新文化試題——立體幾何與空間向量

1.《算數(shù)書》是已知最早的中國數(shù)學(xué)著作，于上世紀(jì)八十年代出土，大約比現(xiàn)有傳本的

《九章算術(shù)》還要早近二百年.《算數(shù)書》內(nèi)容豐富，有學(xué)者稱之為“中國數(shù)學(xué)史上的重

大發(fā)現(xiàn)在《算數(shù)書》成書的時(shí)代，人們對圓周率的認(rèn)識不多，用于計(jì)算的近似數(shù)與

真實(shí)值相比誤差較大.如書中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，

三十六成一.此術(shù)相當(dāng)于給出了圓錐的體積V的計(jì)算公式為上L2〃，其中L和力分別為

36

圓錐的底面周長和高.這說明，該書的作者是將圓周率近似地取為（）

A.3.00B.3.14C.3.16D.3.2（）

2.民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石

器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑A8=16cm,圓柱

體部分的高8C=8cm,圓錐體部分的高CO=6cm,則這個(gè)陀螺的表面積是（）

A.192^-cm2B.252乃cm?C.272^-cm2D.336^cm2

3.十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)簡單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)匕棱數(shù)E及面數(shù)尸之間有固定

的關(guān)系，即著名的歐拉公式：V-E+尸=2.如圖所示為上世紀(jì)八十年代科學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)

的碳60的電子、顯微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個(gè)頂點(diǎn)，每

個(gè)頂點(diǎn)均為碳原子，且每個(gè)頂點(diǎn)引出三條棱，形似足球.根據(jù)以上信息知，碳60的所有

面中五邊形的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.20C.32D.40

4.斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)1,

1,2,3,5,8,…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為

90。的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契

螺旋線的圖案，例如向日葵，鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，若用接下來的一

段圓弧所對應(yīng)的扇形作圓錐的側(cè)面，則該圓錐的母線與底面所形成角的余弦值為（)

154154

5.《九章算術(shù)》卷第五《商功》中，有“賈令芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤

四尺，高一尺.意思是：“假設(shè)一個(gè)芻童，上底面寬1尺，長2尺；下底面寬3尺,

長4尺，高1尺.”（注：芻童為上下底面為相互平行的不相似長方形，兩底面的中心

連線與底面垂直的幾何體），若該兒何體所有頂點(diǎn)在一球體的表面上，則該球體的體積

為（）立方尺

A.旦B.4brC.也包"D.3歷r

36

6.劉徽構(gòu)造的幾何模型“牟合方蓋”中說：“取立方棋人枚，皆令立方一寸，積之為立方

二寸.規(guī)之為圓困，徑二寸，高二寸.又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣.”牟合方

蓋是一個(gè)正方體被兩個(gè)圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時(shí)的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算

其體積的方法是將原來的“牟合方益''平均分為八份，取它的八分之一（如圖一）.記正

方形OABC的邊長為r,設(shè)0P="，過。點(diǎn)作平面PQRS平行于平面OABC.OS=OO=r,

由勾股定理有==不，故此正方形PQRS面積是產(chǎn)一〃2.如果將圖一的幾

何體放在棱長為，?的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面

積等于好.（如圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為力，不難發(fā)現(xiàn)對于任

何高度力，此截面面積必為〃，根據(jù)祖晅原理計(jì)算牟合方蓋體積（）

注：祖廂原理：“幕措既同，則積不容異”.意思是兩個(gè)同高的立體,如在等高處的截面

積相等，則體積相等

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉

腦”是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.若一個(gè)“鱉膈”的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，

且該"鱉嚅''的高為2,底面是腰長為2的等腰直角三年形.則球。的表面積為（）

A.124B.4備C.6nD.2限九

10.古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯提出著名的蜂窩猜想，認(rèn)為蜂窩的優(yōu)美形狀，是自然界最有效

勞動(dòng)的代表.他在《匯編》一書中對蜂房的結(jié)構(gòu)作出精彩的描寫“蜂房是由許許多多的正

六棱柱組成，一個(gè)挨著一個(gè)，緊密地排列，沒有一點(diǎn)空隙.蜜蜂憑著自己本能的智慧選

擇了正六邊形，因?yàn)槭褂猛瑯佣嗟脑牧?，正六邊形具有最大的面積，從而可貯藏更多

的蜂蜜.“某興趣小組以蜂窩為創(chuàng)意來源，制作了幾個(gè)棱長均相等的正六棱柱模型，設(shè)該

y

正六棱柱的體積為匕，其外接球的體積為匕，則）

A3R96r9/n96

兀16萬25萬64萬

11.文峰塔位于重慶市南岸區(qū)黃柳城的文峰山之巔，筆直挺拔，高插云表、雄姿擎天,

巍然屹立.文峰塔建于清道光年間.木塔頂部可以近似地看成一個(gè)正八棱錐.其側(cè)面和

底面的夾角大小為60。，則該正八棱錐的高和底面邊長之比為（）

12.用祖眶原理計(jì)算球的體積時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩

個(gè)平面的任意一個(gè)平面所被，若微面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.構(gòu)造一

個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后

在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何

體（如圖2）,用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面

積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢嶗+（

=1（），20）繞y軸旋轉(zhuǎn)

一周后得一半橄欖狀的幾何體（如圖3）,類比上述方法，運(yùn)用祖隨原理可求得其體枳

等于（）

13.足球起源于中國東周時(shí)期的齊國，當(dāng)時(shí)把足球稱為‘'蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手

段,制定了較為完備的體制.如專門設(shè)置了球場,規(guī)定為東西方向的長方形.兩端各沿

六個(gè)對稱的''鞠域”，也稱“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊(duì)，互有攻守，以踢進(jìn)對方

鞠室的次數(shù)決定勝負(fù).1970年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國自己設(shè)計(jì)，所以每一次球

的外觀都不同，拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒準(zhǔn).自1970年起，世界杯官方用球選擇了

三十二面體形狀的足球,沿用至今.如圖I,三十二面體足球的面由邊長相等的12塊正

五邊形和20塊正六邊形拼接而成，形成一個(gè)近似的球體.現(xiàn)用邊長為4.5cm的上述正五

邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開圖可近似看成

是由4個(gè)正六邊形與4個(gè)正五邊形以及2條正六邊形佗邊所構(gòu)成的圖形的對稱軸截圖形

所得的線段/VV,如圖II，則該足球的體積約為（）

參考數(shù)據(jù)：1叫72°~3.1,6~1.7,7…3,22.52=506.25，22.5'=11390.62.

A.5695.31cmB.2847.66cmC.1518.75cmD.1488.85cm

14.1471年米勒向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的

懸桿看上去最長（即可見角最大）.后人將其稱為“米勒問題”，是載入數(shù)學(xué)史上的第一個(gè)

極值問題.我們把地球表面抽象為平面a,懸桿抽象為線段人B（或直線/上兩點(diǎn)A,B）,

則上述問題可以轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)模型：如圖I,一條直線/垂直于一個(gè)平面a,直線

/有兩點(diǎn)4,8位于平面。的同側(cè)，求平面上一點(diǎn)C,使得NAC8最大.建立如圖2所示的

平面直角坐標(biāo)系.設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0?）,（0力）（0＜。＜。）.設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（仁0）,

當(dāng)ZACB最大時(shí)，c=（）

15.南北朝時(shí)期的偉大數(shù)學(xué)家祖陽在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖眶原

理:“鼎勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一

平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積總是相等，則這兩個(gè)立體的體積相

等.如圖，兩個(gè)半徑均為1的圓柱體垂直相交，則其重疊部分體積為（）

,16C.9

A，IB.—D.34

3

16.足球運(yùn)動(dòng)成為當(dāng)今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的體育

項(xiàng)FI之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽.比賽于2022年11月21日

至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場舉行.已知某足球的表面上有四個(gè)

）丁

息A,B,C,D滿足AB=BC=AD=BD=CD=0dm，二面角A-AO-C的大小為彳，

則該足球的體積為（）

A7同%3R35鼻元、3「14乃332年X3

A.----------dmB.-----------dmC.——dmDn.-----------dm

27272727

17.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的

多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一

個(gè)二棱錐,共截夫八個(gè)二棱錐,得到的半正多而體的表面積為12+4行.則關(guān)干該半正

多面體的下列說法中正確的是（）

C.與48所成的角是9的棱共有16條D.該半正多面體的外接球的表面積為6乃

18.素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間

造型能力.“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，如圖是某同學(xué)繪制“十

字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的

多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四

棱柱分別有兩條相對的則棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的

中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長為2,高為6的止四棱柱構(gòu)成，則

()

A.一個(gè)正四棱柱的某人側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線互相垂直

B.該“十字貫穿體''的表面積是112-16及

C.該“十字貫穿體”的體積是48-呸2

3

D.一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)B的最短路線長為

押友

19.中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的

上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示

的曲池，它的高為2,AA，CC,,。。均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩

個(gè)圓的半徑分別為1和2,對應(yīng)的圓心角為90。，則以下命題正確的是（）

4

A.A4與C"成角的余弦值為《B.4，B,C,。四點(diǎn)不共面

C.弧AR上存在一點(diǎn)E,使得BE〃CR

D.以C點(diǎn)為球心，石為半徑的球面與曲池上底面的交線長為:4

20.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑.上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球

的直徑恰好與圓柱的高相等?“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱

容球，。2為圓柱上下底面的圓心，。為球心，為底面圓的一條直徑，若球的

半徑廠=2,則（）

A.球與圓柱的表面積之比為1:2

B.平面。E尸截得球的截面面積最小值為與乃

32~

C.四面體COEP的體積的取值范圍為0,—

XI.

D.若夕為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則尸￡+勿的取值范圍為[2+2石,46]

21.近年來，納米晶的多項(xiàng)技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用.納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，

下圖是?種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面

得到所有棱長均為〃的幾何體，則下列說法正確的有（）

A.該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的表面積為7石/JB.該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的體積為當(dāng)〃

C.該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體外接球的表面積為卜，

D.二面角的余弦值為-g

22.祖隨（公元5—6世紀(jì)，祖沖之之子），是我國齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條原

理：“幕勢既同，則積不容異這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水

平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖將底面直徑皆為2〃，高皆為。的

橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面夕上，用平行于平面夕且與夕

距離為d的平面截兩個(gè)幾何體得到氧及S環(huán)兩截面，可以證明S阿=S壞總成立，若橢半

球的短軸A4=6,長半軸CD=5,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢半球體的體積為30乃

B.橢半球體的體積為15兀

C.如果。產(chǎn)=49,以尸為球心的球在該橢半球內(nèi)，那么當(dāng)球尸體積最大時(shí)，該橢半

球體挖去球產(chǎn)后，體積為方4

D.如果C產(chǎn)=49,以尸為球心的球在該半球內(nèi)，那么當(dāng)球尸體積最大時(shí)，該橢半球

體挖去球產(chǎn)后，體積為29九

23.張衡（78年一139年）是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、文學(xué)家、數(shù)學(xué)家.他的數(shù)

學(xué)著作有《算罔論》.他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正

方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,若線段人B的最大值為后+拉，利用

張衡的結(jié)論可得該正方體內(nèi)切球的表面積為.

24.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球

的直徑恰好與圓柱的高相等.這個(gè)“圓柱容球”是阿基米德生前最引以為豪的發(fā)現(xiàn).如圖,

在底面半徑為2的圓柱內(nèi)有球。與圓柱的上、下底面及母線均相切，設(shè)A8分

別為圓柱的上、下底面圓周上一點(diǎn)，且。小與。迷所成的角為90,直線A3與球。

的球面交于兩點(diǎn)M,N,則線段MN的長度為.

25.無窮符號8在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的符號，該符號的引入為微積分和集合論的研究帶

來了便利，某校在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中以無窮符號為創(chuàng)意來源，設(shè)計(jì)了如圖所示的活動(dòng)標(biāo)志,

該標(biāo)志由兩個(gè)半徑分別為15和20的實(shí)心小球相交而成，球心距QU=25，則該標(biāo)志

的體積為，

附：一個(gè)半徑為我的球被乎面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于檄

面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高（記為，），球缺的體積公式為丫=?！?（尺-9,.

26.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始

終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲）?勒洛四面體是以正四

面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖乙所示,

若正四面體48。的棱長為。，則能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為

，勒洛四面體的截面面積的最大值為.

27.阿基米德多面體也稱為半正多面體，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面

體.如圖，已知阿基米德多面體的所有頂點(diǎn)均是一個(gè)棱長為2的正方體各條棱的中點(diǎn)，

則該阿基米德多面體的體積為:若M.N是該阿基米德多面體表面卜仟意兩點(diǎn)，

則用，N兩點(diǎn)間距離的最大值為.

28.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其

中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵ABC-AB?中，AB_LAC,M是AG的

中點(diǎn)，AB=7,N,G分別在棱。5，AC上，旦BN=gBBrAG=^AC,平面M/VG

A14

與A8交于點(diǎn)H,M—=,HM?AB=.

29.《綴術(shù)》是中國南北朝時(shí)期的一部算經(jīng)，匯集了祖沖之和祖陽父子的數(shù)學(xué)研究成果.

《綴術(shù)》中提出的“緣’密勢既同，則積不容異”被稱為祖晅原理，其意思是：如果兩等高

的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，該原理

常應(yīng)用于計(jì)算某些幾何體的體積.如圖，某個(gè)西晉越窯臥足杯的上下底為互相平行的圓

面，側(cè)面為球面的一部分，上底直徑為4#cm,下底直徑為6a〃，上下底面間的距禽

為3cm,則該臥足杯側(cè)面所在的球面的半徑是________臥足杯的容積是______________

cm,(杯的厚度忽略不計(jì)).

30.某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算

術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1,

E、F、G分別是正方形的三邊A8、CD、AO的中點(diǎn)，先沿著虛線段尸G將等腰直角三角

形/7方裁掉，再將剩下的五邊形A8CFG沿著線段EF折起，連接A&CG就得到了一

個(gè)“芻要”(如圖2).

(1)若。是四邊形砧b對角線的交點(diǎn)，求證：AO〃衣面Gb

(2)若二面角A-所-B的大小為:兀，求直線AB與平面GCF所成角的正弦值.

參考答案：

1.A

【分析】由圓的周長公式可得半徑，再由圓錐體積公式結(jié)合已知可得.

【詳解】因?yàn)長=2Q,所以,=與，

2乃

貝IJV=一4——/?=---=---,

312436

：.n=3.

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)已知求出圓錐的母線長，從而可求出圓錐的側(cè)面積，再求出圓柱的側(cè)面積和底

面面積，進(jìn)而可求出陀螺的表面積

【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為/=病而=10，

所以圓錐體的側(cè)面積為1Ox8萬=80%，

圓柱體的側(cè)面積為16萬x8=128%圓柱的底面面積為乃x8?=64不，

所以此陀螺的表面積為80乃+128乃+64萬=2724（cm2）,

故選：C

3.A

【分析】設(shè)五邊形面有％個(gè)，六邊形面有個(gè)，即可得到總棱數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)，再根據(jù)歐拉公式

得到方程組，解得即可；

【詳解】解：設(shè)五邊形面有x個(gè)，共5x條棱，六邊形面有>個(gè)，共6），條棱，由于每條棱山

現(xiàn)在兩個(gè)面中，故會被重復(fù)計(jì)算一次，因此總棱數(shù)E=電竺，同理每個(gè)頂點(diǎn)出現(xiàn)在三個(gè)

面中，總頂點(diǎn)數(shù)為丫=^^=60,故E=90,乂尸=工+了，故60-90+x+），=2,即x+y=32,

與5x+6），=180聯(lián)立可解得X=12.

故選：A

4.D

【分析］根據(jù)斐波那契數(shù)的規(guī)律，求出下一個(gè)I員I弧的半徑和弧長，可得圓錐的母線長及底面

半徑，即求.

【詳解】由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和，

即接下來的圓弧對應(yīng)的圓面半徑是5+8=13,

圓錐的母線長為13,

對應(yīng)的弧長是2獷13、；=早，

設(shè)圓錐底面半徑為小則？"=手，解得

24

13

所以該圓錐的母線與底面所形成角的余弦值為工=2_.

13~4

故選：D.

5.C

【分析】由已知得球心在幾何體的外部，設(shè)球心到幾何體下底面的距離為元列方程求出大

41

=2,從而R2=由此能求出該球體的體枳.

4

【詳解】解：作出圖象如下圖所示:

由已知得球心在幾何體的外部，

設(shè)球心到幾何體下底面的距離為X，

則（）（葉［）（逆）

R2=X2+22=2+2,

22

解得x=2,???R2=?,

4

，該球體的體積V=^x［里］=4吁￡.

故選：C.

6.C

【分析】計(jì)算出正方體的體積，四棱錐的體積，根據(jù)祖附1原理可得圖一中幾何體體積，從而

得結(jié)論.

【詳解】VKw=15/z=ixr2xr=1r3,

由祖聰原理圖二中牟合方蓋外部的體枳等于V.尸

所以圖1中兒何體體積為?一“，

JJ

所以牟合方蓋體積為亞=$3.

故選：C.

7.A

【分析】作出圖形，設(shè)在三棱錐A—8c。中，A8_L平面BCD,8C_LC。且8C=C￡>=2,

AB=2,證明出該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，求出該三棱錐的外接球半徑，結(jié)合球

體表面積公式可得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示：

在三棱錐人BCD中,A3_L平面8c。，BC工CD￡BC=CD=2,49=2,

因?yàn)?5_L平面8CQ,BC、BD、COu平面3CO,ABIBC,ABLBD,CD1AB,

,-CDlBC,ABcBC=B,\C￡）人平面ABC,AC二平面ABC,.\AC1CD,

所以，三棱錐A-8C。的四個(gè)面都是直角三角形，且反）=，心+。廳=2核，

ADVAB\BD2=2V3，

設(shè)線段AO的中點(diǎn)為。，則OA=OC=gA￡>=Q4=O。，

所以，點(diǎn)。為三棱錐A-8C￡>的外接球球心，

設(shè)球。的半徑為R,則R=:AD=G,因此，球。的表面積為4切?2=12萬.

故選:A.

8.C

【分析】連接〃尸，EG交于點(diǎn)?！B接AC,DB交于點(diǎn)。2,連接。。2,確定球心在直線

GQ上，分球心在線段上或其延長線上兩種情況，并利用勾股定理求出GQ,最后根

據(jù)芻童的體積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】連接”F,EG交于點(diǎn)。一連接AC,OB交于點(diǎn)色，

連接。02,則由球的幾何性質(zhì)可知，芻童外接球的球心。必在直線。。2上，

由題意可得QG=：EG=4&,O?B=；BD=26,

設(shè)球。的半徑為R,由4不/?2=228乃，得/?=歷.

連接OG,OB,在Rt2\OGQ中，OG2=OO：+aG。

即（炳）2=0。；+1友）［得OO1=5.

22

在RtZXC%。2中，OB=OO^O2B,即（炳了=0。；+（2&丫，得0。2=7.

當(dāng)球心。在線段002上時(shí)，0a=12,

則該芻童的體積成經(jīng)X至2工448;

6

當(dāng)球心。在線段02a的延長線上時(shí)，?。[=2,

則該芻童的體積為2X[(2：＜4+8)X4+(2X8+4)國衛(wèi)

63

故選：C.

9.B

【分析】當(dāng)E與A,G重合時(shí)，由△EBO為等邊三角形即可判斷四面體不是鱉膈；當(dāng)E與禺,

A重合時(shí)，證明四個(gè)面均為直角三角形即可.

如圖，當(dāng)E與A重合時(shí)，易得EB=ED=BD,故為等邊三角形，此時(shí)四面體E-ACO

不是鱉喘；

D

當(dāng)E與四重合時(shí)，易得AE8C,_BC。為直角三角形，又EB工面ABCD,BOu面A8CD,

故EB上BD,

故為直角三角形，同理.ECO為直角三角形，此時(shí)四面體E-4CO是鱉嚅;

當(dāng)七與G重合時(shí)，易得EB=ED=BD,故△E8O為等邊三角形，此時(shí)四面體E-8C。不是

鱉嚅；

當(dāng)K與R重合時(shí)，易得二ECO/8C。為直角三角形，又EDJ.面A5CD,"Du面人BCD,

故EDA.BD,

故△石8。為直角三角形，同理一①。為直角三角形，此時(shí)四面體E-8CO是鱉嚅；故共有2

個(gè).

故選：B.

10.C

【分析】設(shè)正六棱柱的棱長為小先求出正六棱柱的體積K，再求出外接球的體積匕，即可

得到答案.

【詳解】不妨設(shè)正六棱柱的棱長為小則匕=6X且“2x4=^“，；

142

其外接球的半徑『份二=￡,于是乂=￥健力=半癡,則上誓.

出2/2'3I2J6匕25不

故選：C

II.A

【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用側(cè)面與底面所成的角以及底面多邊形的邊角關(guān)系，轉(zhuǎn)化

求解即可.

【詳解】解:如圖所示:

/I

點(diǎn)尸為正八棱錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)。是底面中心，是底面的一條邊，M是人片的中點(diǎn)

根據(jù)題意可知40*225,又⑶石=

/.tan22.5=V2-1

設(shè)4"=。，則0M="A'=WI±1

a

(an22.52

又已知側(cè)面和底面的夾角大小為60°,即二面角P—AB-O的大小為/尸MO=60.

6V3

故OP=OMtan6(f==----+-----a

22

6+G

所以該正八棱錐的高和底面邊長之比

2

故選：A

12.B

【分析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為3,高為5的圓柱，通過計(jì)算可得高相等時(shí)截面面積相等，根

據(jù)祖唯原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐體積.

【詳解】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為3,高為5的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂

點(diǎn)的圓錐，

則當(dāng)截面與頂點(diǎn)距離?為〃（0蒯？5）時(shí)，小圓錐的底面半徑為小則《=；，

3,

.」=g〃，

故截面面積為9乃-等，

把產(chǎn)力代入橢圓［+E=1可得、=±3&5-力2,

9255

橄欖球形幾何體的截面面枳為=9/-甯，

由祖咂原理可得半個(gè)橄欖球形幾何體的體積丫=%柱-％樣=9"5-：x9/rx5=30/F.

故選：B

13.A

【分析】先由圖II求出球的大圓的周長，可求得球的半徑，利用球體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)正五邊形的邊長為。，則。=4.5,如下圖，在正五邊形中，內(nèi)角為108,邊長為

4.5,

@一ABC中，ZACB=108-18°-108=72，AB=BCian72=-tan72,

22

因?yàn)樵谡呅沃校瑑?nèi)角為120,邊長為4.5,正六邊形的軸長為

所以大圓的周長為4-5/5a+4-]tan72+2〃=（4xl.7+2x3.1+2）x4.5=67.5,

設(shè)球的半徑為R,則2M?=67.5,可得R="，

2乃

「Ui”oT-UJ.L.zi.tn.4n?467.5^22.5，11390.62____3

所以，該足球的體積為7V=—乃A，=—.冗----=-----*--------=5695.31cm.

338/22

故選：A.

14.D

【分析】根據(jù)題意可知ZA6=NOC4—N”“，分別表示出lan/OC4=g,tanNOCB=2,然后

CC

利用兩角差的正切公式表示出mnZAC",再結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知ZACB時(shí)銳角，且ZAC8=NOC4-N0C3,

而tanZOCA=-JanNOCB=-,

cc

ab

a-b

所以tan/ACB=ian(NOC4-ZOCB)=

,ab

1+―

c-

Wc+—>2x/^,當(dāng)且僅當(dāng)。=生,即c=，石時(shí)取等號，

CC

/ArR_a-ba-b

所以當(dāng)。=疝時(shí)，二9一礪，此時(shí)ZAC7?最大,

（十）

故選：D.

15.B

【分析】分析幾何體的每層截面都是正方形，計(jì)算正方形的在上下距離中心人截面面枳，

再根據(jù)正方形的特點(diǎn)想到頂點(diǎn)在中心的正四棱錐（上、下兩個(gè)），計(jì)算正四棱錐的上下距離

中心人截面面積，通過發(fā)現(xiàn)面積之間的關(guān)系，結(jié)合祖隨原理即可求解.

重疊部分的幾何體的外接正方體如上圖（左）所示，

在距離中心〃處的截面正方形的邊長是：2/=2麻了，

所以距離中心〃處截面面積是S=（2/）2=（2正一盯2=4收_*）

而從同一個(gè)正方體的中心位置，與底面四點(diǎn)連線構(gòu)成的正四棱錐的示意圖如上圖（中）所示，

Ih

在距離中心〃處的截面正方形的邊長是：777；=—,

ivl（2

因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長一半，

所以，MQ=OQ=R,

所以/。=〃，

在距高中心/?處的截面正方形的邊長是：21—

2

以距離中心h處截面面積是S=（2/O）=4/?,

又因?yàn)檎襟w的水平截面面積為：（2/?）2,

所以（2R）2-4"=4（R2-〃），

所以剩余部分的截面面積如上圖（右）“回”形面積為4（公-6），

因此根據(jù)祖唾原理：“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平

面所截，如果兩個(gè)截面的面積總是相等“，可得：

左圖幾何體的體枳加上中間圖上卜.椎體的體積等于正方體的體積，

即有：

V+2X-（2R）2R=（2R）3,

3

解得V弋*JJxP#,

333

故選：B.

16.A

【分析】畫出圖形，。為線段8。的中點(diǎn)，則可得NAO。為二面角A-BD-C的平面角，取

N、M分別是線段40,CO上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，則可得N、M分別為△A5O和二C4。的外

心，過MM分別作平面/W和平面C8。的垂線EMEM,交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為三棱鋸

人-永力外接球的球心，即為足球的球心，所以線段包為球的半徑，然后結(jié)已知數(shù)據(jù)求出

EB，從而可求出足球的體積

【詳解】根據(jù)題意，三棱港A-8C。如圖所示，圖中點(diǎn)。為線段5。的中點(diǎn)，MM分別是

線段AO,CO上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，

因?yàn)锳4=3C=AO==CO=0dm，

所以△AM和一CBO均為等邊三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)。為線段8。的中點(diǎn)，

所以4O_LBO,CO_L8。，

所以NAOC為二面角A—瓦）—C的平面角，所以NAOC="，

因?yàn)锳ABD和KBD均為等邊三角形，點(diǎn)。為線段80的中點(diǎn)，

所以AO,C。分別為△A8D和_C8O的中線，

因?yàn)镸M分別是線段AQCO上靠近點(diǎn)0的三等分點(diǎn)，

所以M歷分別為AABD和jCBD的外心，

過分別作平面A雙）和平面CW）的垂線EMEM,交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為三棱錐A-8C/）

外接球的球心，即為足球的球心，所以線段所為球的半徑，

因?yàn)锳OJ.8DCO80，AB=BC=AD=BD=CD=>/2dm，

所以AO=CO=亞dm,則NO=MO="dm,

26

因?yàn)锳O=C。，石O=EO,ZENO=ZEMO=90°,

|7T

所以△ENOgaEMO,所以NEON=N￡MO=-4OC=-

23

在直角△EMO中，EM=OM(an-=—,

32

因?yàn)镋M_L平面BCD,BWu平面BC。,

所以

因?yàn)镸是工CEO的外心，所以BM=直,

3

所以匹"JEM'BM?=仁

所以Y，的亨閨=粵萬,

所以足球的體積為返不dm,

27

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三棱錐外接球問題，考查計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是由題意求

出三棱錐外接球的球心，從而可確定出球的半徑，然后計(jì)算出半徑即可,考查空間想象能力，

屬于較難題

17.AC

【分析】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，根據(jù)線面角的定義找到線面角，解三角形求其大

小，判斷A；根據(jù)條件計(jì)算正方體的棱長，再求的長，判斷B:利用平行關(guān)系，確定與A8

所成的角是*的棱的條數(shù)，判定C,利用幾何體的對稱性確定半正方體的外接球的球心及

半徑，判定D；

【詳解】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，設(shè)正方體的棱長為〃，

由題意知，該半正多面體由6個(gè)全等的正方形和8個(gè)全等的正三角形構(gòu)成.

則由半正多面體的表面積為12+46,

得8%白乂(*a)+6x(孝，=12+475,解得〃=2,

??5=2,

因?yàn)?EJ_平面BCD,N/RE為A8與平面8。。的夾角，

TT

因?yàn)椤啊驗(yàn)橹苯侨切危宜?；

所以A3與平面88所成的角為乙鉆E=故A正確；

4

?*-AB=>JAE2+BE2=y/2?故B錯(cuò)誤；

在與4B相交的6條棱中，與48所成的角是5的棱有4條，又這4條棱中，每一條棱都有

3條平行的棱，故與AB所成的角是9的棱共有16條，故C正確；

由半正多面體的對稱性可知，其對稱中心與相應(yīng)的正方體的對稱中心是同一點(diǎn)，其對稱中心

為正方體的體對角線的中點(diǎn)。，點(diǎn)o在平面小的投影點(diǎn)為a,

則有人4=1,所以40=呵7二荷=夜，

故該半正多面體的外接球的半徑為&,面積為47tx(正『=8兀，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【分析】根據(jù)圖形分別求出CD=2&,CE=DE=R,結(jié)合勾股定理判斷垂直；表面積是

由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形8?！晟偃鹊奶菪谓M成，分別計(jì)算；體積用兩個(gè)柱體體積減去

重疊部分體積：分別計(jì)算按A路線和在表面內(nèi)移動(dòng)最短的路徑長.

【詳解】如圖一個(gè)正四棱柱的某個(gè)側(cè)面與另一個(gè)正四棱柱的兩個(gè)側(cè)面的交線。石、DE

則在梯形8OEF中，可知80=3-拉，BF=2,EF=3,DE=>/6,BE=V13

設(shè)4DEF=a,4BEF=0,則cosa=且,cos/?=兔叵

3"13

根據(jù)立體圖可得CO=2&,CE=DE=娓,顯然

即CE、DE不垂直，A不正確；

該“十字貫穿體”的表面積是由4個(gè)正方形和16個(gè)與梯形8DE尸全等的梯形組成

若與2g6夜，B正確;

則表面積S=4x4+16x

如圖兩個(gè)正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEb,取CS的中點(diǎn)/

則多面體CDGEST可以分成8個(gè)全等三棱錐C-GEI,則=卜&乂2=半

該“十字貫穿體”的體積即為V=2x24-=48-華，C正確；

若按AfCfPfD-8路線，貝IJ路線長為4（3-&）+2夜=12-2&

若在表面內(nèi)移動(dòng)，則有：

借助部分展開圖，如圖所示：

cos/FEN=cos2a=2cos2a-l=一一<0,即NFEN為鈍角，過8作NE的垂線BH,垂足

3

為H,則8H在展開圖內(nèi)

2>/i32x/26

sin/BEN=sin(2a-6)=sinlacosft-cos2asinp=+

13

BH=BEsin/BEN=S

3

根據(jù)對稱可知此時(shí)最短路徑為26"=g十4四v12-20

則從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點(diǎn)8的最短路徑為g+4夜，D正確;

八/

故選：RCD.

19.AD

【分析】建立空間坐標(biāo)系，用向量計(jì)算異面直線的夾角，做輔助圖計(jì)算判斷相關(guān)問題.

【詳解】圓弧的圓心的原點(diǎn)，CO為x軸，為），軸過圓心。垂直于底面的直線為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系如下圖：

則4(020),男(0,1,2),C(l,0,0),〃(2,0,2),故做=(0,-1,2),0=(1,0,2),

所以3網(wǎng)'8)=阿西二瓦耳=3，A正確；

對于B,連接AA,ADIC,則有AR//4DAQ//3C,則AR//3C,

??.AQ與8C共面，即A,R,&C四點(diǎn)共面，故B錯(cuò)誤；

對于C,設(shè)在圓弧AQ存在一點(diǎn)E(2cosa,2sina,2)(ajaf])，使得8E//C2,

2cos?=A

則有4E=(2cosa,2sina-l,2)=AC/2=2(1,0,2),■2sin?-I=0,此方程組無解，

2=24

即E點(diǎn)不存在，故C錯(cuò)誤;

對于D,做如下俯視圖:

|AC|=V22+12=X/5，即以。為球心，石為半徑的球?qū)?好過A點(diǎn)是球面與底面48CQ唯一

的交點(diǎn)，

因?yàn)閨。&=a+22=石,"(2,0,2)在球面上，

設(shè)與圓弧片G的交點(diǎn)為E(cosa,sino,2),則|C?=J(cosa—1『+sin2a+2?=6,

W^cosa=—,sina=—,故￡g,2,

22122J

球面與上底面的交線是以G為圓心，半徑為1的圓弧般)|,則

皿=/(3一2)+惇)+(2-2)2=石，

圓心角cos&CRJ+"疔=」,由圖知：。＜亞口5得NEC01=^.

2x1x123

97T2乃

.?.ED,=yXl=y,故D正確；

故選：AD.

20.BCD

【分析】利用球的表血積公式及圓柱的表血積公式可判斷A,由題可得。到半血OEr的距

離為4K型，進(jìn)而可得平面。石/截得球的截面面積最小值可判斷B,由題可得四面體

'5

CDE尸的體積等于2腺一/”可判斷C,設(shè)尸在底面的射影為〃，設(shè)「=/爐，

PE+PF=4^m+l6T，然后利川二次函數(shù)的性質(zhì)可得小+%'的取值范圍可判斷D.

【詳解】由球的半徑為〃，可知圓柱的底面半徑為「，圓柱的高為2r,則球表面積

為44產(chǎn)，圓柱的表面積2jrr2+2nr-2r=(w/?

所以球與圓柱的表面積之比為:，故A錯(cuò)誤；

過。作OG_LQ?于G,則由題可得OG=Lx與=拽,

22y/55

4(八R

設(shè)。到平面DEF的距離為4,平面。石尸截得球的截面圓的半徑為5,

則4<0G,片=一一42=4-d：>4--=—,

55

所以平面。石尸截得球的截面面積最小值為華不，故B正確；

由題可知四面體CDEF的體積等于2%_以矽,點(diǎn)E到平面DCQ的距離de(0,4],

I239

又S℃a=jx4x4=8,所以8d€((),千],故C正確；

由題可知點(diǎn)P在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)P在底面的射影為P',

則PP'=2,PE=VF+FF,PF=0+尸產(chǎn),FE2+P尸=16，

設(shè)則/e[(),4]，小+廢=依+/+&+16-r，

所以(PE+PF)2=(x/2*+V22+16-/)'=24+27-r+16/+80

=24+2^-(/-8)：+144€[24+86481，

所以尸E+尸6e[2+2石,46],故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱與球的表面積、體枳以及折線段的最值問題，考查邏輯推理能力，是

一道難題.

21.ABD

【分析】對于A：該幾何體是由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，代公式計(jì)算即可.

對于B：棱長為。的正四面體的高為如〃，根據(jù)割補(bǔ)法代公式計(jì)算.

3

對于C：設(shè)外接球球心為。，三角形△A&A的中心為0、正六邊形828c的中心為

（T,則。在O'O"上，計(jì)算可得；

對于D：二面角A-424-用是原正四面體側(cè)面和底面成角的補(bǔ)角，計(jì)算可得.

【詳解】對于A：該幾何體是由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，所以表面積

S=4x—+4x6x—zf=7\/3/r>故A正確；

44

對于B：棱長為。的正四面體的高為在〃，所以

3

1/=’.立.（3〃）2.且.（3〃）一4」?立〃2.邁〃=生也1,故B正確；

34''3''34312

對于C：設(shè)外接球球心為。，三角形△AA24的中心為。\正六邊形的中心為

0",則。在O'O〃上，幾何體上下底面距離為卡〃-亞〃=也〃，可得

33

舊7^+/=7=半〃，計(jì)算整理得川=裝〃2,因此該幾何體的外接球表面積為

5=4乃川=甘乃〃2,故c錯(cuò)誤；

對于D：二面角4-4&-層為是原正四面體側(cè)面和底面成角的補(bǔ)角，如圖,

V

B

過正四面體的頂點(diǎn)V作V。J■平面ABC于。點(diǎn)，易知。為一ABC的中心，延長40交AC于。

點(diǎn)，則。為AC的中點(diǎn)，連接口，設(shè)正四面體的棱長為2,則8O=2sin?=G,所以

BO=-BD=^-,OD，BD力，因?yàn)閂0_L平面/SC,所以VOJ.AC,又AC_L8O,

3333

VOcBD=O,所以4CJ?平面V5O,VDu平面M?。，所以AC_LVD,所以NVD8即為所

求側(cè)面V44C與底面A8C所成二面角的平面角，在Rt.V。/)中，cosNV7)B=M=空=：,

VDDD3

所以側(cè)面與底面所成二面角的平面角