第18講相似三角形(5年9考)知識(shí)梳理夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一比例線段1.線段的比:兩條線段的長(zhǎng)度之比叫做兩條線段的比.2.比例線段:四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱(chēng)

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知識(shí)梳理比例線段bc5.平行線分線段成比例(1)兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段

;

(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段

.

成比例成比例針對(duì)訓(xùn)練D2.a,b,c,d是成比例線段,其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,則線段d的長(zhǎng)為

.

4cm3.如圖所示,直線l1∥l2∥l3,直線AB分別交l1,l2,l3于點(diǎn)A,B,C,直線DE分別交l1,l2,l3于點(diǎn)D,E,F.若AB=3,BC=5,DE=4,則EF=

.

4.已知線段AB=4,點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AP>BP),則線段AP的長(zhǎng)為

.

知識(shí)點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定1.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角

,對(duì)應(yīng)邊

;

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于

;

(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于

,面積的比等于相似比的

.

知識(shí)梳理相等成比例相似比相似比平方2.相似三角形的判定判定1:三邊

的兩個(gè)三角形相似.

判定2:兩邊

且?jiàn)A角

的兩個(gè)三角形相似.

判定3:兩角分別

的兩個(gè)三角形相似.

判定4:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與

相似.

判定5:若兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條

對(duì)應(yīng)成比例,則這兩個(gè)直角三角形相似.

成比例成比例相等相等原三角形直角邊注意相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方.5.已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′分別是它們的對(duì)應(yīng)高,若AD=4,A′D′=2,則AB與A′B′的長(zhǎng)度比是

,△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)比是

,面積比是

.

6.如圖所示,AD,BC相交于點(diǎn)O,下列條件:針對(duì)訓(xùn)練2∶12∶14∶1①③④⑤知識(shí)點(diǎn)三位似圖形1.定義:如果兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于

,對(duì)應(yīng)邊互相平行(或在同一條直線上),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做

,此時(shí)的相似比又叫位似比.

知識(shí)梳理一點(diǎn)位似中心2.性質(zhì):(1)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比

相似比;

(2)位似圖形的周長(zhǎng)比等于

;面積比等于

;

(3)在平面直角坐標(biāo)系中,如果以原點(diǎn)為位似中心,畫(huà)出一個(gè)與原圖形位似的圖形,使它與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為

或

.

等于相似比相似比的平方(kx,ky)(-kx,-ky)針對(duì)訓(xùn)練1∶37.(2025廣東)如圖所示,把△AOB放大后得到△COD,則△AOB與△COD的相似比是

.

8.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC與△A′B′C′位似,位似中心是原點(diǎn)O.已知BC∶B′C′=1∶2,則B(2,0)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是()A.(3,0) B.(4,0)C.(6,0) D.(8,0)B重難突破提能力考點(diǎn)1平行線分線段成比例典例1如圖所示,直線AD,BC相交于點(diǎn)O,AB∥EF∥CD,AO=2,OF=1,FD=2.(2)若BO=1.5,則CE的長(zhǎng)為

.

1.5即時(shí)訓(xùn)練1.(2023廣東)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了()A.黃金分割數(shù) B.平均數(shù) C.眾數(shù) D.中位數(shù)2.如圖所示,AD∥BE∥CF,直線l1,l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F,若AB=3,BC=6,DF=6,則DE的長(zhǎng)等于

.

A2考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定(5年9考)典例2

(2024廣州)如圖所示,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,且BE=3,EC=6,CF=2.求證:△ABE∽△ECF.解題策略相似三角形的判定思路:已知兩個(gè)直角三角形,(1)找一對(duì)銳角相等;(2)找兩邊對(duì)應(yīng)成比例.即時(shí)訓(xùn)練4.(2023廣東)邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起,它們的底邊在同一直線上(如圖所示),則圖中陰影部分的面積為

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通過(guò)△ABF∽△ADE,△ACK∽△ADE,求出BF和CK的值,然后求梯形面積155.(2025中山模擬)如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,AD=4,BD=5,AC=6,△ABC的角平分線AE交CD于點(diǎn)F.(1)求證:AC2=AD·AB.(1)證明:∵AD=4,BD=5,∴AB=AD+BD=4+5=9.∴AC2=62=36,AB·AD=9×4=36.∴AC2=AD·AB.(2)求證:△DAF∽△CAE.(3)若AF=4,求AE的長(zhǎng)度.考點(diǎn)3位似BA.(2,-3) B.(2,-3)或(-2,3)C.(-2,3) D.(2,-3)或(-2,-3)即時(shí)訓(xùn)練6.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).(1)以點(diǎn)O為位似中心,在y軸右側(cè)將△ABO縮小為原來(lái)的一半得到△A′B′O,在圖中畫(huà)出△A′B′O.①點(diǎn)B′的坐標(biāo)為

,OB′的長(zhǎng)為

;

②△A′B′O與△ABO的周長(zhǎng)比為

,面積比為

;

(2,0)21∶21∶4解:(1)如圖所示,△A′B′O即為所求.(2)以點(diǎn)O為位似中心,將△ABO縮小為原來(lái)的一半,此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐