第1頁（共1頁）2025年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用2B鉛筆將你的選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的方框涂黑1．（3分）（2025?綏化）下列數(shù)學(xué)符號(hào)是軸對(duì)稱圖形的是（）A．≠ B．≌ C．≥ D．±2．（3分）（2025?綏化）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2025年端午期間，我國(guó)民航客運(yùn)累計(jì)發(fā)送旅客560.1萬人次，把560.1萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．56.01×104 B．5.601×105 C．5.601×106 D．0.5601×1073．（3分）（2025?綏化）某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）A．圓柱 B．長(zhǎng)方體 C．圓錐 D．四棱柱4．（3分）（2025?綏化）如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B＝38°，則∠C的度數(shù)是（）A．16° B．30° C．38° D．76°5．（3分）（2025?綏化）下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．（﹣2m3）2＝4m6 C．(?3)2=?3 D．（x+3）（x﹣3）＝x6．（3分）（2025?綏化）兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是10cm和6cm，并且它們的周長(zhǎng)之和為48cm，那么較小三角形的周長(zhǎng)是（）A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm7．（3分）（2025?綏化）小新同學(xué)參加某次詩朗誦比賽，七位評(píng)委的打分是：7.0、7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10．工作人員根據(jù)評(píng)委所打的分?jǐn)?shù)對(duì)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)．如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，那么下列統(tǒng)計(jì)量中一定不發(fā)生變化的是（）A．平均數(shù) B．方差 C．眾數(shù) D．中位數(shù)8．（3分）（2025?綏化）一個(gè)矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為60°．則這個(gè)矩形的面積是（）A．25 B．253 C．255 D．5039．（3分）（2025?綏化）在⊙O中，如果75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，那么⊙O的半徑是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm10．（3分）（2025?綏化）用A，B兩種貨車運(yùn)輸化工原料，A貨車比B貨車每小時(shí)多運(yùn)輸15噸，A貨車運(yùn)輸450噸所用時(shí)間與B貨車運(yùn)輸300噸所用時(shí)間相等．若設(shè)B貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料x噸，則可列方程為（）A．30015+x=450xC．45015+x=30011．（3分）（2025?綏化）如圖，反比例函數(shù)y=kx經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，則A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣312．（3分）（2025?綏化）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．則下列結(jié)論：①a﹣c＞0；②方程ax2+bx+c﹣5＝0沒有實(shí)數(shù)根；③?83④a+b+cb?a其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)13．（3分）（2025?綏化）計(jì)算：（﹣1）2025+（?12025）0＝14．（3分）（2025?綏化）若式子1x+1有意義，則x的取值范圍是15．（3分）（2025?綏化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝．16．（3分）（2025?綏化）已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的兩個(gè)根，則（m+1）（n+1）＝．17．（3分）（2025?綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，把△ABC以原點(diǎn)O為位似中心放大，得到△A′B′C′．若點(diǎn)A和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)分別為（3，7），（﹣9，﹣21），則△ABC與△A′B′C′的相似比為．18．（3分）（2025?綏化）計(jì)算：1?x?yx+2y19．（3分）（2025?綏化）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC的比），堤壩高BC＝15m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度是．20．（3分）（2025?綏化）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，對(duì)角線BD＝43，點(diǎn)P是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM、CM．則PM+CM的最小值是．21．（3分）（2025?綏化）觀察如圖，圖（1）有2個(gè)三角形，記作a1＝2；圖（2）有3個(gè)三角形，記作a2＝3；圖（3）有6個(gè)三角形，記作a3＝6；圖（4）有11個(gè)三角形，記作a4＝11；按此方法繼續(xù)下去，則an＝（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）．22．（3分）（2025?綏化）在邊長(zhǎng)為7的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝2．點(diǎn)M是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MD，以MD為邊在MD的左側(cè)作等邊三角形MND，連接BN．當(dāng)△BND為直角三角形時(shí)，則CM的長(zhǎng)是．三、解答題（本題共6個(gè)小題，共54分）23．（7分）（2025?綏化）尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【初步嘗試】如圖（1），用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分．【拓展探究】如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請(qǐng)你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點(diǎn)O為圓心的弧CD，交OM于點(diǎn)C，交ON于點(diǎn)D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1：4．24．（7分）（2025?綏化）2025年1月，哈爾濱亞冬會(huì)舉辦前，亞冬會(huì)組委會(huì)為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊一致，隨機(jī)抽取部分志愿者，對(duì)其身高情況進(jìn)行了調(diào)查，將身高x（單位：cm）數(shù)據(jù)分為A、B、C、D、E五組，并制成了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．組別身高分組人數(shù)A155≤x＜1605B160≤x＜1654C165≤x＜170mD170≤x＜17512E175≤x＜1809根據(jù)以上信息回答：（1）這次抽查的志愿者共有人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中A的圓心角度數(shù)是，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）若B組的4人中，男女志愿者各有2人，從中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，請(qǐng)用列表法或畫材狀圖法，求出剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的概率．25．（12分）（2025?綏化）自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國(guó)的科技快速發(fā)展，“中國(guó)智造”正引領(lǐng)世界潮流．某科技公司計(jì)劃投入一筆資金用來購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的芯片．已知購(gòu)買1顆A型芯片和2顆B型芯片共需要750元，購(gòu)買2顆A型芯片和3顆B型芯片共需要1300元．（1）求購(gòu)買1顆A型芯片和1顆B型芯片各需要多少元．（2）若該公司計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的芯片共8000顆，其中購(gòu)買A型芯片的數(shù)量不少于B型芯片數(shù)量的3倍．當(dāng)購(gòu)買A型芯片多少顆時(shí)，所需資金最少，最少資金是多少元．（3）該公司用甲、乙兩輛芯片運(yùn)輸車，先后從M地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地N，兩車到達(dá)N地后均停止行駛．如圖，y甲（km）、y乙（km）分別是甲、乙兩車離M地的距離與甲車行駛的時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象信息解答下列問題：①甲車的速度是km/h．②當(dāng)甲、乙兩車相距30km時(shí)，直接寫出x的值．26．（7分）（2025?綏化）如圖，∠APO＝∠BPO，PA與⊙O相切于點(diǎn)M，連接OM，OP與⊙O相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥OM，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD交OM于點(diǎn)F．（1）求證：PB是⊙O的切線．（2）當(dāng)PC＝6，PM=54CD時(shí)，求線段27．（10分）（2025?綏化）綜合與實(shí)踐如圖．在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，作射線BD，點(diǎn)E是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為邊作正方形AEFG，連接CG交射線BD于點(diǎn)M，連接DG．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）請(qǐng)判斷BD與DG的位置關(guān)系，并利用圖（1）說明你的理由．【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）若DG＝a，請(qǐng)你用含a的代數(shù)式直接寫出∠CMB的正切值．【用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)】（3）設(shè)DE＝x，正方形AEFG的面積為S，請(qǐng)求出S與x的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量x的取值范圍）28．（11分）（2025?綏化）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣5交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝kx﹣5經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)A（1，0），B（﹣5，0），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)PE＝3ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)F是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)判斷在點(diǎn)B右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△AFP是以PF為斜邊的等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2025年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號(hào)1234567891011答案DC．ACBBDBACD題號(hào)12答案A一、單項(xiàng)選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用2B鉛筆將你的選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的方框涂黑1．（3分）（2025?綏化）下列數(shù)學(xué)符號(hào)是軸對(duì)稱圖形的是（）A．≠ B．≌ C．≥ D．±【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【解答】解：A，B，C選項(xiàng)中的數(shù)學(xué)符號(hào)都不能找到一條直線，使剪紙圖案沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；D選項(xiàng)中的數(shù)學(xué)符號(hào)能找到一條直線，剪紙圖案沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（3分）（2025?綏化）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2025年端午期間，我國(guó)民航客運(yùn)累計(jì)發(fā)送旅客560.1萬人次，把560.1萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．56.01×104 B．5.601×105 C．5.601×106 D．0.5601×107【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：560.1萬＝5601000＝5.601×106．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（3分）（2025?綏化）某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）A．圓柱 B．長(zhǎng)方體 C．圓錐 D．四棱柱【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體．【分析】根據(jù)主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體，根據(jù)俯視圖可知該幾何體是圓柱．【解答】解：根據(jù)主視圖和左視圖是矩形可知該幾何體是柱體，根據(jù)俯視圖是圓可知該幾何體是圓柱．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖判斷幾何體，理解視圖的定義，掌握簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的形狀是正確判斷的前提．4．（3分）（2025?綏化）如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B＝38°，則∠C的度數(shù)是（）A．16° B．30° C．38° D．76°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，根據(jù)角平分線定義得出∠EAD＝∠DAC，推出∠B＝∠C即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD是∠EAC的平分線，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝38°，∴∠C＝38°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．5．（3分）（2025?綏化）下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．（﹣2m3）2＝4m6 C．(?3)2=?3 D．（x+3）（x﹣3）＝x【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；平方差公式．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方與積的乘方法則、二次根式的性質(zhì)、平方差公式分別計(jì)算判斷即可．【解答】解：A、a3?a4＝a7，故此選項(xiàng)不符合題意；B、（﹣2m3）2＝4m6，故此選項(xiàng)符合題意；C、(?3)D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?綏化）兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是10cm和6cm，并且它們的周長(zhǎng)之和為48cm，那么較小三角形的周長(zhǎng)是（）A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)．【分析】設(shè)較小三角形的周長(zhǎng)為xcm，則較大三角形的周長(zhǎng)為（48﹣x）cm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到x：（48﹣x）＝6：10，然后利用比例的性質(zhì)求出x即可．【解答】解：設(shè)較小三角形的周長(zhǎng)為xcm，則較大三角形的周長(zhǎng)為（48﹣x）cm，∵兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是10cm和6cm，∴x：（48﹣x）＝6：10，解得x＝18，即較小三角形的周長(zhǎng)為18cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比．7．（3分）（2025?綏化）小新同學(xué)參加某次詩朗誦比賽，七位評(píng)委的打分是：7.0、7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10．工作人員根據(jù)評(píng)委所打的分?jǐn)?shù)對(duì)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)．如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，那么下列統(tǒng)計(jì)量中一定不發(fā)生變化的是（）A．平均數(shù) B．方差 C．眾數(shù) D．中位數(shù)【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；方差．【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義：位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分不影響中位數(shù)．【解答】解：去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分對(duì)中位數(shù)沒有影響，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大．8．（3分）（2025?綏化）一個(gè)矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為60°．則這個(gè)矩形的面積是（）A．25 B．253 C．255 D．503【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由矩形對(duì)角線性質(zhì)得半對(duì)角線長(zhǎng)為5，構(gòu)造邊長(zhǎng)為5且夾角60°的等邊三角形，求得矩形邊長(zhǎng)為5和53，面積為：5×5【解答】解：矩形對(duì)角線相等且互相平分，∴每段長(zhǎng)度為10÷2＝5．∵對(duì)角線交角為60°，形成的三角形為兩邊長(zhǎng)均為5，夾角為60°的三角形，符合等邊三角形特征，等邊三角形的第三邊長(zhǎng)度為5，因此矩形的一邊長(zhǎng)為5．設(shè)矩形兩鄰邊邊長(zhǎng)分別為a，b，根據(jù)矩形性質(zhì)，a2+b2＝102＝100，結(jié)合等邊三角形邊長(zhǎng)關(guān)系，解得a＝5，b=53矩形面積為：5×53故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)與三角形面積公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用對(duì)角線交角構(gòu)造特殊三角形，通過三角函數(shù)求出矩形邊長(zhǎng)，再計(jì)算面積．9．（3分）（2025?綏化）在⊙O中，如果75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，那么⊙O的半徑是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算．【分析】設(shè)⊙O的半徑是rcm，由弧長(zhǎng)公式得到75πr180=2.5π，求出r＝6，即可得到⊙【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是rcm，∴75πr180=2.5∴r＝6，∴⊙O的半徑是6cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式：l=nπr180（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為10．（3分）（2025?綏化）用A，B兩種貨車運(yùn)輸化工原料，A貨車比B貨車每小時(shí)多運(yùn)輸15噸，A貨車運(yùn)輸450噸所用時(shí)間與B貨車運(yùn)輸300噸所用時(shí)間相等．若設(shè)B貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料x噸，則可列方程為（）A．30015+x=450xC．45015+x=300【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程．【分析】設(shè)B貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料x噸，則A貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料（15+x）噸，根據(jù)A貨車運(yùn)輸450噸所用時(shí)間與B貨車運(yùn)輸300噸所用時(shí)間相等，列出分式方程即可．【解答】解：設(shè)B貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料x噸，則A貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料（15+x）噸，由題意得：45015+x故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．11．（3分）（2025?綏化）如圖，反比例函數(shù)y=kx經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，則A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】延長(zhǎng)DC，BA交于點(diǎn)E，設(shè)CD＝a（a＞0），則OB＝3a，求出OD=?ka，AB=?k3a，進(jìn)而得到S△DOC=S△AOB=?k2，證明四邊形OBED是矩形，再求出AE=?2k3a，CE＝2a，得到S△AEC=?2k3，根據(jù)S矩形OBED【解答】解：延長(zhǎng)DC，BA交于點(diǎn)E，設(shè)CD＝a（a＞0），∵CD：OB＝1：3，∴OB＝3a，∵AB⊥y軸，CD⊥x軸，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3a，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為a，∴a=kxC∴xC=ka，xA∵反比例函數(shù)y=kx經(jīng)過A、∴S△DOC∵∠EDO＝∠DOB＝∠EBO＝90°，∴四邊形OBED是矩形，BE=OD=?ka，DE＝OB＝3∴AE=BE?AB=?2k3a，CE＝DE﹣CD＝2∴S△AEC∴S矩形OBED∵S△ACO＝4，∴S矩形OBED﹣S△DOC﹣S△AOB﹣S△AEC＝S△ACO，即?3k?(?k∴k＝﹣3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握值幾何意義是關(guān)鍵．12．（3分）（2025?綏化）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．則下列結(jié)論：①a﹣c＞0；②方程ax2+bx+c﹣5＝0沒有實(shí)數(shù)根；③?83④a+b+cb?a其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點(diǎn)；根的判別式．【分析】根據(jù)題意得到圖象開口向上，對(duì)稱軸直線為?b2a=3?12=1，a＞0，則b＝﹣2a，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，代入計(jì)算可判定①；根據(jù)二次函數(shù)與直線y＝5的位置關(guān)系可判定②；根據(jù)題意得到【解答】解：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），圖象開口向上，∴對(duì)稱軸直線為?b∴b＝﹣2a，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正確；圖象開口向上，對(duì)稱軸直線為x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值x軸的下方，∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝5兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故②錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3，∴當(dāng)x＝0，y＝c＝m，∴﹣4＜c＜﹣3，∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，c=3∴?4＜32b＜?3解得，?當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a，∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0，∴a+b+cb?a＞0，故綜上所述，正確的有①③④，錯(cuò)誤的有②，∴錯(cuò)誤的有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象開口，對(duì)稱軸直線，最值的計(jì)算方法是關(guān)鍵．二、填空題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)13．（3分）（2025?綏化）計(jì)算：（﹣1）2025+（?12025）0＝【考點(diǎn)】零指數(shù)冪；有理數(shù)的乘方．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則，零指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：(?1)故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，掌握零指數(shù)冪運(yùn)算法則，有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2025?綏化）若式子1x+1有意義，則x的取值范圍是x＞﹣1【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．【分析】二次根式有意義即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式有意義即分母不為0，由此計(jì)算即可．【解答】解：若式子1x+1則x+1≥0且x+1≠0解得x＞﹣1，故答案為：x＞﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2025?綏化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝2m（x﹣y）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2＝2m（x2﹣2xy+y2）＝2m（x﹣y）2，故答案為：2m（x﹣y）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2025?綏化）已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的兩個(gè)根，則（m+1）（n+1）＝2027．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n＝2025，mn＝1，代入整理后的代數(shù)式，即可求解．【解答】解：∵m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的兩個(gè)根，∴m+n＝2025，mn＝1，∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027，故答案為：2027．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（3分）（2025?綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，把△ABC以原點(diǎn)O為位似中心放大，得到△A′B′C′．若點(diǎn)A和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)分別為（3，7），（﹣9，﹣21），則△ABC與△A′B′C′的相似比為13【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】根據(jù)位似變換的概念得到△ABC∽△A'B'C'，根據(jù)位似變換的性質(zhì)求出相似比．【解答】解：∵把△ABC以原點(diǎn)O為位似中心放大，得到△A'B'C'，∴△ABC∽△A'B'C'，∵點(diǎn)A和它對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)分別為（3，7），（﹣9，﹣21），∴△ABC與△A′B′C′的相似比為13故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．18．（3分）（2025?綏化）計(jì)算：1?x?yx+2y÷x【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)分式除法的運(yùn)算法則先算除法，再通分計(jì)算減法即可．【解答】解：原式＝1?=x+y=?y故答案為：?y【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)算法則來計(jì)算．19．（3分）（2025?綏化）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：2（斜面坡度是指坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC的比），堤壩高BC＝15m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度是153m．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC，再根據(jù)勾股定理求出AB．【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：2，∴BC：AC＝1：2，∵BC＝15m，∴AC＝152m，由勾股定理得：AB=BC2+AC故答案為：153m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．20．（3分）（2025?綏化）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，對(duì)角線BD＝43，點(diǎn)P是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PM、CM．則PM+CM的最小值是23．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，首先準(zhǔn)確找到點(diǎn)P的位置．根據(jù)菱形的性質(zhì)，作點(diǎn)P′和P關(guān)于BD對(duì)稱．則連接CP′．PM+CM的最小值即為CP′的長(zhǎng)．【解答】解：作點(diǎn)P′和P關(guān)于BD對(duì)稱．則連接CP′，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝4，P為CD中點(diǎn)，∴點(diǎn)P′是AD的中點(diǎn)，∴DP′=1∵BD＝43，AB＝AD＝4，∴∠BAD＝120°，∠ADC＝60°，∴CP′⊥AD，∴CP′＝23．PM+CM的最小值即為CP′的長(zhǎng)：23．故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．21．（3分）（2025?綏化）觀察如圖，圖（1）有2個(gè)三角形，記作a1＝2；圖（2）有3個(gè)三角形，記作a2＝3；圖（3）有6個(gè)三角形，記作a3＝6；圖（4）有11個(gè)三角形，記作a4＝11；按此方法繼續(xù)下去，則an＝n2﹣2n+3（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；列代數(shù)式．【分析】觀察圖形，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【解答】解：圖（1）有2個(gè)三角形，記作a1＝02+2＝2；圖（2）有3個(gè)三角形，記作a2＝12+2＝3；圖（3）有6個(gè)三角形，記作a3＝22+2＝6；圖（4）有11個(gè)三角形，記作a4＝32+2＝11；按此方法繼續(xù)下去，則an＝（n﹣1）2+2＝n2﹣2n+3．故答案為：n2﹣2n+3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律及列代數(shù)式，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．22．（3分）（2025?綏化）在邊長(zhǎng)為7的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝2．點(diǎn)M是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MD，以MD為邊在MD的左側(cè)作等邊三角形MND，連接BN．當(dāng)△BND為直角三角形時(shí)，則CM的長(zhǎng)是6或8或9．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【分析】過點(diǎn)D作DE∥|BC交BC于點(diǎn)E，分類討論，逐個(gè)分析，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)D作DE∥BC交BC于點(diǎn)E，①當(dāng)∠DBN＝90°時(shí)，如圖（1），∵△BAC，△DMN是等邊三角形，∠DBN＝90°，∴∠ABC＝∠DEB＝∠MDN＝∠BDE＝60°，DM＝DN，即△DBE是等邊三角形，∴BD＝DE＝BE＝2，∠NBE＝∠DBN﹣∠DBE＝30°，∠EDN+∠NDB＝∠NDB+∠MDB＝60°，∴∠EDN＝∠BDM，∴△DEN≌△DBM（SAS），∴∠DEN＝∠DBM＝180°﹣60°＝120°，BM＝NE，∴∠BEN＝∠DEN﹣∠DEB＝60°，∴∠BNE＝90°，∴NE=1即BM＝1，∴MC＝BC+BM＝7+1＝8．②當(dāng)∠BDN＝90°時(shí)，如圖（2）同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE＝∠BDN﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠NED＝∠MBD＝60°，即∠DMB＝∠DNE＝90°，∴BM=BDcos60°=2×1∴CM＝BC﹣BM＝6．③當(dāng)∠BND＝90°時(shí)，如圖（3）同理可證△DBN≌△DEM，DE＝BD＝2，∠DEM＝60°，∴∠DME＝∠DNB＝90°，∴ME=DEcos60°=2×1∴CM＝BC﹣BM＝6．④當(dāng)∠BDN＝90°時(shí)，如圖（4）同理可證△DBN≌△DME，DE＝BD＝BE＝2，∠DEM＝60°，∴∠MDE＝∠NDB＝90°，CE＝BC﹣BE＝5，∴ME=DE∴CM＝ME+CE＝9．綜上所述，CM的長(zhǎng)是6或8或9．故答案為：6或8或9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共6個(gè)小題，共54分）23．（7分）（2025?綏化）尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【初步嘗試】如圖（1），用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分．【拓展探究】如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請(qǐng)你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點(diǎn)O為圓心的弧CD，交OM于點(diǎn)C，交ON于點(diǎn)D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1：4．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；垂徑定理；相交兩圓的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．【分析】（1）作OP平分∠MON即可；（2）作線段ON的垂直平分線垂足為D，以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交OM于點(diǎn)C，弧CD即為所求．【解答】解：（1）如圖，射線OP即為所求；（2）如圖2中，弧CD即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，扇形的面積，線段的垂直平分線，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．24．（7分）（2025?綏化）2025年1月，哈爾濱亞冬會(huì)舉辦前，亞冬會(huì)組委會(huì)為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊一致，隨機(jī)抽取部分志愿者，對(duì)其身高情況進(jìn)行了調(diào)查，將身高x（單位：cm）數(shù)據(jù)分為A、B、C、D、E五組，并制成了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．組別身高分組人數(shù)A155≤x＜1605B160≤x＜1654C165≤x＜170mD170≤x＜17512E175≤x＜1809根據(jù)以上信息回答：（1）這次抽查的志愿者共有40人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中A的圓心角度數(shù)是45°，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）若B組的4人中，男女志愿者各有2人，從中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，請(qǐng)用列表法或畫材狀圖法，求出剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的概率．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；概率公式．【分析】（1）用條形統(tǒng)計(jì)圖中D的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中D的百分比可得這次抽查的志愿者人數(shù)；用360°乘以A的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案；求出C組的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可．（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）這次抽查的志愿者共有12÷30%＝40（人）．扇形統(tǒng)計(jì)圖中A的圓心角度數(shù)是360°×5故答案為：40；45°．C組的人數(shù)為40×25%＝10（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．（2）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的結(jié)果有2種，∴剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的概率為212【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、頻數(shù)（率）分布表、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、概率公式，能夠讀懂統(tǒng)計(jì)圖表，掌握列表法與樹狀圖法、概率公式是解答本題的關(guān)鍵．25．（12分）（2025?綏化）自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國(guó)的科技快速發(fā)展，“中國(guó)智造”正引領(lǐng)世界潮流．某科技公司計(jì)劃投入一筆資金用來購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的芯片．已知購(gòu)買1顆A型芯片和2顆B型芯片共需要750元，購(gòu)買2顆A型芯片和3顆B型芯片共需要1300元．（1）求購(gòu)買1顆A型芯片和1顆B型芯片各需要多少元．（2）若該公司計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的芯片共8000顆，其中購(gòu)買A型芯片的數(shù)量不少于B型芯片數(shù)量的3倍．當(dāng)購(gòu)買A型芯片多少顆時(shí)，所需資金最少，最少資金是多少元．（3）該公司用甲、乙兩輛芯片運(yùn)輸車，先后從M地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地N，兩車到達(dá)N地后均停止行駛．如圖，y甲（km）、y乙（km）分別是甲、乙兩車離M地的距離與甲車行駛的時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象信息解答下列問題：①甲車的速度是80km/h．②當(dāng)甲、乙兩車相距30km時(shí)，直接寫出x的值1.5或4.5或6.5．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【分析】（1）分別設(shè)購(gòu)買1顆A型芯片和1顆B型芯片的單價(jià)為未知數(shù)，根據(jù)題意列二元一次方程組并求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買A型芯片a顆，則購(gòu)買B型芯片（8000﹣a）顆，根據(jù)題意列關(guān)于a的一元一次不等式并示其解集，設(shè)所需資金W元，寫出W關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性和a的取值范圍，確定當(dāng)a取何值時(shí)W值最小，求出其最小值即可；（3）①根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間求出乙車的速度，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間求出3h時(shí)y乙的值，從而根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間求出甲車的速度即可；②分別寫出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)x的取值范圍，當(dāng)甲、乙兩車相距30km時(shí)分別列關(guān)于x的方程并求解即可．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買1顆A型芯片需要m元，購(gòu)買1顆B型芯片需要n元．根據(jù)題意，得m+2n=7502m+3n=1300解得m=350n=200答：購(gòu)買1顆A型芯片需要350元，購(gòu)買1顆B型芯片需要200元．（2）設(shè)購(gòu)買A型芯片a顆，則購(gòu)買B型芯片（8000﹣a）顆．根據(jù)題意，得a≥3（8000﹣a），解得a≥6000，設(shè)所需資金W元，則W＝350a+200（8000﹣a）＝150a+1600000，∵150＞0，∴W隨a的增大而增大，∵a≥6000，∴當(dāng)a＝6000時(shí)W值最小，W最小＝150×6000+1600000＝2500000（元）．答：當(dāng)購(gòu)買A型芯片6000顆時(shí)，所需資金最少，最少資金是2500000元．（3）①乙車的速度為（480﹣60）÷7＝60（km/h），當(dāng)x＝3時(shí)，y乙＝60+60×3＝240，則甲車的速度為240÷3＝80（km/h）．故答案為：80．②y甲＝80x，當(dāng)80x＝480時(shí)，解得x＝6，∴y甲與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲＝80x（0≤x≤6），y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙＝60x+60（0≤x≤7），當(dāng)0≤x≤6時(shí)，當(dāng)甲、乙兩車相距30km時(shí)，得|y乙﹣y甲|＝30，即|60x+60﹣80x|＝30，解得x＝1.5或4.5，當(dāng)6＜x≤7時(shí)，當(dāng)甲、乙兩車相距30km時(shí)，得480﹣y乙＝30，即480﹣（60x+60）＝30，解得x＝6.5，∴當(dāng)甲、乙兩車相距30km時(shí)，x的值為1.5或4.5或6.5．故答案為：1.5或4.5或6.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，掌握二元一次方程組、一元一次不等式的解法，一次函數(shù)的增減性，時(shí)間、速度和路程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（7分）（2025?綏化）如圖，∠APO＝∠BPO，PA與⊙O相切于點(diǎn)M，連接OM，OP與⊙O相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥OM，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD交OM于點(diǎn)F．（1）求證：PB是⊙O的切線．（2）當(dāng)PC＝6，PM=54CD時(shí)，求線段【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）過點(diǎn)O作ON⊥PB于點(diǎn)N，證明△PMO≌△PNO（AAS），則ON＝OM，由OM為⊙O的半徑得到ON為⊙O的半徑，由ON⊥PB即可證明PB是⊙O的切線；由角平分線的性質(zhì)定理得到ON＝OM，由OM為⊙O的半徑得到ON為⊙O的半徑，由ON⊥PB即可證明PB是⊙O的切線；（2）證明△OMP∽△OEC，則CEPM=OCOP，求出OC＝4，則OC＝OM＝4，在Rt△MOP中，求出PM=221得到CE=DE=4215OE=85，證明△MFP∽△EFD，則FMEF【解答】（1）方法一：證明：過點(diǎn)O作ON⊥PB于點(diǎn)N，∵ON⊥PB，∴∠PNO＝90°，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)M，∴OM⊥PA，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，∵∠APO＝∠BPO，PO＝PO，∴△PMO≌△PNO（AAS），∴ON＝OM，∵OM為⊙O的半徑，∴ON為⊙O的半徑，∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切線；方法二：證明：過點(diǎn)O作ON⊥PB于點(diǎn)N，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)M，∴OM⊥PA，∵∠APO＝∠BPO，∴PO是∠APB的平分線，∴ON＝OM，∵OM為⊙O的半徑，∴ON為⊙O的半徑，∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切線；（2）∵CD⊥OM，OM為半徑，∴CE=DE=1∵PM=5∴CDPM∴CEPM∵∠OMP＝90°，∠OEC＝90°，∴CD∥PM，∴△OMP∽△OEC，∴CEPM＝OC∵PC＝6，∴25＝OC∴OC＝4，∴OC＝OM＝4，在Rt△MOP中，PM＝OP2?OM2∴CE＝DE＝4215，OE＝OC2?C∵∠FMP＝∠FED，∠MFP＝∠EFD，∴△MFP∽△EFD，∴MFEF設(shè)MF＝x，則EF=4?x?8∴x12解得x=12∴MF=12【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．27．（10分）（2025?綏化）綜合與實(shí)踐如圖．在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，作射線BD，點(diǎn)E是射線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為邊作正方形AEFG，連接CG交射線BD于點(diǎn)M，連接DG．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）請(qǐng)判斷BD與DG的位置關(guān)系，并利用圖（1）說明你的理由．【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）若DG＝a，請(qǐng)你用含a的代數(shù)式直接寫出∠CMB的正切值2a+88【用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)】（3）設(shè)DE＝x，正方形AEFG的面積為S，請(qǐng)求出S與x的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量x的取值范圍）【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】（1）證明△BAE≌△DAG（SAS），導(dǎo)角即可得解；（2）由題易知tan∠CMB＝tan∠DMG=DGDM，所以求出用a表示出DM即可，連接AC交BC于點(diǎn)O，易證△CMO∽△GMD，利用相似比求出（3）分類討論，解△ADE即可得解．【解答】解：（1）BD⊥DG，理由如下；在正方形ABCD和正方形AEFG中，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°﹣∠DAE，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADG+∠ADB＝90°，即∠BDG＝90°，∴BD⊥DG；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，則∠COD＝90°，∵正方形邊長(zhǎng)為8，∴AC＝BD=2∴OC＝OD＝42，∴OM＝OD﹣DM＝42?DM∵∠COM＝∠GDM＝90°，∠CMO＝∠GMD，∴△CMO∽△GMD，∴DGOC=DM解得DM=4∵∠BDG＝90°，∴tan∠CMB＝tan∠DMG=DGDM=故答案為：2a+8（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，如圖，過E作EK⊥AD于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADE＝45°，∴△DEK為等腰直角三角形，∴DK＝EK＝DE?sin45°=22∴AK＝AD﹣DK＝8?22在Rt△AKE中，AE2＝EK2+AK2＝（22x）2+（8?2＝x2﹣82x+64，∴S＝AE2＝x2﹣82x+64；當(dāng)點(diǎn)E在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過E作EL⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，