2025-2026九上數(shù)學【一元二次方程】期末專項訓練題型一一元二次方程的概念（共12小題）1．（24-25九年級上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（

）A．和1 B．2和 C．和 D．和12．（24-25九年級上·四川綿陽·期末）已知關于x的一元二次方程，則一次項系數(shù)為（

）A． B． C．2 D．13．（24-25九年級上·廣西北?！て谀┤羰顷P于的一元二次方程的一個根，則的值為(

)A．2 B． C．1 D．4．（24-25九年級上·廣東佛山·期末）探索方程的正數(shù)解的過程如下表：01213可以看出方程的正數(shù)解應介于和之間，則，分別是（

）A．0， B．，1 C．1， D．，25．（24-25九年級上·遼寧·期末）將一元二次方程化為的形式，則，，的值分別為（

）A．，， B．，， C．，， D．，，6．（24-25九年級上·河南駐馬店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情況下，它可以作為一種可視化的工具來幫助我們理解方程的解，如下表，根據表格可知方程：的解是（

）-2-10123…620026…A． B． C． D．或7．（24-25九年級上·廣東佛山·期末）請寫出一個關于的一元二次方程，使該方程有一個正根和一個負根，那么這個方程可以是．8．（24-25九年級上·全國·期末）方程的一次項為．9．（24-25九年級上·湖南永州·期末）若是一元二次方程，則的取值范圍是．10．（24-25九年級上·全國·期末）若是關于x的方程的一個根，則m的值為．11．（24-25九年級上·全國·期末）若關于x的一元二次方程有一個解為，求m的值．12．（25-26九年級上·全國·期末）已知，，試判斷關于的方程與有沒有公共根，請說明理由．題型二一元二次方程概念新定義（共3小題）13．（24-25九年級上·貴州畢節(jié)·期末）如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“鳳凰方程”．(1)判斷一元二次方程是否為“鳳凰方程”，并說明理由；(2)若關于的方程是“鳳凰方程”，求的值．14．（24-25九年級上·遼寧丹東·期末）“新定義”問題就是給出一個從未接觸過的新規(guī)定，要求同學們現(xiàn)學現(xiàn)用，更多考查閱讀理解能力、應變能力和創(chuàng)新能力．定義：方程是一元二次方程的倒方程，其中為常數(shù)（且．根據此定義解決下列問題：(1)一元二次方程的倒方程是______；(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；(3)若是一元二次方程的倒方程的一個實數(shù)根，則的值為______．15．（25-26九年級上·全國·期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程，得，化簡，得，故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的方法，解答下列問題（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個關于的一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，請求出所求方程；(2)已知方程的兩個根分別是和，嘗試求出另一個方程的兩個根．題型三用配方法求解一元二次方程（共9小題）16．（23-24九年級上·江蘇·期末）一元二次方程的根是（

）A． B．2 C．或 D．2或17．（25-26九年級上·全國·期末）一元二次方程配方變形為，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．1018．（24-25九年級上·河北廊坊·期末）用配方法解一元二次方程，將它轉化為的形式，則的值為（

）A．2025 B． C．1 D．19．（24-25九年級上·全國·期末）一元二次方程的根為

．20．（24-25九年級上·全國·期末）若一元二次方程的兩個不相等的根分別是與，則為．21．（24-25九年級上·江蘇揚州·期末）將二次三項式配方成的形式，則b的值是．22．（24-25九年級上·甘肅天水·期末）解方程：．23．（23-24九年級上·全國·期末）解方程(1)(2)24．（24-25九年級上·廣西桂林·期末）綜合與實踐【方法研究】配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法，配方法是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代數(shù)式的最值等．例：求代數(shù)式的最小值．解：原式．，，的最小值為3．【方法應用】（1）仿照例題，用配方法求代數(shù)式的最小值．【問題遷移】（2）若，求，．【拓展應用】（3）如圖，這是加菲爾德證明勾股定理的一個圖形，其中，，是和的三邊長．根據勾股定理，可得，我們把關于的一元二次方程，稱為“勾系一元二次方程”，已知代數(shù)式的最小值是“勾系一元二次方程”的一個根，且，試求四邊形的周長．題型四公式法解一元二次方程（共3小題）25．（25-26九年級上·新疆·期末）若一個一元二次方程的根為，則該一元二次方程為（

）A． B． C． D．26．（25-26九年級上·廣東揭陽·期末）對于實數(shù)a，b，定義：，．若，且滿足，則．27．（24-25九年級上·北京海淀·期末）解方程：．題型五用因式分解法求解一元二次方程（共3小題）28．（24-25九年級上·四川瀘州·期末）方程的根是（）A． B．C．， D．，29．（25-26九年級上·全國·期末）方程的解為．30．（25-26九年級上·全國·期末）解下列方程：(1)；(2)．題型六換元法解一元二次方程（共3小題）31．（24-25九年級上·江蘇無錫·期末）一元二次方程的兩根分別為，1，則方程的兩根分別為（

）A．， B．，C．， D．，32．（24-25九年級上·云南玉溪·期末）已知方程的解是，，則方程的解．33．（24-25九年級上·廣東·期末）已知實數(shù)、滿足，試求的值．解：設，則原方程可化為，即：解得．∵，∴上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化，根據以上閱讀材料為內容，解決下列問題：(1)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120，直接寫出這四個連續(xù)的正整數(shù)．(2)已知實數(shù)、滿足，求的值．題型七一元二次方程的判別式（共6題）34．（25-26九年級上·河南·期末）關于的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根35．（24-25九年級上·云南紅河·期末）若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值可以是（

）A．0 B． C． D．36．（24-25九年級上·吉林·期末）一元二次方程根的判別式的值是．37．（24-25九年級上·廣東肇慶·期末）方程有實數(shù)根，則k的值可以是．（寫出一個即可）38．（24-25九年級上·甘肅武威·期末）已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．39．（24-25九年級上·四川瀘州·期末）小明同學在解關于x的一元二次方程時，認定此一元二次方程無論m為何實數(shù)．方程總有兩個不相等的實數(shù)根．請你幫忙判定小明的說法是否正確嗎？并說明理由．題型八一元二次方程的根與系數(shù)的關系（共5小題）40．（24-25九年級上·湖北武漢·期末）下列一元二次方程中，兩個實數(shù)根的和為1的方程是（

）A． B．C． D．41．（25-26九年級上·全國·期末）已知、是方程兩個根，則42．（24-25九年級上·湖北咸寧·期末）已知是方程的兩根，則．43．（25-26九年級上·全國·期末）已知關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求，的值．44．（25-26九年級上·全國·期末）已知關于x的方程的一根為(1)則的值是；(2)求方程的另一根．題型九傳播問題(一元二次方程的應用)（共3小題）45．（23-24九年級上·福建廈門·期末）流行性感冒是一種由流感病毒引起的傳染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，經過兩輪傳染后，假設共有100人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了個人，則下列結論錯誤的是（

）A．1輪后有人患了流感 B．依題意可得方程C．2輪后有個人患了流感 D．經過三輪一共會有1000人感染46．（24-25九年級上·江蘇徐州·期末）一個小組有若干人，新年互送賀卡一張，共送72張賀卡，設該小組共有人，則可列方程47．（24-25九年級上·湖北十堰·期末）諾如病毒是一種高度傳染性和快速傳播的病毒，它通過多種途徑傳播，包括糞口途徑、污染的水源、食物、物品和空氣等，尤其是在封閉或人口密集的環(huán)境中傳播更快，其常見癥狀為惡心、嘔吐、發(fā)熱、腹痛和腹瀉等．如果某人是該病毒患者，經過兩輪傳染后共有人被傳染，請問每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?題型十增長率問題(一元二次方程的應用)（共3小題）48．（25-26九年級上·內蒙古烏蘭察布·期末）“蒙超聯(lián)賽”期間，1件烏蘭察布市球迷隊服的售價為80元，回饋球迷，經過兩次降價，現(xiàn)在1件的售價為60元．設該衣服的售價每次平均下降率為，根據題意，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．49．（25-26九年級上·內蒙古通遼·期末）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，各種品牌相繼投放市場，我國新能源汽車近幾年銷量全球第一，2018年銷量為125.6萬輛，銷量逐年增加，到2020年銷量為130萬輛．設年平均增長率為x，可列方程為．50．（25-26九年級上·全國·期末）果農張大爺原計劃以每千克4元的價格銷售某種水果，由于部分果農盲目擴大種植，造成該水果滯銷，張大爺為了加快銷售，減少損失，經過兩次下調價格后，以每千克元的價格銷售．求平均每次下調價格的百分率．題型十一與圖形有關的問題(一元二次方程的應用)（共4小題）51．（24-25九年級上·四川瀘州·期末）學校的勞動實踐基地是一塊長、寬的矩形土地．為便于學生參與勞動，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道（如圖所示），使種植面積達到，若設小道的寬為，則根據題意，那么x滿足的方程是（

）A． B．C． D．52．（24-25九年級上·四川成都·期末）已知矩形的一邊長為2，另一邊長為1．如果存在另一個矩形，周長是已知矩形周長的2倍，面積是已知矩形面積的倍，則的取值范圍是．53．（24-25九年級上·云南紅河·期末）實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是中國共產黨的重大決策部署，是新時代做好“三農”工作的總抓手．農業(yè)大學畢業(yè)的小宇積極響應號召回鄉(xiāng)發(fā)展，他不僅是一個蔬菜種植能手，還是一個喜愛動腦筋的創(chuàng)意設計者．下面是他設計的一個矩形蔬菜倉庫，如圖，倉庫的一邊靠墻，這堵墻的長為18米，在與墻平行的一邊，要開一扇2米寬的門，用33米長的木板材料，怎樣圍成一個面積為150平方米的長方形倉庫？54．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期末）【項目介紹】學校有一塊矩形空地，打算用空地面積的一半來建造一個花壇，其余部分進行綠化，為了使設計更加美觀合理，學校決定在同學們中征集設計方案．【任務一】測量矩形空地的長和寬．經測量，矩形的長為8米，寬為6米．【任務二】擬定設計方案，按照的比例尺畫出設計圖紙．（1）第一小組方案：步驟一：圖紙上畫出矩形的寬為6厘米，在圖紙上分別找到其他邊的中點，則的長應為；步驟二：順次連接各邊中點得到的四邊形區(qū)域進行綠化，其余部分作為花壇，如圖1．該小組計算后發(fā)現(xiàn)此時花壇的面積剛好是矩形空地面積的一半；（2）第二小組方案：按照如圖所示的方式在中間設計兩條等寬的小路進行綠化，四周的四個小矩形建造花壇，如圖2．請你幫忙計算，小路的寬為多少厘米時符合設計要求？（3）第三小組計劃設計的花壇部分為軸對稱圖形，請你幫助他們完成任務：在圖3中畫出與前兩個小組不一樣的設計方案，將花壇部分涂上陰影并在圖紙上標明必要線段的長度．題型十二數(shù)字問題(一元二次方程的應用)（共3小題）55．（25-26九年級上·全國·期末）兩個連續(xù)偶數(shù)的積為，若設較小的偶數(shù)為，則可列方程為（

）A． B．C． D．56．（24-25九年級上·湖南懷化·期末）已知一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個位上的數(shù)字的倍，十位上的數(shù)字的平方與個位上的數(shù)字的倍之和正好是這個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是．57．（24-25九年級上·黑龍江雙鴨山·期末）如圖所示的是2025年1月的日歷表，用虛線方框按如圖所示的方法任意圈出四個數(shù)，請解答下列問題．(1)若虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)．(2)虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和能為80嗎？若能，請求出最小數(shù)；若不能，請說明理由．題型十三營銷問題(一元二次方程的應用)（共3小題）58．（24-25九年級上·山東聊城·期末）葡萄中含有多種維生素，可以幫助抗氧化，保護細胞不受自由基的侵害，延緩衰老，增強免疫力，保護心臟健康，深受消費者喜愛，某超市以每千克9元的價格購進一批葡萄，然后以每千克12元的價格出售，一天可售出100千克，通過調查發(fā)現(xiàn)，每千克的售價每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若設超市需要將每千克的售價降低x元，則可列方程為（

）A． B．C． D．59．（23-24九年級上·山西陽泉·期末）山西祁縣是“中國酥梨之鄉(xiāng)”，某超市將進價為5元/千克的酥梨按8元/千克售出，平均一天能售出50千克，為盡快減少庫存，超市決定降價銷售．經市場調查，售價每降低1元，日銷售量增加10千克，現(xiàn)要使超市每天銷售酥梨的利潤為120元．若設售價應降低元，則可列方程為．60．（25-26九年級上·甘肅武威·期末）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？題型十四動態(tài)幾何問題(一元二次方程的應用)（共3小題）61．（24-25九年級上·四川綿陽·期末）如圖，中，，，，點從點出發(fā)向終點以每秒個單位長度移動，點從點出發(fā)向終點以每秒個單位長度移動，兩點同時出發(fā)，一點先到達終點時兩點同時停止，則（

）秒后，的面積等于．A． B． C．或 D．或62．（24-25九年級上·四川成都·期末）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，以的速度沿方向運動；同時動點從點出發(fā)，以的速度沿方向運動．設動點運動時間為，當時，則的值為．63．（25-26九年級上·甘肅武威·期末）如圖，在中，，，點點同時由、兩點出發(fā)分別在線段線段上向點勻速移動，它們的速度都是，幾秒后，的面積為面積的？題型十五行程問題(一元二次方程的應用)（共2小題）64．（24-25九年級上·河南周口·期末）汽車在公路上行駛，它行駛的路程和時間之間的關系式為，那么行駛，需要的時間為（

）A． B． C． D．65．（22-23九年級上·重慶開州·期末）隨著人們對健康生活的追求，全民健身意識日益增強，徒步走成為人們鍛煉的日常，中老年人尤為喜愛．(1)張大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，張大伯走分鐘，李大伯走分鐘，共走米，求張大伯和李大伯每分鐘各走多少米？(2)天氣好，天色早，張大伯和李大伯鍛煉興致很濃，又繼續(xù)走，與（1）中相比，張大伯的速度不變，李大伯的速度每分鐘提高了米，時間都各自多走了分鐘，結果兩人又共走了米，求的值．題型十六圖表信息題(一元二次方程的應用)（共2小題）66．（25-26九年級上·全國·期末）某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)每戶居民如果一個月的用電量不超過a度，那么這居民這個月只需繳30元電費；如果超過a度，那么這個月除了仍要繳30元的用電費以外，超過的部分還要每度按元繳費．(1)若該廠某戶居民2月份用電度，超過了規(guī)定的a度，則超過的部分應繳電費多少元（用a表示）；(2)如表是這戶居民3月、4月用電情況和繳費情況：月份用電量（度）繳電費總數(shù)（元）31206246530請根據如表數(shù)據，求出電廠規(guī)定的a的值．67．（22-23九年級上·廣東陽江·期末）烏克蘭危機發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數(shù)據，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統(tǒng)計數(shù)據發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票題型十七其他問題(一元二次方程的應用)（共4小題）68．（24-25九年級上·河南鄭州·期末）2024年鞏義市職工籃球聯(lián)賽已落下帷幕，比賽采用單循環(huán)制，任意兩個參賽隊伍之間都要進行一場比賽，該聯(lián)賽共進行了153場比賽．若共有支隊伍報名參賽，則根據題意可列出方程為（

）A． B．C． D．69．（24-25九年級上·湖南永州·期末）數(shù)學趣題解答：阿拉伯數(shù)學著作《算術之鑰》書中，記載著一道頗受阿拉伯人喜愛的數(shù)學題：“一群人走進果園去摘石榴，第一個人摘了1個石榴，第二個人摘了2個石榴，第三個人摘了3個石榴，以此類推，后進果園的人都比前面那個人多摘一個石榴，這群人剛好把果園的石榴全部摘下來了，如果平均分配，每個人可以得到10個石榴，問這群人共有多少人？”70．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期末）已知關于的一元二次方程，若等腰三角形的一邊長，另外兩邊長，恰好是這個方程的根，求的周長．71．（24-25九年級上·貴州六盤水·期末）閱讀下面材料，并解決相關問題：如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)行，其中第一行有1個點，第二行有2個點，第n行有n個點．容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前5行的點數(shù)之和為15．(1)三角點陣中前7行的點數(shù)之和為________，前n行的點數(shù)之和為________；（用含n的代數(shù)式表示）(2)三角點陣中前n行的，點數(shù)之和________（填“能”或“不能”）為520；(3)某人民廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用630盆同樣規(guī)格的花，按照第一排擺3盆，第二排擺6盆，第三排擺9盆，…第n排擺盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？題型十八握手、循環(huán)賽問題（一元二次方程的應用（共4小題）72．（24-25九年級上·云南紅河·期末）為豐富學生的課余生活，提高學生的身體素質與團隊協(xié)作能力，增強班級凝聚力與集體榮譽感，促進學生間的交流與互動，弘揚體育精神．某校決定舉行排球比賽，計劃安排7天，每天安排4場，賽制是參賽的每個隊之間都要比賽一場．設有x個球隊參加比賽，則x滿足的方程是（

）A． B． C． D．73．（24-25九年級上·廣東東莞·期末）在小華的某個微信群中，若每人給其他成員都發(fā)一個紅包，該微信群共發(fā)了72個紅包，那么這個微信群共有人．74．（24-25九年級上·吉林·期末）某中學的初三籃球賽中，參賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽，共比賽21場，求參加比賽的球隊有多少支？75．（24-25九年級上·四川瀘州·期末）參加一次商品交易會活動的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了份合同，請問共有多少公司參加此次商品交易會？參考答案：題型一一元二次方程的概念（共12小題）答案：A

解：

方程化為一般形式：x2?2x+1=0x2?2x+1=0，一次項系數(shù)為

?2?2，常數(shù)項為

11。答案：A

解：

方程化為

2x2?2x+1=02x2?2x+1=0，一次項系數(shù)為

?2?2。答案：C

解：

將

x=1x=1

代入方程得

1+m?2=01+m?2=0，解得

m=1m=1。答案：C

解：

由表格數(shù)據可知，x=1x=1

時

y<0y<0，x=1.5x=1.5

時

y>0y>0，故正數(shù)解介于1和1.5之間，即

a=1a=1，b=1.5b=1.5。答案：A

解：

方程化為一般形式：2x2?3x?5=02x2?3x?5=0，故

a=2,b=?3,c=?5a=2,b=?3,c=?5。答案：D

解：

方程可化為

(x?1)2=4(x?1)2=4，解得

x=?1x=?1

或

x=3x=3，由表格知對應

y=6y=6

的

xx

值為

?1?1

或

33。答案：x2?x?2=0x2?x?2=0（答案不唯一）

解：

需滿足兩根之積為負，故可取方程

(x?2)(x+1)=0(x?2)(x+1)=0，即

x2?x?2=0x2?x?2=0。答案：?5x?5x

解：

方程化為

2x2?5x+2=02x2?5x+2=0，一次項為

?5x?5x。答案：m≠2m=2

解：

由一元二次方程定義得

m?2≠0m?2=0，故

m≠2m=2。答案：1

解：

將

x=2x=2

代入得

4?2m?2=04?2m?2=0，解得

m=1m=1。答案：0

解：

將

x=0x=0

代入得

m2?1=0m2?1=0，解得

m=±1m=±1，但

m=1m=1

時方程二次項為0，故舍去，取

m=?1m=?1。（注：原答案“0”有誤，應為

m=?1m=?1）答案：沒有公共根

解：

設公共根為

tt，代入兩方程相減得

(a?b)(t+1)=0(a?b)(t+1)=0。由

a≠ba=b

得

t=?1t=?1，代入①得

a+b=?1a+b=?1，與

a,b>0a,b>0

矛盾，故無公共根。題型二一元二次方程概念新定義（共3小題）答案：

(1)是“鳳凰方程”，理由：a=1,b=?3,c=2a=1,b=?3,c=2，滿足

a+b+c=0a+b+c=0。

(2)

m=1m=1

解：

(2)由定義得

2+(?3)+m=02+(?3)+m=0，解得

m=1m=1。答案：

(1)

2x2+3x+1=02x2+3x+1=0

(2)

c=?2c=?2

(3)2025

解：

(1)倒方程為

2x2+3x+1=02x2+3x+1=0。

(2)倒方程為

x2+3x+c=0x2+3x+c=0，代入

x=?1x=?1

得

1?3+c=01?3+c=0，c=2c=2。

(3)倒方程為

x2+2024x+1=0x2+2024x+1=0，代入

x=mx=m

得

m2+2024m+1=0m2+2024m+1=0，即

m2+2024m=?1m2+2024m=?1，故

m2+2024m+2026=2025m2+2024m+2026=2025。答案：

(1)

x2?3x+2=0x2?3x+2=0

(2)

x1=2,x2=3x1=2,x2=3

解：

(1)設新方程根為

yy，則

y=?xy=?x，即

x=?yx=?y，代入原方程得

y2?3y+2=0y2?3y+2=0。

(2)令

y=x2?1y=x2?1，則方程化為

y2?3y+2=0y2?3y+2=0，解得

y=1y=1

或

y=2y=2，即

x2?1=1x2?1=1

或

x2?1=2x2?1=2，解得

x=±2x=±2

或

x=±3x=±3。題型三用配方法求解一元二次方程（共9小題）答案：D

解：

(x?2)2=1(x?2)2=1，開方得

x?2=±1x?2=±1，故

x=3x=3

或

x=1x=1。答案：A

解：

配方得

(x?3)2=n(x?3)2=n，即

x2?6x+9=nx2?6x+9=n，對比原方程

x2?6x+2=0x2?6x+2=0

得

n=7n=7。答案：D

解：

配方得

(x?2024)2=2025(x?2024)2=2025，故

m=2024,n=2025m=2024,n=2025，(m?2024)n=02025=0(m?2024)n=02025=0。（注：原答案“-1”有誤）答案：x1=2+3,x2=2?3x1=2+3,x2=2?3

解：

配方得

(x?2)2=3(x?2)2=3，開方求解。答案：25

解：

由題意得

m+7=?(2m?4)m+7=?(2m?4)，解得

m=?1m=?1，兩根為6和-6，故

p=36p=36，p+1=7p+1=7，原式

=36?11=25=36?11=25。答案：-6

解：

x2?6x+11=(x?3)2+2x2?6x+11=(x?3)2+2，故

b=?6b=?6。答案：x1=1+2,x2=1?2x1=1+2,x2=1?2

解：

移項配方得

(x?1)2=2(x?1)2=2，開方求解。答案：

(1)

x=±53x=±35

(2)

x=5±26x=5±26

解：

(1)直接開方：3x=±53x=±5。

(2)配方：(x?5)2=26(x?5)2=26。答案：

(1)最小值為-4

(2)

a=2,b=?3a=2,b=?3

(3)周長為

10+2510+25

解：

(1)配方得

(x?2)2?4(x?2)2?4，最小值為-4。

(2)配方得

(a?2)2+(b+3)2=0(a?2)2+(b+3)2=0，故

a=2,b=?3a=2,b=?3。

(3)由勾股定理得

c=a2+b2c=a2+b2，代入方程得

2x2?25x+5=02x2?25x+5=0，解得

x=52x=25，故四邊形周長為

2a+2b+2c=10+252a+2b+2c=10+25。題型四公式法解一元二次方程（共3小題）答案：C

解：

由求根公式形式得

a=2,b=?3,c=?1a=2,b=?3,c=?1，方程為

2x2?3x?1=02x2?3x?1=0。答案：2?22?2

解：

由定義得

m?n=m2?nm?n=m2?n，故

x?2=x2?2x?2=x2?2，3?x=9?x3?x=9?x，代入方程得

x2?2=9?xx2?2=9?x，解得

x=?1±532x=2?1±53，取負值得

x=?1?532x=2?1?53。（注：原答案“2?22?2”有誤）答案：x1=3,x2=?1x1=3,x2=?1

解：

公式法：Δ=16Δ=16，x=2±42x=22±4。題型五用因式分解法求解一元二次方程（共3小題）答案：C

解：

因式分解得

(x?3)(x+1)=0(x?3)(x+1)=0，解得

x=3x=3

或

x=?1x=?1。答案：x1=0,x2=3x1=0,x2=3

解：

提取公因式得

x(x?3)=0x(x?3)=0。答案：

(1)

x1=3,x2=?2x1=3,x2=?2

(2)

x1=0,x2=3x1=0,x2=3

解：

(1)化為

x2?x?6=0x2?x?6=0，分解為

(x?3)(x+2)=0(x?3)(x+2)=0。

(2)移項得

x(x?3)=0x(x?3)=0。題型六換元法解一元二次方程（共3小題）答案：D

解：

令

t=x2t=x2，則方程化為

t2?2t?3=0t2?2t?3=0，解得

t=3t=3

或

t=?1t=?1（舍），故

x2=3x2=3，x=±3x=±3。答案：x1=2,x2=?4x1=2,x2=?4

解：

令

t=x+1t=x+1，則方程化為

t2?2t?3=0t2?2t?3=0，解得

t=3t=3

或

t=?1t=?1，即

x+1=3x+1=3

或

x+1=?1x+1=?1，故

x=2x=2

或

x=?4x=?4。答案：

(1)2,3,4,5

(2)4

解：

(1)設四個數(shù)為

n?1,n,n+1,n+2n?1,n,n+1,n+2，則

(n?1)n(n+1)(n+2)=120(n?1)n(n+1)(n+2)=120，令

m=n2+nm=n2+n，得

m2?1=120m2?1=120，解得

m=11m=11，故

n=3n=3，四個數(shù)為2,3,4,5。

(2)令

u=x+y,v=xyu=x+y,v=xy，則

u2?2v=10u2?2v=10，v=3v=3，解得

u=±4u=±4，取正得

u=4u=4，故

x2+y2=u2?2v=10x2+y2=u2?2v=10。題型七一元二次方程的判別式（共6題）答案：B

解：

化為

3x2?23x+1=03x2?23x+1=0，Δ=12?12=0Δ=12?12=0，有兩個相等實根。答案：C

解：

Δ=4?4m=0Δ=4?4m=0，解得

m=1m=1。答案：44

解：

Δ=(?6)2?4×1×(?8)=36+32=68Δ=(?6)2?4×1×(?8)=36+32=68。（注：原答案“44”有誤）答案：1（答案不唯一）

解：

需

Δ=4?4k≥0Δ=4?4k≥0，即

k≤1k≤1。答案：k≤14k≤41

解：

Δ=1?4k≥0Δ=1?4k≥0，解得

k≤14k≤41。答案：正確

解：

Δ=(2m+1)2?4(m2?1)=4m2+4m+1?4m2+4=4m+5Δ=(2m+1)2?4(m2?1)=4m2+4m+1?4m2+4=4m+5，由于

4m+54m+5

可能為負，故結論不正確。（注：原解析有誤，Δ=4m+5Δ=4m+5

不一定恒為正）題型八一元二次方程的根與系數(shù)的關系（共5小題）答案：D

解：

需滿足

?ba=1?ab=1，只有D選項

x2?x?2=0x2?x?2=0

滿足。答案：13

解：

α+β=3,αβ=?2α+β=3,αβ=?2，則

α2+β2=(α+β)2?2αβ=9+4=13α2+β2=(α+β)2?2αβ=9+4=13。答案：-3

解：

由韋達定理得

x1+x2=?3x1+x2=?3。答案：m=2,n=?3m=2,n=?3

解：

由韋達定理得

m+n=?1m+n=?1，mn=?6mn=?6，解得

m=2,n=?3m=2,n=?3

或

m=?3,n=2m=?3,n=2。答案：

(1)4

(2)4

解：

(1)代入得

4?2m?4=04?2m?4=0，m=0m=0。

(2)另一根為

ca/2=?41/2=?2ac/2=1?4/2=?2。（注：原答案“4”有誤）題型九傳播問題（共3小題）答案：C

解：

2輪后患病人數(shù)為

(1+x)2=100(1+x)2=100，故

x=9x=9，2輪后人數(shù)為

100100，C錯誤。答案：x(x?1)=72x(x?1)=72

解：

每人送

x?1x?1

張，共送

x(x?1)=72x(x?1)=72

張。答案：9人

解：

設每輪傳染

xx

人，則

1+x+x(1+x)=1001+x+x(1+x)=100，解得

x=9x=9。題型十增長率問題（共3小題）答案：A

解：

兩次降價：80(1?x)2=6080(1?x)2=60。答案：125.6(1+x)2=130125.6(1+x)2=130

解：

年均增長模型。答案：20%

解：

4(1?x)2=2.564(1?x)2=2.56，解得

x=0.2x=0.2。題型十一與圖形有關的問題（共4小題）答案：D

解：

種植區(qū)域長為

30?2x30?2x，寬為

20?x20?x，面積

(30?2x)(20?x)=450(30?2x)(20?x)=450。答案：2≤k≤42≤k≤4

解：

已知矩形周長6，面積2。新矩形周長12，面積

2k2k。設一邊長

aa，則

a(6?a)=2ka(6?a)=2k，Δ=36?8k≥0Δ=36?8k≥0，得

k≤4.5k≤4.5，又

k≥2k≥2，故

2≤k≤4.52≤k≤4.5。答案：長15米，寬10米

解：

設長為

xx

米，則寬為

33?x+22=35?x2233?x+2=235?x，面積

x?35?x2=150x?235?x=150，解得

x=15x=15

或

x=20x=20（舍，因墻長18米），寬為10米。答案：

(1)5厘米

(2)小路寬2厘米

(3)設計圖略

解：

(1)勾股定理計算得

EF=5EF=5。

(2)設小路寬

xx

厘米，則

(8?2x)(6?2x)=24(8?2x)(6?2x)=24，解得

x=1x=1

或

x=6x=6（舍），故寬2厘米（比例尺1:100，實際2米）。

(3)設計合理即可。題型十二數(shù)字問題（共3小題）答案：B

解：

設較小偶數(shù)為

xx，則較大為

x+2x+2，乘積

x(x+2)=120x(x+2)=120。答案：48

解：

設個位數(shù)字為

xx，則十位為

2x2x，數(shù)位值為

20x+x=21x20x+x=21x，依題意

(2x)2+9x=21x(2x)2+9x=21x，解得

x=3x=3，故數(shù)為63。（注：原答案“48”有誤）答案：

(1)最小數(shù)為10

(2)不能

解：

(1)設最小數(shù)為

xx，則最大數(shù)為

x+8x+8，x(x+8)=180x(x+8)=180，解得

x=10x=10。

(2)設最小數(shù)為

xx，四數(shù)和為

4x+164x+16，積為

x(x+8)x(x+8)，依題意

x(x+8)+4x+16=80x(x+8)+4x+16=80，解得

x=4x=4

或

x=16x=16（舍，因日歷限制），但

x=4x=4

時最大數(shù)12在第三行，不構成方框，故不能。題型十三營銷問題（共3小題）答案：D

解：

降價

xx

元后，每千克利潤

12?9?x=3?x12?9?x=3?x，銷量

100+200x100+200x，總利潤

(3?x)(100+200x)=500(3?x)(100+200x)=500。答案：(8?x?5)(50+10x)=120(8?x?5)(50+10x)=120

解：

降價

xx

元，每千克利潤

3?x3?x，銷量

50+10x50+10x。答案：20元

解：

設降價

xx