第頁人教A版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)（選擇性必修2）《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)題（含答案）基礎(chǔ)鞏固1.數(shù)學(xué)歸納法原理：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)時命題也成立”.完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.2.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟之間的關(guān)系：記是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題，用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：（1）為；（2）若，為真，則也為真.結(jié)論：為真.回歸教材①練習(xí)1.下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？（1）求證：當(dāng)時.證明：假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即.則當(dāng)時，左邊右邊.所以當(dāng)時，等式也成立.由此得出，對任何，等式都成立.（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前n項和公式是.證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立.②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即.則當(dāng)時上面兩式相加并除以2，可得即當(dāng)時，等式也成立.由①②可知，等差數(shù)列的前n項和公式是.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項為，公比為q的等比數(shù)列的通項公式是，前n項和公式是.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：.4.若數(shù)列……的前n項和為計算由此推測計算的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.5.觀察下列兩個數(shù)列：數(shù)列：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；數(shù)列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，….猜想從第幾項起小于，并證明你的結(jié)論.6.猜想滿足，的數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.②習(xí)題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明下列等式：.要驗證當(dāng)時等式成立，其左邊的式子應(yīng)為().A. B. C. D.2.已知數(shù)列，滿足.計算，和，由此猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.3.已知數(shù)列……的前n項和為.計算由此猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：.5.已知數(shù)列，的通項公式分別為，其中.試推斷對哪些正整數(shù)n成立，證明你的結(jié)論.6.已知數(shù)列滿足.試用數(shù)學(xué)歸納法證明，并比較與的大小關(guān)系.7.證明：能夠被6整除.8.一本舊教材上有一個關(guān)于正整數(shù)n的恒等式?其中問號處由于年代久遠(yuǎn)，只能看出它是關(guān)于n的二次三項式，具體的系數(shù)已經(jīng)看不清楚了.請你猜想這個恒等式的形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.9.已知命題：設(shè)，為非負(fù)實數(shù)，和為正實數(shù)，若，則.請將該命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.提升訓(xùn)練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明（，）時，第一步應(yīng)驗證不等式()A. B. C. D.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，能被整除”時，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成()A.假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立B.假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立C.假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立D.假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立3.設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)成立時，總有成立.則下列命題總成立的是()A.若成立，則成立B.若成立，則當(dāng)時，均有成立C.若成立，則成立D.若成立，則當(dāng)時，均有成立4.若命題在時成立，則有時命題成立，現(xiàn)知在時命題成立，則有()A.命題對所有正整數(shù)都成立B.命題對小于的正整數(shù)不成立，對大于或等于的正整數(shù)都成立C.命題對小于的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于的正整數(shù)都成立D.以上說法都不正確5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，初始值應(yīng)等于__________.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被133整除.7.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知，且.（1）求和.（2）是否存在等差數(shù)列，對任意的都有成立？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.參考答案及解析一、基礎(chǔ)鞏固1.正整數(shù)n2.真二、回歸教材①練習(xí)1.答案：（1）錯誤在于沒有證明第（1）步（2）錯誤在于證明時，沒有應(yīng)用時的假設(shè)解析：（1）有錯誤，錯誤在于沒有證明第（1）步，即沒有證明時等式成立；（2）有錯誤，錯誤在于證明時，沒有應(yīng)用時的假設(shè)，而是應(yīng)用了倒序相加法，這不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明過程2.答案：證明見解析解析：由題意，等比數(shù)列的首項為，公比為q①當(dāng)時，顯然滿足；②假設(shè)時成立則當(dāng)時成立由①②可知，對于任意，都有成立.證明：前n項和公式③當(dāng)時成立；④假設(shè)時成立則當(dāng)時成立由③④可知，對于任意，都有成立.3.答案：證明見解析解析：證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立.②假設(shè)當(dāng)（，）時，等式成立即那么當(dāng)時當(dāng)時，等式也成立.由數(shù)學(xué)歸納法基本原理知等式成立.4.答案：猜想，證明見解析解析：；由猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：檢驗初始值時等式成立，假設(shè)時命題成立，證明當(dāng)時，命題也成立.①時，成立；②假設(shè)時，有成立，則當(dāng)時所以時，猜想也成立故由①，②可知，猜想對都成立.5.答案：猜想從第5項起，證明見解析解析：根據(jù)題意可得：數(shù)列的通項公式為數(shù)列的通項公式為由猜想從第5項起即證當(dāng)時（1）當(dāng)時顯然猜想成立；（2）假設(shè)當(dāng)（）時猜想成立即當(dāng)時即即當(dāng)時，猜想成立由（1）（2）可知，當(dāng)，時，都有，即.6.答案：，證明見解析解析：由可得得.推測.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，左邊右邊，結(jié)論成立.②假設(shè)時等式成立有則當(dāng)時故當(dāng)時，結(jié)論也成立.由①②可知，對任何*都有.②習(xí)題1.答案：C解析：當(dāng)時，左邊的式子應(yīng)為.答案：C.2.答案：見解析解析：由.，同理.對于以上歸納，猜想.證明：(1)當(dāng)時，猜想成立.(2)假設(shè)時，猜想成立，即則當(dāng)時，所以當(dāng)時猜想成立.由(1)(2)可知，猜想對任意都成立.3.答案：見解析解析：；.可以看到，上面表示四個結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為.于是可以猜想.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.(1)當(dāng)時，左邊，右邊，猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即那么所以，當(dāng)時猜想也成立根據(jù)(1)(2)，可知猜想對任何都成立.4.答案：見解析解析：證明：(1)當(dāng)時，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立．(2)假設(shè)等式成立，即，則當(dāng)時，當(dāng)時等式成立.由(1)(2)可知，等式對任意都成立.5.答案：見解析解析：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)吋；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時.猜想，當(dāng)或時.下面證明時.證明：(1)當(dāng)時，不等式成立.(2)假設(shè)(且)時不等式成立，即則當(dāng)時.，時，不等式成立.由(1)(2)可知，不等式對任意，都成立.6.答案：見解析解析：先證.證明：(1)當(dāng)時，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時，則當(dāng)時，若，則，這與矛盾，當(dāng)時.由(1)(2)可知，不等式對任意都成立.由上述證明知.又.7.答案：見解析解析：證明：(1)當(dāng)時，能夠被6整除，命題成立.(2)假設(shè)命題成立，即能夠被6整除.那么當(dāng)時由假設(shè)知能夠被6整除，而為偶數(shù)，也能夠被6整除，也能夠被6整除，故能夠被6整除，當(dāng)時，命題成立.由(1)(2)可知，命題對任意都成立.8.答案：見解析解析：設(shè)?，則恒等式為.當(dāng)時，左邊，右邊；當(dāng)時，左邊，右邊；當(dāng)時，左邊右邊聯(lián)立，得得猜想.證明：(1)當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即.那么當(dāng)時當(dāng)時，等式成立.由(1)(2)可知，等式對任意的都成立.9.答案：見解析解析：將該命題推廣到一般形式：設(shè)…為非負(fù)實數(shù)…為正實數(shù)當(dāng)則.證明：(1)當(dāng)時左邊右邊不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即當(dāng)時成立.那么當(dāng)時，時(*)時(*)式.(★)又(★)式.當(dāng)時，等式成立.由(1)(2)可知，命題對任意都成立.三、提升訓(xùn)練1.答案：B解析：由題意得，當(dāng)時，不等式為，故選B.2.答案：B解析：第二步假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立.3.答案：D解析：根據(jù)題意，若成立，則（，）成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時，均有成立.故選D.4.答案：C解析：由已知可得時命題成立，則有時命題成立，在時命題成立的前提下，可推得時命題也成立，以此類推，可知命題對大于或等于的正整數(shù)都成立，但命題對小于的正整數(shù)成立與否不能確定.故選C.5.答案：6解析：由題意，當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，初始值應(yīng)等于6.6.答案：證明見解析解析：證明：①當(dāng)時，能被133整除所以當(dāng)時結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)時