2026復(fù)變函數(shù)解析延拓練習(xí)試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)解析延拓練習(xí)試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡答題（3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。2.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則其模不能在D內(nèi)達(dá)到最大值。3.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程。4.解析延拓只能在已定義的解析區(qū)域內(nèi)進(jìn)行。5.如果函數(shù)在閉區(qū)域上解析且連續(xù)，則其沿邊界積分恒為零。6.所有整函數(shù)都是解析函數(shù)。7.解析函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開式中負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)與孤立奇點(diǎn)的階數(shù)有關(guān)。8.如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上除有限個(gè)點(diǎn)外解析，則其可以解析延拓到全平面。9.解析函數(shù)的積分路徑可以任意改變，只要起點(diǎn)和終點(diǎn)不變。10.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，則其模的梯度方向與Cauchy-Riemann方程的向量場方向垂直。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z^2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的Laurent級(jí)數(shù)展開式中，-2z的系數(shù)為（）A.1B.-1C.2D.-23.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/24.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.1/2B.-1/2C.1D.-15.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值為（）A.0B.1C.-1D.i6.函數(shù)f(z)=z^2在z=1處的Taylor級(jí)數(shù)展開式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1B.2C.3D.47.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1))在z=0處的留數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/28.函數(shù)f(z)=z^2+1在z=1處的解析延拓到z=2的結(jié)果為（）A.5B.6C.7D.89.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的Laurent級(jí)數(shù)展開式中，z^2項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/210.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.1/2B.-1/2C.1D.-1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）A.f(z)=z^2+1B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=e^z2.下列函數(shù)中，在z=1處有孤立奇點(diǎn)的有（）A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=z/(z-1)C.f(z)=1/(z^2-1)D.f(z)=z^23.下列關(guān)于解析函數(shù)的描述正確的有（）A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程B.解析函數(shù)的積分路徑可以任意改變C.解析函數(shù)的模不能在區(qū)域內(nèi)部達(dá)到最大值D.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)4.下列關(guān)于Laurent級(jí)數(shù)的描述正確的有（）A.Laurent級(jí)數(shù)可以包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)B.Laurent級(jí)數(shù)展開式的負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)與孤立奇點(diǎn)的階數(shù)有關(guān)C.Laurent級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)D.Laurent級(jí)數(shù)展開式在收斂圓內(nèi)唯一5.下列關(guān)于留數(shù)的描述正確的有（）A.留數(shù)定理可以用于計(jì)算積分B.留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的局部性質(zhì)C.留數(shù)的計(jì)算與積分路徑無關(guān)D.留數(shù)定理只適用于單值函數(shù)6.下列關(guān)于解析延拓的描述正確的有（）A.解析延拓只能在已定義的解析區(qū)域內(nèi)進(jìn)行B.解析延拓可以擴(kuò)展函數(shù)的定義域C.解析延拓不改變函數(shù)的解析性質(zhì)D.解析延拓的結(jié)果唯一7.下列關(guān)于Cauchy積分定理的描述正確的有（）A.如果函數(shù)在閉區(qū)域上解析且連續(xù)，則其沿邊界積分恒為零B.Cauchy積分定理只適用于單連通區(qū)域C.Cauchy積分定理可以推廣到多連通區(qū)域D.Cauchy積分定理與留數(shù)定理無關(guān)8.下列關(guān)于Taylor級(jí)數(shù)的描述正確的有（）A.Taylor級(jí)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式B.Taylor級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)C.Taylor級(jí)數(shù)展開式在收斂圓內(nèi)唯一D.Taylor級(jí)數(shù)展開式可以包含負(fù)冪項(xiàng)9.下列關(guān)于整函數(shù)的描述正確的有（）A.整函數(shù)是在全平面上解析的函數(shù)B.整函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng)C.整函數(shù)的系數(shù)由其Taylor級(jí)數(shù)唯一確定D.整函數(shù)的模不能在無窮遠(yuǎn)處達(dá)到最大值10.下列關(guān)于解析函數(shù)的積分的描述正確的有（）A.解析函數(shù)的積分路徑可以任意改變B.解析函數(shù)的積分值只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)C.解析函數(shù)的積分值與路徑無關(guān)D.解析函數(shù)的積分值可以由留數(shù)定理計(jì)算四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述解析函數(shù)的Cauchy-Riemann方程及其物理意義。2.解釋什么是孤立奇點(diǎn)，并舉例說明不同類型的孤立奇點(diǎn)。3.簡述解析延拓的條件和意義。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)，并利用留數(shù)定理計(jì)算∮_Cf(z)dz，其中C是圓周|z|=2。2.將函數(shù)f(z)=z/(z^2-1)在z=1附近展開為Laurent級(jí)數(shù)，并確定其孤立奇點(diǎn)的類型和階數(shù)。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。2.√根據(jù)最大模原理，解析函數(shù)的模不能在區(qū)域內(nèi)部達(dá)到最大值。3.√Cauchy-Riemann方程是解析函數(shù)的必要條件。4.×解析延拓可以在不同區(qū)域之間進(jìn)行，不限于已定義的解析區(qū)域。5.√根據(jù)Cauchy積分定理，如果函數(shù)在閉區(qū)域上解析且連續(xù)，則其沿邊界積分恒為零。6.√整函數(shù)是全平面上的解析函數(shù)。7.√Laurent級(jí)數(shù)中的負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)與孤立奇點(diǎn)的階數(shù)有關(guān)。8.×如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上除有限個(gè)點(diǎn)外解析，則其孤立奇點(diǎn)必須在無窮遠(yuǎn)。9.×解析函數(shù)的積分路徑必須滿足解析條件，否則積分值可能改變。10.√根據(jù)Cauchy-Riemann方程，解析函數(shù)的模的梯度方向與向量場方向垂直。二、單選題1.Bf'(z)=2z+2，z=1時(shí)，f'(1)=4。2.De^z的Laurent級(jí)數(shù)展開式為∑_{n=0}^∞z^n/n!，-2z的系數(shù)為-2。3.A1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為1。4.Bz/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)為-1/2。5.Asin(π)=0。6.Bz^2的Taylor級(jí)數(shù)展開式為∑_{n=0}^∞z^(2n)/n!，z^3項(xiàng)的系數(shù)為2。7.B1/(z(z-1))在z=0處的留數(shù)為-1。8.Az^2+1在z=2處的值為5。9.De^z的Laurent級(jí)數(shù)展開式中z^2項(xiàng)的系數(shù)為1/2。10.B1/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)為-1/2。三、多選題1.A,C,Dz^2+1,sin(z),e^z在z=0處解析。2.A,B,C1/(z-1),z/(z-1),1/(z^2-1)在z=1處有孤立奇點(diǎn)。3.A,B,C解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足Cauchy-Riemann方程，積分路徑可以任意改變，模不能在區(qū)域內(nèi)部達(dá)到最大值。4.A,B,DLaurent級(jí)數(shù)可以包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)，負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)與孤立奇點(diǎn)的階數(shù)有關(guān)，Laurent級(jí)數(shù)展開式在收斂圓內(nèi)唯一。5.A,B,C留數(shù)定理可以用于計(jì)算積分，留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的局部性質(zhì)，留數(shù)的計(jì)算與積分路徑無關(guān)。6.B,C,D解析延拓可以擴(kuò)展函數(shù)的定義域，不改變函數(shù)的解析性質(zhì)，結(jié)果唯一。7.A,B,CCauchy積分定理適用于單連通區(qū)域，可以推廣到多連通區(qū)域，與留數(shù)定理相關(guān)。8.A,B,CTaylor級(jí)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式，只適用于解析函數(shù)，展開式在收斂圓內(nèi)唯一。9.A,B,C整函數(shù)是全平面上的解析函數(shù)，Laurent級(jí)數(shù)中沒有負(fù)冪項(xiàng)，系數(shù)由Taylor級(jí)數(shù)唯一確定。10.B,C,D解析函數(shù)的積分值只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無關(guān)，可以由留數(shù)定理計(jì)算。四、簡答題1.解析函數(shù)的Cauchy-Riemann方程為?u/?x=?v/?y，?u/?y=-?v/?x，其中u(x,y)和v(x,y)分別是解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的實(shí)部和虛部。物理意義是解析函數(shù)的梯度向量場與其實(shí)部的梯度向量場正交。2.孤立奇點(diǎn)是函數(shù)在復(fù)平面上某個(gè)點(diǎn)附近解析，但在該點(diǎn)不解析的點(diǎn)。類型包括：可去奇點(diǎn)（如1/(z-1)在z=1處）、極點(diǎn)（如1/z在z=0處）、本性奇點(diǎn)（如sin(1/z)在z=0處）。3.解析延拓的條件是函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)的定義滿足解析性，且在這些區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值一致。意義是擴(kuò)展函數(shù)的定義域，使其在更大范圍內(nèi)解析。五、應(yīng)用題