哈爾濱市四校2026屆高三上學期期中聯(lián)考數學試卷

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．的虛部為()A. B. C. D.2．根據分類變量x與y的觀測數據,計算得到.依據的獨立性檢驗,結論為().A.變量x與y不獨立B.變量x與y不獨立,這個結論犯錯誤的概率不超過C.變量x與y獨立D.變量x與y獨立,這個結論犯錯誤的概率不超過3．已知向量,,若,則的值為()A. B. C. D.4．已知,且,則“”是“函數在R上單調遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知非零向量滿足,,則()A. B.20 C. D.6．已知函數，則不等式的解集為()A. B. C. D.7．設橢圓的左、右焦點分別為,上頂點為A,直線交M于另一點B,的內切圓與相切于點C,若,則橢圓M的離心率為()A. B. C. D.8．已知,且,則下列各式正確的是()A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9．某校調查了100位70歲以內的教職工（含離退休）的年齡情況,分成了,,,,五組,并制作了如圖所示的頻率分布直方圖,若同一組中的數據用該組區(qū)間的中間值代表,則下列結論正確的是()A.B.這100位教職工中年齡在的人數為55C.這100位教職工年齡的眾數估計值為45D.這100位教職工年齡的中位數的估計值為42.510．已知直線與圓恒有兩個不同的公共點,則下列敘述正確的有()A.直線l過定點B.半徑的取值范圍是C.當時,線段長的最小值為D.當時,圓O上到直線l的距離為2的點恰好有三個,則11．已知二面角的大小為,,,且,,則()A.是銳角三角形 B.異面直線AD與BC不可能垂直C.線段AB長度的取值范圍是 D.四面體體積的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．設等差數列的前n項和為,若,,則________.13．宜春某商場組織抽獎活動，在一個不透明的箱子中裝有紅、黃、白、黑4個形狀、大小相同的小球，規(guī)定每人可以有放回地先后兩次任意摸取小球（每次至少摸取1個小球），其中紅黃白各計1分，黑計3分.若兩次摸到的小球記錄的得分的總分為7分，且湊齊四種顏色，則獲得一等獎，那么獲一等獎的概率為________.14．若內一點P滿足,則稱P為的布洛卡點,為布洛卡角.三角形的布洛卡點是法國數學家和數學教育家克雷爾于1816年首次發(fā)現,1875年被法國軍官布洛卡重新發(fā)現,并用他的名字命名.若的三邊長分別為,則的“布洛卡角”的正切值為________.四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）已知數列的前n項和為,且,.（1）求數列的通項公式;（2）設,求數列的前n項和.16．（15分）記的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知外接圓半徑為R,且.(1)求C.(2)若,,求的面積.17．（15分）《齊魯文化大會》是山東衛(wèi)視推出的一檔以“齊魯文化”為主題,全民參與的大型文化綜藝節(jié)目,深受人們的喜愛,其中有一個“杏壇論道”的答題環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)規(guī)定：主持人每公布一題,甲、乙兩人就立刻搶答,先搶答者,若答對,可得1分；若答錯,則對手得1分；誰先得3分,誰就能在“杏壇論道”環(huán)節(jié)勝出.假設兩人每一次搶到題的概率均為,答對每道題的概率分別為,,且兩人答題正確與否互不影響.(1)求“杏壇論道”比賽開始后,甲先得1分的概率；(2)“杏壇論道”比賽進行中,甲、乙暫時各得1分,兩人繼續(xù)搶答了X題后“杏壇論道”環(huán)節(jié)結束,求X的分布列及數學期望；(3)“杏壇論道”比賽開始后,若乙先得2分,則乙獲勝的概率比甲大嗎?請說明理由.18．（17分）如圖,已知四棱錐中,底面為矩形,平面,.(1)求證∶當時,平面平面(2)當時,①求二面角的大?。虎谇笈c平面成角的正弦值.19．（17分）已知函數（1）討論函數的單調性（2）若函數的極大值為.=1\*GB3①求實數a的值;=2\*GB3②令,實數.求證:有兩個極小值點,且;

哈爾濱市四校2026屆高三上學期期中聯(lián)考數學參考答案題號1234567891011選項ACBDABDCABACDBC12．答案：5013．答案：14．答案：15．答案：（1）;（2）.解析：（1）由題設且,則,即,又,故是首項為1,公比為2的等比數列,所以;（2）由（1）得,所以.16．答案：(1)(2).解析：(1)因為,且,所以,所以,由余弦定理,得,又,所以；(2)因為,所以,由余弦定理得,解得,所以17．答案：(1)(2)分布列見解析,(3)乙獲勝的概率比甲大,理由見解析解析：(1)設事件“甲搶到題”,“甲搶到題并答對”,“甲搶到題并答錯”,“乙搶到題”,“乙搶到題并答對”,“乙搶到題并答錯”,“甲先得1分”,則,所以.(2)繼續(xù)進行的比賽為獨立重復試驗,且甲得1分的概率為,則乙得1分的概率為,隨機變量X的所有可能取值為2,3,則,,所以X的分布列為X23P所以期望為.(3)乙獲勝的概率比甲大,理由如下：設事件“乙先得2分”,“乙獲勝”,由(2)可得,事件包括三種情況,分別為乙先得2分的情況下,乙再得1分,乙先得2分的情況下,甲得1分乙再得1分,乙先得2分的情況下,甲連續(xù)得2分乙再得1分,所以,所以,故乙獲勝的概率比甲大.18．答案：(1)證明見解析；(2)①；②.解析：(1)因為平面,且平面,所以,又因為底面為矩形,,所以底面為正方形,即,又因為,平面,所以平面,又因為平面,所以平面平面;(2)①如圖建立空間直角坐標系,由,可得：則,設平面的法向量為,則,即,令,則,所以,設平面的法向量為,則,即,令,則,所以,由,因為,所以,由圖可知二面角是銳角,則二面角的大小為；②設與平面成的角為,則,即與平面成角的正弦值為.19．答案：（1）見解析（2）見解析解析：（1）因為函數的定義域為,且,當時恒成立,在遞增當時,在上遞增,在上遞減（2）①由（1）知函數的極大值為,解得;綜上所述:.=2\*GB3②,則,可知的定義域為,構造,則,令,解得;令,解得;可知在內單調遞減,在內單調遞增,則,且當x趨近于0或時,趨近于,可知在內值域為,令,可得,則,且,令,解