2026復變函數(shù)留數(shù)應用測試試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分2026復變函數(shù)留數(shù)應用測試試卷考核對象：數(shù)學專業(yè)本科三年級學生題型分值分布：-單選題（10題，每題2分）：20分-填空題（10題，每題2分）：20分-判斷題（10題，每題2分）：20分-簡答題（3題，每題4分）：12分-應用題（2題，每題9分）：18分總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$處的留數(shù)是A.1B.-1C.0D.22.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2}$在$z=1$處的留數(shù)是A.0B.1C.2D.-13.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z}$在$z=0$處的留數(shù)是A.1B.0C.-1D.$\frac{1}{2}$4.函數(shù)$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$在$z=0$處的留數(shù)是A.1B.-1C.0D.25.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在$z=i$處的留數(shù)是A.$\frac{1}{2i}$B.$-\frac{1}{2i}$C.1D.-16.函數(shù)$f(z)=\frac{z}{z^2+1}$在$z=-i$處的留數(shù)是A.$\frac{1}{2i}$B.$-\frac{1}{2i}$C.1D.-17.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}$在$z=1$處的留數(shù)是A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.1D.-18.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)是A.1B.-1C.0D.$\frac{1}{2}$9.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^3}$在$z=1$處的留數(shù)是A.0B.1C.2D.-110.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)是A.0B.1C.-1D.$\frac{1}{2}$二、填空題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)是________。2.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2}$在$z=1$處的留數(shù)是________。3.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z}$在$z=0$處的留數(shù)是________。4.函數(shù)$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$在$z=0$處的留數(shù)是________。5.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在$z=i$處的留數(shù)是________。6.函數(shù)$f(z)=\frac{z}{z^2+1}$在$z=-i$處的留數(shù)是________。7.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}$在$z=1$處的留數(shù)是________。8.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)是________。9.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^3}$在$z=1$處的留數(shù)是________。10.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)是________。三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$處的留數(shù)是1。（）2.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2}$在$z=1$處的留數(shù)是2。（）3.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z}$在$z=0$處的留數(shù)是0。（）4.函數(shù)$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$在$z=0$處的留數(shù)是1。（）5.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在$z=i$處的留數(shù)是$\frac{1}{2i}$。（）6.函數(shù)$f(z)=\frac{z}{z^2+1}$在$z=-i$處的留數(shù)是$-\frac{1}{2i}$。（）7.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}$在$z=1$處的留數(shù)是$\frac{1}{2}$。（）8.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)是1。（）9.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^3}$在$z=1$處的留數(shù)是0。（）10.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)是1。（）四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述留數(shù)定理及其應用。2.如何計算函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)？3.留數(shù)定理在計算實積分中有何應用？五、應用題（每題9分，共18分）1.計算積分$\int_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz$，其中積分路徑為圓周$|z|=1$。2.計算積分$\int_{|z|=2\pi}\frac{\sinz}{z(z-1)}\,dz$，其中積分路徑為圓周$|z|=2\pi$。標準答案及解析一、單選題1.B2.C3.B4.A5.A6.B7.A8.B9.B10.B解析：1.$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$處的留數(shù)為$-\frac{1}{1}=-1$。2.$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2}$在$z=1$處的留數(shù)為$2$。3.$f(z)=\frac{\sinz}{z}$在$z=0$處的留數(shù)為$1$（$\sinz$的泰勒展開系數(shù)）。4.$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$在$z=0$處的留數(shù)為$1$。5.$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在$z=i$處的留數(shù)為$\frac{1}{2i}$。6.$f(z)=\frac{z}{z^2+1}$在$z=-i$處的留數(shù)為$-\frac{1}{2i}$。7.$f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}$在$z=1$處的留數(shù)為$\frac{1}{2}$。8.$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)為$1$。9.$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^3}$在$z=1$處的留數(shù)為$2$。10.$f(z)=\frac{\sinz}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)為$1$。二、填空題1.-12.23.14.15.$\frac{1}{2i}$6.$-\frac{1}{2i}$7.$\frac{1}{2}$8.19.210.1解析：1.$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)為$-\frac{1}{1}=-1$。2.$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2}$在$z=1$處的留數(shù)為$2$。3.$f(z)=\frac{\sinz}{z}$在$z=0$處的留數(shù)為$1$。4.$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$在$z=0$處的留數(shù)為$1$。5.$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在$z=i$處的留數(shù)為$\frac{1}{2i}$。6.$f(z)=\frac{z}{z^2+1}$在$z=-i$處的留數(shù)為$-\frac{1}{2i}$。7.$f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}$在$z=1$處的留數(shù)為$\frac{1}{2}$。8.$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)為$1$。9.$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^3}$在$z=1$處的留數(shù)為$2$。10.$f(z)=\frac{\sinz}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)為$1$。三、判斷題1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√解析：1.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$處的留數(shù)為$-\frac{1}{1}=-1$，不是1。2.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2}$在$z=1$處的留數(shù)為$2$，不是2。3.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z}$在$z=0$處的留數(shù)為$1$，不是0。4.函數(shù)$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$在$z=0$處的留數(shù)為$1$，正確。5.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$在$z=i$處的留數(shù)為$\frac{1}{2i}$，正確。6.函數(shù)$f(z)=\frac{z}{z^2+1}$在$z=-i$處的留數(shù)為$-\frac{1}{2i}$，正確。7.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}$在$z=1$處的留數(shù)為$\frac{1}{2}$，正確。8.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)為$1$，正確。9.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^3}$在$z=1$處的留數(shù)為$2$，不是0。10.函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z(z-1)}$在$z=1$處的留數(shù)為$1$，正確。四、簡答題1.留數(shù)定理及其應用：留數(shù)定理是復變函數(shù)論中的一個重要定理，它指出如果函數(shù)$f(z)$在簡單閉曲線$C$及其內(nèi)部除有限個孤立奇點外處處解析，那么\[\int_Cf(z)\,dz=2\pii\sum\text{Res}(f,a_k)\]其中$\text{Res}(f,a_k)$表示$f(z)$在孤立奇點$a_k$處的留數(shù)。留數(shù)定理可以用于計算某些實積分、計算圍道積分以及解決其他與復變函數(shù)相關的問題。2.如何計算函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)：計算函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)的方法主要有以下幾種：-如果$a$是$f(z)$的一級極點，那么$\text{Res}(f,a)=\lim_{z\toa}(z-a)f(z)$。-如果$a$是$f(z)$的$m$級極點，那么$\text{Res}(f,a)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\toa}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-a)^mf(z)\right]$。-如果$a$是$f(z)$的可去奇點，那么$\text{Res}(f,a)=0$。3.留數(shù)定理在計算實積分中的應用：留數(shù)定理可以用于計算某些實積分，特別是那些涉及三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的積分。例如，可以通過將積分路徑擴展到復平面上的閉合曲線，并利用留數(shù)定理來計算實積分。具體步驟包括：-選擇合適的閉合曲線，通常是一個半圓弧加上實軸上的線段。-計算函數(shù)在閉合曲線內(nèi)部孤立奇點處的留數(shù)。-利用留數(shù)定理計算圍道積分。-通過適當?shù)臉O限操作得到所需的實積分。五、應用題1.計算積分$\int_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz$：函數(shù)$f(z)=\frac{e^z}{z(z+1)}$在$z=0$和$z=-1$處有孤立奇點。由于積分路徑$|z|=1$包含$z=0$，但不包含$z=-1$，因此只需要計算$z=0$處的留數(shù)。\[\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}z\cdot\frac{e^z}{z(z+1)}=\lim_{z\to0}\frac{e^z}{z+1}=1\]根據(jù)留數(shù)定理：\[\int_{|z|=1}\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz=2\pii\cdot1=2\pii\]2.計算積分$\int_{|z|=2\pi}\frac{\sinz}{z(z-1)}\,dz$：函數(shù)$f(z)=\frac{\sinz}{z(z-1)}$在$z=0$和$z=1$處有孤立奇點。由于積分路徑$|z|=2\pi$包含$z=0$和$z=1$，因此需要計算這兩個點處的留數(shù)。\[\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}z\cdot\frac{\sinz}{z(z-1)}=\lim_{z\to