第1頁（共1頁）2025年山東省臨沂市、棗莊市、聊城市、菏澤市、濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．（3分）（2025?山東）如圖，數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)是（）A．M B．N C．P D．Q2．（3分）（2025?山東）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?山東）我國“深藍(lán)2號(hào)”大型智能深海養(yǎng)殖網(wǎng)箱的主體是一個(gè)正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）（2025?山東）好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風(fēng)景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據(jù)統(tǒng)計(jì)，山東省2024年全年接待游客超9億人次．?dāng)?shù)據(jù)“9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9×107 B．0.9×108 C．9×108 D．0.9×1095．（3分）（2025?山東）已知a≠0，則下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣2a+3a＝5a B．（﹣2a3）2＝4a6 C．a(chǎn)2﹣a＝a D．a(chǎn)6÷a2＝a36．（3分）（2025?山東）某班學(xué)生到山東省博物館參加研學(xué)活動(dòng)．博物館為同學(xué)們準(zhǔn)備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品，每位同學(xué)可從中隨機(jī)抽取一個(gè)作為紀(jì)念品．若抽到每一款的可能性相等，則甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醜鉞”的概率是（）A．19 B．16 C．137．（3分）（2025?山東）明代數(shù)學(xué)家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個(gè)“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個(gè)頭6只手的哪吒若干，有1個(gè)頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個(gè)頭，108只手．問哪吒、夜叉各有多少？設(shè)哪吒有x個(gè)，夜叉有y個(gè)，則根據(jù)條件所列方程組為（）A．x+3y=368x+6y=108 B．x+3y=36C．3x+y=368x+6y=108 D．8．（3分）（2025?山東）在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征．如圖是某玉璧的平面示意圖，由一個(gè)正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成．已知內(nèi)切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π9．（3分）（2025?山東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，C兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，四邊形OABC是面積為4的正方形．若函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則滿足y≥2的A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥410．（3分）（2025?山東）在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長速度y（厘米/天）和光照強(qiáng)度x（勒克斯）之間存在一定關(guān)系．在低光照強(qiáng)度范圍（200≤x＜1000）內(nèi)，y與x近似成一次函數(shù)關(guān)系；在中高光照強(qiáng)度范圍（x≥1000）內(nèi)，y與x近似成二次函數(shù)關(guān)系．其部分圖象如圖所示．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)x≥1000時(shí)，y隨x的增大而減小 B．當(dāng)x＝2000時(shí)，y有最大值 C．當(dāng)y≥0.6時(shí)，x≥1000 D．當(dāng)y＝0.4時(shí)，x＝600二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）（2025?山東）寫出使分式12x?3有意義的x的一個(gè)值12．（3分）（2025?山東）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（3，4）向下平移2個(gè)單位長度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是．13．（3分）（2025?山東）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．14．（3分）（2025?山東）取直線y＝﹣x上一點(diǎn)A1（x1，y1），①過點(diǎn)A1作x軸的垂線，交y=1x于點(diǎn)A2（x2，y2）；②過點(diǎn)A2作y軸的垂線，交y＝﹣x于點(diǎn)A3（x3，y3）；如此循環(huán)進(jìn)行下去．按照上面的操作，若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，﹣1），則點(diǎn)A2025的坐標(biāo)是15．（3分）（2025?山東）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．點(diǎn)P為邊AC上異于A的一點(diǎn)，以PA，PB為鄰邊作?PAQB，則線段PQ的最小值是．三、解答題：本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16．（8分）（2025?山東）（1）計(jì)算：|?13|×9（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x2﹣1）（1x+1+1），其中17．（8分）（2025?山東）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，如圖1．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）已知AB＝3，分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F．如圖2，求DF18．（8分）（2025?山東）山東省在能源綠色低碳轉(zhuǎn)型過程中，探索出一條“以儲(chǔ)調(diào)綠”的能源轉(zhuǎn)型路徑．某地結(jié)合實(shí)際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發(fā)電實(shí)現(xiàn)低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉(zhuǎn)型．已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時(shí)水位高度每小時(shí)上升6米．（1）請(qǐng)寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系式；（2）已知蓄水池的底面積為0.4萬平方米，每立方米的水可供發(fā)電0.3千瓦時(shí)，求注水多長時(shí)間可供發(fā)電4.2萬千瓦時(shí)？19．（10分）（2025?山東）在2025年全國科技活動(dòng)周期間，某?？萍夹〗M對(duì)甲、乙兩個(gè)水產(chǎn)養(yǎng)殖基地水體的pH值進(jìn)行了檢測(cè)，并對(duì)一天（24小時(shí)）內(nèi)每小時(shí)的pH值進(jìn)行了整理、描述及分析．【收集數(shù)據(jù)】甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)：7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．【整理數(shù)據(jù)】7.00≤x＜7.307.30≤x＜7.607.60≤x＜7.907.90≤x＜8.208.20≤x≤8.50甲25773乙429a2【描述數(shù)據(jù)】【分析數(shù)據(jù)】平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲7.79b7.810.10乙7.787.77c0.13根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）填空：b＝，c＝；（3）請(qǐng)判斷甲、乙哪個(gè)基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說明理由；（4）已知兩基地對(duì)水體pH值的日變化量（pH值最大值與最小值的差）要求為0.5～1，分別判斷并說明該日兩基地的pH值是否符合要求．20．（10分）（2025?山東）如圖，在△OAB中，點(diǎn)A在⊙O上，邊OB交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥OB于點(diǎn)D．AC是∠BAD的平分線．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠AOB＝45°，求CB的長．21．（9分）（2025?山東）【問題情境】2025年5月29日“天問二號(hào)”成功發(fā)射，開啟了小行星伴飛取樣探測(cè)的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個(gè)航天器模型，其中某個(gè)部件使用3D打印完成，如圖1．【問題提出】部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測(cè)量，需要設(shè)計(jì)一個(gè)可以得到l的長度的方案，以檢測(cè)該部件中l(wèi)的長度是否符合要求．【方案設(shè)計(jì)】興趣小組通過查閱文獻(xiàn)，提出了鋼柱測(cè)量法．測(cè)量工具：游標(biāo)卡尺、若干個(gè)底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．操作步驟：如圖3，將兩個(gè)鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D．用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CC′的長度y．【問題解決】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的長度要求是1.9cm～2.1cm．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現(xiàn)測(cè)得y＝7.52cm．根據(jù)以上信息，通過計(jì)算說明該部件l的長度是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)：3≈【結(jié)果反思】（3）本次實(shí)踐過程借助圓柱將不可測(cè)量的長度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫出一個(gè)；如果不能，說明理由．22．（11分）（2025?山東）已知二次函數(shù)y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)a＝0、b＝3時(shí)，求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）當(dāng)b＝2a時(shí)，若該函數(shù)在0≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減??；在3≤x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；（3）若點(diǎn)A（a，y1），B（a+b2，y2），C（b，y3）均在該函數(shù)的圖象上，是否存在常數(shù)m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m23．（11分）（2025?山東）【圖形感知】如圖1，在四邊形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4．（1）求CD的長；【探究發(fā)現(xiàn)】老師指導(dǎo)同學(xué)們對(duì)圖1所示的紙片進(jìn)行了折疊探究．在線段CD上取一點(diǎn)E，連接BE．將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形A′BED′，其中A′，D′分別是A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（2）其中甲、乙兩位同學(xué)的折疊情況如下：①甲：點(diǎn)D′恰好落在邊BC上，延長A′D′交CD于點(diǎn)F，如圖2．判斷四邊形DBA′F的形狀，并說明理由；②乙：點(diǎn)A′恰好落在邊BC上，如圖3．求DE的長；（3）如圖4，連接DD′交BE于點(diǎn)P，連接CP．當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CP是否存在最小值？若存在，直接寫出；若不存在，說明理由．

2025年山東省臨沂市、棗莊市、聊城市、菏澤市、濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案ABCC．BADDAB一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．（3分）（2025?山東）如圖，數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)是（）A．M B．N C．P D．Q【考點(diǎn)】數(shù)軸．【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義即可得出答案．【解答】解：數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)是M．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸的定義．2．（3分）（2025?山東）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形．【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，由此即可判斷．【解答】解：A、C、D中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A、C、D不符合題意；B、圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故B符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義．3．（3分）（2025?山東）我國“深藍(lán)2號(hào)”大型智能深海養(yǎng)殖網(wǎng)箱的主體是一個(gè)正六棱柱，其示意圖的主視圖是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖．【分析】根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，可得答案．【解答】解：從正面看，是一行三個(gè)相鄰的矩形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖．4．（3分）（2025?山東）好客山東以其寬厚仁德的人文情懷、風(fēng)景秀麗的河海山川吸引了來自世界各地的朋友，據(jù)統(tǒng)計(jì)，山東省2024年全年接待游客超9億人次．?dāng)?shù)據(jù)“9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9×107 B．0.9×108 C．9×108 D．0.9×109【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：9億＝900000000＝9×108．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（3分）（2025?山東）已知a≠0，則下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣2a+3a＝5a B．（﹣2a3）2＝4a6 C．a(chǎn)2﹣a＝a D．a(chǎn)6÷a2＝a3【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；冪的乘方與積的乘方．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方與積的乘方法則進(jìn)行解題即可．【解答】解：A、﹣2a+3a＝a，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；B、（﹣2a3）2＝4a6，故該項(xiàng)正確，符合題意；C、a2與a不是同類項(xiàng)，不能進(jìn)行合并，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；D、a6÷a2＝a4，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的除法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?山東）某班學(xué)生到山東省博物館參加研學(xué)活動(dòng)．博物館為同學(xué)們準(zhǔn)備了以鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品，每位同學(xué)可從中隨機(jī)抽取一個(gè)作為紀(jì)念品．若抽到每一款的可能性相等，則甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醜鉞”的概率是（）A．19 B．16 C．13【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】列表得出共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醜鉞”的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把以鎮(zhèn)館之寶“亞醜鉞”“蛋殼黑陶杯”“頌簋”為主題的三款文創(chuàng)產(chǎn)品分別記為A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醜鉞”的結(jié)果有1種，∴甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)抽到“亞醜鉞”的概率是19故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（3分）（2025?山東）明代數(shù)學(xué)家吳敬的《九章算法比類大全》中有一個(gè)“哪吒夜叉”問題，大意是：有3個(gè)頭6只手的哪吒若干，有1個(gè)頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個(gè)頭，108只手．問哪吒、夜叉各有多少？設(shè)哪吒有x個(gè)，夜叉有y個(gè)，則根據(jù)條件所列方程組為（）A．x+3y=368x+6y=108 B．x+3y=36C．3x+y=368x+6y=108 D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組；數(shù)學(xué)常識(shí)．【分析】根據(jù)有3個(gè)頭6只手的哪吒若干，有1個(gè)頭8只手的夜叉若干，兩方交戰(zhàn)，共有36個(gè)頭，108只手，列出二元一次方程組即可．【解答】解：根據(jù)題意得：3x+y=366x+8y=108故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?山東）在中國古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征．如圖是某玉璧的平面示意圖，由一個(gè)正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成．已知內(nèi)切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π【考點(diǎn)】正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算；正方形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【分析】如圖：連接AB、DC相交于O，由正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，AC＝BC＝4，OA＝OB，再運(yùn)用勾股定理可得AB=22，則OA=OB=【解答】解：如圖：連接AB、DC相交于O，∵正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，∴AC＝BC＝4，OA＝OB，∴AB=AC2∴圖中陰影部分的面積是π?(22故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的內(nèi)切圓、外切圓、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2025?山東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，C兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，四邊形OABC是面積為4的正方形．若函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則滿足y≥2的A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥4【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；正方形的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，b），易得b＝2，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），再結(jié)合反比例函數(shù)圖象即可解答．【解答】解：∵四邊形OABC是面積為4的正方形，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，b），∴b2＝4，解得：b＝2（已舍棄負(fù)值），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），∵函數(shù)y=kx(x＞0)滿足y≥2的x的取值范圍為0＜x≤2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、反比例函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2025?山東）在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長速度y（厘米/天）和光照強(qiáng)度x（勒克斯）之間存在一定關(guān)系．在低光照強(qiáng)度范圍（200≤x＜1000）內(nèi)，y與x近似成一次函數(shù)關(guān)系；在中高光照強(qiáng)度范圍（x≥1000）內(nèi)，y與x近似成二次函數(shù)關(guān)系．其部分圖象如圖所示．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)x≥1000時(shí)，y隨x的增大而減小 B．當(dāng)x＝2000時(shí)，y有最大值 C．當(dāng)y≥0.6時(shí)，x≥1000 D．當(dāng)y＝0.4時(shí)，x＝600【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】結(jié)合圖象可得可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2000，可得函數(shù)的最值，進(jìn)而可得y隨x的變化情況以及給定y的值或者取值范圍所對(duì)應(yīng)的自變量及自變量的取值情況．【解答】解：A、當(dāng)x≥1000時(shí)，y隨x的增大先增大，后減小，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵拋物線過點(diǎn)（1000，0.6），（3000.0.6），∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=1000+3000∵拋物線的開口向下，∴x＝2000時(shí)，y有最大值，故B選項(xiàng)正確，符合題意；C、由圖象可得：當(dāng)y＝0.6時(shí)，x1＝1000，x2＝3000，∴當(dāng)y≥0.6時(shí)，1000≤x≤3000，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、由圖象可得當(dāng)y＝0.4時(shí)，x對(duì)應(yīng)的值有2個(gè)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．采用數(shù)形結(jié)合的方法解決二次函數(shù)的相關(guān)問題是解決本題的主要方法．二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）（2025?山東）寫出使分式12x?3有意義的x的一個(gè)值2（答案不唯一）【考點(diǎn)】分式有意義的條件．【分析】根據(jù)分式有意義的條件求得x的取值范圍，然后寫出一個(gè)符合題意的x的值即可．【解答】解：若分式12x?3則2x﹣3≠0，那么x≠1.5，因此x＝2，故答案為：2（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式有意義的條件，熟練掌握其有意義的條件是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2025?山東）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（3，4）向下平移2個(gè)單位長度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（3，2）．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．【分析】根據(jù)平移時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題知，將點(diǎn)P（3，4）向下平移2個(gè)單位長度后，所得點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（3，2）．故答案為：（3，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟知平移時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2025?山東）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞﹣4．【考點(diǎn)】根的判別式．【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得根的判別式Δ＞0，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＞0，即Δ＝42+4m＞0，解得m＞﹣4．故答案為：m＞﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．14．（3分）（2025?山東）取直線y＝﹣x上一點(diǎn)A1（x1，y1），①過點(diǎn)A1作x軸的垂線，交y=1x于點(diǎn)A2（x2，y2）；②過點(diǎn)A2作y軸的垂線，交y＝﹣x于點(diǎn)A3（x3，y3）；如此循環(huán)進(jìn)行下去．按照上面的操作，若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，﹣1），則點(diǎn)A2025的坐標(biāo)是【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．【分析】需要根據(jù)給定的操作步驟，依次求出前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，找出坐標(biāo)變化的循環(huán)規(guī)律，再利用循環(huán)規(guī)律計(jì)算出A2025的坐標(biāo)．涉及到一次函數(shù)y＝﹣x與反比例函數(shù)y=1【解答】解：已知A1（1，﹣1），過點(diǎn)A1作x軸的垂線，交y=1x于點(diǎn)A∵作x軸垂線時(shí)，橫坐標(biāo)不變，∴A2的橫坐標(biāo)x2＝1，把x＝1代入y=1x，得y2∴A2（1，1）．過點(diǎn)A2作y軸的垂線，交y＝﹣x于點(diǎn)A3，作y軸垂線時(shí)，縱坐標(biāo)不變，∴A3的縱坐標(biāo)為y3＝1，把y＝1代入y＝﹣x，得1＝﹣x，即x3＝﹣1，∴x3＝﹣1，∴A3（﹣1，1），過點(diǎn)A3作y軸的垂線，交y=1x于點(diǎn)A作x軸垂線時(shí)，橫坐標(biāo)不變，∴A4的橫坐標(biāo)x4＝﹣1，把x＝﹣1代入y=1x，得y4∴A4（﹣1，﹣1），過點(diǎn)A4作y軸的垂線，交y＝﹣x于點(diǎn)A5，作y軸垂線時(shí)，縱坐標(biāo)不變，∴A5的縱坐標(biāo)y5＝﹣1，把y＝﹣1代入y＝﹣x，得﹣1＝﹣x，即x5＝1，∴A5（1，﹣1），∴觀察可得，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)周期，∴2025÷4＝506…1，∴A2025坐標(biāo)與A1相同，∴A2025的坐標(biāo)為（1，﹣1），故答案為：（1，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，通過求函數(shù)交點(diǎn)來確定點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2025?山東）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．點(diǎn)P為邊AC上異于A的一點(diǎn)，以PA，PB為鄰邊作?PAQB，則線段PQ的最小值是4.8．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．【分析】過M作MN⊥AP于N，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由勾股定理求出AC＝10，由平行四邊形的性質(zhì)推出AM=12AB＝3，PQ＝2PM，得到MN：8＝3：10，求出MN＝2.4，由PM≥MN，得到PQ≥2MN＝4.8，即可求出【解答】解：如圖，過M作MN⊥AP于N，∴∠ANM＝∠ABC＝90°，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴MN：BC＝AM：AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∵四邊形PAQB是平行四邊形，∴AM=12AB＝3，PQ＝2∴MN：8＝3：10，∴MN＝2.4，∵PM≥MN，∴PQ≥2MN＝4.8，∴PQ的最小值是4.8．故答案為：4.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，關(guān)鍵是由平行四邊形的性質(zhì)推出PQ＝2PM，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由垂線段最短得到PM≥MN．三、解答題：本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16．（8分）（2025?山東）（1）計(jì)算：|?13|×9（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（x2﹣1）（1x+1+1），其中【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【分析】（1）先算絕對(duì)值、算術(shù)平方根和零指數(shù)冪，再計(jì)算加法即可；（2）先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x＝2代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式=1＝1+1＝2；（2）原式＝（x+1）（x﹣1）（1x+1＝（x+1）（x﹣1）?x+2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝4+2﹣2＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡(jiǎn)求值，熟知實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．17．（8分）（2025?山東）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，如圖1．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）已知AB＝3，分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F．如圖2，求DF【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求∠ADC的度數(shù)；（2）連接CF，由作圖過程可得MN是CD的垂直平分線，所以FC＝FD，證明△CDF是等邊三角形，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求出DF．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；（2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°，∴AD＝CD，∠ADB＝60°，∴∠CDF＝60°，如圖2，連接CF，由作圖過程可知：MN是CD的垂直平分線，∴FC＝FD，∴△CDF是等邊三角形，∴FC＝FD＝CD＝AD，∵AB＝3，∠BAD＝30°，∴AD=ABcos30°=∴DF＝AD＝23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．18．（8分）（2025?山東）山東省在能源綠色低碳轉(zhuǎn)型過程中，探索出一條“以儲(chǔ)調(diào)綠”的能源轉(zhuǎn)型路徑．某地結(jié)合實(shí)際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發(fā)電實(shí)現(xiàn)低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉(zhuǎn)型．已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時(shí)水位高度每小時(shí)上升6米．（1）請(qǐng)寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系式；（2）已知蓄水池的底面積為0.4萬平方米，每立方米的水可供發(fā)電0.3千瓦時(shí)，求注水多長時(shí)間可供發(fā)電4.2萬千瓦時(shí)？【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；圓柱的體積．【分析】（1）根據(jù)蓄水池的水位高度＝注水時(shí)水位每小時(shí)升高的高度×注水時(shí)間+本次注水前蓄水池的水位高度解答即可；（2）根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式及圓柱的體積公式列關(guān)于x的一元一次方程并求解即可．【解答】解：（1）y＝6x+5，∴蓄水池的水位高度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系式為y＝6x+5．（2）根據(jù)題意，得0.4（6x+5）×0.3＝4.2，解得x＝5．答：注水5小時(shí)可供發(fā)電4.2萬千瓦時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、圓柱的體積，寫出函數(shù)關(guān)系式、掌握?qǐng)A柱的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．19．（10分）（2025?山東）在2025年全國科技活動(dòng)周期間，某?？萍夹〗M對(duì)甲、乙兩個(gè)水產(chǎn)養(yǎng)殖基地水體的pH值進(jìn)行了檢測(cè)，并對(duì)一天（24小時(shí)）內(nèi)每小時(shí)的pH值進(jìn)行了整理、描述及分析．【收集數(shù)據(jù)】甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)：7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．乙基地水體的pH值數(shù)據(jù)：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．【整理數(shù)據(jù)】7.00≤x＜7.307.30≤x＜7.607.60≤x＜7.907.90≤x＜8.208.20≤x≤8.50甲25773乙429a2【描述數(shù)據(jù)】【分析數(shù)據(jù)】平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲7.79b7.810.10乙7.787.77c0.13根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）填空：b＝7.67，c＝7.79；（3）請(qǐng)判斷甲、乙哪個(gè)基地水體的pH值更穩(wěn)定，并說明理由；（4）已知兩基地對(duì)水體pH值的日變化量（pH值最大值與最小值的差）要求為0.5～1，分別判斷并說明該日兩基地的pH值是否符合要求．【考點(diǎn)】頻數(shù)（率）分布直方圖；中位數(shù)；眾數(shù)；極差．【分析】（1）用24分別減去其它四部分的頻數(shù)，即可得出“7.90≤x＜8.20”的頻數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；（3）根據(jù)方差的意義解答即可；（4）根據(jù)極差的定義解答即可．【解答】解：（1）由題意得：a＝24﹣4﹣2﹣9﹣2＝7，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）在甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)中7.67出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)b＝7.67；把乙甲基地水體的pH值數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是7.77，7.81，故中位數(shù)c=7.77+7.81故答案為：7.67，7.79；（3）甲基地水體的pH值更穩(wěn)定，理由：因?yàn)榧谆厮w的pH值的方差比乙基地水體的pH值的方差小，所以甲基地水體的pH值更穩(wěn)定；（4）甲基地水體的pH值的極差為：8.26﹣7.27＝0.99＜1，乙基地水體的pH值的極差為：8.21﹣7.11＝1.1＞1，所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)（率）分布直方圖，頻數(shù)（率）分布表，中位數(shù)、眾數(shù)和極差，從統(tǒng)計(jì)圖中有效的獲取信息是解題的關(guān)鍵．20．（10分）（2025?山東）如圖，在△OAB中，點(diǎn)A在⊙O上，邊OB交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥OB于點(diǎn)D．AC是∠BAD的平分線．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠AOB＝45°，求CB的長．【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理．【分析】（1）由AD⊥OB于點(diǎn)D，得∠ADB＝90°，由∠DAC＝∠BAC，∠OAC＝∠OCA，且∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，得∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，則∠OAD＝∠B，所以∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，即可證明AB為⊙O的切線；（2）由∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，得∠B＝∠AOB＝45°，則AB＝OA，因?yàn)椤袿的半徑為2，所以AB＝OA＝OC＝2，求得OB=2OA＝22，則CB＝OB﹣OC＝22【解答】（1）證明：∵AD⊥OB于點(diǎn)D，∴∠ADB＝90°，∵AC是∠BAD的平分線，∴∠DAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，∴∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，∴∠OAD＝∠B，∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AB⊥OA，∴AB為⊙O的切線．（2）解：∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，∴∠B＝∠AOB＝45°，∴AB＝OA，∵⊙O的半徑為2，∴AB＝OA＝OC＝2，∴OB=AB2+O∴CB＝OB﹣OC＝22?∴CB的長是22?【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、切的的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，推導(dǎo)出∠OAD＝∠B是解題的關(guān)鍵．21．（9分）（2025?山東）【問題情境】2025年5月29日“天問二號(hào)”成功發(fā)射，開啟了小行星伴飛取樣探測(cè)的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個(gè)航天器模型，其中某個(gè)部件使用3D打印完成，如圖1．【問題提出】部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測(cè)量，需要設(shè)計(jì)一個(gè)可以得到l的長度的方案，以檢測(cè)該部件中l(wèi)的長度是否符合要求．【方案設(shè)計(jì)】興趣小組通過查閱文獻(xiàn)，提出了鋼柱測(cè)量法．測(cè)量工具：游標(biāo)卡尺、若干個(gè)底面圓半徑相同的鋼柱（圓柱）．操作步驟：如圖3，將兩個(gè)鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D．用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CC′的長度y．【問題解決】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的長度要求是1.9cm～2.1cm．（1）求∠BAO的度數(shù)；（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現(xiàn)測(cè)得y＝7.52cm．根據(jù)以上信息，通過計(jì)算說明該部件l的長度是否符合要求．（參考數(shù)據(jù)：3≈【結(jié)果反思】（3）本次實(shí)踐過程借助圓柱將不可測(cè)量的長度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的長度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫出一個(gè)；如果不能，說明理由．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；由三視圖判斷幾何體；圓周角定理；切線的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)切線長定理求解即可；（2）解直角三角形求得AB=OBtan30°=（3）能，將圓柱換成正方體．【解答】解：（1）∵⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D，∴AB＝AD，∠OAB=∠OAD=1（2）∵鋼柱的底面圓半徑為1cm，∴BC＝OB＝1，∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，∴AB=OB∴AC=BC+AB=1+3同理A′C′=1+3∴l(xiāng)=7.52?2(1+3∵1.9＜2.06＜2.1，該部件l的長度符合要求；（3）能，將圓柱換成正方體．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長定理，解直角三角形的應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（11分）（2025?山東）已知二次函數(shù)y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)a＝0、b＝3時(shí)，求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）當(dāng)b＝2a時(shí)，若該函數(shù)在0≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小；在3≤x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；（3）若點(diǎn)A（a，y1），B（a+b2，y2），C（b，y3）均在該函數(shù)的圖象上，是否存在常數(shù)m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）將a＝0、b＝3代入y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（2）b＝2a代入y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）化簡(jiǎn)可得y＝3x2﹣6ax+2a2然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（3）先求出y1，y2，y3然后代入y1+my2+y3＝0進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)a＝0，b＝3時(shí)，二次函數(shù)y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化為：y＝x（x﹣0）+（x﹣0）（x﹣3）+x（x﹣3）＝3x2﹣6x，∴此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=?b（2）當(dāng)b＝2a時(shí)，二次函數(shù)y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化為：y＝