2026復(fù)變函數(shù)微分應(yīng)用試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)微分應(yīng)用試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。3.如果函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?的鄰域內(nèi)也解析。4.柯西積分定理要求積分路徑必須封閉。5.柯西積分公式適用于任何解析函數(shù)。6.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足拉普拉斯方程。7.如果函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中只有正冪項(xiàng)。8.留數(shù)定理只適用于封閉曲線積分。9.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂。10.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中必有負(fù)冪項(xiàng)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)是（）。A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z3項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1B.0C.1/6D.1/33.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)是（）。A.-1B.1C.-1/2D.1/24.柯西積分公式適用于函數(shù)f(z)在（）內(nèi)解析。A.單連通區(qū)域B.多連通區(qū)域C.任意區(qū)域D.僅在原點(diǎn)解析5.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.-1/2iB.1/2iC.-iD.i6.解析函數(shù)的實(shí)部滿足拉普拉斯方程，方程為（）。A.?2u/?x2+?2u/?y2=0B.?2u/?x2-?2u/?y2=0C.?2u/?x?y=0D.?2u/?x2+?2u/?y2=17.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z2項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.0B.1C.-1/6D.1/68.留數(shù)定理用于計(jì)算積分時(shí)，要求積分路徑（）。A.必須封閉B.可以不封閉C.必須穿過(guò)所有奇點(diǎn)D.必須是直線9.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中，z項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.0B.2C.-2D.110.解析函數(shù)的虛部滿足拉普拉斯方程，方程為（）。A.?2v/?x2+?2v/?y2=0B.?2v/?x2-?2v/?y2=0C.?2v/?x?y=0D.?2v/?x2+?2v/?y2=1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2+1B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=e^z2.柯西積分定理的條件包括（）。A.f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析B.γ是D內(nèi)的一條封閉曲線C.f(z)在γ上連續(xù)D.γ的方向?yàn)槟鏁r(shí)針3.下列關(guān)于留數(shù)的說(shuō)法正確的有（）。A.留數(shù)定理可用于計(jì)算實(shí)積分B.留數(shù)是函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的積分值C.留數(shù)只適用于一階極點(diǎn)D.留數(shù)可用于計(jì)算封閉曲線積分4.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的性質(zhì)有（）。A.滿足柯西-黎曼方程B.滿足拉普拉斯方程C.滿足歐拉公式D.滿足導(dǎo)數(shù)連續(xù)性5.泰勒級(jí)數(shù)展開的條件包括（）。A.函數(shù)在展開點(diǎn)鄰域內(nèi)解析B.函數(shù)在展開點(diǎn)鄰域內(nèi)可導(dǎo)C.函數(shù)在展開點(diǎn)鄰域內(nèi)收斂D.展開點(diǎn)必須是原點(diǎn)6.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)的說(shuō)法正確的有（）。A.洛朗級(jí)數(shù)適用于解析函數(shù)在奇點(diǎn)鄰域的展開B.洛朗級(jí)數(shù)包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)C.洛朗級(jí)數(shù)只適用于孤立奇點(diǎn)D.洛朗級(jí)數(shù)不適用于解析函數(shù)7.留數(shù)定理的應(yīng)用包括（）。A.計(jì)算封閉曲線積分B.計(jì)算實(shí)積分C.求解微分方程D.分析函數(shù)性質(zhì)8.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的關(guān)系包括（）。A.u(x,y)=v(y,x)B.u(x,y)=-v(y,x)C.?u/?x=?v/?yD.?u/?y=-?v/?x9.下列關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)法正確的有（）。A.柯西積分公式適用于解析函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)的積分B.柯西積分公式適用于解析函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)的積分C.柯西積分公式要求積分路徑封閉D.柯西積分公式只適用于一階極點(diǎn)10.解析函數(shù)的性質(zhì)包括（）。A.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)B.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足拉普拉斯方程C.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂D.解析函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)收斂四、案例分析（每題6分，共18分）1.計(jì)算函數(shù)f(z)=1/(z2-1)在z=2處的留數(shù)，并利用留數(shù)定理計(jì)算積分∮_C1/(z2-1)dz，其中C是圍繞z=2的封閉曲線。2.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處有一階極點(diǎn)，求其在z=i處的留數(shù)，并利用留數(shù)定理計(jì)算積分∮_Cz/(z2+1)dz，其中C是圍繞z=i的封閉曲線。3.函數(shù)f(z)=e^z/(z-1)在z=1處有一階極點(diǎn)，求其在z=1處的留數(shù)，并利用留數(shù)定理計(jì)算積分∮_Ce^z/(z-1)dz，其中C是圍繞z=1的封閉曲線。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的性質(zhì)，并舉例說(shuō)明如何利用這些性質(zhì)求解實(shí)際問(wèn)題。2.論述柯西積分定理和柯西積分公式的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明如何利用這些定理和公式計(jì)算積分。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.×（柯西積分公式要求f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且積分路徑包含所有奇點(diǎn)）6.√7.×（洛朗級(jí)數(shù)包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)）8.√9.√10.√二、單選題1.B2.C3.A4.A5.B6.A7.A8.A9.B10.A三、多選題1.A,C,D2.A,B,C,D3.A,B,D4.A,B,D5.A,B,C6.A,B,C7.A,B,D8.C,D9.A,C10.A,B,C,D四、案例分析1.留數(shù)計(jì)算：f(z)=1/(z2-1)=1/((z-1)(z+1))，z=2處為極點(diǎn)，留數(shù)Res(f,2)=lim_(z→2)(z-2)1/((z-1)(z+1))=1/9。積分計(jì)算：∮_C1/(z2-1)dz=2πiRes(f,2)=2πi1/9=2πi/9。2.留數(shù)計(jì)算：f(z)=z/(z2+1)，z=i處為極點(diǎn)，留數(shù)Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)z/(z2+1)=lim_(z→i)z/(z+i)=i/(2i)=1/2。積分計(jì)算：∮_Cz/(z2+1)dz=2πiRes(f,i)=2πi1/2=πi。3.留數(shù)計(jì)算：f(z)=e^z/(z-1)，z=1處為極點(diǎn)，留數(shù)Res(f,1)=lim_(z→1)(z-1)e^z/(z-1)=e^1=e。積分計(jì)算：∮_Ce^z/(z-1)dz=2πiRes(f,1)=2πie=2πie。五、論述題1.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的性質(zhì)：-柯西-黎曼方程：若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則u和v滿足柯西-黎曼方程：?u/?x=?v/?y，?u/?y=-?v/?x。-拉普拉斯方程：u和v滿足拉普拉斯方程：?2u/?x2+?2u/?y2=0，?2v/?x2+?2v/?y2=0。-共軛關(guān)系：u和v互為共軛調(diào)和函數(shù)。舉例：f(z)=z2=x2-y2+2xyi，u(x,y)=x2-y2，v(x,y)=2xy，滿足柯西-黎曼方程：?u/?x=2x=?v/?y，?u/?y=-2y=-?v/?x，且u和v滿足拉普拉斯方程。2.柯西積分定理和柯西積分公式的應(yīng)用：-柯西積分定理：若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，且γ是D內(nèi)的一條封閉曲線，則∮_γf(z)dz=0。-柯西積分公式：若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且z?∈D，γ是D內(nèi)圍繞z?的一條封閉曲線，則f(z?)=(1/