第1頁/共1頁2025~2026學年度第一學期八校聯(lián)盟高二教學質(zhì)量檢測（一）數(shù)學注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應(yīng)位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，則事件“正面朝上”的概率和頻率分別是（）A.0.5，0.5 B.0.51，0.51 C.0.49，0.49 D.0.5，0.49【答案】D【解析】【分析】根據(jù)頻率的計算方法以及概率的含義，即可求得答案.【詳解】拋一枚硬幣100次，有49次正面朝上，故“正面朝上”的頻率為，每次拋擲硬幣時，正面和反面向上的機會均等，故“正面朝上”的概率為0.5.故選：D2.如圖，在斜三棱柱中，為的中點，為靠近的三等分點，設(shè)，則用表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法運算得解.【詳解】故選：A3.在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，事件A表示“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)是5或6”，事件C表示“向上的點數(shù)小于5”，則下列說法正確的是（

）A.A與B是對立事件 B.B與C是對立事件C.A與C是互斥事件 D.A與B是互斥事件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用互斥事件和對立事件的概念，逐項分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A：當向上的點數(shù)為3時，事件A與B同時不發(fā)生，所以A錯誤；對于選項B：事件B與C不能同時發(fā)生，且事件B與C必有一個發(fā)生，所以B正確；對于選項C：當向上的點數(shù)是2或4時，事件A與事件C同時發(fā)生，所以C錯誤；對于選項D：當向上的點數(shù)是6時，事件A與事件B能同時發(fā)生，所以D錯誤.故選：B．4.在空間直角坐標系中，已知點，若點P與點A關(guān)于平面對稱，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先得到，從而得到，利用模長公式得到答案.【詳解】若點與點關(guān)于平面對稱，則其橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標和豎坐標相等．又，則，又，所以，.故選：A5.已知隨機事件中，與互斥，與對立，且，，則（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件對立事件的概率公式進行求解.【詳解】由于與對立，，則，又與互斥，，則.故選：B6.在三棱錐中，若，，，則（）A. B.1 C. D.0【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件根據(jù)數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】因為，，，所以故選：B7.已知是空間的一個單位正交基底，，則空間向量在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式計算即可.【詳解】因為是空間的一個單位正交基底，所以，，則，，所以空間向量在方向上的投影向量為，故選：D8.如圖，某電子元件由A，B，C三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復測試，A，B，C三種部件不能正常工作的概率分別為，，，各個部件是否正常工作相互獨立．A，B同時正常工作或C正常工作，則該電子元件能正常工作，那么該電子元件能正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對立事件及相互獨立事件的概率公式列式求解.【詳解】設(shè)上半部分正常工作為事件M，下半部分正常工作為事件N，該電子元件能正常工作為事件E，則，，而，因此，即該電子元件能正常工作的概率是.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了關(guān)注學生的健康成長，某校開展了一次高一年級的學生身高的抽樣調(diào)查，隨機抽取了100名學生，將他們的身高劃分成了A，B，C，D，E五個層次，根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計圖，則樣本中（）A.身高在A層次中的女生人數(shù)比男生多B.身高在B層次中的人數(shù)最多C.身高在D層次女生，占女生人數(shù)的比例超過15%D.身高在E層次中的男生有3人【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合已知和兩個統(tǒng)計圖表，對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】對于A，樣本中女生人數(shù)為人，則樣本中男生人數(shù)為60人，樣本中A層次身高的男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為4人，所以，樣本中A層次身高的女生少于男生，A錯誤；對于B，因為男生中B層次的比例最大，女生中B層次的人數(shù)最多，所以樣本中B層次身高人數(shù)最多，B正確；對于C，樣本中D層次身高的女生有8人，占女生人數(shù)的比例為，C正確；對于D，樣本中E層次身高的男生有人，D正確.故選：BCD10.如圖，在棱長為1的正四面體ABCD中，點M，N分別為棱BC，AD的中點，則（）A. B.C.側(cè)棱與底面所成角的余弦值為 D.直線AM與CN所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】把分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算分析，即可判斷ABD，連接，在上取點，使得，連接，則平面，解即可判斷C.【詳解】由正四面體ABCD，可得，對于A，，則，所以，故A正確；對于B，，則，故B錯誤；對于D，，則，，設(shè)直線所成角為，則，所以直線所成角的余弦值為，正弦值為,故D正確；對于C，連接，在上取點，使得，連接，則平面，則即為直線與平面所成角的平面角，在中，，則，由正四面體的結(jié)構(gòu)特征可得，直線與平面所成角的相等，所以側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，故C正確.故選：ACD11.下列說法正確的是（）A.已知事件，若，，且，則B.已知事件，若，且與相互獨立，則C.已知事件，若，，且，則與相互獨立D.某班對學生體重進行抽樣調(diào)查，抽取男生30人，平均數(shù)和方差分別為55，15；女生20人，平均數(shù)和方差分別為45，20，則總體樣本的方差為【答案】ACD【解析】【分析】對A，根據(jù)條件得，即可求解；對B和C，利用相互獨立事件的概率公式，再結(jié)合選項條件，即可求解；對D，利用分層抽樣方差計算公式，結(jié)合選項條件，直接求出方差，即可求解.【詳解】對選項A，因為，所以，則，所以選項A正確；對于選項B，因為與相互獨立，，則，又，所以選項B錯誤；對于選項C，因為，又，則，所以與相互獨立，故選項C正確，對于選項D，樣本總體平均數(shù)，總體樣本的方差為，所以選項D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現(xiàn)需要對某種疫苗進行檢測，從800支疫苗中抽取60支進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將800支按000，001，…，799進行編號，如果從隨機數(shù)表第7行第10列的數(shù)開始向右讀，依次讀取三位數(shù)，則得到的第4個樣本個體的編號是________.（下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【答案】704【解析】【分析】根據(jù)隨機數(shù)表讀取編號的方法，即可求得答案.【詳解】按照所給隨機數(shù)表，依次讀取的個體編號為157，245，506，704，所以得到的第4個樣本個體的編號是704.故答案為：70413.從裝有3個紅球和2個黑球的盒子中不放回地一次隨機抽取2個球（球除顏色外，其余完全相同），則至少抽到1個黑球的概率為______．【答案】##【解析】【分析】利用列舉法可得總樣本空間為10個，符合的有7個，利用古典概率即可求解.【詳解】設(shè)3個紅球分別為，2個黑球分別為，則試驗的樣本空間為，共10個樣本點，選出的2個球中至少有1個黑球包含的樣本點為，共7個，則所求概率為．故答案為：.14.已知向量以為基底時的坐標為，則以為基底時的坐標為______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)向量以為基底時的坐標，得到關(guān)于，，的表達式，然后設(shè)以為基底時的坐標為，得到關(guān)于，，的表達式，最后通過向量相等建立方程組，求解方程組得到，，的值，即為所求坐標.【詳解】因為向量以為基底時的坐標為，所以．設(shè)向量在新基底下的坐標為，則，即則，解得，所以以為基底時的坐標為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟，其中第15題和第19題為選做題，從選做1和選做2中任選一題作答.兩題都答題者以選做1為準.15.已知，，，，，求：（1）的值；（2）與夾角的余弦值.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）由向量平行及垂直的坐標表示即可求解；（2）由向量夾角的坐標公式即可求解.【小問1詳解】因為，所以，解得，，所以，又，則，即，得，于是，則.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)與的夾角為，所以，所以與夾角的余弦值為.16.在平面直角坐標系中，已知三點.（1）若直線過點C且與直線AB垂直，求直線的方程；（2）若直線經(jīng)過點A，且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，利用垂直關(guān)系求出直線的斜率及方程.（2）按截距是否為0分類，再結(jié)合直線截距式方程求解.【小問1詳解】由，得直線的斜率為，由，得直線的斜率為，所以直線的方程為，即【小問2詳解】設(shè)直線在上的截距為，當時，直線過原點及點，方程為，即；當時，直線的方程為，而直線過點，則，直線的方程為，所以直線的方程為或.17.為弘揚傳統(tǒng)文化，某校舉辦了傳統(tǒng)文化知識競賽，滿分為100分，所有參賽學生的成績都不低于50分．現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，按照，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計所抽取的50名學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求恰有1人成績在的概率．【答案】（1），平均數(shù)為分，中位數(shù)為分；（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值，將每個矩形的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（2）分析可知后三組中所抽取的人數(shù)分別為，將這人進行標記，列舉出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】由已知可得，解得，所抽取的名學生成績的平均數(shù)為（分），由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，所以，中位數(shù)，由題意可得，解得（分）.【小問2詳解】由（1）可知，后三組中的人數(shù)分別為，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為，記成績在這組的名學生分別為，成績在這組的名學生分別為，成績在這組的名學生為，則從中任抽取人的所有可能結(jié)果為、、、、、、、、、、、、、、，共種.其中恰有人成績在為、、、、、、、共種.故所求概率為.18.在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且，求：（1）的長；（2）直線和所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先設(shè)，，，得出，利用向量數(shù)量積運算律計算即得；（2）利用空間向量的夾角公式計算即可.【小問1詳解】如圖，連接，設(shè)，，，依題意，而，，所以.【小問2詳解】連接，，所以，又，，所以，故直線和所成角的余弦值為.19.甲?乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.約定先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）若甲先投，求投籃結(jié)束時，乙只投了2個球概率；（2）為使乙獲勝的概率更大，應(yīng)該由誰首次投籃？【答案】（1）（2）乙【解析】【分析】（1）設(shè)，分別表示甲、乙在第次投籃投中，記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件C，由互斥事件概率的加法公式和獨立事件的乘法公式計算可得答案；（2）由互斥事件概率的加法公式和獨立事件的乘法公式，分別求解甲和乙首次投籃時乙獲勝的概率，比較大小即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)，分別表示甲、乙在第次投籃投中，則，，記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件C，則．【小問2詳解】若由甲首次投籃，設(shè)“乙獲勝”為事件，則；若由乙首次投籃，記“乙獲勝”為事件E，則.因為，所以為使乙獲勝的概率更大，應(yīng)該由乙首次投籃.20.如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點.（1）求證：；（2）為線段上的動點，則是否存在使得平面？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若為中點，為的重心，為上一點，且，過作任一平面分別交、、于、、，若，，，求證：為定值.【答案】（1）證明見解析（2）存在，（3）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，即可證明結(jié)論；（2）假設(shè)存在使得平面，設(shè)，根據(jù)線面垂直可得，求出參數(shù)的值，即可得結(jié)論；（3）由為的重心，可得，利用向量的運算推出，再根據(jù)、、、四點共面，則存在，使得，繼而得，結(jié)合空間向量基本定理即可證明結(jié)論.【小問1詳解】證明：以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，，，，則、、、、，是的中點，則，，，，，即.【小問2詳解】假設(shè)存在使得平面，由（1）得，，設(shè)，其中，則，，因為平面，平面，故，平面，若平面，則只需，解得，，故存在點，使得平面，此時.【小問3詳解】證明：因為為的重心，則，即，可得，因為為上一點，且，則，因為、、、四點共面，則存在，使得，即，所以，又因為，且、、不共面，由空間