第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意．每小題3分，共18分）1．（3分）（2025?吉林）如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)是1．若將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．42．（3分）（2025?吉林）一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對(duì)面上的字為（）A．我 B．中 C．國(guó) D．夢(mèng)3．（3分）（2025?吉林）計(jì)算（2a2）3的結(jié)果為（）A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a64．（3分）（2025?吉林）不等式x﹣3＞2的解集為（）A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣15．（3分）（2025?吉林）如圖，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片在風(fēng)的吹動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為（）A．90° B．120° C．150° D．180°6．（3分）（2025?吉林）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊BA，BC于點(diǎn)M，N；（2）以點(diǎn)C為圓心，BN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊CB于點(diǎn)N′；再以點(diǎn)N′為圓心，MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前一條以點(diǎn)C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點(diǎn)M′；（3）過(guò)點(diǎn)M′畫(huà)射線CM′交邊AB于點(diǎn)D．下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC二、填空題（每小題3分，共15分）7．（3分）（2025?吉林）因式分解：a2﹣ab＝．8．（3分）（2025?吉林）計(jì)算：3+129．（3分）（2025?吉林）《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步．問(wèn)車(chē)幾何？其譯文為：有若干人乘車(chē)，若每3人同乘一車(chē)，最終剩余2輛空車(chē)；若每2人同乘一車(chē)，最終剩下9人因無(wú)車(chē)可乘而步行．問(wèn)有多少輛車(chē)？為解決此問(wèn)題，設(shè)共有x輛車(chē)，可列方程為．10．（3分）（2025?吉林）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則∠F的大小為度．11．（3分）（2025?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，畫(huà)半徑為1的⊙A和⊙B．當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為．（結(jié)果保留三、解答題（本題共11小題，共87分）12．（6分）（2025?吉林）先化簡(jiǎn)，再求值：aa?1?a13．（6分）（2025?吉林）在“健康中國(guó)2030”與“體重管理年”的行動(dòng)引領(lǐng)下，某校田徑社團(tuán)開(kāi)展了“2025健康長(zhǎng)跑”活動(dòng)．由于參加的人數(shù)較多，場(chǎng)地空間有限，活動(dòng)將分A，B，C三組進(jìn)行，每人只能被隨機(jī)分配到其中一組，分組工作由計(jì)算機(jī)軟件完成．請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求參與者小剛和小利被分配到同一組的概率．14．（6分）（2025?吉林）吉林省長(zhǎng)白山盛產(chǎn)人參、為促進(jìn)我省特色經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價(jià)分別為每盒25元和20元．某游客購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種商品共10盒，花費(fèi)230元．求該游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．15．（7分）（2025?吉林）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求證：△ABE≌△DCF．（2）當(dāng)AB＝12，DF＝13時(shí)，求BE的長(zhǎng)．16．（7分）（2025?吉林）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．△ABC內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．（1）在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合）；畫(huà)出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)E，畫(huà)出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．17．（7分）（2025?吉林）端午節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日．某食品公司為迎接端午節(jié)的到來(lái)，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子比賽，規(guī)定：粽子質(zhì)量為（150±9）克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為合格；粽子質(zhì)量為（150±3）克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀．共有甲、乙兩個(gè)小組參加比賽，他們?cè)谙嗤瑫r(shí)間內(nèi)分別包了220個(gè)和200個(gè)粽子，質(zhì)檢員小李從甲、乙兩個(gè)參賽小組所包粽子中各隨機(jī)抽檢10個(gè)，分別對(duì)它們的質(zhì)量整理和分析，得到如下信息：被抽檢粽子的質(zhì)量（單位：克）分布甲組144146147148150152152152154155乙組146147147150150151153154155被抽檢粽子質(zhì)量的平均數(shù)和眾數(shù)（單位：克）統(tǒng)計(jì)參賽小組平均數(shù)眾數(shù)甲組150152乙組150147根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在被抽檢粽子的質(zhì)量分布表中，有一個(gè)數(shù)據(jù)缺失，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明缺失數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的粽子的質(zhì)量等級(jí)是否為優(yōu)秀？（2）此次比賽規(guī)定：相同時(shí)間內(nèi)所包粽子中質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀的個(gè)數(shù)較多的小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)．估計(jì)甲、乙兩個(gè)參賽小組哪組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，并說(shuō)明理由．18．（8分）（2025?吉林）綜合與實(shí)踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項(xiàng)目提出：如圖是某城市規(guī)劃展覽館，樹(shù)人中學(xué)的3D打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算展覽館高度，為制作3D打印模型提供數(shù)據(jù)．項(xiàng)目報(bào)告表時(shí)間：2025年5月29日項(xiàng)目分析活動(dòng)目標(biāo)測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其3D打印模型的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺項(xiàng)目?實(shí)施任務(wù)一測(cè)量數(shù)據(jù)以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了如圖所示的測(cè)量草圖．1．測(cè)出測(cè)角儀的高CD＝1.4m．2．利用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端A的仰角∠ACE＝61°．3．測(cè)出測(cè)角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離DB＝42m．任務(wù)二計(jì)算實(shí)際高度根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1：400等比例縮小，得到其3D打印模型的高度約為cm．（結(jié)果精確到1cm）項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數(shù)據(jù)請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三．19．（8分）（2025?吉林）如圖，在△ABC中，AB＝32，BC＝5，∠BAC＝45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點(diǎn)D和點(diǎn)B始終在邊AC同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（x＞0），正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．（1）AC的長(zhǎng)為．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（3）當(dāng)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．20．（10分）（2025?吉林）【知識(shí)鏈接】實(shí)驗(yàn)?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：如圖①，在兩個(gè)完全相同的溢水杯中，分別盛滿甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個(gè)質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測(cè)力計(jì)A、B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過(guò)觀察彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計(jì)）實(shí)驗(yàn)結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān)．物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．總結(jié)公式：當(dāng)小鋁塊位于液面上方時(shí)，F(xiàn)拉力＝G重力；當(dāng)小鋁塊浸入液面后，F(xiàn)拉力＝G重力﹣F浮力．【建立模型】在實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測(cè)力計(jì)A，B各自的示數(shù)F拉力（N）與小鋁塊各自下降的高度x（cm）之間的關(guān)系如圖②所示．【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)小鋁塊下降10cm時(shí)，直接寫(xiě)出彈簧測(cè)力計(jì)A和彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)．（2）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，求彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)A懸掛的小鋁塊下降8cm時(shí)，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為m（N），若使乙液體中的小鋁塊所受的浮力也為m（N），則乙液體中小鋁塊浸入的深度為n（cm），直接寫(xiě)出m，n的值．21．（10分）（2025?吉林）【問(wèn)題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個(gè)內(nèi)角為60°的平行四邊形的折疊問(wèn)題．其探究過(guò)程如下：【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊DC上，且DF＝DE，連接EF，將△DEF沿EF翻折得到△GEF，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G．小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形DEGF是一個(gè)特殊的四邊形，請(qǐng)判斷該四邊形的形狀，不需要說(shuō)明理由．【探究證明】取圖①中的邊BC的中點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊AB上，且BN＝BM，連接MN，將△BMN沿MN翻折得到△HMN，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)H，連接FH，GN，如圖②，求證：四邊形GFHN是平行四邊形．【探究提升】在圖②中，四邊形GFHN能否成為軸對(duì)稱圖形．如果能，直接寫(xiě)出ADAB22．（12分）（2025?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣1）．點(diǎn)P在此拋物線上．其橫坐標(biāo)為m；連接PO并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使OQ＝2PO．當(dāng)點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的垂線，這兩條垂線交于點(diǎn)M．（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（2）△PQM被y軸分成的兩部分圖形的面積比是否保持不變，如果不變，直接寫(xiě)出這個(gè)面積比；如果變化，說(shuō)明理由．（3）當(dāng)△PQM的邊MQ經(jīng)過(guò)此拋物線的最低點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（4）當(dāng)此拋物線在△PQM內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

2025年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案BCDABD一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意．每小題3分，共18分）1．（3分）（2025?吉林）如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)是1．若將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．4【考點(diǎn)】數(shù)軸．【分析】根據(jù)左減右加列式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：點(diǎn)A′表示的數(shù)為1﹣3＝﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)軸，本題考查了數(shù)軸，熟記數(shù)軸上的數(shù)的移動(dòng)，左減右加是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2025?吉林）一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對(duì)面上的字為（）A．我 B．中 C．國(guó) D．夢(mèng)【考點(diǎn)】專題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字．【分析】根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的特征進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的“相間、Z端是對(duì)面”可知，“國(guó)”與“的”是對(duì)面，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，掌握正方體表面展開(kāi)圖的特征是正確解答的關(guān)鍵．3．（3分）（2025?吉林）計(jì)算（2a2）3的結(jié)果為（）A．2a5 B．2a6 C．8a5 D．8a6【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方．【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（2a2）3＝23?（a2）3＝8a6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．4．（3分）（2025?吉林）不等式x﹣3＞2的解集為（）A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【考點(diǎn)】解一元一次不等式．【分析】移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可得出答案．【解答】解：∵x﹣3＞2，∴移項(xiàng)得：x＞2+3，合并同類項(xiàng)得：x＞5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．5．（3分）（2025?吉林）如圖，風(fēng)力發(fā)電機(jī)的葉片在風(fēng)的吹動(dòng)下轉(zhuǎn)動(dòng)，使風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能．圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為（）A．90° B．120° C．150° D．180°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．【分析】先求出正三角形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：360°÷3＝120°，圖中的三個(gè)葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α后，能夠與它本身重合，則角α的大小可以為120°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，掌握正三角形的中心角是關(guān)鍵．6．（3分）（2025?吉林）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊BA，BC于點(diǎn)M，N；（2）以點(diǎn)C為圓心，BN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊CB于點(diǎn)N′；再以點(diǎn)N′為圓心，MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前一條以點(diǎn)C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點(diǎn)M′；（3）過(guò)點(diǎn)M′畫(huà)射線CM′交邊AB于點(diǎn)D．下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】判斷出選項(xiàng)A，B，C正確可得結(jié)論．【解答】解：由作圖可知∠B＝∠DCB＝45°，∴DB＝DC，∠BDC＝90°，故選項(xiàng)A，B，C正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．二、填空題（每小題3分，共15分）7．（3分）（2025?吉林）因式分解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【分析】直接提公因式a即可．【解答】解：原式＝a（a﹣b），故答案為：a（a﹣b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法分解因式，掌握提公因式法是正確解答的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?吉林）計(jì)算：3+12=【考點(diǎn)】二次根式的加減法．【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可．【解答】解：3+故答案為：33【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2025?吉林）《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步．問(wèn)車(chē)幾何？其譯文為：有若干人乘車(chē)，若每3人同乘一車(chē)，最終剩余2輛空車(chē)；若每2人同乘一車(chē)，最終剩下9人因無(wú)車(chē)可乘而步行．問(wèn)有多少輛車(chē)？為解決此問(wèn)題，設(shè)共有x輛車(chē)，可列方程為3（x﹣2）＝2x+9．【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程．【分析】根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得：3（x﹣2）＝2x+9．故答案為：3（x﹣2）＝2x+9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2025?吉林）如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則∠F的大小為36度．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式求出∠ABC＝∠BCD=(5?2)×180°5=108°，然后再根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)，可得：∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，即可求出∠FBC，∠BCF【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝∠BCD=(5?2)×180°∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°，在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣72°﹣72°＝108°﹣72°＝36°．故答案為：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和公式，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（3分）（2025?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，畫(huà)半徑為1的⊙A和⊙B．當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，連接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為π3【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．【分析】根據(jù)題意得到AC＝BD＝1，則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入解析式求得A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得∠OAC＝60°，利用扇形的面積公式即可求得兩個(gè)象限中扇形的面積，進(jìn)一步求得陰影部分圖形的面積和．【解答】解：當(dāng)⊙A，⊙B分別與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，∴AC⊥x軸，BD⊥x軸，∵半徑為1，∴AC＝BD＝1，∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，把y＝1代入y=3x，求得x∴A（3，1），∴OC=3，AC∴tan∠OAC=OC∴∠OAC＝60°，∴第一象限中陰影的面積S1=60π×同理，第一象限中陰影的面積S2=π∴S陰影=π故答案為：π3【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的問(wèn)題，考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，扇形的面積，求得∠OAC＝60°是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共11小題，共87分）12．（6分）（2025?吉林）先化簡(jiǎn)，再求值：aa?1?a【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值．【分析】先將分子因式分解，再約分即可化簡(jiǎn)原式，繼而將a的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式=aa?1＝a+1，當(dāng)a＝2025時(shí)，原式＝a+1＝2025+1＝2026．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．13．（6分）（2025?吉林）在“健康中國(guó)2030”與“體重管理年”的行動(dòng)引領(lǐng)下，某校田徑社團(tuán)開(kāi)展了“2025健康長(zhǎng)跑”活動(dòng)．由于參加的人數(shù)較多，場(chǎng)地空間有限，活動(dòng)將分A，B，C三組進(jìn)行，每人只能被隨機(jī)分配到其中一組，分組工作由計(jì)算機(jī)軟件完成．請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求參與者小剛和小利被分配到同一組的概率．【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；概率公式．【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小剛和小利被分配到同一組的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中小剛和小利被分配到同一組的結(jié)果有3種，∴小剛和小利被分配到同一組的概率是39【點(diǎn)評(píng)】此題考查了用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．（6分）（2025?吉林）吉林省長(zhǎng)白山盛產(chǎn)人參、為促進(jìn)我省特色經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出售，甲、乙兩種商品的售價(jià)分別為每盒25元和20元．某游客購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種商品共10盒，花費(fèi)230元．求該游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．【分析】設(shè)游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品x盒，購(gòu)買(mǎi)乙種商品y盒，根據(jù)游客購(gòu)買(mǎi)了甲、乙兩種商品共10盒，花費(fèi)230元列方程組即可解得答案．【解答】解：設(shè)游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品x盒，購(gòu)買(mǎi)乙種商品y盒，根據(jù)題意得：x+y=1025x+20y=230解得x=6y=4答：游客購(gòu)買(mǎi)甲種商品6盒，購(gòu)買(mǎi)乙種商品4盒．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組．15．（7分）（2025?吉林）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求證：△ABE≌△DCF．（2）當(dāng)AB＝12，DF＝13時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，然后利用ASA即可證明△ABE≌△DCF；（2）由（1）△ABE≌△DCF，得AE＝DF＝13，根據(jù)勾股定理即可求出BE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABE和△DCF中，∠BAE=∠CDFAB=CD∴△ABE≌△DCF（ASA）；（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，∴AE＝DF＝13，∵AB＝12，∴BE=A【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（7分）（2025?吉林）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．△ABC內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．（1）在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合）；畫(huà)出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．（2）在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)E，畫(huà)出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【分析】（1）利用圓周角定理作出圖形；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)作出圖形．【解答】解：（1）如圖①中，點(diǎn)D即為所求（答案不唯一）；（2）如圖②中，點(diǎn)E即為所求（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣一一與設(shè)計(jì)作圖，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．17．（7分）（2025?吉林）端午節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日．某食品公司為迎接端午節(jié)的到來(lái)，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子比賽，規(guī)定：粽子質(zhì)量為（150±9）克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為合格；粽子質(zhì)量為（150±3）克時(shí)，其質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀．共有甲、乙兩個(gè)小組參加比賽，他們?cè)谙嗤瑫r(shí)間內(nèi)分別包了220個(gè)和200個(gè)粽子，質(zhì)檢員小李從甲、乙兩個(gè)參賽小組所包粽子中各隨機(jī)抽檢10個(gè)，分別對(duì)它們的質(zhì)量整理和分析，得到如下信息：被抽檢粽子的質(zhì)量（單位：克）分布甲組144146147148150152152152154155乙組146147147150150151153154155被抽檢粽子質(zhì)量的平均數(shù)和眾數(shù)（單位：克）統(tǒng)計(jì)參賽小組平均數(shù)眾數(shù)甲組150152乙組150147根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在被抽檢粽子的質(zhì)量分布表中，有一個(gè)數(shù)據(jù)缺失，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明缺失數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的粽子的質(zhì)量等級(jí)是否為優(yōu)秀？（2）此次比賽規(guī)定：相同時(shí)間內(nèi)所包粽子中質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀的個(gè)數(shù)較多的小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)．估計(jì)甲、乙兩個(gè)參賽小組哪組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】眾數(shù)；分式方程的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可；（2）利用樣本估計(jì)總體求出甲、乙小組優(yōu)秀等級(jí)的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：（1）因?yàn)橐医M質(zhì)量的眾數(shù)為147，所以缺失的數(shù)據(jù)為147，且147＝150﹣3，質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀；（2）乙參賽小組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由如下：甲組優(yōu)秀個(gè)數(shù)約為220×6乙組優(yōu)秀個(gè)數(shù)約為200×7所以乙參賽小組能獲得獎(jiǎng)勵(lì)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查眾數(shù)、樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)的定義，并利用樣本估計(jì)總體求出兩個(gè)小組優(yōu)秀等級(jí)個(gè)數(shù)．18．（8分）（2025?吉林）綜合與實(shí)踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項(xiàng)目提出：如圖是某城市規(guī)劃展覽館，樹(shù)人中學(xué)的3D打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算展覽館高度，為制作3D打印模型提供數(shù)據(jù)．項(xiàng)目報(bào)告表時(shí)間：2025年5月29日項(xiàng)目分析活動(dòng)目標(biāo)測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其3D打印模型的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、皮尺項(xiàng)目?實(shí)施任務(wù)一測(cè)量數(shù)據(jù)以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了如圖所示的測(cè)量草圖．1．測(cè)出測(cè)角儀的高CD＝1.4m．2．利用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端A的仰角∠ACE＝61°．3．測(cè)出測(cè)角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離DB＝42m．任務(wù)二計(jì)算實(shí)際高度根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度．（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）任務(wù)三換算模型高度將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1：400等比例縮小，得到其3D打印模型的高度約為19cm．（結(jié)果精確到1cm）項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數(shù)據(jù)請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【分析】任務(wù)一，在Rt△AEC中利用三角函數(shù)求出AE長(zhǎng)，結(jié)合測(cè)角儀的高度，得到結(jié)果；任務(wù)二，利用所給的比例對(duì)計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行換算即可．【解答】解：任務(wù)二，計(jì)算實(shí)際高度，∵依題意，四邊形EBDC為矩形，∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，∴AE＝CE?tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），答：該城市規(guī)劃展覽館AB的高度約為77m；任務(wù)三，換算模型高度，設(shè)3D打即模型的高度為xm，∵x：77＝1：400，解得x＝0.1925，∴3D打即模型的高度為0.1925m，∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，∴3D打即模型的高度約為19cm，故答案為：19．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2025?吉林）如圖，在△ABC中，AB＝32，BC＝5，∠BAC＝45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點(diǎn)D和點(diǎn)B始終在邊AC同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（x＞0），正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．（1）AC的長(zhǎng)為7．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．（3）當(dāng)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；函數(shù)關(guān)系式；勾股定理．【分析】（1）當(dāng)B，D重合時(shí)，通過(guò)勾股定理分別求出AP，CP即可求解；（2）將正方形APDE與△ABC重疊部分圖形的面積分割成一個(gè)三角形的面積和直角梯形的面積之和來(lái)求解即可；（3）根據(jù)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，得出AD=2AB=62【解答】解：（1）當(dāng)B，D重合時(shí)，如下圖：∵∠BAC＝45°，以AP為邊作正方形APDE，∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，AB2=A解得：AP＝3（負(fù)的舍去），∵BC＝5，∠DPC＝90°，∴PC=B∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，故答案為：7；（2）當(dāng)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=12AP?BP=當(dāng)D在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即點(diǎn)P在線段PC上運(yùn)動(dòng)，如下圖：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，∵FP′//BP，∴∠CFP′＝∠CBP，∠CP′F＝∠CPB，∴△CFP′∽△CBP，∴CP′CP∴7?x4解得：FP′=21?3x∴y＝S△APD+S梯形PP′FB=12x2+3+21?3x42×（x﹣3）=?∴y=1（3）當(dāng)正方形APDE的對(duì)稱中心與點(diǎn)B重合時(shí)，∴AD=2AB=62∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，即2AP2＝72，解得：AP＝6，∴x＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形問(wèn)題，正方形的性質(zhì)、三角形相似、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．20．（10分）（2025?吉林）【知識(shí)鏈接】實(shí)驗(yàn)?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)實(shí)驗(yàn)過(guò)程：如圖①，在兩個(gè)完全相同的溢水杯中，分別盛滿甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個(gè)質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測(cè)力計(jì)A、B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過(guò)觀察彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計(jì)）實(shí)驗(yàn)結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān)．物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．總結(jié)公式：當(dāng)小鋁塊位于液面上方時(shí)，F(xiàn)拉力＝G重力；當(dāng)小鋁塊浸入液面后，F(xiàn)拉力＝G重力﹣F浮力．【建立模型】在實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測(cè)力計(jì)A，B各自的示數(shù)F拉力（N）與小鋁塊各自下降的高度x（cm）之間的關(guān)系如圖②所示．【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)小鋁塊下降10cm時(shí)，直接寫(xiě)出彈簧測(cè)力計(jì)A和彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)．（2）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，求彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式．（3）當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)A懸掛的小鋁塊下降8cm時(shí)，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為m（N），若使乙液體中的小鋁塊所受的浮力也為m（N），則乙液體中小鋁塊浸入的深度為n（cm），直接寫(xiě)出m，n的值．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）觀察圖象即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可；（3）當(dāng)x＝8時(shí)，求出彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)F拉力，根據(jù)F拉力＝G重力﹣F浮力求出m的值；利用待定系數(shù)法求出當(dāng)6≤x≤10時(shí)，設(shè)彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)x的值并再減去6cm，即n的值．【解答】解：（1）當(dāng)小鋁塊下降10cm時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)為2.8N，彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)為2.5N．（2）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，設(shè)彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0），將坐標(biāo)（6，4）和（10，2.8）分別代入F拉力＝kx+b，得6k+b=410k+b=2.8解得k=?0.3b=5.8∴當(dāng)6≤x≤10時(shí)，設(shè)彈簧測(cè)力計(jì)A的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．（3）根據(jù)圖象，圓柱體小鋁塊所受重力為4N，當(dāng)x＝8時(shí)，F(xiàn)拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，4﹣3.4＝0.6（N），∴m＝0.6，當(dāng)6≤x≤10時(shí)，設(shè)彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝k1x+b1（k1、b1為常數(shù)，且k1≠0），將坐標(biāo)（6，4）和（10，2.5）分別代入為F拉力＝k1x+b1，得6k解得k1∴當(dāng)6≤x≤10時(shí)，設(shè)彈簧測(cè)力計(jì)B的示數(shù)F拉力關(guān)于x的函數(shù)解析式為F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），當(dāng)﹣0.375x+6.25＝3.4時(shí)，解得x＝7.6，7.6﹣6＝1.6（cm），∴n＝1.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．21．（10分）（2025?吉林）【問(wèn)題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個(gè)內(nèi)角為60°的平行四邊形的折疊問(wèn)題．其探究過(guò)程如下：【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊DC上，且DF＝DE，連接EF，將△DEF沿EF翻折得到△GEF，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G．小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形DEGF是一個(gè)特殊的四邊形，請(qǐng)判斷該四邊形的形狀，不需要說(shuō)明理由．【探究證明】取圖①中的邊BC的中點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊AB上，且BN＝BM，連接MN，將△BMN沿MN翻折得到△HMN，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)H，連接FH，GN，如圖②，求證：四邊形GFHN是平行四邊形．【探究提升】在圖②中，四邊形GFHN能否成為軸對(duì)稱圖形．如果能，直接寫(xiě)出ADAB【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】【探究發(fā)現(xiàn)】由將△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE＝GE，DF＝GF，而DF＝DE，故GE＝DE＝DF＝GF，從而四邊形DEGF是菱形；【探究證明】同【探究發(fā)現(xiàn)】可知四邊形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E為邊AD的中點(diǎn)，M為邊BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，即可得DE＝BM，AD∥NH，又DE＝FG，F(xiàn)G∥AD，故FG＝DE＝BM＝HN，F(xiàn)G∥NH，從而四邊形GFHN是平行四邊形；【探究提升】若四邊形GFHN為軸對(duì)稱圖形，則四邊形GFHN是矩形或菱形，當(dāng)四邊形GFHN是矩形時(shí)，過(guò)G作GK⊥AB于K，過(guò)E作ET⊥AB于T，設(shè)AT＝x，則AE＝2x，可得AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，求出AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，即可得ADAB=12；當(dāng)四邊形GFHN是菱形時(shí)，延長(zhǎng)FG交AB于W，設(shè)AD＝y(tǒng)，求出AB=【解答】【探究發(fā)現(xiàn)】解：四邊形DEGF是菱形，理由如下：∵將△DEF沿EF翻折得到△GEF，∴DE＝GE，DF＝GF，∵DF＝DE，∴GE＝DE＝DF＝GF，∴四邊形DEGF是菱形；【探究證明】證明：如圖：∵將△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN＝HN，BM＝HM，∵BN＝BM，∴HN＝BN＝BM＝HM，∴四邊形BMHN是菱形，∴NH∥BC，∵E為邊AD的中點(diǎn)，M為邊BC的中點(diǎn)，∴DE=12AD，BM=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BM，AD∥NH，∵四邊形DEGF是菱形，∴DE＝FG，F(xiàn)G∥AD，∴FG＝DE＝BM＝HN，F(xiàn)G∥NH，∴四邊形GFHN是平行四邊形；【探究提升】解：四邊形GFHN能成為軸對(duì)稱圖形，理由如下：由【探究證明】知，四邊形GFHN是平行四邊形，若四邊形GFHN為軸對(duì)稱圖形，則四邊形GFHN是矩形或菱形，當(dāng)四邊形GFHN是矩形時(shí)，過(guò)G作GK⊥AB于K，過(guò)E作ET⊥AB于T，如圖：∵∠A＝60°，∴∠AET＝30°，∴AT=12設(shè)AT＝x，則AE＝2x，∴ET=AE2?A∵E為AD中點(diǎn)，∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，∵四邊形DEGF是菱形，∴EG＝DE＝2x＝TK，∵四邊形GFHN是矩形，∴∠GNH＝90°，∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴KN=3GK=3×3∵BN＝BM=12BC=12∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，∴ADAB當(dāng)四邊形GFHN是菱形時(shí)，延長(zhǎng)FG交AB于W，如圖：設(shè)AD＝y(tǒng)，則DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NH=12∵四邊形GFHN是菱形，∴GF＝FH＝NH＝GN=12∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，∴