第1頁(yè)/共6頁(yè)深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)科試卷A.2B.－2C.D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是()3.雙曲線x2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則其漸近線方程為()(1,1,1)為平面α的一個(gè)法向量，A(1,0,0)為α內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)D(1,1,2)到平面α的距離為A.B.C.D.5.阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，△PAB面積的最大值是()24A.4B.2C.D.–→的第2頁(yè)/共6頁(yè)A.14B.17C.20D.237.已知點(diǎn)A(3,-1),B(5,-2)，且點(diǎn)P在直線x+y=0上，若使PA+PB取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為A.C.(-2,2)D.(2,-2)8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線分別與x軸正半軸和橢圓交于點(diǎn)M，N，若–M A.B.C.D.A.B.C.D.2223全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選A.l的一個(gè)方向向量為=(|-,1)|B.l在x軸上的截距等于2 (62,3:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2+2x-4y=0的交點(diǎn)為A，B，則有()A.公共弦AB所在直線方程為x-y=0B.公共弦AB的長(zhǎng)為C.線段AB中垂線方程為x+y-1=0D.P為圓O2上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為+111.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，P為雙A.C的離心率為2B.C的漸近線方程為x±·第3頁(yè)/共6頁(yè)C.PM平分上點(diǎn)Q在橢圓C上，則下列說(shuō)法中正確的有()A.橢圓C的離心率的取值范圍是 B.已知E(0,-2)，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，QEi的最大值為3D.D.的最小值為1QFQF.QF213.已知拋物線C：y2=4x，C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，且FM=6，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是.14.在第一象限的點(diǎn)A(1,a)到直線4x+3y-1=0的距離為3，則a的值為.15.已知雙曲線-y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3)，則PQ+PF1的最小值為.16.對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4，若動(dòng)點(diǎn)P在圓C上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為；第4頁(yè)/共6頁(yè)（2）求AE的長(zhǎng).（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程.19.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1丄平面ABC，AA1=3，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D是棱BC的中點(diǎn).（1）證明：A1C∥平面AB1D.（2）求平面A1B1C1與平面AB1D夾角的余弦值.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為短軸頂點(diǎn)分別為M、N，四邊形MF1NF2的面積為32.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1)，求直線l的方程.21.如圖，過(guò)點(diǎn)E（1，0）的直線與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C（2，0）且與AB垂直的直線與圓O的另一交點(diǎn)為D.（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，-2）時(shí)，求直線CD的方程；第5頁(yè)/共6頁(yè)（2）求四邊形ACBD面積S的最大值.22.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線方程為y=±2x.直線l過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與C交于M，N兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的方程；（2）在y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得QM.QN為定值？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.第1頁(yè)/共20頁(yè)深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)科試卷A.2B.－2C.-D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的一般式方程可確定直線的斜率，結(jié)合兩直線平行的條件，可得答案.【詳解】由題意知l1，l2的斜率分別是m，由l1與l2平行，得m=-經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：C.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是()A.B.y=2C.y=D.y=-2【答案】B【解析】【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出.可化為x2=-8y，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y=2.故選：B.23.雙曲線-x2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為4，則其漸近線方程為()【答案】D第2頁(yè)/共20頁(yè)【解析】【分析】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即得解.雙曲線x2=1的漸近線方程為x2=0，即2x±y=0.故選：D.(1,1,1)為平面α的一個(gè)法向量，A(1,0,0)為α內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)D(1,1,2)到平面α的距離為 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面的向量求法，列式計(jì)算作答.所以點(diǎn)D(1,1,2)到平面α的距離.故選：A5.阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，△PAB面積的最大值是(A.4B.2)C.34D.3【答案】D【解析】利用求出圓的方程和半徑，進(jìn)而利用圓的范圍可求出三角形面積的最大值.設(shè)P，因?yàn)锳，且第3頁(yè)/共20頁(yè)即圓的方程為2+y2=半徑為；故選：D.6.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足P--FA.14B.17C.20D.23【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程和橢圓的定義求出|F1F2|,|PF1|+|PF2|，再通過(guò)余弦定理和平面向量數(shù)量積的定義即可求得答案.b2故選：D.7.已知點(diǎn)A(3,1),B(5,2)，且點(diǎn)P在直線x+y=0上，若使PA+PB取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為第4頁(yè)/共20頁(yè)B.C.(-2,2)D.(2,-2)【答案】A【解析】【分析】首先求出A(3,-1)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C(1,-3)，再求出直線BC，與直線x+y=0求交點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)锳(3,-1)代入直線x+y=0得到3-1>0，所以A,B在直線x+y=0的同側(cè).設(shè)A(3,-1)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(m,n)，故選：A8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線分別與x軸正半軸和橢圓交于點(diǎn)M，N，若-M A.B.C.D. A.B.C.D.2223【答案】A【解析】【分析】第5頁(yè)/共20頁(yè)設(shè)出直線AN的方程與橢圓聯(lián)立求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)向量關(guān)系可得yN=—從而求得離心率；,:yA=3yN→yN=故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，計(jì)算量較大.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選第6頁(yè)/共20頁(yè)A.l的一個(gè)方向向量為B.l在x軸上的截距等于【答案】ACD【解析】【分析】求出直線方程，由直線方程直接判斷D，由直線方程得一法向量，由法向量與方向向量的關(guān)系判斷A，直線方程中令y=0，解出x為橫截距，判斷B，由兩直線垂直的關(guān)系判斷C.【詳解】由題意直線l的斜率為k=tan120。=-直線方程為y-2= 直線的一個(gè)法向量是(i3,1)，而因此是直線l的一個(gè)方向向量，A正確；故選：ACD.:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2+2x-4y=0的交點(diǎn)為A，B，則有()A.公共弦AB所在直線方程為x-y=0 B.公共弦AB的長(zhǎng)為C.線段AB中垂線方程為x+y-1=0D.P為圓O2上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為+1【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，兩圓方程作差即可求出公共弦方程；B選項(xiàng)，求出一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計(jì)算即可；C選項(xiàng)，線段AB的中垂線即為兩圓圓心的連線，利用點(diǎn)斜式求解即可；第7頁(yè)/共20頁(yè)D選項(xiàng)，求出O2到公共弦的距離，加上半徑即可求出最值.【詳解】因?yàn)閳AO1：x2+y2-2x=0和圓O2：x2+y2+2x-4y=0的交點(diǎn)為A，B，作差得4x-4y=0，所以圓O1與圓O2的公共弦AB所在的直線方程為x-y=0，故A正確；因?yàn)閳A心O1(1,0)，O2(-1,2)所以線段AB的中垂線的方程為y-0=-(x-1)，即x+y-1=0，故C正確； 圓O2：x2+y2+2x-4y=0的圓心為O2(-1,2)，半徑r2=·5，圓心O2(-1,2)到直線x-y=0的距離2，所以P到直線AB的距離的最大值為+i5，圓O1與圓O2的公共弦AB的長(zhǎng)為故選:AC.11.已知雙曲線C:-=1(a>0 A.C的離心率為2B.C的漸近線方程為x±·3y=0C.PM平分L【答案】ACD【解析】【分析】在直角三角形PF1F2中，利用tanLPF1F2=列出關(guān)于a、b、c的齊次式求出離心率，從而判斷A；根據(jù)離心率求出漸近線方程，從而判斷B；根據(jù)PF1PFFM1FMPF2PFFM2FM是否相等即可判斷PM是否平分LF1PF2，而判斷D.【詳解】由PF2第8頁(yè)/共20頁(yè)iPF根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PM平分上F1PFF2AFF2故選：ACD.第9頁(yè)/共20頁(yè)【點(diǎn)睛】本題主要考查與雙曲線的焦半徑和焦點(diǎn)三角形有關(guān)的性質(zhì)，考察構(gòu)造關(guān)于a、b、c的齊次式求離心率的方法，考察利用角平分線的性質(zhì)，考察了向量的線性運(yùn)算，解題時(shí)需數(shù)形結(jié)合，合理運(yùn)用圖形的幾何關(guān)系.點(diǎn)Q在橢圓C上，則下列說(shuō)法中正確的有()A.橢圓C的離心率的取值范圍是 B.已知E(0,-2)，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)，QEi的最大值為3C.存在點(diǎn)Q使得D.的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】易得a=2，再根據(jù)點(diǎn)P(,1)在橢圓C外，可得從而可求得b2的范圍，再根據(jù)離心率公式即可判斷A；根據(jù)離心率求出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)Q(x,y)，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合橢圓的有界性即即可判斷C；根據(jù)i)結(jié)合基本不等式即可判斷第10頁(yè)/共20頁(yè)D.【詳解】解：根據(jù)題意可知a=2，則橢圓方程為在橢圓C外，對(duì)于B，當(dāng)橢圓C的離心率為時(shí)所以橢圓方程為+y2=1，設(shè)點(diǎn)Q(x,y)，對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)LF1QF2取得最大值，此時(shí)QF=QF2FF2即當(dāng)點(diǎn)Q位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)LF1QF2為鈍角，所以存在點(diǎn)Q使得LF1QF2為直角，QF+QF2第11頁(yè)/共20頁(yè)所以的最小值為1，故D正確.故選：ACD.13.已知拋物線C：y2=4x，C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，且FM=6，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是.【答案】5【解析】【分析】利用焦半徑公式即可求解.故答案為：5【答案】4【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離代入即可求出答案.第12頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】A(1,a)在一象限，所以a>0，)到直線4x+3y-1=0的距離為3，則故答案為：4.15.已知雙曲線-y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3)，則PQ+PF1的最小值為.【解析】 【分析】利用雙曲線定義可將PQ+PF1轉(zhuǎn)化為PQ+PF2+2·3，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可確定最小值為 三點(diǎn)共線時(shí)的取值QF2+2·3，由此可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線定義知:PQ+PF1=PQ+PF2+2·3≥QF2+2·3（當(dāng)且僅當(dāng)P在線段QF2上時(shí)取等號(hào) 16.對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4，若動(dòng)點(diǎn)P在圓C上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為；【答案】3【解析】第13頁(yè)/共20頁(yè)【分析】根據(jù)題意確定圓心和半徑，即可求得點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值.由對(duì)任意實(shí)數(shù)m直線x＋my－3m－4＝0被圓C截得的線段長(zhǎng)恒為4可知：直線過(guò)圓的圓心，即圓心為定點(diǎn)（4,3且圓的直徑為4，故圓上動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最小值為：5-2=3，故答案為：3.BCD（2）求AE的長(zhǎng).【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.（2）結(jié)合（1）利用平方的方法，結(jié)合向量運(yùn)算求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】第14頁(yè)/共20頁(yè)（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程.【解析】【分析】（1）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可求出所求；（2）分類(lèi)討論截距是否為0的情況，再利用截距式即可求得所求.【小問(wèn)1詳解】線段AB的中點(diǎn)為D(1,6)，【小問(wèn)2詳解】設(shè)兩坐標(biāo)軸上的截距為a,b，若a=b=0，則直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斜率k=直線方程為x，即5x+3y=0；是棱BC的中點(diǎn).第15頁(yè)/共20頁(yè)（1）證明：A1C∥平面AB1D.（2）求平面A1B1C1與平面AB1D夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，【小問(wèn)1詳解】證明：連接A1B，記A1B∩AB1=E，連接DE.由三棱柱的定義可知四邊形ABB1A1是平行四邊形，則E為A1B的中點(diǎn).因?yàn)镈是棱BC的中點(diǎn)，所以DE∥A1C.因?yàn)镈E平面AB1D，A1C丈平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)锳B=AC，D是棱BC的中點(diǎn)，所以AD丄BC.丄平面ABC，AD平面ABC，所以BB1^AD.因?yàn)锽C平面B1BCC1，BB1平面B1BCC1，且BC∩BB1=B，所以AD丄平面B1BCC1.故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面AB1D的法向量=(x,y,z)，第16頁(yè)/共20頁(yè)則,令y=3，得則平面A1B1C1與平面AB1D夾角的余弦值cosθ=20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為短軸頂點(diǎn)分別為M、N，四邊形MF1NF2的面積為32.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,1)，求直線l的方程.2