第1頁（共1頁）2025年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）（2025?廣東）某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作+0.02g，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作（）A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g2．（3分）（2025?廣東）依據(jù)《廣東省推動低空經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展行動方案（2024﹣2026年）》，預(yù)計2026年廣東省低空經(jīng)濟規(guī)模將超過3000億元．?dāng)?shù)據(jù)3000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3×109 B．3×1010 C．30×1010 D．3×10113．（3分）（2025?廣東）計算12×A．3 B．6 C．6 D．24．（3分）（2025?廣東）如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）（2025?廣東）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊上的中點，∠A＝70°，則∠EDF＝（）A．20° B．40° C．70° D．110°6．（3分）（2025?廣東）某校機器人編程團隊參加廣東省創(chuàng)意機器人大賽，7位評委給出的分?jǐn)?shù)為95，92，96，94，95，88，95．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，967．（3分）（2025?廣東）廣東省統(tǒng)計局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來高技術(shù)制造業(yè)呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢．某公司工業(yè)機器人在今年5月產(chǎn)值達到2500萬元，預(yù)計7月產(chǎn)值將增至9100萬元．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為x，可列出的方程為（）A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝91008．（3分）（2025?廣東）在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余的能量y（W?h）與騎行里程x（km）之間的關(guān)系如圖．當(dāng)電池剩余能量小于100W?h時，摩托車將自動報警．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．電池能量最多可充400W?h B．摩托車每行駛10km消耗能量300W?h C．一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km D．摩托車充滿電后，行駛18km將自動報警9．（3分）（2025?廣東）如圖，在直徑BC為22的圓內(nèi)有一個圓心角為90°的扇形ABC．隨機地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（）A．15 B．14 C．1310．（3分）（2025?廣東）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)是BC邊上的三等分點，連接DE，AF相交于點G，連接CG．若AB＝8，BC＝12，則tan∠GCF的值是（）A．1010 B．13 C．310二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）（2025?廣東）因式分解：a2b+ab2＝．12．（3分）（2025?廣東）如圖，把△AOB放大后得到△COD，則△AOB與△COD的相似比是．13．（3分）（2025?廣東）不解方程，判斷一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情況是．14．（3分）（2025?廣東）計算20﹣2sin30°的結(jié)果是．15．（3分）（2025?廣東）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（c，0），但不經(jīng)過原點，則該二次函數(shù)的表達式可以是．（寫出一個即可）三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．16．（7分）（2025?廣東）在解分式方程1?xx?2第一步：1?xx?2?（x﹣2）=?1x?2第二步：1﹣x＝﹣1﹣2，第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1，第四步：x＝4．第五步：檢驗：當(dāng)x＝4時，x﹣2≠0．第六步：∴原分式方程的解為x＝4．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據(jù)是什么？判斷小李的解答過程是否正確．若不正確，請寫出你的解答過程．17．（7分）（2025?廣東）如圖，點O是Rt△ABC斜邊AC邊上的一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點D．求證：AD平分∠BAC．18．（7分）（2025?廣東）如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km，主塔高0.27km，主纜可視為拋物線，主纜垂度0.1785km，主纜最低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達式．四、解答題（二）：本大隨共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）（2025?廣東）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點A，C分別作AE∥DC，CE∥AB，AE與CE相交于點E．現(xiàn)有以下命題：命題1：若連接BE交CA于點F，則S△CFB＝2S△CEF．命題2：若連接ED，則ED⊥AC．命題3：若連接ED，則ED＝BC．任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．20．（9分）（2025?廣東）2025年2月，廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動時間不低于兩小時的通知》．某校為更好地落實文件精神并了解學(xué)生參加體育活動的情況，隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，并對所得數(shù)據(jù)進行處理．部分信息如下：調(diào)查問卷整理與描述1．你每天參加體育活動（含體育課）的時間（單位：小時）（）（單選）A．0.5≤x＜1B．1≤x＜1.5C．1.5≤x＜2D．x≥22．隨著體育活動時間的延長，學(xué)校擬增設(shè)體育活動項目，你希望增設(shè)的活動項目有（）（可多選）E．球類F．田徑類G．體操類H．水上類希望增設(shè)的活動項目統(tǒng)計表活動項目球類田徑類體操類水上類百分比72%23%40%46%根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．（2）估計該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)．（3）基于上述兩項調(diào)查的數(shù)據(jù)，提煉出一條信息，并向?qū)W校提出相應(yīng)的建議．21．（9分）（2025?廣東）綜合與實踐【閱讀材料】如圖1，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊長分別為a，b，c，則有asinA【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中A，B兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用洲距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設(shè)計】工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖2，在空曠地找一點C；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得∠A≈43°，∠B≈51°；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC≈341m，AC≈388.5m．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結(jié)論計算A，B兩島間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）【評價反思】（2）設(shè)計其他方案計算A，B兩島間的距離．要求：選用【方案設(shè)計】中的工具，寫出你的方案和所用的數(shù)學(xué)知識．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．22．（13分）（2025?廣東）《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，則a，b，c為一組“勾股數(shù)”．如表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）請補全如表中的勾股數(shù)．（2）根據(jù)如表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示a，b，c，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．（3）某校計劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m．如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？23．（14分）（2025?廣東）定義：把某線段一分為二的點，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點．（1）如圖1，點P是線段MN的中外比點，MP＞PN，MN＝2，求PN的長．（2）如圖2，用無刻度的直尺和圓規(guī)求作一點C把線段AB分為中外比．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）如圖3，動點B在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象分別與矩形OABC的邊AB，BC相交于點D，E，與對角線OB相交于點F．當(dāng)△ODE是等腰直角三角形時，探究點D，E，F(xiàn)是否分別為AB，BC，

2025年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案AD．BCCBACDB一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）（2025?廣東）某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作+0.02g，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作（）A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g【分析】用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作+0.02g，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記﹣0.02g，故選：A．【點評】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2025?廣東）依據(jù)《廣東省推動低空經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展行動方案（2024﹣2026年）》，預(yù)計2026年廣東省低空經(jīng)濟規(guī)模將超過3000億元．?dāng)?shù)據(jù)3000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3×109 B．3×1010 C．30×1010 D．3×1011【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：3000億＝300000000000＝3×1011．故選：D．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（3分）（2025?廣東）計算12×A．3 B．6 C．6 D．2【分析】利用二次根式的乘法法則計算即可．【解答】解：原式=36故選：B．【點評】本題考查二次根式的乘除法，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．4．（3分）（2025?廣東）如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖是從左邊看得到的圖形，可得答案．【解答】解：從左邊看有兩層，底層是兩個正方形，上層的左邊的一個正方形．故選：C．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，左視圖是從左邊看得到的圖形．5．（3分）（2025?廣東）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊上的中點，∠A＝70°，則∠EDF＝（）A．20° B．40° C．70° D．110°【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝∠A＝70°，同理得到DF∥AB，得到∠EDF＝∠DEB＝70°．【解答】解：∵點D，E分別BC、AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，∴∠DEB＝∠A＝70°，同理可得：DF∥AB，∴∠EDF＝∠DEB＝70°，故選：C．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線平行于第三邊是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?廣東）某校機器人編程團隊參加廣東省創(chuàng)意機器人大賽，7位評委給出的分?jǐn)?shù)為95，92，96，94，95，88，95．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96【分析】將這組數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為88，92，94，95，95，95，96，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為95，眾數(shù)為95，故選：B．【點評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義．7．（3分）（2025?廣東）廣東省統(tǒng)計局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來高技術(shù)制造業(yè)呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢．某公司工業(yè)機器人在今年5月產(chǎn)值達到2500萬元，預(yù)計7月產(chǎn)值將增至9100萬元．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為x，可列出的方程為（）A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100【分析】設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為x，根據(jù)今年5月產(chǎn)值達到2500萬元，預(yù)計7月產(chǎn)值將增至9100萬元．即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為x，根據(jù)題意得：2500（1+x）2＝9100．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?廣東）在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余的能量y（W?h）與騎行里程x（km）之間的關(guān)系如圖．當(dāng)電池剩余能量小于100W?h時，摩托車將自動報警．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．電池能量最多可充400W?h B．摩托車每行駛10km消耗能量300W?h C．一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km D．摩托車充滿電后，行駛18km將自動報警【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項求解判斷即可．【解答】解：由圖象可得，當(dāng)x＝0km時，y＝500W?h，∴電池能量最多可充500W?h，故A錯誤；500÷25＝20（W?h），20×10＝200（W?h），∴摩托車每行駛10km消耗能量200W?h，故B錯誤；由圖象可得，當(dāng)x＝25km時，y＝0W?h，∴一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km，故C正確；（500﹣100）÷20＝20（km），∴摩托車充滿電后，行駛20km將自動報警，故D錯誤；故選：C．【點評】本題考查了實際問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象．9．（3分）（2025?廣東）如圖，在直徑BC為22的圓內(nèi)有一個圓心角為90°的扇形ABC．隨機地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（）A．15 B．14 C．13【分析】如圖所示，過點A作AD⊥BC于點D，證明出△ABC是等腰直角三角形，求出AD＝BD＝CD=12BC=2，然后得到AB=AD2+B【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，∵BC是直徑，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD=1∴AB=A∴S扇形ABC=90π×22360=π∴該粒米落在扇形內(nèi)的概率為π2π故選：D．【點評】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．10．（3分）（2025?廣東）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)是BC邊上的三等分點，連接DE，AF相交于點G，連接CG．若AB＝8，BC＝12，則tan∠GCF的值是（）A．1010 B．13 C．310【分析】過點G作GM⊥BC于點M，根據(jù)矩形的性質(zhì)及已知條件得BE＝EF＝CF＝4，進而得AB＝BF＝8，則△ABF是等腰直角三角形，繼而得∠BFA＝45°，同理證明△CDE是等腰直角三角形得∠CED＝45°，由此得△GEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得GM＝EM＝FM＝2，則CM＝6，然后在Rt△GMC中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可得出tan∠GCF的值．【解答】解：過點G作GM⊥BC于點M，如圖所示：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°，∵點E，F(xiàn)是BC的三等分點，∴BE＝EF＝CF=13∴BF＝BE+EF＝8，∴AB＝BF＝8，∴△ABF是等腰直角三角形，∴∠BFA＝45°，同理：△CDE是等腰直角三角形，∴∠CED＝45°，∴∠BFA＝∠CED＝45°，∴△GEF是等腰直角三角形，∵GM⊥EF，∴GM＝EM＝FM=12∴CM＝CF+MF＝4+2＝6，在Rt△GMC中，tan∠GCF=GM故選：B．【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，理解矩形的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）（2025?廣東）因式分解：a2b+ab2＝ab（a+b）．【分析】觀察發(fā)現(xiàn)多項式的各項有公因式ab，直接提取公因式ab即可．【解答】解：a2b+ab2＝ab?a+ab?b＝ab（a+b），故答案為：ab（a+b）．【點評】此題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是掌握找公因式的方法：①系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；③取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的．12．（3分）（2025?廣東）如圖，把△AOB放大后得到△COD，則△AOB與△COD的相似比是1：3．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到△AOB與△COD的相似比＝OB：OD．【解答】解：∵△AOB放大后得到△COD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB與△COD的相似比＝OB：OD＝2：6＝1：3．故答案為：1：3．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．13．（3分）（2025?廣東）不解方程，判斷一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情況是方程有兩個不相等的實數(shù)根．【分析】把a＝2，b＝1，c＝﹣1代入判別式Δ＝b2﹣4ac進行計算，然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況．【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0，∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0．∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：方程有兩個不相等的實數(shù)根．【點評】此題主要考查了根的判別式，正確求出根的判別式是解題關(guān)鍵．14．（3分）（2025?廣東）計算20﹣2sin30°的結(jié)果是0．【分析】利用零指數(shù)冪，特殊銳角三角函數(shù)值計算后再算減法即可．【解答】解：原式＝1﹣2×＝1﹣1＝0，故答案為：0．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2025?廣東）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（c，0），但不經(jīng)過原點，則該二次函數(shù)的表達式可以是y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）．（寫出一個即可）【分析】先由二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（c，0），得到0＝﹣c2+bc+c，再由二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象不經(jīng)過原點，得到c≠0，從而得確定c﹣b＝1，若取b＝1，即可得到c＝2，從而確定函數(shù)表達式．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（c，0），∴0＝﹣c2+bc+c，∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象不經(jīng)過原點，∴c≠0，則c﹣b＝1，若取b＝1，則c＝2，∴該二次函數(shù)的表達式可以是y＝﹣x2+x+2，故答案為：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）．【點評】本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式，熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)表達式的方法是解決問題的關(guān)鍵三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．16．（7分）（2025?廣東）在解分式方程1?xx?2第一步：1?xx?2?（x﹣2）=?1x?2第二步：1﹣x＝﹣1﹣2，第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1，第四步：x＝4．第五步：檢驗：當(dāng)x＝4時，x﹣2≠0．第六步：∴原分式方程的解為x＝4．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據(jù)是什么？判斷小李的解答過程是否正確．若不正確，請寫出你的解答過程．【分析】先判斷去分母是那步，說明依據(jù)，再解分式方程得結(jié)論．【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母；去分母的依據(jù)是：等式的基本性質(zhì)；小李的解答過程不正確；正確的解答過程：1?xx?2去分母，得1?xx?2?（x﹣2）=?1x?2?（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x移項并合并，得x＝2．檢驗：當(dāng)x＝2時，x﹣2＝0．∴原分式方程無解．【點評】本題考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．17．（7分）（2025?廣東）如圖，點O是Rt△ABC斜邊AC邊上的一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點D．求證：AD平分∠BAC．【分析】連接OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥BC，再證明OD∥AB，所以∠ODA＝∠BAD，然后利用∠ODA＝∠OAD得到∠BAD＝∠OAD，從而得到結(jié)論．【解答】證明：連接OD，如圖，∵以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點D，∴OD⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴OD∥AB，∴∠ODA＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠BAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．18．（7分）（2025?廣東）如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7km，主塔高0.27km，主纜可視為拋物線，主纜垂度0.1785km，主纜最低處距離橋面0.0015km，橋面距離海平面約0.09km．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達式．【分析】先由題意，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，從而得到（0，0.0015）、A（0.85，0.18），設(shè)該拋物線的頂點式為y＝ax2+0.0015，將A（0.85，0.18）代入解方程即可得到答案．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則拋物線頂點坐標(biāo)為（0，0.0015），A(1.7即A（0.85，0.18），設(shè)該拋物線的表達式為y＝ax2+0.0015，將A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015，得0.18＝0.852a+0.0015，解得a=21∴該拋物線的表達式為y=21【點評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，根據(jù)題中示意圖，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并設(shè)出拋物線表達式是解決問題的關(guān)鍵．四、解答題（二）：本大隨共3小題，每小題9分，共27分．19．（9分）（2025?廣東）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點A，C分別作AE∥DC，CE∥AB，AE與CE相交于點E．現(xiàn)有以下命題：命題1：若連接BE交CA于點F，則S△CFB＝2S△CEF．命題2：若連接ED，則ED⊥AC．命題3：若連接ED，則ED＝BC．任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．【分析】命題1：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到CD=DA=DB=12AB，判定四邊形ADCE是平行四邊形，進而得到四邊形ADCE是菱形，再由中位線的判定與性質(zhì)得到OD=12BC最后利用三角形面積公式求解即可得證；命題2：連接DE，交AC于O，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到CD=DA=DB=12AB判定四邊形ADCE是平行四邊形，進而得到四邊形ADCE是菱形即可得證；命題3：連接DE，交AC【解答】解：命題1：若連接BE交CA于點F，則S△CFB＝2S△CEF命題1是真命題，證明如下：連接DE，交AC于O，如圖所示：，∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=DA=DB=1∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵DA＝DC，∴四邊形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，且OA＝OC，OE＝OD，∵O為AC的中點，D為AB中點，∴DO是△ABC的中位線，則OD=1∴S△CFB=12CF?BC，S△CEF=12CF?OE，則S命題2：若連接ED，則ED⊥AC．命題2是真命題，證明如下：連接DE，交AC于O，如圖所示：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=DA=DB=1∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵DA＝DC，∴四邊形ADCE是菱形，∴AC⊥DE；命題3：若連接ED，則ED＝BC．命題3是真命題，證明如下：連接DE，交AC于O，如圖所示：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD=DA=DB=1∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴CE＝AD，∴CE＝DB，∵CE∥AB，∴四邊形BCED是平行四邊形，∴ED＝BC．【點評】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識，熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20．（9分）（2025?廣東）2025年2月，廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動時間不低于兩小時的通知》．某校為更好地落實文件精神并了解學(xué)生參加體育活動的情況，隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，并對所得數(shù)據(jù)進行處理．部分信息如下：調(diào)查問卷整理與描述1．你每天參加體育活動（含體育課）的時間（單位：小時）（）（單選）A．0.5≤x＜1B．1≤x＜1.5C．1.5≤x＜2D．x≥22．隨著體育活動時間的延長，學(xué)校擬增設(shè)體育活動項目，你希望增設(shè)的活動項目有（）（可多選）E．球類F．田徑類G．體操類H．水上類希望增設(shè)的活動項目統(tǒng)計表活動項目球類田徑類體操類水上類百分比72%23%40%46%根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．（2）估計該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)．（3）基于上述兩項調(diào)查的數(shù)據(jù)，提煉出一條信息，并向?qū)W校提出相應(yīng)的建議．【分析】（1）利用A選項的人數(shù)除以其占比即可求出結(jié)果；（2）利用1000乘樣本中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)所占的百分比即可；（3）建議合理即可．【解答】解：（1）35÷17.5%＝200（人），答：參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為200人；（2）1000×37.5%＝375（人），答：估計該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)為375人；（3）由調(diào)查可知，大部分同學(xué)每天參加體育活動時間低于兩小時，建議學(xué)校多提供一些球場等活動場所，多提供學(xué)生活動時間．（言之有理即可）【點評】本題主要考查條形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量關(guān)系是正確計算的前提，樣本估計總體是統(tǒng)計中常用的方法．21．（9分）（2025?廣東）綜合與實踐【閱讀材料】如圖1，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊長分別為a，b，c，則有asinA【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中A，B兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用洲距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設(shè)計】工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖2，在空曠地找一點C；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得∠A≈43°，∠B≈51°；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC≈341m，AC≈388.5m．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結(jié)論計算A，B兩島間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）【評價反思】（2）設(shè)計其他方案計算A，B兩島間的距離．要求：選用【方案設(shè)計】中的工具，寫出你的方案和所用的數(shù)學(xué)知識．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝86°，根據(jù)題意可得BCsinA=AB（2）運用解直角三角形、勾股定理等數(shù)學(xué)知識設(shè)計方案即可．【解答】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°，由題意得，BCsinA又∵BC≈341m，∴AB=BCsinC答：A，B兩島間的距離為499m；（2）工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點C，使得△ABC是銳角三角形；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得∠C的度數(shù)；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC＝am，AC＝bm．計算過程：過點A作AD⊥BC，則∠ADC＝∠ADB＝90°，∵在Rt△ACD中，sinC=ADAC，∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m），∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m），∵在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB=(bsinC答：A，B兩島間的距離為(bsinC【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．22．（13分）（2025?廣東）《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，則a，b，c為一組“勾股數(shù)”．如表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，24，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）請補全如表中的勾股數(shù)．（2）根據(jù)如表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示a，b，c，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．（3）某校計劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m．如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？【分析】（1）先由表中勾股數(shù)規(guī)律，令a＝10，b，c＝26，由勾股數(shù)定義列方程求解即可得到答案；（2）由表中數(shù)據(jù)，分別用代數(shù)式表示出a，b，c，再由整式混合運算求證即可得到答案；（3）確定直角三角形最短邊長度：已知每個三角形最短邊都種21株花，因為各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m，且頂點處都種一株花，所以每個直角三角形最短邊長為21﹣1＝20米，找出直角三角形三邊長度：查題干中的表可知，當(dāng)最短邊為20米時，直角三角形的三邊長分別為20米，21米，29米，由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，如圖所示，結(jié)合（2）中得到的規(guī)律，分析出一個直角三角形種植花數(shù)量即可得到答案．【解答】解：（1）由表中勾股數(shù)的規(guī)律可知，令a＝10，b，c＝26，則由勾股數(shù)定義可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，解得b＝24或b＝﹣24（舍去）；故答案為：24；（2）由題意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互質(zhì)且一奇一偶）；非本原勾股數(shù)：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k為正整數(shù)），證明：對于本原勾股數(shù)，計算a2+b2：（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2＝c2，非本原勾股數(shù)為k倍的本原勾股數(shù)，故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2]＝k2（m2+n2）2＝c2．同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立；（3）查表可以知道他的最短是202129這個勾股數(shù)，一個直角三角形三條邊的長度之和為20+21+29＝70米，因為圖案是由四個全等的直角三角形組成，所以需要種花70×4＝280株．【點評】本題考查勾股定理、整式加減乘法混合運算、平方差公式等知識，觀察分析所給表中勾股數(shù)，分類找準(zhǔn)規(guī)律并靈活運算解決實際問題是關(guān)鍵．23．（14分）（2025?廣東）定義：把某線段一分為二的點，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點．（1）如圖1，點P是線段MN的中外比點，MP＞PN，MN＝2，求PN的長．（2）如圖2，用無刻度的直尺和圓規(guī)求作一點C把線段AB分為中外比．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）如圖3，動點B在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象分別與矩形OABC的邊AB，BC相交于點D，E，與對角線OB相交于點F．當(dāng)△ODE是等腰直角三角形時，探究點D，E，F(xiàn)是否分別為AB，BC，【分析】（1）設(shè)PN＝x，根據(jù)題意MNMP=MP（2）①作線段AB的垂直平分線DE，交AB于點D；②過點B作BF⊥AB，且BF＝BD；③連接AF；④以點F為圓心，BF為半徑，畫弧，交AF于點G；⑤以點A為圓心，AG為半徑，畫弧，交AB于點C，點C即為線段AB的中外比點．設(shè)BD＝x，根據(jù)勾股定理求得AF=5x，繼而求得AG=AC=(5?1)x，BC=(3?5)x，分別代入ABAC（3）當(dāng)△ODE是等腰三角形時，點D、E、F分