第13講二次函數(shù)的應(yīng)用(5年4考)知識(shí)梳理夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系知識(shí)梳理二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的

坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根

當(dāng)b2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),方程ax2+bx+c=0有

的實(shí)數(shù)根

當(dāng)b2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)b2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn),方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根橫兩個(gè)相等二次函數(shù)與不等式不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍1.二次函數(shù)y=2x2-3x-c(c>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況是()A.有1個(gè)交點(diǎn) B.有2個(gè)交點(diǎn)

C.無(wú)交點(diǎn) D.無(wú)法確定針對(duì)訓(xùn)練B2.[人教九上P47習(xí)題T5變式]二次函數(shù)y=-x2+bx+c的部分圖象如圖所示.(1)方程-x2+bx+c=0的根為

;

(2)一元二次不等式-x2+bx+c>0的解集是

;

(3)一元二次不等式-x2+bx+c<0的解集是

.

x1=-1,x2=5-1<x<5x<-1或x>5知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.最值問(wèn)題在日常生活中,經(jīng)常遇到求某種圖形的最大面積、獲取最大經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)、怎樣最節(jié)省開支等問(wèn)題,利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),便可以解決這類問(wèn)題,需要把這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題.解決該類問(wèn)題的一般步驟如下:(1)找:找出題目中的等量關(guān)系;(2)列:列出二次函數(shù)解析式;(3)求:利用配方法將解析式化為頂點(diǎn)式或利用公式法確定最值.知識(shí)梳理2.拋物線形問(wèn)題在實(shí)際生活中常遇到以下拋物線形問(wèn)題:拱形橋洞、涵洞、隧道、拱形門、球類的運(yùn)動(dòng)路線、跳水運(yùn)動(dòng)員的跳水路線等,對(duì)此類問(wèn)題要正確地建立模型,選擇合理的位置建立平面直角坐標(biāo)系,用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,進(jìn)而解決問(wèn)題.3.如圖(1)所示是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當(dāng)水面在l處時(shí),拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面3m,水面寬6m.如圖(2)所示,建立平面直角坐標(biāo)系,則拋物線的解析式是()A針對(duì)訓(xùn)練10重難突破提能力考點(diǎn)1二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系(易錯(cuò)點(diǎn))(5年1考)典例1(2025中山模擬)[閱讀材料]解一元二次不等式:x2-3x>0.解:設(shè)x2-3x=0,解得x1=0,x2=3,則拋物線y=x2-3x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(3,0).畫出二次函數(shù)y=x2-3x的大致圖象(如圖所示),由圖象可知:當(dāng)x<0或x>3時(shí)函數(shù)圖象位于x軸上方,此時(shí)y>0,即x2-3x>0,則一元二次不等式x2-3x>0的解集為x<0或x>3.通過(guò)對(duì)上述解題過(guò)程的學(xué)習(xí),按其解題的思路和方法解答下列問(wèn)題:(1)請(qǐng)直接寫出一元二次不等式x2-3x<0的解集;解:(1)一元二次不等式x2-3x<0的解集為0<x<3.(2)用類似的方法解一元二次不等式x2-2x-8≥0.解:(2)設(shè)x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2,則拋物線y=x2-2x-8與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)和(-2,0),畫出二次函數(shù)y=x2-2x-8的大致圖象,如圖所示.由圖象可知,當(dāng)x≤-2或x≥4時(shí)函數(shù)圖象位于x軸及其上方,此時(shí)y≥0,即x2-2x-8≥0,∴一元二次不等式x2-2x-8≥0的解集為x≤-2或x≥4.即時(shí)訓(xùn)練1.(2025廣州模擬)如圖所示,拋物線y1與直線y2相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為-2和4,則當(dāng)y1>y2時(shí)x的取值范圍為()A.x<-2 B.x>4C.-2<x<4 D.x<-2或x>4C考點(diǎn)2二次函數(shù)與實(shí)際生活中的最大(小)值問(wèn)題(5年2考)典例2(2024廣東T20改編)廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬(wàn)村高質(zhì)量發(fā)展工程”,2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國(guó)首位,其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美.某果商以每噸2萬(wàn)元的價(jià)格收購(gòu)早熟荔枝,銷往國(guó)外.若按每噸5萬(wàn)元出售,平均每天可售出100t.市場(chǎng)調(diào)查反映:如果每噸降價(jià)1萬(wàn)元,每天銷售量相應(yīng)增加50t.該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤(rùn)”最大?并求出其最大值.(題中“元”為人民幣)規(guī)律總結(jié)應(yīng)用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)根據(jù)題意確定二次函數(shù)的關(guān)系式;(2)根據(jù)已知條件確定自變量的取值范圍;(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍確定最大(小)值,注意二次函數(shù)的最大值不一定是實(shí)際問(wèn)題的最大值,要結(jié)合自變量的取值范圍確定最值.即時(shí)訓(xùn)練2.(2025茂名模擬)為落實(shí)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”,切實(shí)提高農(nóng)民的收入,某合作社將農(nóng)戶種植的無(wú)花果加工包裝后進(jìn)行銷售,已知種植及加工無(wú)花果的綜合成本為30元/千克,售價(jià)為50元/千克時(shí),每天可出售2000千克,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每降價(jià)1元,一天多售出250千克.(1)如果每天的利潤(rùn)要比原來(lái)多5000元,并使顧客得到更大的優(yōu)惠,每千克售價(jià)為多少元?解:(1)設(shè)每千克降價(jià)x元,∴(50-30-x)(2000+250x)=(50-30)×2000+5000,解得x=10或x=2,∴售價(jià)為50-10=40(元)或50-2=48(元).又∵使顧客得到更大的優(yōu)惠,∴每千克售價(jià)為40元.(2)要使每天的利潤(rùn)取得最大值,每千克售價(jià)為多少元?解:(2)設(shè)每天的利潤(rùn)為w元,由題意,結(jié)合(1)可得,w=(50-30-x)(2000+250x)=-250x2+3000x+40000=-250(x-6)2+49000,又-250<0,∴當(dāng)x=6時(shí),每天的利潤(rùn)最大,最大值為49000.50-6=44(元).∴要使每天的利潤(rùn)取得最大值,每千克售價(jià)為44元.考點(diǎn)3二次函數(shù)與拋物線形實(shí)際問(wèn)題典例3如圖所示,一位籃球運(yùn)動(dòng)員在與籃筐中心水平距離為4m處起跳投籃時(shí),球運(yùn)行的高度y(單位:m)與運(yùn)行的水平距離x(單位:m)之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=ax2+x+c,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為1.5m時(shí),球離地面高度為3.3m,球在空中達(dá)到最大高度后,準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi).已知籃筐中心與地面的距離為3.05m.當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為多少時(shí),球在空中達(dá)到最大高度?最大高度為多少?方法技巧解決拋物線形實(shí)際問(wèn)題(1)用待定系數(shù)法確定拋物線解析式;(2)利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解.即時(shí)訓(xùn)練3.(2025連云港)如圖所示,小亮同學(xué)擲鉛球時(shí),鉛球沿拋物線y=a(x-3)2+2.5運(yùn)行,其中x是鉛球離初始位置的水平距離,y是鉛球離地面的高度.若鉛球擲出時(shí)離地面的高度OA為1.6m,則鉛球擲出的水平距離OB為

m.

8考點(diǎn)4建立坐標(biāo)系構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題(5年1考)典例4(2025廣東T18,7分)如圖所示,某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長(zhǎng)1.7km,主塔高0.27km,主纜可視為拋物線,主纜垂度0.1785km,主纜最低處距離橋面0.0015km,橋面距離海平面約0.09km.請(qǐng)?jiān)谑疽鈭D中建立合適的平面直角坐標(biāo)系,并求該拋物線的解析式.即時(shí)訓(xùn)練4.[人教九上教材P51探究3改編]如圖所示是一個(gè)橫斷面為拋物線形的拱橋,當(dāng)水面寬4m時(shí),拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面2m,若水面下降2.5m時(shí),則此時(shí)水面的寬度為

m.

65.如圖所示是一座懸索橋側(cè)面示意圖.橋塔AD與橋塔BC均垂直于橋面FF′,纜索AB段與纜索AE段、纜索BE′段均呈拋物線形.纜索AB段所在的拋物線與纜索AE段所在的拋物線關(guān)于AD所在的直線對(duì)稱,橋塔AD與橋塔BC之間的距離DC=100m,AD=BC=17m(橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)),纜索AB段的最低點(diǎn)P到FF′的距離PQ=2m.請(qǐng)你在圖中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求纜索AB段所在的拋物線的函數(shù)解析式.解:(答案不唯一)如圖所示,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),CD所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,∵AD=17m,∴A(0,17).又DC=100m,纜索AB段的最低點(diǎn)P到FF′的距離PQ=2m,AD=BC,∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(50,2).故可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-50)2+2.全國(guó)視野拓思維6.(2025徐州)急剎車時(shí),停車距離是指騎車人從意識(shí)到應(yīng)當(dāng)剎車到車輛停下來(lái)所走的距離,記作ym;反應(yīng)距離是指騎車人意識(shí)到應(yīng)當(dāng)剎車到實(shí)施剎車所走的距離,記作d1m;