第1頁/共6頁深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)滿分：150分，時間：150分鐘.1.過點(diǎn)P(3,-23)且傾斜角為135。的直線方程為()A.3x-y-4·=0B.x-y-C.x+y-D.x+y+2.若直線l1:ax+(a+2)y+2=0與直線l2:x+ay-2=0平行，則a=()A.2B.-1C.2或-1D.-2或13.點(diǎn)M(3,-2,1)關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(-3,-2,1)B.(-3,2,-1)C.(-3,-2,-1)D.(-3,2,1)4.對于空間任意一點(diǎn)，則A，B，C，P四點(diǎn)A.一定不共面B.一定共面C不一定共面D.與O點(diǎn)位置有關(guān).5.已知點(diǎn)A(-3,1)，B(1,-3)，則以線段AB為直徑的圓的方程為()A.(x-1)2+(y-1)2=8B.(x+1)2+(y+1)2=8C.(x-1)2+(y-1)2=32D.(x+1)2+(y+1)2=326.設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.B.第2頁/共6頁C.D.7.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為體對角線B1D上一點(diǎn)，且DP=2PB1，則異面直線AD1和CP所成角的余弦值為()45D.45D.C.A.0B.C.58.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點(diǎn)M，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于P,Q兩點(diǎn)，若△MPQ面積的最大值為28，則橢圓C的長軸長為()A.5B.8C.4二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每個小題合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.10.已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是()C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<t<D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則t>4第3頁/共6頁B.若m=2，則圓C1,C2的公共弦所在的直線方程是4x一14y+9=0D.過點(diǎn)(3,2)作圓C2的切線l，則l的方程是x=3或7x一24y+27=0下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)P為BD1中點(diǎn)時，上APC為銳角B.存在點(diǎn)P，使得BD1丄平面APC C.AP+PC的最小值2S5D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.14.經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是.15.若過點(diǎn)(1,2)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x一y一3=第4頁/共6頁22面積是.（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD（2）求BM的長.（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)P(x,y)為（1）所求軌跡上任意一點(diǎn)，求x2+y2的最大值.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程.第5頁/共6頁21.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD丄底面ABCD,E,F分別是PC,AD中點(diǎn).（1）求證：DE//平面PFB；（2）若PB與平面ABCD所成角為45。，求平面PFB與平面EDB夾角的余弦值.22.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且PF1+PF2=4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，求AM.AN的最大值.第1頁/共20頁深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中園2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)滿分：150分，時間：150分鐘.符合題目要求的.1.過點(diǎn)P且傾斜角為135。的直線方程為()A.3xy4B.xy【答案】D【解析】【分析】由傾斜角為135。求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線方程故選：DA.2B.1C.2或1D.2或1【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行得系數(shù)間的關(guān)系，解之即可.故選：A.3.點(diǎn)M(3,一2,1)關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.第2頁/共20頁C.(-3,-2,-1)D.(-3,2,1)【答案】A【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可知，點(diǎn)M(3,-2,1)關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,-2,1).故選：A4.對于空間任意一點(diǎn)，則A，B，C，P四點(diǎn)A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.與O點(diǎn)位置有關(guān)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間共面向量的定義進(jìn)行判斷即可.故選：B5.已知點(diǎn)A(-3,1)，B(1,-3)，則以線段AB為直徑的圓的方程為()A.(x-1)2+(y-1)2=8B.(x+1)2+(y+1)2=8C.(x-1)2+(y-1)2=32D.(x+1)2+(y+1)2=32【答案】B【解析】【分析】根據(jù)AB為直徑得到圓心坐標(biāo)和半徑，然后求圓的方程即可.【詳解】由題意得圓心為，即，半徑r=所以圓的方程為(x+1)2+(y+1)2=8.故選：B第3頁/共20頁6.設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.B.2222C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線中a,b,c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線定義可解.【詳解】在橢圓C1中，由題知解得，所以橢圓C1的焦點(diǎn)為F1(-5,0F因?yàn)榍€C2上的點(diǎn)到F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于8F所以曲線C2是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線，-42故C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.7.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為體對角線B1D上一點(diǎn)，且DP=2PB1，則異面直線AD1和CP所成角的余弦值為() A.0B.C.A.0B.C.D.【答案】A第4頁/共20頁【解析】【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為3，利用空間向量法可求得異面直線AD1和CP所成角的余弦值.【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因此，異面直線AD1和CP所成角的余弦值為0.故選：A.8.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我22們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點(diǎn)M，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于P,Q兩點(diǎn)，若△MPQ面積的最大值為28，則橢圓C的長軸長為()A.5B.8C.4【答案】B【解析】【分析】由勾股定理和基本不等式可得面積最大值，然后可得答案.第5頁/共20頁因?yàn)镸P丄MQ，所以PQ為蒙日圓的直徑，故選：B.二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每個小題合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.【答案】CD【解析】【分析】A由向量模長、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及夾角公式求向量a,b的夾角；B、C由向量線性關(guān)系、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求數(shù)量積、判斷位置關(guān)系判斷；D2+02設(shè)向量,的夾角為θ,則cosθ=第6頁/共20頁因?yàn)椋瑒tθ=錯..，對.故選：CD10.已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是()B.當(dāng)t>4或t<1時，曲線C是雙曲線C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<t<D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則t>4【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項(xiàng)判斷作答.故選：BC.B.若m=2，則圓C1,C2的公共弦所在的直線方程是4x—14y+9=0D.過點(diǎn)(3,2)作圓C2的切線l，則l的方程是x=3或7x—24y+27=0【答案】BCD【解析】第7頁/共20頁【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓的內(nèi)部解不等式1+1+2m-10+m2<0即可判斷A錯誤；將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程可知B正確；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知C正確；對直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由點(diǎn)到直線距離公式即可得D正確.【詳解】對于A，由點(diǎn)(1,1)在圓C1的內(nèi)部，得1+1+2m-10+m2<0，解得-4<m<2，故A錯誤；對于B，若m=2，則圓C1:x2+y2+4x-10y+4=0，將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是4x-14y+9=0，故B正確；對于C，圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+(y-5)2=25，圓心為C1(-m,5)，半徑r1=5，圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+2)2=9，圓心為C2(0,-2)，半徑r2=3，C2若圓C1,C2C2對于D，當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程是x=3，圓心C2到l的距離d=3=r2，滿足要求，當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k(x-3)+2，圓心C2到l的距離解得，所以l的方程是7x-24y+27=0，故D正確.故選：BCD.12.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，動點(diǎn)P在體對角線BD1上（含端點(diǎn)則下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)P為BD1中點(diǎn)時，上APC為銳角第8頁/共20頁B.存在點(diǎn)P，使得BD1丄平面APC C.AP+PC的最小值25D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為【答案】ABD【解析】【分析】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BP=λBD1(0≤λ≤1)，當(dāng)P為BD1中點(diǎn)時，根據(jù)則有，求出λ,即可判斷B；當(dāng)BD1丄即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)B到平面APC的距離，分析即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，2)，(0,1,0)+(λ,λ,2λ)=(λ,1λ,2λ)，λ,λ,2λ)=(1λ,λ,2λ)，對于A，當(dāng)P為BD1中點(diǎn)時，(22,(22,(22,(22,所以上APC為銳角，故A正確；第9頁/共20頁故存在點(diǎn)P，使得BD1丄平面APC，故B正確；對于C，當(dāng)BD1由B得，此時λ= 即AP+PC的最小值為，故C錯誤；設(shè)平面APC的法向量=(x,y,z)，則有可取2λ,2λ,2λ1)，則點(diǎn)B到平面APC的距離為λ+1，當(dāng)λ=0時，點(diǎn)B到平面APC的距離為0，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以點(diǎn)B到平面APC的最大距離為，故D正確.故選：ABD.第10頁/共20頁【點(diǎn)睛】三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 2①.2②.x2-【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程可解得a=1,b=即可求出離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為由焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0)可得a2+b2=4，一條漸近線的方程為y=x可得解得a=1,b=所以離心率雙曲線方程為.2故答案為：2；x2-14.經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是.【答案】2x-y=0和x+2y-5=0；第11頁/共20頁【解析】【分析】根據(jù)直線過原點(diǎn)和不經(jīng)過原點(diǎn)兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.【詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，則設(shè)直線方程為y=kx，將P(1,2)代入可得2x-y=0，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為故答案為：2x-y=0和x+2y-5=0；15.若過點(diǎn)(1,2)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為.【答案】【解析】【分析】由待定系數(shù)法求解a=1或a=5，即可根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求解.【詳解】由題知，圓心在第一象限，設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=a2，圓心(a,a)到直線距離為故答案為：22面積是. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理等知識求得PF1,F1F2，從而求得△PF1F2的面積.第12頁/共20頁 故答案為：.（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；【解析】【分析】（1）根據(jù)動點(diǎn)P滿足的幾何性質(zhì)和橢圓的定義可得動點(diǎn)的軌跡方程；O和橢圓定義得關(guān)于x0,y0的方程組，從而可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo).【小問1詳解】/PF+/由橢圓的定義可得P的軌跡為橢圓，其長軸長2a=10，故又因?yàn)镕(4,0)，F(xiàn)/(—4,0)，所以橢圓焦點(diǎn)在x軸上，半焦距c=4，故b=3，【小問2詳解】第13頁/共20頁由（1）知，F(xiàn)、F是橢圓的兩個焦點(diǎn)，設(shè)P(x0,y0)，所以FF2=PF2+PF2，即PF2+PF2=64，又S△PFF=y0FF=9，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±.18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD（2）求BM的長.【解析】行運(yùn)算.【小問1詳解】第14頁/共20頁)【小問2詳解】(222,4442222=2+(222,44422219.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)，端點(diǎn)A在圓C:(x+1)2+y2=4上運(yùn)動.（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)P(x,y)為（1）所求軌跡上任意一點(diǎn)，求x2+y2的最大值.【解析】【分析】（1）設(shè)M(x,y)，A(x1,y1)，用x,y表示出x1,y1，再把(x1,y1)代入已知圓方程化簡可得；（2）利用·x2+y2表示P到原點(diǎn)距離這個幾何意義求解：由P在圓上，求出P到圓心距離，加上半徑得距離的最大值，平方后可得結(jié)論.【小問1詳解】[x=2x-1設(shè)M(x,y)，A(x1,y1)，因?yàn)镸是AB中點(diǎn)，所以[x=2x-1ly1=2y-3所以(x1+1)2+y=4，即(2x-1+1)2+(2y-3)2=4，所以M的軌跡方程是x2+(y-)2=1；xx+y232由（1）知P在圓x+(y-2)=1，設(shè)其圓心為N(0,232ON=，因此222x+y的最大值是2+1=2，從而x+y的最大值是20.已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，邊AB上的高線CH所在的方程為x-y-1=0，角B的角平分線交AC邊第15頁/共20頁（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)B(x0,y0)，由AB丄CH，BM所在的直線方程建立方程求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求A