上海市晉元高中2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長(zhǎng)為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.2．已知直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若AB的中點(diǎn)為M，則的最大值為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無(wú)極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)4．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-15．已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于7．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)，以PQR為底面作一個(gè)直三棱柱，使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個(gè)直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.8．學(xué)校開(kāi)設(shè)甲類選修課3門(mén)，乙類選修課4門(mén)，從中任選3門(mén)，甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為（）A.24 B.30C.60 D.1209．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)，當(dāng)取得最小值時(shí)圓C：上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）A. B.C. D.10．下列關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法所得直觀圖的說(shuō)法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④11．設(shè)直線的傾斜角為，且，則滿足A. B.C. D.12．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為_(kāi)__________.14．?dāng)?shù)列滿足，則__________.15．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在平面上，則的最小值為_(kāi)_______.16．已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，，若，則兩圓圓心的距離___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）點(diǎn)M，N在點(diǎn)P的軌跡上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求面積的最小值.18．（12分）已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)使得數(shù)列{an}成等比數(shù)列.條件1：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列{f（an）}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知圓C的圓心C在直線上，且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，直線與直線的交點(diǎn)為N.判斷是否為定值.若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由.20．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線l斜率大于0，過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出該定值21．（12分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的方程;（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與圓交于M，N兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.22．（10分）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：PB∥面AEC；（2）設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P－ABD的體積V＝，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.2、A【解析】設(shè)，，則、，由點(diǎn)在圓上可得，再由向量垂直的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設(shè)，中點(diǎn)，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由點(diǎn)圓位置、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的軌跡方程.3、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過(guò)結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有極小值，無(wú)極大值，故B錯(cuò)誤；設(shè)為的極值點(diǎn)，則，且，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.4、D【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，通過(guò)余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.5、B【解析】根據(jù)曲線方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B6、D【解析】由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論7、C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點(diǎn)，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C8、B【解析】利用組合數(shù)計(jì)算出正確答案.【詳解】甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數(shù)為.故選：B9、C【解析】先求出代表的是以為圓心，2為半徑的圓的位于x軸下方部分（包含x軸上的部分），數(shù)形結(jié)合得到取得最小值時(shí)a的值，得到圓心C，利用點(diǎn)到直線距離求出圓心C到直線的距離，數(shù)形結(jié)合求出半徑r的取值范圍.【詳解】，兩邊平方得：，即點(diǎn)P在以為圓心，2為半徑的圓的位于x軸下方部分（包含x軸上的部分），如圖所示：因?yàn)镼的坐標(biāo)為，則在直線，過(guò)點(diǎn)A作⊥l于點(diǎn)，與半圓交于點(diǎn)，此時(shí)長(zhǎng)為的最小值，則，所以直線：，與聯(lián)立得：，所以，解得：，則圓C：，則，圓心到直線的距離為，要想圓C上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則.故選：C10、B【解析】根據(jù)斜二側(cè)直觀圖的畫(huà)法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結(jié)論【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯(cuò)誤；根據(jù)平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯(cuò)誤.故選：B.11、D【解析】因?yàn)椋?，，，，故選D12、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫(xiě)出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過(guò)作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.14、【解析】對(duì)遞推關(guān)系多遞推一次，再相減，可得，再驗(yàn)證是否滿足；【詳解】∵①時(shí)，②①-②得，時(shí)，滿足上式，.故答案為：.【點(diǎn)睛】數(shù)列中碰到遞推關(guān)系問(wèn)題，經(jīng)常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.15、【解析】數(shù)形結(jié)合分析出的最小值為點(diǎn)到平面的距離，然后利用等體積法求出距離即可.【詳解】因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，則，所以，即，解得，故答案為：.16、【解析】欲求兩圓圓心的距離，將它放在與球心組成的三角形中，只要求出球心角即可，通過(guò)球的性質(zhì)構(gòu)成的直角三角形即可解得【詳解】∵，球半徑為4，∴小圓的半徑為，∵小圓中弦長(zhǎng)，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，再由拋物線定義即可得解.(2)由(1)設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再結(jié)合給定條件及三角形面積定理列式，借助均值不等式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】因點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，顯然點(diǎn)P與F在直線l同側(cè)，于是得點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，則點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)P的軌跡方程是.【小問(wèn)2詳解】由(1)設(shè)點(diǎn)，，且，因，則，解得，S，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所給的條件分別計(jì)算后即可判斷，再通過(guò)滿足題意的求出通項(xiàng)；（2）由（1）可得，再通過(guò)錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】若選擇條件1，則有，可得，不滿足題意；若選擇條件2，則有，可得，滿足題意，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以………①因此有……….②①②可得，即，化簡(jiǎn)得.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為，將代入直線方程，即可求出，再與求交點(diǎn)坐標(biāo)，得到圓心坐標(biāo)，再求出半徑，即可得解；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在直接求出、的坐標(biāo)，即可求出，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為、、，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，即可表示出的坐標(biāo)，再求出的坐標(biāo)，即可表示出、，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為，則，解得，即，由，解得，即圓心坐標(biāo)為，所以半徑，所以圓的方程為【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，所以，消去得，設(shè)、，則，，所以，所以的中點(diǎn)，由解得，即，所以，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，解得或，即、，所以，所以又解得，即，所以，所以，綜上可得.20、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設(shè)出相關(guān)直線與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與橢圓聯(lián)立，點(diǎn)的坐標(biāo)配合斜率公式化簡(jiǎn)，再運(yùn)用韋達(dá)理化簡(jiǎn)可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點(diǎn)，則，因?yàn)镻A，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點(diǎn)共線，則，化簡(jiǎn)得，所以.21、（1）（2）直線的方程為或或【解析】（1）由弦的中垂線與直線的交點(diǎn)為圓心即可求解；（2）由，可得或，進(jìn)而有或，顯然直線斜率存在，設(shè)直線，由點(diǎn)到直線的距離公式求出的值即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)弦的中點(diǎn)為，則有，因?yàn)椋灾本€，所以直線的中垂線為，則圓心在直線上，且在直線上，聯(lián)立方程解得圓心，則圓的半徑為，所以圓方程為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以或，所以或，顯然直線斜率存在，所以設(shè)直線，則或，解得或或