第12講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(5年12考)知識(shí)梳理夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一二次函數(shù)的概念及解析式1.一般地,形如

(a,b,c為常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).

2.三種表達(dá)形式一般式:

(a,b,c為常數(shù),a≠0).

頂點(diǎn)式:

(a,h,k為常數(shù),a≠0).

交點(diǎn)式:

(a,x1,x2為常數(shù),a≠0).

知識(shí)梳理y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)1.若關(guān)于x的函數(shù)y=(a-2)x2-x是二次函數(shù),則a的取值范圍是

.

2.將二次函數(shù)y=x2-4x+5化為y=(x-h)2+k的形式,則y=

.

針對(duì)訓(xùn)練a≠2(x-2)2+1知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)的圖象是一條

.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

知識(shí)梳理拋物線aa>0a<0圖象開口方向向上向下小大增大減小減小增大3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a,b,c的關(guān)系a決定拋物線開口方向及大小方向a>0,拋物線開口

a<0,拋物線開口

大小|a|越大,拋物線開口

|a|越小,拋物線開口

向上向下越小越大y軸左側(cè)右側(cè)原點(diǎn)3.已知二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象如圖所示.(1)化為頂點(diǎn)式可得y=

;

(2)該拋物線的開口方向

,它的對(duì)稱軸為

,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

;

(3)當(dāng)x

時(shí),y隨x的增大而增大;

(4)當(dāng)x=

時(shí),y有最

值為

;

(5)該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

.

(x+1)2-4向上直線x=-1直線x=-1>-1-1小-4(-3,0)和(1,0)(0,-3)4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),結(jié)合圖象填空(選填“>”“<”或“=”).(1)a

0,b

0,c

0;

(2)2a+b

0,2a-b

0,abc

0;

(3)b2-4ac

0;

(4)a+b+c

0,a-b+c

0;

(5)4a+2b+c

0,4a-2b+c

0;

(6)9a+3b+c

0,9a-3b+c

0.

<>>=<<>>=><=<知識(shí)點(diǎn)三二次函數(shù)圖象的平移保持拋物線y=ax2的形狀不變,使其頂點(diǎn)平移到(h,k)處,具體平移方法如下:知識(shí)梳理溫馨提示點(diǎn)坐標(biāo)與函數(shù)圖象的平移規(guī)律:點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律“左減右加,上加下減”,函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減,上加下減”,兩者要區(qū)分開.針對(duì)訓(xùn)練5.已知二次函數(shù)y=2x2.(1)把它的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,就得到拋物線y=

;

(2)把它的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,就得到拋物線y=

;

(3)把它的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,就得到拋物線y=

.

6.將拋物線y=2(x-3)2+2向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移

個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到拋物線y=2(x+1)2-1.

2(x+1)22x2-12(x-1)2+343重難突破提能力考點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(5年7考)典例1(2025中山模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),與x軸其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是(

)A.圖象的開口向上B.當(dāng)x>-2時(shí),y的值隨x值的增大而減小C.若M(x1,y),N(x2,y)是拋物線上不同的兩點(diǎn),則x1+x2=-1D.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)D即時(shí)訓(xùn)練1.(2024廣東)若點(diǎn)(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函數(shù)y=x2的圖象上,則(

)A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2A點(diǎn)(0,y1)在原點(diǎn)處,點(diǎn)(1,y2),(2,y3)都在y軸右側(cè),根據(jù)二次函數(shù)y=x2在y軸右側(cè)的圖象遞增即可求解2.下列關(guān)于拋物線y=x2+4x-5的說(shuō)法正確的是(

)①開口方向向上;②對(duì)稱軸是直線x=-4;③當(dāng)x<-2時(shí),y隨x的增大而減小;④當(dāng)x<-5或x>1時(shí),y>0.A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④C3.(2023廣東)如圖所示,拋物線y=ax2+c經(jīng)過(guò)正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)B在y軸上,則ac的值為(

)A.-1 B.-2 C.-3 D.-4B考點(diǎn)2二次函數(shù)圖象的平移(5年1考)典例2(2025廣東模擬)已知二次函數(shù)y=ax2-4x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,6).(1)求a的值和該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).解:(1)將(-1,6)代入二次函數(shù)y=ax2-4x,得6=a×(-1)2-4×(-1),解得a=2,∴y=2x2-4x=2(x-1)2-2.∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).(2)若將該二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,求新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo).解:(2)將二次函數(shù)y=2(x-1)2-2的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,則新拋物線的函數(shù)解析式為y=2(x-1-2)2-2=2(x-3)2-2.令x=0,則y=2×(0-3)2-2=16,∴新拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,16).即時(shí)訓(xùn)練4.在平面直角坐標(biāo)系中,如果拋物線y=-x2+2x-1經(jīng)過(guò)平移可以與拋物線y=-x2互相重合,那么這個(gè)平移是(

)A.向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度Cy=2x2+4x5.(2021廣東)把拋物線y=2x2+1向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的拋物線的解析式為

.

考點(diǎn)3二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a,b,c的關(guān)系典例3如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=1,與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0),且-1<x1<0,下列結(jié)論:①abc>0,②b2>4ac,③4a+2b+c<0,④3a+c<0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4B即時(shí)訓(xùn)練6.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是()A.abc<0 B.4a-2b+c<0C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m為實(shí)數(shù))CBA.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)考點(diǎn)4確定二次函數(shù)的解析式(5年4考)典例4已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(1,10),(-1,4),(-2,7)三點(diǎn),求該函數(shù)的解析式;(2)若函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,-5),求該函數(shù)的解析式;解:(2)∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)2+4(a≠0).把(2,-5)代入,得-5=a(2+1)2+4,解得a=-1,∴這個(gè)函數(shù)的解析式為y=-(x+1)2+4.(3)若函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),求該函數(shù)的解析式.解:(3)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x-2)(a≠0),將(0,4)代入,得4=-2a,解得a=-2,∴y=-2(x+1)(x-2)=-2x2+2x+4.∴二次函數(shù)的解析式為y=-2x2+2x+4.方法點(diǎn)撥確定二次函數(shù)的解析式(1)已知拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)一般式;(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸可設(shè)頂點(diǎn)式;(3)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)交點(diǎn)式.即時(shí)訓(xùn)練8.(2025廣東)已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(c,0),但不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則該二次函數(shù)的解析式可以是

(寫出一個(gè)即可).

y=-x2+x+2(答案不唯一)9.新定義題一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(t,0),則稱t的值是這個(gè)函數(shù)的“零點(diǎn)”.例如:二次函數(shù)y=a(x-3)(x+2)(a≠0),無(wú)論a取何值,二次函數(shù)的圖象始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,0)和(-2,0),所以3和-2是這個(gè)函數(shù)的“零點(diǎn)”.如果一個(gè)二次函數(shù)有且只有一個(gè)“零點(diǎn)”是-1,那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是

(寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)解析式即可).

y=(x+1)2(答案不唯一)全國(guó)視野拓思維10.(2025南通)在平面直角坐標(biāo)系中,五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若拋物線y=a(x-2)2+k(a>0)經(jīng)過(guò)上述五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn),則滿足題意的a的值不可能為()C