第1頁（共1頁）2025年江蘇省揚州市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將該選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（3分）（2025?揚州）下列溫度中，比﹣3℃低的溫度是（）A．﹣5℃ B．﹣2℃ C．0℃ D．2℃2．（3分）（2025?揚州）窗欞是中國傳統(tǒng)木構建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?揚州）下列說法不正確的是（）A．明天下雨是隨機事件 B．調查長江中現(xiàn)有魚的種類，適宜采用普查的方式 C．描述一周內每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統(tǒng)計圖 D．若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2＝0.13，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2＝0.04，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定4．（3分）（2025?揚州）關于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情況，下列結論正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷根的情況5．（3分）（2025?揚州）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是（）A．2 B．3 C．7 D．106．（3分）（2025?揚州）在如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC，點D在BC上，下列條件不能說明AD⊥BC的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC7．（3分）（2025?揚州）如圖，平行于主光軸PQ的光線AB和CD經(jīng)過凸透鏡折射后，折射光線BE，DF交于主光軸上一點G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，則∠EGF的度數(shù)是（）A．60° B．70° C．80° D．90°8．（3分）（2025?揚州）已知m2025+2025m＝2025，則一次函數(shù)y＝（1﹣m）x+m的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（3分）（2025?揚州）2025年3月30日，揚州鑒真半程馬拉松暨大運河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數(shù)據(jù)30000用科學記數(shù)法表示為．10．（3分）（2025?揚州）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）（2025?揚州）計算：（1?2x）÷12．（3分）（2025?揚州）若a2﹣2b+1＝0，則代數(shù)式2a2﹣4b+3的值是．13．（3分）（2025?揚州）若多邊形的每個內角都是140°，則這個多邊形的邊數(shù)為．14．（3分）（2025?揚州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，則∠OBC＝°．15．（3分）（2025?揚州）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC的中點，點F在線段DE的延長線上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，則DF的長是．16．（3分）（2025?揚州）清代揚州數(shù)學家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學在數(shù)論領域的貢獻．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；??根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為．17．（3分）（2025?揚州）如圖1，棱長為9cm的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．將此正方體放在坡角為α的斜坡上，此時水面MN恰好與點A齊平，其主視圖如圖2所示，則tanα＝．18．（3分）（2025?揚州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，點E是BC邊上的動點，將△ABE沿直線AE翻折得到△APE，過點P作PF⊥AD，垂足為F，點Q是線段AP上一點，且AQ=12PF．當點E從點B運動到點C時，點Q運動的路徑長是三、解答題（本大題共有10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）（2025?揚州）計算：（1）12?2cos30°+（π+1）0（2）a（a+2）﹣a3÷a．20．（8分）（2025?揚州）解不等式組4x?3≤x3(x+1)＞2x21．（8分）（2025?揚州）為角逐市校園“音樂達人”大賽，小紅和小麗參加了校內選拔賽，10位評委的評分情況如下（單位：分）．表1評委評分數(shù)據(jù)選手評委評分小紅7878777879小麗7768888878表2評委評分數(shù)據(jù)分析選手平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)小紅7.5b7小麗a8c根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表2中a＝，b＝，c＝；（2）你認為小紅和小麗誰的成績較好？請說明理由．22．（8分）（2025?揚州）為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，每名學生只能選擇其中一種體育活動．（1）若小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率．23．（10分）（2025?揚州）某文創(chuàng)商店推出甲、乙兩款具有紀念意義和實用價值的書簽，已知甲款書簽價格是乙款書簽價格的5424．（10分）（2025?揚州）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=kx的圖象與一次函數(shù)y＝ax+b的圖象交于點A（﹣1，6），B（（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的表達式；（2）求△OAB的面積．25．（10分）（2025?揚州）如圖，在?ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的長．26．（10分）（2025?揚州）材料的疏水性揚州寶應是荷藕之鄉(xiāng)．“微風忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內部，這說明蓮葉具有較強的疏水性．疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質．【概念理解】材料疏水性的強弱通常用接觸角的大小來描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，經(jīng)過球心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點（點M或點N）所作的氣﹣液界線的切線與固﹣液界線的夾角，圖1中的∠PMN就是水滴的一個接觸角．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（2）材料的疏水性隨著接觸角的變大而（選填“變強”“不變”“變弱”）．【實踐探索】實踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度BC和底面圓的半徑AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度數(shù)，進而求出接觸角∠CAD的度數(shù)（如圖3）．（3）請?zhí)剿鲌D3中接觸角∠CAD與∠BAC之間的數(shù)量關系（用等式表示），并說明理由．【創(chuàng)新思考】（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與△ABC相關的量描述外，還可以用什么量來描述，請你提出一個合理的設想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化．27．（12分）（2025?揚州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象（記為G1）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象（記為G2）經(jīng)過點A，C．直線x＝t與兩個圖象G1，G2分別交于點M，N，與x軸交于點P．（1）求b，c的值．（2）當點P在線段AO上時，求MN的最大值．（3）設點M，N到直線AC的距離分別為m，n．當m+n＝4時，對應的t值有個；當m﹣n＝3時，對應的t值有個；當mn＝2時，對應的t值有個；當mn=1時，對應的t值有28．（12分）（2025?揚州）問題：如圖1，點P為正方形ABCD內一個動點，過點P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面積是矩形PGAE面積的2倍，探索∠FAH的度數(shù)隨點P運動的變化情況．【從特例開始】（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖2），請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中∠FAH＝°．（2）小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此圖形中∠FAH的度數(shù)；【一般化探索】（3）利用圖1，探索上述問題中∠FAH的度數(shù)隨點P運動的變化情況，并說明理由．

2025年江蘇省揚州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案ACBACBCD一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將該選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（3分）（2025?揚州）下列溫度中，比﹣3℃低的溫度是（）A．﹣5℃ B．﹣2℃ C．0℃ D．2℃【考點】有理數(shù)大小比較．【分析】有理數(shù)大小比較的法則：（1）正數(shù)都大于0；（2）負數(shù)都小于0；（3）正數(shù)大于一切負數(shù)；（4）兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷出比﹣3℃低的溫度是哪個即可．【解答】解：∵﹣5℃＜﹣3℃，﹣2℃＞﹣3℃，0℃＞﹣3℃，2℃＞﹣3℃，∴所給的溫度中，比﹣3℃低的溫度是﹣5℃．故選：A．【點評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：（1）正數(shù)都大于0；（2）負數(shù)都小于0；（3）正數(shù)大于一切負數(shù)；（4）兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而?。?．（3分）（2025?揚州）窗欞是中國傳統(tǒng)木構建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美．下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．3．（3分）（2025?揚州）下列說法不正確的是（）A．明天下雨是隨機事件 B．調查長江中現(xiàn)有魚的種類，適宜采用普查的方式 C．描述一周內每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統(tǒng)計圖 D．若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2＝0.13，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2＝0.04，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定【考點】隨機事件；全面調查與抽樣調查；折線統(tǒng)計圖；方差．【分析】根據(jù)隨機事件，全面調查與抽樣調查的定義，折線統(tǒng)計圖及方差的意義進行判斷即可．【解答】解：明天下雨是隨機事件，則A不符合題意，調查長江中現(xiàn)有魚的種類，適宜采用抽樣調查的方式，則B符合題意，描述一周內每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統(tǒng)計圖，則C不符合題意，若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2＝0.13，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2＝0.04，因0.13＞0.04，那么乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，則D不符合題意，故選：B．【點評】本題考查隨機事件，全面調查與抽樣調查，折線統(tǒng)計圖及方差，熟練掌握相關定義及實際意義是解題的關鍵．4．（3分）（2025?揚州）關于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情況，下列結論正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷根的情況【考點】根的判別式．【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程x2﹣3x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0，方程沒有實數(shù)根是解題的關鍵．5．（3分）（2025?揚州）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是（）A．2 B．3 C．7 D．10【考點】估算無理數(shù)的大??；實數(shù)與數(shù)軸．【分析】利用夾逼法估算各數(shù)的大小后進行判斷即可．【解答】解：∵1＜2＜3＜4＜7＜9＜10，∴1＜2＜3＜2則數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是7，故選：C．【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關鍵．6．（3分）（2025?揚州）在如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC，點D在BC上，下列條件不能說明AD⊥BC的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．【分析】由∠ADB+∠ADC＝180°，且∠ADB＝∠ADC，求得∠ADC＝90°，則AD⊥BC，可判斷A不符合題意；由AB＝AC，得∠B＝∠C，可知由∠B＝∠C不能說明AD⊥BC，可判斷B符合題意；由AB＝AC，BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AD⊥BC，可判斷C不符合題意；由AB＝AC，AD平分∠BAC，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AD⊥BC，可判斷D不符合題意，于是得到問題的答案．【解答】解：∵點D在BC上，∴∠ADB+∠ADC＝180°，∵∠ADB＝∠ADC，∴2∠ADC＝180°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故A不符合題意；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠C與點D所在的位置沒有關系，∴由∠B＝∠C不能說明AD⊥BC，故B符合題意；∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故C不符合題意；∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故D不符合題意，故選：B．【點評】此題重點考查垂直的定義、“等邊對等角”、等腰三角形的“三線合一”等知識，正確理解和運用等腰三角形的性質是解題的關鍵．7．（3分）（2025?揚州）如圖，平行于主光軸PQ的光線AB和CD經(jīng)過凸透鏡折射后，折射光線BE，DF交于主光軸上一點G．若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，則∠EGF的度數(shù)是（）A．60° B．70° C．80° D．90°【考點】平行線的性質．【分析】根據(jù)物理學原理可知：AB∥PQ∥CD，再根據(jù)平行線的性質求出∠BGP和∠PGD，從而求出∠BGD，最后根據(jù)對頂角相等求出答案即可．【解答】解：由題意可知：AB∥PQ∥CD，∵AB∥PQ，∴∠ABE+∠BGP＝180°，∵∠ABE＝130°，∴∠BGP＝180°﹣130°＝50°，∵PQ∥CD，∴∠PGD+∠CDF＝180°，∵∠CDF＝150°，∴∠PGD＝180°﹣150°＝30°，∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝50°+30°＝80°，∴∠EGF＝∠BGD＝80°，故選：C．【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題關鍵是理解物理學知識，得到AB∥PQ∥CD．8．（3分）（2025?揚州）已知m2025+2025m＝2025，則一次函數(shù)y＝（1﹣m）x+m的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】一次函數(shù)的性質．【分析】先根據(jù)m2025+2025m＝2025判斷m的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷其圖象經(jīng)過的象限．【解答】解：∵m2025+2025m＝2025，∴m＞0且2025m＜2025，∴0＜m＜1，∴1﹣m＞0，∴一次函數(shù)y＝（1﹣m）x+m的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質，熟練掌握一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9．（3分）（2025?揚州）2025年3月30日，揚州鑒真半程馬拉松暨大運河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數(shù)據(jù)30000用科學記數(shù)法表示為3×104．【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：30000＝3×104．故答案為：3×104．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．10．（3分）（2025?揚州）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【考點】因式分解﹣運用公式法．【分析】直接用公式法分解，即可得出答案．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），故答案為：（a+2）（a﹣2）．【點評】本題考查了公式法分解因式，直接用公式法分解即可．11．（3分）（2025?揚州）計算：（1?2x）÷1x【考點】分式的混合運算．【分析】先將括號內的分式通分并計算，然后將除法化為乘法，最后進行約分即可．【解答】解：原式=x?2x?x＝故答案為：x﹣2．【點評】本題考查分式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．12．（3分）（2025?揚州）若a2﹣2b+1＝0，則代數(shù)式2a2﹣4b+3的值是1．【考點】代數(shù)式求值．【分析】根據(jù)已知條件將要求代數(shù)式變形，然后整體代入求值即可．【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0，∴a2﹣2b＝﹣1，∴當a2﹣2b＝﹣1時，原式＝2（a2﹣2b）+3＝2×（﹣1）+3＝1．故答案為：1．【點評】本題考查代數(shù)式求值，按照代數(shù)式規(guī)定的運算，計算的結果就是代數(shù)式的值．13．（3分）（2025?揚州）若多邊形的每個內角都是140°，則這個多邊形的邊數(shù)為9．【考點】多邊形內角與外角．【分析】先根據(jù)多邊形的一個內角與它相鄰的外角的和為180°，求出多邊形的每個內角的度數(shù)，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°，求出邊數(shù)即可．【解答】解：∵多邊形的每個內角都是140°，∴多邊形的每個外角都是180°﹣140°＝40°，∴這個多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°＝9，故答案為：9．【點評】本題主要考查了多邊形的內角與外角，解題關鍵是熟練多邊形的外角和為360°．14．（3分）（2025?揚州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，則∠OBC＝40°．【考點】圓周角定理．【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝100°，然后利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理進行計算，即可解答．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=180°?∠BOC故答案為：40．【點評】本題考查了圓周角定理，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．15．（3分）（2025?揚州）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC的中點，點F在線段DE的延長線上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，則DF的長是6．【考點】三角形中位線定理；勾股定理．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質求出FE，進而求出DF．【解答】解：∵點D，E分別是邊AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12AC在Rt△BFC中，E是斜邊BC的中點，BC＝8，則FE=12BC∴DF＝DE+FE＝2+4＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．16．（3分）（2025?揚州）清代揚州數(shù)學家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學在數(shù)論領域的貢獻．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；??根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為11，60，61．．【考點】勾股數(shù)．【分析】通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可寫出第⑤組勾股數(shù)．【解答】解：通過觀察得：第①組勾股數(shù)分別為：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；第②組勾股數(shù)分別為：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；第③組勾股數(shù)分別為：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；第④組勾股數(shù)為：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；所以第⑤組勾股數(shù)為：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．故答案為：11，60，61．【點評】此題考查的知識點是勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，關鍵是通過觀察找出規(guī)律求解．17．（3分）（2025?揚州）如圖1，棱長為9cm的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．將此正方體放在坡角為α的斜坡上，此時水面MN恰好與點A齊平，其主視圖如圖2所示，則tanα＝49【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【分析】延長AN，交直線BC于點E，設DN＝xcm，則CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根據(jù)水的體積不變建立方程，解方程可得x的值，再根據(jù)平行線的性質可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根據(jù)正切的定義計算即可得．【解答】解：如圖，延長AN，交直線BC于點E，由題意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG，設DN＝xcm，則CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，∵密封透明正方體容器水平放置在桌面上與放在坡角為α的斜坡上，容器里水的體積不變；且放在坡角為α的斜坡上時，水的體積等于長為9cm、寬為9cm、高為（9﹣x）cm的長方體的體積與長為9cm、寬為9cm、高為xcm的長方體的體積的一半之和，∴9×9(9?x)+1解得x＝4，即DN＝4cm，∵AN∥FG，∴∠AEF＝∠F＝α，∵AD∥BC，∴∠DAN＝∠AEF＝α，∴tanα=tan∠DAN=DN故答案為：49【點評】本題考查了求角的正切值、一元一次方程的幾何應用、主視圖、平行線的性質等知識，熟練掌握正切的定義是解題關鍵．18．（3分）（2025?揚州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，點E是BC邊上的動點，將△ABE沿直線AE翻折得到△APE，過點P作PF⊥AD，垂足為F，點Q是線段AP上一點，且AQ=12PF．當點E從點B運動到點C時，點Q運動的路徑長是4π【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質；軌跡．【分析】分點P在矩形內部和點P在矩形外部，兩種情況進行討論求解，當點P在矩形內部時，作HQ⊥AP，交AB于點H，證明△AQH∽△PFA，進而得到AH=12AP=2，進而得到點Q在以AH為直徑的圓上運動，得到當點E從點B開始運動直至點P落在AD上時，點Q的運動軌跡為半圓AH，當點P在矩形外部時，同法可得，點Q在以AK為直徑的圓上，得到當點E運動到點C時，點Q【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵將△ABE沿直線AE翻折得到△APE，∴AP＝AB＝4，當點P在矩形內部時，作HQ⊥AP，交AB于點H，則：∠AQH＝90°＝∠BAD，∠AHQ＝∠PAF＝90°﹣∠HAQ，∵PF⊥AD，∴∠PFA＝90°＝∠AQH，∴△AQH∽△PFA，∴AHAP∵AQ=1∴AHAP∴AH=1∴點Q在以AH為直徑的圓上運動，∴當點E從點B開始運動直至點P落在AD上時，點Q的運動軌跡為半圓AH，∴點Q的運動路徑長為：12當點P在矩形ABCD的外部時，作KQ⊥AP，交AB的延長線于點K，同法可得：△AKQ∽△PAF，AK=1∴∠AKQ＝∠PAF，點Q在以AK為直徑的⊙O上運動，連接OQ，當點E運動到點C時，如圖：∵AB＝4，BC=43，∠B∴tan∠BAC=BC∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，∵將△ABE沿直線AE翻折得到△APE，∴∠PAC＝∠BAC＝60°，∴∠PAF＝∠PAC﹣∠CAD＝30°，∴∠AKQ＝∠PAF＝30°，∴∠AOQ＝2∠AKQ＝60°，∴點Q的運動軌跡為圓心角為60°的AQ路徑長為60π180∴點Q的運動路徑總長為：π+π故答案為：4π3【點評】本題考查矩形與折疊，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，解直角三角形，求弧長，熟練掌握相關知識點，添加輔助線構造相似三角形，確定點Q的運動軌跡，是解題的關鍵．三、解答題（本大題共有10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）（2025?揚州）計算：（1）12?2cos30°+（π+1）0（2）a（a+2）﹣a3÷a．【考點】整式的混合運算；實數(shù)的運算．【分析】（1）利用二次根式的性質，特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪計算后再算加減即可；（2）利用單項式乘多項式，同底數(shù)冪除法法則計算后再合并同類項即可．【解答】解：（1）原式＝23?2×＝23?=3（2）原式＝a2+2a﹣a2＝2a．【點評】本題考查整式的混合運算，實數(shù)的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．20．（8分）（2025?揚州）解不等式組4x?3≤x3(x+1)＞2x【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：4x?3≤x①3(x+1)＞2x②由①得，x≤1，由②得，x＞﹣3，∴不等式組的解集為﹣3＜x≤1．負整數(shù)解有：﹣2、﹣1．【點評】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．21．（8分）（2025?揚州）為角逐市校園“音樂達人”大賽，小紅和小麗參加了校內選拔賽，10位評委的評分情況如下（單位：分）．表1評委評分數(shù)據(jù)選手評委評分小紅7878777879小麗7768888878表2評委評分數(shù)據(jù)分析選手平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)小紅7.5b7小麗a8c根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表2中a＝7.5，b＝7，c＝8；（2）你認為小紅和小麗誰的成績較好？請說明理由．【考點】眾數(shù)；算術平均數(shù)；中位數(shù)．【分析】（1）分別根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的意義解答即可．【解答】解：（1）由題意得：a=3×7+6+6×8b=7+7c＝8，故答案為：7.5，7，8；（2）小麗的成績較好，理由如下：因為兩個人的平均數(shù)相同，但小麗的成績的中位數(shù)和眾數(shù)均高于小紅，所以小麗的成績較好．【點評】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，掌握相關統(tǒng)計量的計算方法是解題的關鍵．22．（8分）（2025?揚州）為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，每名學生只能選擇其中一種體育活動．（1）若小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是14（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到小明在這4種體育活動中隨機選擇，選中“乒乓球”的概率；（2）根據(jù)題意可以畫出相應的樹狀圖，然后求出相應的概率即可．【解答】解：（1）由題意可得，小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是14故答案為：14（2）樹狀圖如下所示：由上可得，一共有16種等可能性，其中小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的可能性有4種，∴小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率為416【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖．23．（10分）（2025?揚州）某文創(chuàng)商店推出甲、乙兩款具有紀念意義和實用價值的書簽，已知甲款書簽價格是乙款書簽價格的54【考點】分式方程的應用．【分析】設乙款書簽的單價是x元，則甲款書簽的單價是54x元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結合用100元購買甲款書簽的數(shù)量比用128元購買乙款書簽的數(shù)量少3個，可列出關于x的分式方程，解之可得出x的值（即乙款書簽的單價），再將其代入54【解答】解：設乙款書簽的單價是x元，則甲款書簽的單價是54x根據(jù)題意得：128x解得：x＝16，經(jīng)檢驗，x＝16是所列方程的解，且符合題意，∴54x=答：甲款書簽的單價是20元，乙款書簽的單價是16元．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．24．（10分）（2025?揚州）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=kx的圖象與一次函數(shù)y＝ax+b的圖象交于點A（﹣1，6），B（（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的表達式；（2）求△OAB的面積．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【分析】（1）將點A（﹣1，6）代入可得反比例函數(shù)的解析式，再求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式即可得；（2）設一次函數(shù)的圖象與x軸的交點為點C，先求出點C的坐標，再根據(jù)△OAB的面積等于△AOC與△BOC的面積之和即可得．【解答】解：（1）由題意得：將點A（﹣1，6）代入y=kx，得：所以反比例函數(shù)的表達式為y=?6將點B（m，﹣2）代入y=?6x可得：∴B（3，﹣2），將點A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b得：?a+b=63a+b=?2解得a=?2b=4所以一次函數(shù)的表達式為y＝﹣2x+4；（2）如圖，設一次函數(shù)的圖象與x軸的交點為點C，將y＝0代入一次函數(shù)y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2），∴△AOC的OC邊上的高為|6|＝6，△BOC的OC邊上的高為|﹣2|＝2，∴△OAB的面積為S△AOC【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法和反比例函數(shù)的應用是解題關鍵．25．（10分）（2025?揚州）如圖，在?ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的長．【考點】菱形的判定與性質；角平分線的定義；線段垂直平分線的性質；平行四邊形的性質．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質得EA＝EC，F(xiàn)A＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，再根據(jù)平行四邊形性質得AD∥BC得∠OAE＝∠OCF，由此可依據(jù)“ASA”判定△OAE和△OCF全等得EA＝FC，進而得EA＝EC＝FA＝FC，然后根據(jù)菱形的判定即可得出結論；（2）（2）證明△CDE和△CBA相似，利用相似三角形的性質即可得出DE的長．【解答】（1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，∴EA＝EC，F(xiàn)A＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF，在△OAE和△OCF中，∠AOE=∠COF=90°OA=OC∴△OAE≌△OCF（ASA），∴EA＝FC，∴EA＝EC＝FA＝FC，∴四邊形AFCE是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝3，BC＝5，∴CD＝AB＝3，∠D＝∠B，∵四邊形AFCE是菱形，∴∠ACB＝∠ACE，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠BCA，又∵∠D＝∠B，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB∴DE3∴DE=【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質，菱形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，理解平行四邊形的性質，熟練掌握菱形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理是解決問題的關鍵．26．（10分）（2025?揚州）材料的疏水性揚州寶應是荷藕之鄉(xiāng)．“微風忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內部，這說明蓮葉具有較強的疏水性．疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質．【概念理解】材料疏水性的強弱通常用接觸角的大小來描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，經(jīng)過球心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點（點M或點N）所作的氣﹣液界線的切線與固﹣液界線的夾角，圖1中的∠PMN就是水滴的一個接觸角．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（2）材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強（選填“變強”“不變”“變弱”）．【實踐探索】實踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度BC和底面圓的半徑AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度數(shù)，進而求出接觸角∠CAD的度數(shù)（如圖3）．（3）請?zhí)剿鲌D3中接觸角∠CAD與∠BAC之間的數(shù)量關系（用等式表示），并說明理由．【創(chuàng)新思考】（4）材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與△ABC相關的量描述外，還可以用什么量來描述，請你提出一個合理的設想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）圓弧上取一點C，交界面與圓弧的交點為M，N，連接MC，NC，分別作MC，NC的中垂線，交于點O，則點O為圓弧的圓心，連接OM，過點M作PM⊥OM，則PM為圓O的切線，∠PMN即為所求；（2）根據(jù)題意，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，進行作答即可；（3）連接OA，等邊對等角，得到∠ABC＝∠OAB，切線的性質，結合等角的余角相等，得到∠BAD＝∠BAC，進而得到∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC即可；（4）可以根據(jù)lr=π【解答】解：（1）①圓弧上取一點C，交界面與圓弧的交點為M，N，連接MC，NC；②分別作MC，NC的中垂線，交于點O，則點O為圓弧的圓心；③連接OM，過點M作PM⊥OM，則PM為圓O的切線，故∠PMN即為所求；（2）由題意和圖，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，故材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強，故答案為：變強；（3）∠CAD＝2∠BAC，理由如下：連接OA，則：OA＝OB，∴∠ABC＝∠OAB，∵AD為切線，∴OA⊥AD，∴∠OAB+∠BAD＝90°，∵BC⊥AC，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ABC＝∠OAB，∴∠BAD＝∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；（4）∵水滴弧的長度為：l=nπr∴l(xiāng)r∴可以根據(jù)lr的大小，進行判斷，l【點評】本題考查尺規(guī)作圖一復雜作圖，切線的判定和性質，熟練掌握新定義，切線的判定和性質，是解題的關鍵．27．（12分）（2025?揚州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象（記為G1）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象（記為G2）經(jīng)過點A，C．直線x＝t與兩個圖象G1，G2分別交于點M，N，與x軸交于點P．（1）求b，c的值．（2）當點P在線段AO上時，求MN的最大值．（3）設點M，N到直線AC的距離分別為m，n．當m+n＝4時，對應的t值有2個；當m﹣n＝3時，對應的t值有0個；當mn＝2時，對應的t值有4個；當mn=1時，對應的t值有【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）先求出A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），再用待定系數(shù)法可求b，c的值；（2）由（1）知G2的表達式為y＝x2+4x+3，設P（t，0）（﹣3≤t≤0），則M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t+32）2+9（3）作MS⊥AC于點S，RN⊥AC于點R，設MN交AC于點E，如圖1所示，由待定系數(shù)法可知直線AC的表達式為y＝x+3，則∠CAB＝45°，∠MES＝∠NER＝45°，MS＝m，RN＝n，從而ME=2m，RN=2n，即ME＝NE=，進而得m＝n，①當m+n＝4時，即m＝n＝2，故MN=42，又﹣3≤t≤0時，MNmax=92＜42，那么由圖可知當t＜﹣3時或t＞1時，共2種情況滿足題意；②當m﹣n＝3時，即m＝n+3，這與m＝n相矛盾，故不成立，對應的t值有0個；③當mn＝2時，由m＝n可知，m＝n=2，故ME④當mn=1時，m＝n恒成立，所以對應的【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），∴令y＝0，可得x＝﹣3或1，即A（﹣3，0），B（1，0），把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c中，可得c=39?3b+3=0，解得b=4故b的值為4，c的值為3；（2）由（1）知G2的表達式為y＝x2+4x+3，設P（t，0）（﹣3≤t≤0），則M（t，﹣t2﹣2t+3），N（t，t2+4t+3），故MN＝﹣t2﹣2t+3﹣t2﹣4t﹣3＝﹣2t2﹣6t＝﹣2（t+32）2即MN的最大值為92（3）作MS⊥AC于點S，RN⊥AC于點R，設MN交AC于點E，如圖1所示，由待定系數(shù)法可知直線AC的表達式為y＝x+3，∴∠CAB＝45°，∴∠MES＝∠NER＝45°，∵MS＝m，RN＝n，∴ME=2m，NE∵E（t，t+3），∴ME=，NE=，即ME＝NE=，進而可得m＝n，①當m+n＝4時，即m＝n＝2，故MN=42當﹣3≤t≤0時，MNmax=9那么由圖可知當t＜﹣3時或t＞1時，共2種情況滿足題意，故對應的t值有2個；②當m﹣n＝3時，即m＝n+3，這與m＝n相矛盾，故不成立，對應的t值有0個；③當mn＝2時，由m＝n可知，m＝n=2故ME＝2，∴=2，即t2+3t＝±2，解得t＝﹣2或﹣1或?3?172或故對應的t值有4個；④當mn∵m＝n恒成立，∴對應的t值有無數(shù)個．故答案為：2，0，4，無數(shù)．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)與坐標軸的交點的求法，二次函數(shù)與線段，等腰直角三角形的判定與性質，一元二次方程的解法，難度不大，注意分類討論，熟練掌握以上知識點是解題關鍵．28．（12分）（2025?揚州）問題：如圖1，點P為正方形ABCD內一個動點，過點P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面積是矩形PGAE面積的2倍，探索∠FAH的度數(shù)隨點P運動的變化情況．【從特例開始】（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖2），請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中∠FAH＝45°．（2）小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖3），其中PE＝PF＝6，