(z_0\)處解析，且\(f(z_0)\neq0\)，則\(\frac{1}{f(z)}\)在\(z_0\)處（）。A.解析B.有可去奇點(diǎn)C.有極點(diǎn)D.有本性奇點(diǎn)5.\(\sinh(z)\)的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，第3項(xiàng)為（）。A.\(z^3\)B.\(\frac{z^3}{3!}\)C.\(\frac{z^3}{2!}\)D.\(-\frac{z^3}{3!}\)6.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+1}\,dz\)的值為（）。A.\(\pii\)B.\(2\pii\)C.\(0\)D.\(\pi\)7.函數(shù)\(f(z)=z^2\ln(z)\)在\(z=0\)處的奇點(diǎn)類型是（）。A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.解析點(diǎn)8.若\(f(z)\)在簡(jiǎn)單閉曲線\(C\)上連續(xù)且在\(C\)內(nèi)解析，則\(\int_Cf(z)\,dz\)的值為（）。A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(f(z)\)的值D.無(wú)法確定9.\(\cos(z)\)的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，第4項(xiàng)為（）。A.\(z^4\)B.\(\frac{z^4}{4!}\)C.\(\frac{z^4}{2!}\)D.\(-\frac{z^4}{4!}\)10.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=1\)處的留數(shù)為（）。A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(\pii\)三、多選題（每題2分，共20分）每題有多個(gè)正確選項(xiàng)。1.下列函數(shù)中，在\(z=0\)處解析的有（）。A.\(f(z)=z^2+2z+1\)B.\(f(z)=\frac{1}{z}\)C.\(f(z)=\sin(z)\)D.\(f(z)=e^z\)2.下列函數(shù)中，是整函數(shù)的有（）。A.\(f(z)=z^3\)B.\(f(z)=\sin(z)\)C.\(f(z)=\frac{1}{z}\)D.\(f(z)=e^z\)3.下列積分中，值為\(2\pii\)的有（）。A.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z}\,dz\)B.\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2}\,dz\)C.\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z+1}\,dz\)D.\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z-1}\,dz\)4.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)的奇點(diǎn)為（）。A.\(z=0\)B.\(z=1\)C.\(z=-1\)D.\(z=2\)5.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)的說(shuō)法正確的有（）。A.洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣B.洛朗級(jí)數(shù)可以表示函數(shù)在環(huán)域內(nèi)的解析性C.洛朗級(jí)數(shù)中的正冪項(xiàng)表示函數(shù)的解析部分D.洛朗級(jí)數(shù)中的負(fù)冪項(xiàng)表示函數(shù)的奇異性部分四、案例分析（每題6分，共18分）1.計(jì)算積分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz\)。2.求函數(shù)\(f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)和\(z=1\)處的留數(shù)。3.將函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=0\)處展開為洛朗級(jí)數(shù)，并指出其收斂域。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述柯西積分定理的條件和意義，并舉例說(shuō)明。2.比較泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)在函數(shù)表示上的區(qū)別，并說(shuō)明各自的應(yīng)用場(chǎng)景。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.×（負(fù)冪項(xiàng)越多，奇點(diǎn)越復(fù)雜，但不一定越多）3.×（積分路徑包含奇點(diǎn)，需用留數(shù)定理計(jì)算）4.√5.√6.√7.√（根據(jù)柯西積分定理）8.√9.×（本性奇點(diǎn)仍可展開，但非泰勒級(jí)數(shù)）10.√（留數(shù)定理計(jì)算）二、單選題1.A（可去奇點(diǎn)，因\(z=0\)和\(z=1\)處可消去分母）2.A（\(\frac{z+1}{z^2}=\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}\)，積分結(jié)果為\(2\pii\)）3.C（\(\frac{1}{z}\)在\(z=0\)處為本性奇點(diǎn)）4.A（解析函數(shù)的倒數(shù)仍解析）5.B（泰勒級(jí)數(shù)中第3項(xiàng)為\(\frac{z^3}{3!}\)）6.A（\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)處有奇點(diǎn)，積分結(jié)果為\(\pii\)）7.C（\(z^2\ln(z)\)在\(z=0\)處為本性奇點(diǎn)）8.A（根據(jù)柯西積分定理）9.B（泰勒級(jí)數(shù)中第4項(xiàng)為\(\frac{z^4}{4!}\)）10.B（留數(shù)為\(-1\)，通過(guò)部分分式展開計(jì)算）三、多選題1.A,C,D（均解析）2.A,B,D（整函數(shù)定義）3.A,D（積分路徑包含奇點(diǎn)，留數(shù)分別為1和1）4.A,B（奇點(diǎn)為分母為零處）5.A,B,D（洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣，表示環(huán)域解析性，負(fù)冪項(xiàng)表示奇異性）四、案例分析1.解析：\[\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz=\int_{|z|=1}\left(\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z}\right)\,dz=2\pii+2\pii=4\pii\]留數(shù)定理計(jì)算：\(\text{Res}(f,0)=1\)，\(\text{Res}(f,1)=1\)，積分結(jié)果為\(2\pii(\text{Res}(f,0)+\text{Res}(f,1))=4\pii\)。2.解析：\[f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}\]留數(shù)：-\(\text{Res}(f,0)=1\)-\(\text{Res}(f,1)=1\)3.解析：\[\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)\]洛朗級(jí)數(shù)展開：\[\frac{1}{z-i}=\frac{1}{i}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{i^n}z^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\]\[\frac{1}{z+i}=\frac{1}{-i}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(-i)^n}z^n=-\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\]合并：\[\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2i}\left(2\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{i}z^n\]收斂域：\(|z|<1\)（環(huán)域\(0<|z|<1\)）。五、論述題1.柯西積分定理：-條件：函數(shù)\(f(z)\)在簡(jiǎn)單閉曲線\(C\)及其內(nèi)部解析。-意義：解析函數(shù)的積分僅與路徑起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑形狀無(wú)關(guān)，是復(fù)變